Рассмотренные до сих пор типы колебаний относились к одной материальной точке. Теперь мы рассмотрим типы колебаний двух взаимно связанных материальных точек. Подобные колебания уже давно играют важную роль в электроизмерительных устройствах. В состав последних входят так называемые первичные и вторичные цепи, связанные между собой большей частью «индуктивно». Когда первичная

Рис. 33. Амплитуда и фаза вынужденного затухающего колебания
цепь возбуждается, вторичная цепь также приходит в колебание, особенно сильное при наличии резонанса. Действительно, схема включения Брауна в радиотелеграфии состоит из первичной и настроенной на нее вторичной цепи. Здесь мы рассмотрим, разумеется, только механические связанные колебания, которые часто используются в качестве модели электрических связанных колебаний.

Особенно поучительным примером могут служить симпатические маятники. В случае резонанса так называются два маятника одинаковой длины и одинакового веса. Проще всего представить себе их качающимися в одной и той же плоскости; пусть, далее, связь между ними осуществляется спиральной пружиной, как показано на рис. 35.

Рис. 34. Симпатические маятники в случае резонанса
Если при взаимном движении обоих маятников в пружине возникают лишь малые напряжения, то говорят о слабой связи, при больших же напряжениях в пружине говорят о сильной связи. Мы рассмотрим слабую связь симпатических маятников. Если маятники имеют не вполне одинаковую длину или не вполне одинаковый вес, то говорят, что они расстроены.
Сначала опишем явления, наблюдаемые в случае резонанса.
Допустим, что первый маятник возбужден, а второй маятник первоначально находится в состоянии покоя. Получается следующая картина колебаний (см. рис. 34).
Каждый из двух маятников совершает биения. В процессе этих

Рис. 35. Два нормальных колебания биений маятники взаимно обмениваются энергией (происходит как бы «перекачка» энергии от одного маятника к другому). Когда один симпатических маятников в случае резонанса маятник испытывает максимальное отклонение, другой находится в состоянии покоя.

Если же одинаково возбудить оба маятника в одном и том же направлении (рис. 35 слева) или в противоположных направлениях (рис. 35 справа), то перекачки энергии не будет. Эти два колебания называются нормальными колебаниями нашей связанной системы с двумя степенями свободы. В общем случае справедлива теорема:

Колебательная система с $n$ степенями свободы имеет $n$ нормальных колебаний.

Если же маятники расстроены, то, хотя обмен энергией и будет иметь место, он будет совершаться таким образом, что первоначально возбужденный маятник будет иметь минимум, отличный от нуля, и только маятник, первоначально находившийся в состоянии покоя, в процессе движения снова возвратится в состояние покоя. Таким образом, одинаковый характер колебаний маятников нарушается их расстройкой. Сначала мы кратко изложим теорию полного резонанса при возможно более простых допущениях (пренебрегая затуханием, а также различием между дугой окружности и касательной к ней в нижней точке траектории, что допустимо при достаточно малых колебаниях). Обозначим через $x_{1}$ отклонение маятника $I$, через $x_{2}$ – отклонение маятника $I I$. Если, далее, обозначить через $k$ «коэффициент связи», т.е. напряжение в пружине при единичном удлинении ее, деленное на массу, то система дифференциальных уравнений нашей задачи примет следующий вид:
\[
\ddot{x}_{1}+\omega_{0}^{2} x_{1}=-k\left(x_{1}-x_{2}\right), \quad \ddot{x}_{2}+\omega_{0}^{2} x_{2}=-k\left(x_{2}-x_{1}\right) .
\]

Вводя новые переменные
\[
z_{1}=x_{1}-x_{2}, \quad z_{2}=x_{1}+x_{2},
\]

получим из уравнений (20.1) путем вычитания и сложения их уравнения обоих нормальных колебаний:
\[
\ddot{z}_{1}+\omega_{0}^{2} z_{1}=-2 k z_{1} \quad \text { или } \quad \ddot{z}+\left(\omega_{0}^{2}+2 k\right) z_{1}=0, \quad \ddot{z}_{2}+\omega_{0}^{2} z_{2}=0
\]

с частотами
\[
\begin{array}{l}
\text { для } z_{1}: \omega=\sqrt{\omega_{0}+2 k} \sim \omega_{0}+\frac{k}{\omega_{0}}, \\
\text { для } z_{2}: \omega^{\prime}=\omega_{0} .
\end{array}
\]

Уравнения (20.3) имеют следующие общие решения:
\[
\left.\begin{array}{l}
z_{1}=a_{1} \cos \omega t+b_{1} \sin \omega t \\
z_{2}=a_{2} \cos \omega^{\prime} t+b_{2} \sin \omega^{\prime} t
\end{array}\right\}
\]

Введем начальные условия возбуждения:
\[
\text { при } t=0: \quad x_{2}=\dot{x}_{2}=0 ; \quad \dot{x}_{1}=0 ; \quad x_{1}=C,
\]

откуда
\[
\dot{z}_{1}=\dot{z}_{2}=0 ; \quad z_{1}=z_{2}=C .
\]

Отсюда следует:
\[
b_{1}=b_{2}=0, \quad a_{1}=a_{2}=C,
\]

так что
\[
z_{1}=C \cos \omega t, \quad z_{2}=C \cos \omega^{\prime} t
\]

и
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{1}=\frac{z_{2}+z_{1}}{2}=C \cos \frac{\omega^{\prime}-\omega}{2} t \cos \frac{\omega^{\prime}+\omega}{2} t \\
x_{2}=\frac{z_{2}-z_{1}}{2}=-C \sin \frac{\omega^{\prime}-\omega}{2} t \sin \frac{\omega^{\prime}+\omega}{2} t .
\end{array}\right\}
\]

Согласно соотношениям (20.4), для случая слабой связи
\[
\frac{\omega-\omega^{\prime}}{2}=\frac{k}{2 \omega_{0}} \ll 1 .
\]

Таким образом, первые множители в правой части уравнений (20.9) медленно изменяются во времени; это и обусловливает тот факт, что представленные на рис. 34 колебания носят характер биений.

Теория не будет столь простой, если маятники расстроены, т.е. если $l_{1}
eq l_{2}$ или $m_{1}
eq m_{2}$. Положим
\[
\omega_{1}^{2}=\frac{g}{l_{1}}, \quad \omega_{2}^{2}=\frac{g}{l_{2}}, \quad k_{1}=\frac{c}{m_{1}}, \quad k_{2}=\frac{c}{m_{2}},
\]

где $c$ – напряжение в пружине при единичном удлинении. Тогда вместо уравнений (20.1) мы получим следующие исходные уравнения:
\[
\left.\begin{array}{l}
\ddot{x}_{1}+\omega_{1}^{2} x_{1}=-k_{1}\left(x_{1}-x_{2}\right), \\
\ddot{x}_{2}+\omega_{2}^{2} x_{2}=-k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Здесь также имеются две нормальных частоты, которые мы можем определить по способу, введенному в $\S 3,(3.24)$ [при решении уравнений (20.1) мы смогли применить более удобный искусственный прием, который, однако, в рассматриваемом общем случае не привел бы к цели]; положим
\[
x_{1}=A e^{i \lambda t}, \quad x_{2}=B e^{i \lambda t} .
\]

Тогда, подставляя выражения для $x_{1}$ и $x_{2}$ в уравнения (20.10), получим:
\[
\left.\begin{array}{l}
A\left(\omega_{1}^{2}-\lambda^{2}+k_{1}\right)=k_{1} B \\
B\left(\omega_{2}^{2}-\lambda^{2}+k_{2}\right)=k_{2} A
\end{array}\right\}
\]

Вытекающее отсюда так наз. «вековое уравнение» ${ }^{1}$ является квадратным относительно $\lambda^{2}$ :
\[
\frac{B}{A}=\frac{\omega_{1}^{2}-\lambda^{2}+k_{1}}{k_{1}}=\frac{k_{2}}{\omega_{2}^{2}-\lambda^{2}+k^{2}} .
\]

Оно имеет вид
\[
\left\{\lambda^{2}-\left(\omega_{1}^{2}+k_{1}\right)\right\}\left\{\lambda^{2}-\left(\omega_{2}^{2}+k_{2}\right)\right\}=k_{1} k_{2} .
\]

При малых $k_{1}$ и $k_{2}$ получаем следующее приближенное решение этого уравнения:
\[
\lambda^{2}=\left\{\begin{array}{c}
\omega_{1}^{2}+k_{1}+\frac{k_{1} k_{2}}{\omega_{1}^{2}-\omega_{2}^{2}}, \\
\omega_{2}^{2}+k_{2}+\frac{k_{1} k_{2}}{\omega_{2}^{2}-\omega_{1}^{2}} .
\end{array}\right\}
\]

Если мы обозначим найденные таким образом корни квадратного уравнения через $\omega^{2}$ и ${\omega^{\prime}}^{2}$ и обобщим выражения (20.11) по образцу формулы (3.24б), то, представив решения в действительной форме, получим:
\[
\left.\begin{array}{r}
x_{1}=a \cos \omega t+b \sin \omega t+a^{\prime} \cos \omega^{\prime} t+b^{\prime} \sin \omega^{\prime} t \\
x_{2}=\gamma a \cos \omega t+\gamma b \sin \omega t+\gamma^{\prime} a^{\prime} \cos \omega^{\prime} t+\gamma^{\prime} b^{\prime} \sin \omega^{\prime} t
\end{array}\right\}
\]

Здесь $\gamma$ и $\gamma^{\prime}$ означают значения отношения $\frac{B}{A}$, которые получаются из уравнения (20.13) при подстановке в него $\lambda^{2}=\omega^{2}$ и, соответственно, $\lambda^{2}=\omega^{\prime 2}$.
Пусть начальные условия останутся прежними:
\[
\text { при } t=0: \quad x_{2}=0, \quad \dot{x}_{2}=0, \quad \dot{x}_{1}=0, \quad x_{1}=C .
\]
${ }^{1}$ Это слово заимствовано из астрономической теории возмущений.

Это дает:
\[
\left.\begin{array}{l}
\gamma a+\gamma^{\prime} a^{\prime}=0, \quad \gamma \omega b+\gamma^{\prime} \omega^{\prime} b^{\prime}=0 ; \\
\omega b+\omega^{\prime} b^{\prime}=0, \quad a+a^{\prime}=C .
\end{array}\right\}
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{c}
b=b^{\prime}=0, \\
a=\frac{\gamma^{\prime}}{\gamma^{\prime}-\gamma} C, \quad a^{\prime}=\frac{\gamma}{\gamma-\gamma^{\prime}} C .
\end{array}
\]

Таким образом, уравнения (20.16) примут следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{c}
x_{1}=\frac{C}{\gamma^{\prime}-\gamma}\left(\gamma^{\prime} \cos \omega t-\gamma \cos \omega^{\prime} t\right) ; \\
x_{2}=\frac{C}{\gamma^{\prime}-\gamma} \gamma \gamma^{\prime}\left(\cos \omega t-\cos \omega^{\prime} t\right) .
\end{array}\right\}
\]

Выражение для $x_{2}$ можно преобразовать к виду, аналогичному формуле (20.9):
\[
x_{2}=\frac{2 \gamma \gamma^{\prime}}{\gamma-\gamma^{\prime}} C \sin \frac{\omega^{\prime}-\omega}{2} t \sin \frac{\omega^{\prime}+\omega}{2} t .
\]

Рис. 36. Кривые колебаний двух несколько расстроенных симпатических маятников

Итак, в моменты времени, определяемые условием
\[
\frac{\omega^{\prime}-\omega}{2} t=n \pi,
\]

второй маятник возвращается в положение покоя, тогда как первый маятник, напротив, в момент максимального отклонения второго маятника $x_{2}$ [согласно первому уравнению (20.18) и рис. 36] сохраняет конечную амплитуду колебаний. Взаимный обмен энергией, вследствие расстройки маятников, стал неполным.

Для применения вышеизложенной теории к электротехническим вопросам необходимо ее расширить, приняв во внимание также и затухание маятников, аналогом которого в электротехнике является омическое сопротивление (член с ускорением соответствует электрической самоиндукции, «упругая» сила – электрической емкости). При рассмотрении электротехнических вопросов нужно было бы, наряду с рассмотренной здесь «связью, зависящей только от положения» $\left[k\right.$, умноженное на $\left.\pm\left(x_{2}-x_{1}\right)\right]$, принять во внимание и «связь, зависящую от ускорения или от скорости».

В задаче III. 5 мы проведем расчет простого в изготовлении устройства, в котором маятники бифилярно подвешены на гибкой проволоке и колеблются не в плоскости своего положения покоя, а перпендикулярно к этой плоскости.

Интересным устройством, при котором оба симпатических маятника реализованы, так сказать, в одном и том же объекте, является колеблющаяся спи-
Рис. 37. Крутильное колебание и колебание изгиба спиральной пружины ральная пружина ${ }^{1}$.

Эта пружина (рис. 37) может совершать как колебания в осевом направлении $(y)$, так и крутильные колебания ( $x$ ) вокруг оси. При конечном расстоянии между витками пружины связь между обоими этими колебаниями осуществляется самой пружиной. Именно, если оттянуть пружину вниз, то можно ощутить боковое давление: пружина стремится отойти в боковом направлении. Если закрутить пружину вбок, в сторону продолжения проволоки, то пружина будет стремиться вытянуть-
${ }^{1}$ Подробности см. в «Wüllner — Festschrift», Teubner 1905: «Lissajous-Figuren und Resonanzwirkungen bei schwingenden Schraubenfedern; ihre Verwertung zur Bestimmung des Poissonschen Verhältnisses» («Фигуры Лиссажу и резонансные действия в случае колеблющейся спиральной пружины; применение их для определения коэффициента Пуассона».)

ся вниз; таким образом, если вызвать колебание в направлении $y$, то будет возбуждено и колебание в направлении $x$, и наоборот. С точки зрения упругих напряжений в материале колебание в направлении оси $y$ является крутильным колебанием, а колебание в направлении $x$ – колебанием изгиба.

Варьируя добавочную массу $Z$, можно привести вертикальное и горизонтальное колебания в состояние точного или приближенного резонанса. Если тогда возбудить одно из колебаний, то будет иметь место обмен энергией в соответствии с рис. 34 или 36.