Рассмотрим систему дискретных материальных точек $m_{1}, m_{2}, \ldots$, $m_{n}$, на которые наложены $r$ голономных условий связи
\[
F_{1}=0, \quad F_{2}=0, \ldots, F_{r}=0 .
\]

Следовательно, число степеней свободы $f=3 n-r$. Будем вести рассмотрение в прямоугольных координатах и воспользуемся формулировкой (10.6) принципа Даламбера. Чтобы упростить запись входящих в (10.6) громоздких сумм, пронумеруем координаты $x_{1}, y_{1}, z_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}$ следующим образом:
\[
x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, \ldots, x_{3 n-1}, x_{3 n} \text {. }
\]

Так же поступим и со слагающими сил $X, Y, Z$. Тогда уравнение (10.6) примет вид:
\[
\sum_{k=1}^{3 n}\left(X_{k}-m_{k} \ddot{x}_{k}\right) \delta x_{k}=0 .
\]

Ввиду наличия $r$ условий (12.1), на значения вариаций $\delta x_{k}$ наложены ограничения
\[
\delta F_{i}=0, \quad i=1,2, \ldots, r,
\]

которые также могут быть записаны в виде:
\[
\sum_{k=1}^{3 n} \frac{\partial F_{i}}{\partial x_{k}} \delta x_{k}, \quad i=1,2, \ldots, r .
\]

Помножим каждую из $\delta F_{i}$ на пока произвольный множитель $\lambda_{i}$ (множитель Лагранжа) и прибавим полученные произведения к даламберовой формуле (12.2). В результате получим сначала:
\[
\sum_{k=1}^{3 n}\left(X_{k}-m_{k} \ddot{x}_{k}+\sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} \frac{\partial F_{i}}{\partial x_{k}}\right) \delta x_{k}=0 .
\]

Однако из $3 n$ перемещений $\delta x$ только $f$ независимы друг от друга; остальные $r$ перемещений зависят от них. Пусть, например, зависимыми будут величины $\delta x_{1}, \delta x_{2}, \ldots, \delta x_{r}$. С другой стороны, у нас есть как раз $r$ величин $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{r}$, которыми мы можем распоряжаться по произволу. Выберем значения $\lambda_{i}$, так, чтобы
\[
X_{k}-m_{k} \ddot{x}_{k}+\sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} \frac{\partial F_{i}}{\partial x_{k}}=0 ; \quad k=1,2, \ldots, r .
\]

Тогда (12.5) сведется к уравнению
\[
\sum_{k=r+1}^{3 n}\left(X_{k}-m_{k} \ddot{x}_{k}+\sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} \frac{\partial F_{i}}{\partial x_{k}}\right) \delta x_{k}=0,
\]

в котором $\lambda_{r}$ имеют уже определенные значения, а вариации $\delta x_{k}$, число которых равно $f=3 n-r$, совершенно независимы. Таким образом, если мы, например, положим
\[
\begin{array}{c}
\delta x_{r+
u}
eq 0 ; \\
\delta x_{r+1}=\delta x_{r+2}=\ldots=\delta x_{r+
u-1}=\delta x_{r+
u+1}=\ldots=\delta x_{3 n}=0,
\end{array}
\]

то из (12.7) будет следовать, что выражение в скобках при $\delta x_{r+
u}$ должно обращаться в нуль. Заставив $
u$ пробегать значения $1,2, \ldots, f$, увидим, что каждая скобка должна равняться нулю:
\[
X_{k}-m_{k} \ddot{x}_{k}+\sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} \frac{\partial F_{i}}{\partial x_{k}}=0 ; \quad k=r+1, r+2, \ldots, 3 n .
\]

Эти последние уравнения вместе с уравнениями (12.6) дают $3 n$ дифференциальных уравнений, так называемых уравнений Лагранжа первого рода:
\[
m_{k} \ddot{x}_{k}=X_{k}+\sum_{i=1}^{i=r} \lambda_{i} \frac{\partial F_{i}}{\partial x_{k}}=0 ; \quad k=1,2, \ldots, 3 n .
\]

При этом, конечно, каждые три последовательные величины $m_{k}$ равны между собой, например $m_{1}=m_{2}=m_{3}$, так как речь идет об одной и той же материальной точке $m_{1}$ с тремя ее координатами $x_{1}=x_{1}$, $x_{2}=y_{1}, x_{3}=z_{1}$.

Мы считали условия связи $(12,1$ ) голономными, но можно легко убедиться в том, что все изложенное справедливо с небольшим видоизменением также и для неголономных условий связи. Единственная разница заключается в том, что коэффициенты $\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{k}}$ в уравнении нужно заменить произвольными функциями координат $F_{i k}$, которые могут быть представлены в форме частных производных. Произведя эту замену и в уравнениях (12.9), получаем непосредственно уравнения Лагранжа первого рода для неголономных систем:
\[
m_{k} \ddot{x}_{k}=X_{k}+\sum_{i=1}^{i=r} \lambda_{i} F_{i k}
\]

Более интересным является следующее обобщение: допустим, что условия (12.1) меняются с течением времени, т. е. что функции $F_{i}$ явно зависят не только от $x_{k}$, но и от $t$. В этом случае необходимо оговорить, что при образовании выражений (12.4) время не должно варьироваться, что мы вправе сделать и что вполне естественно, так как наше виртуальное перемещение не имеет ничего общего с протеканием движения во времени. Эта оговорка не отражается на выводе уравнения (12.9). Однако зависимость $F_{i}$ от $t$ приводит к важным следствиям в отношении формы закона сохранения энергии.

Если мы хотим вывести этот закон при не зависящих от времени условиях связи, то мы должны поступить следующим образом: умножаем (12.9) на $d x_{k}$ и суммируем по $k$. Слева получаем:
\[
d t \sum m_{k} \dot{x}_{k} \ddot{x}_{k}=d t \frac{d}{d t} \sum \frac{m_{k}}{2} \dot{x}_{k}^{2}=d t \cdot \frac{d T}{d t}=d T .
\]

Первый член справа дает работу внешних сил, произведенную за время $d t$ :
\[
\sum d x_{k} X_{k}=d A .
\]

Второй член справа обращается в нуль, так как
\[
\sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} \sum_{k=1}^{3 n} \frac{\partial F_{i}}{\partial x_{k}} d x_{k}=\sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} d F_{i}=0 .
\]

Действительно, если $F_{i}$ зависит только от $x_{k}$, то из $F_{i}=0$ следует:
\[
d F_{i}=\sum \frac{\partial F_{i}}{\partial x_{k}} d x_{k}=0 .
\]

Иначе обстоит дело, если $F_{i}$ зависит также и от $t$. В этом случае надо в последнем и в предпоследнем уравнениях заменить нуль соответственно на:
\[
-\frac{\partial F_{i}}{\partial t} d t \quad \text { ина } \quad-\sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} \frac{\partial F_{i}}{\partial t} d t .
\]

Закон сохранения энергии не будет более иметь вида
\[
d T=d A,
\]

что имеет место при условиях связи, не зависящих от времени, а примет вид
\[
d T=d A-d t \sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} \frac{\partial F_{i}}{\partial t} .
\]

Это означает, что связи, зависящие от времени, производят над системой работу.

В качестве примера приведем ракетку для игры в теннис. Когда игрок держит ракетку неподвижно, она отражает мяч с неизменной энергией. Если же ракетка отодвигается назад при ударе мяча или, наоборот, ударяет навстречу мячу, то она поглощает энергию или, наоборот, передает энергию мячу.

В случае неголономных систем явная зависимость входящих в (12.9a) функций $F_{i k}$ от $t$ была бы совместима с законом сохранения энергии в форме $(12.10)^{1}$. Если же, однако, неголономное условие связи, в противоположность (7.4), имело бы вид:
\[
\sum F_{i k} d x_{k}+G_{i} d t=0,
\]

то к выражению (12.10) прибавились бы дополнительные члены, зависящие от $G_{i}$, и уравнение энергии приняло бы вид, аналогичный выражению (12.10a):
\[
d T=d A-d t \sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} G_{i} .
\]
${ }^{1}$ Если голономные связи (12.1) явно не зависят от времени, то любое бесконечно малое действительное перемещение системы можно рассматривать также как одно из виртуальных перемещений. Это справедливо и для неголономных связей вида
\[
\sum_{k} F_{i k} \delta x_{k}=0
\]

как в том случае, когда $F_{i k}$ явно зависят от времени, так и в том случае, когда $F_{i k}$ от времени явно не зависят. Поэтому для связей такого вида работа реакций связей при любом бесконечно малом действительном перемещении системы равна нулю. Этого достаточно, чтобы показать, что в рассматриваемом случае справедлив закон сохранения энергии в форме (12.10). Действительно, обозначив реакции связей через $R_{k}$, мы можем написать:
\[
m_{k} \ddot{x}_{k}=X_{k}+R_{k} .
\]

Поскольку $\sum_{k} R_{k} d x_{k}=0$, отсюда следует:
\[
\sum_{k} m_{k} \ddot{x}_{k} d x_{k}=\sum_{k} X_{k} d x_{k} .
\]

Так как $d x_{k}$ действительное перемещение, то это уравнение приводится к виду (12.10).

Если же связи (12.1) явно зависят от времени, то действительные перемещения $d x_{k}$ удовлетворяют уравнениям
\[
\sum_{k} \frac{\partial F_{i}}{\partial x_{k}} d x_{k}+\frac{\partial F_{i}}{\partial t} d t=0,
\]

тогда как виртуальные перемещения $\delta x_{k}$ — уравнениям
\[
\sum_{k} \frac{\partial F_{i}}{\partial x_{k}} \delta x_{k}=0 .
\]

Работа реакций связей на действительных перемещениях в общем случае не равна нулю, и уравнение (12.10) не имеет места. (Прим. ред.)

В следующей главе на примере сферического маятника мы убедимся, что величины $\lambda_{i}$ можно толковать как «реакции системы на воздействие (голономных и неголономных) связей». Там же мы увидим также, что фактическое определение величин $\lambda$ должно производиться, исходя не из $r$ произвольно выделенных уравнений, как это мы временно сделали при выводе уравнения (12.6), а из совокупности всех $3 n$ уравнений Лагранжа. Нужно подчеркнуть, что метод лагранжевых множителей играет существенную роль не только для уравнений Лагранжа первого рода, но также и для уравнения значительно более общего типа (ср. гл. VI, §34); с другой стороны, этот метод встречается уже в элементарной теории максимумов и минимумов.