Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Рассмотрим систему дискретных материальных точек $m_{1}, m_{2}, \ldots$, $m_{n}$, на которые наложены $r$ голономных условий связи Следовательно, число степеней свободы $f=3 n-r$. Будем вести рассмотрение в прямоугольных координатах и воспользуемся формулировкой (10.6) принципа Даламбера. Чтобы упростить запись входящих в (10.6) громоздких сумм, пронумеруем координаты $x_{1}, y_{1}, z_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}$ следующим образом: Так же поступим и со слагающими сил $X, Y, Z$. Тогда уравнение (10.6) примет вид: Ввиду наличия $r$ условий (12.1), на значения вариаций $\delta x_{k}$ наложены ограничения которые также могут быть записаны в виде: Помножим каждую из $\delta F_{i}$ на пока произвольный множитель $\lambda_{i}$ (множитель Лагранжа) и прибавим полученные произведения к даламберовой формуле (12.2). В результате получим сначала: Однако из $3 n$ перемещений $\delta x$ только $f$ независимы друг от друга; остальные $r$ перемещений зависят от них. Пусть, например, зависимыми будут величины $\delta x_{1}, \delta x_{2}, \ldots, \delta x_{r}$. С другой стороны, у нас есть как раз $r$ величин $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{r}$, которыми мы можем распоряжаться по произволу. Выберем значения $\lambda_{i}$, так, чтобы Тогда (12.5) сведется к уравнению в котором $\lambda_{r}$ имеют уже определенные значения, а вариации $\delta x_{k}$, число которых равно $f=3 n-r$, совершенно независимы. Таким образом, если мы, например, положим то из (12.7) будет следовать, что выражение в скобках при $\delta x_{r+ Эти последние уравнения вместе с уравнениями (12.6) дают $3 n$ дифференциальных уравнений, так называемых уравнений Лагранжа первого рода: При этом, конечно, каждые три последовательные величины $m_{k}$ равны между собой, например $m_{1}=m_{2}=m_{3}$, так как речь идет об одной и той же материальной точке $m_{1}$ с тремя ее координатами $x_{1}=x_{1}$, $x_{2}=y_{1}, x_{3}=z_{1}$. Мы считали условия связи $(12,1$ ) голономными, но можно легко убедиться в том, что все изложенное справедливо с небольшим видоизменением также и для неголономных условий связи. Единственная разница заключается в том, что коэффициенты $\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{k}}$ в уравнении нужно заменить произвольными функциями координат $F_{i k}$, которые могут быть представлены в форме частных производных. Произведя эту замену и в уравнениях (12.9), получаем непосредственно уравнения Лагранжа первого рода для неголономных систем: Более интересным является следующее обобщение: допустим, что условия (12.1) меняются с течением времени, т. е. что функции $F_{i}$ явно зависят не только от $x_{k}$, но и от $t$. В этом случае необходимо оговорить, что при образовании выражений (12.4) время не должно варьироваться, что мы вправе сделать и что вполне естественно, так как наше виртуальное перемещение не имеет ничего общего с протеканием движения во времени. Эта оговорка не отражается на выводе уравнения (12.9). Однако зависимость $F_{i}$ от $t$ приводит к важным следствиям в отношении формы закона сохранения энергии. Если мы хотим вывести этот закон при не зависящих от времени условиях связи, то мы должны поступить следующим образом: умножаем (12.9) на $d x_{k}$ и суммируем по $k$. Слева получаем: Первый член справа дает работу внешних сил, произведенную за время $d t$ : Второй член справа обращается в нуль, так как Действительно, если $F_{i}$ зависит только от $x_{k}$, то из $F_{i}=0$ следует: Иначе обстоит дело, если $F_{i}$ зависит также и от $t$. В этом случае надо в последнем и в предпоследнем уравнениях заменить нуль соответственно на: Закон сохранения энергии не будет более иметь вида что имеет место при условиях связи, не зависящих от времени, а примет вид Это означает, что связи, зависящие от времени, производят над системой работу. В качестве примера приведем ракетку для игры в теннис. Когда игрок держит ракетку неподвижно, она отражает мяч с неизменной энергией. Если же ракетка отодвигается назад при ударе мяча или, наоборот, ударяет навстречу мячу, то она поглощает энергию или, наоборот, передает энергию мячу. В случае неголономных систем явная зависимость входящих в (12.9a) функций $F_{i k}$ от $t$ была бы совместима с законом сохранения энергии в форме $(12.10)^{1}$. Если же, однако, неголономное условие связи, в противоположность (7.4), имело бы вид: то к выражению (12.10) прибавились бы дополнительные члены, зависящие от $G_{i}$, и уравнение энергии приняло бы вид, аналогичный выражению (12.10a): как в том случае, когда $F_{i k}$ явно зависят от времени, так и в том случае, когда $F_{i k}$ от времени явно не зависят. Поэтому для связей такого вида работа реакций связей при любом бесконечно малом действительном перемещении системы равна нулю. Этого достаточно, чтобы показать, что в рассматриваемом случае справедлив закон сохранения энергии в форме (12.10). Действительно, обозначив реакции связей через $R_{k}$, мы можем написать: Поскольку $\sum_{k} R_{k} d x_{k}=0$, отсюда следует: Так как $d x_{k}$ действительное перемещение, то это уравнение приводится к виду (12.10). Если же связи (12.1) явно зависят от времени, то действительные перемещения $d x_{k}$ удовлетворяют уравнениям тогда как виртуальные перемещения $\delta x_{k}$ – уравнениям Работа реакций связей на действительных перемещениях в общем случае не равна нулю, и уравнение (12.10) не имеет места. (Прим. ред.) В следующей главе на примере сферического маятника мы убедимся, что величины $\lambda_{i}$ можно толковать как «реакции системы на воздействие (голономных и неголономных) связей». Там же мы увидим также, что фактическое определение величин $\lambda$ должно производиться, исходя не из $r$ произвольно выделенных уравнений, как это мы временно сделали при выводе уравнения (12.6), а из совокупности всех $3 n$ уравнений Лагранжа. Нужно подчеркнуть, что метод лагранжевых множителей играет существенную роль не только для уравнений Лагранжа первого рода, но также и для уравнения значительно более общего типа (ср. гл. VI, §34); с другой стороны, этот метод встречается уже в элементарной теории максимумов и минимумов.
|
1 |
Оглавление
|