Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Рассмотренные до сих пор типы колебаний относились к одной материальной точке. Теперь мы рассмотрим типы колебаний двух взаимно связанных материальных точек. Подобные колебания уже давно играют важную роль в электроизмерительных устройствах. В состав последних входят так называемые первичные и вторичные цепи, связанные между собой большей частью «индуктивно». Когда первичная Рис. 33. Амплитуда и фаза вынужденного затухающего колебания Особенно поучительным примером могут служить симпатические маятники. В случае резонанса так называются два маятника одинаковой длины и одинакового веса. Проще всего представить себе их качающимися в одной и той же плоскости; пусть, далее, связь между ними осуществляется спиральной пружиной, как показано на рис. 35. Рис. 34. Симпатические маятники в случае резонанса Рис. 35. Два нормальных колебания биений маятники взаимно обмениваются энергией (происходит как бы «перекачка» энергии от одного маятника к другому). Когда один симпатических маятников в случае резонанса маятник испытывает максимальное отклонение, другой находится в состоянии покоя. Если же одинаково возбудить оба маятника в одном и том же направлении (рис. 35 слева) или в противоположных направлениях (рис. 35 справа), то перекачки энергии не будет. Эти два колебания называются нормальными колебаниями нашей связанной системы с двумя степенями свободы. В общем случае справедлива теорема: Колебательная система с $n$ степенями свободы имеет $n$ нормальных колебаний. Если же маятники расстроены, то, хотя обмен энергией и будет иметь место, он будет совершаться таким образом, что первоначально возбужденный маятник будет иметь минимум, отличный от нуля, и только маятник, первоначально находившийся в состоянии покоя, в процессе движения снова возвратится в состояние покоя. Таким образом, одинаковый характер колебаний маятников нарушается их расстройкой. Сначала мы кратко изложим теорию полного резонанса при возможно более простых допущениях (пренебрегая затуханием, а также различием между дугой окружности и касательной к ней в нижней точке траектории, что допустимо при достаточно малых колебаниях). Обозначим через $x_{1}$ отклонение маятника $I$, через $x_{2}$ — отклонение маятника $I I$. Если, далее, обозначить через $k$ «коэффициент связи», т.е. напряжение в пружине при единичном удлинении ее, деленное на массу, то система дифференциальных уравнений нашей задачи примет следующий вид: Вводя новые переменные получим из уравнений (20.1) путем вычитания и сложения их уравнения обоих нормальных колебаний: с частотами Уравнения (20.3) имеют следующие общие решения: Введем начальные условия возбуждения: откуда Отсюда следует: так что и Согласно соотношениям (20.4), для случая слабой связи Таким образом, первые множители в правой части уравнений (20.9) медленно изменяются во времени; это и обусловливает тот факт, что представленные на рис. 34 колебания носят характер биений. Теория не будет столь простой, если маятники расстроены, т.е. если $l_{1} где $c$ — напряжение в пружине при единичном удлинении. Тогда вместо уравнений (20.1) мы получим следующие исходные уравнения: Здесь также имеются две нормальных частоты, которые мы можем определить по способу, введенному в $\S 3,(3.24)$ [при решении уравнений (20.1) мы смогли применить более удобный искусственный прием, который, однако, в рассматриваемом общем случае не привел бы к цели]; положим Тогда, подставляя выражения для $x_{1}$ и $x_{2}$ в уравнения (20.10), получим: Вытекающее отсюда так наз. «вековое уравнение» ${ }^{1}$ является квадратным относительно $\lambda^{2}$ : Оно имеет вид При малых $k_{1}$ и $k_{2}$ получаем следующее приближенное решение этого уравнения: Если мы обозначим найденные таким образом корни квадратного уравнения через $\omega^{2}$ и ${\omega^{\prime}}^{2}$ и обобщим выражения (20.11) по образцу формулы (3.24б), то, представив решения в действительной форме, получим: Здесь $\gamma$ и $\gamma^{\prime}$ означают значения отношения $\frac{B}{A}$, которые получаются из уравнения (20.13) при подстановке в него $\lambda^{2}=\omega^{2}$ и, соответственно, $\lambda^{2}=\omega^{\prime 2}$. Это дает: Следовательно, Таким образом, уравнения (20.16) примут следующий вид: Выражение для $x_{2}$ можно преобразовать к виду, аналогичному формуле (20.9): Рис. 36. Кривые колебаний двух несколько расстроенных симпатических маятников Итак, в моменты времени, определяемые условием второй маятник возвращается в положение покоя, тогда как первый маятник, напротив, в момент максимального отклонения второго маятника $x_{2}$ [согласно первому уравнению (20.18) и рис. 36] сохраняет конечную амплитуду колебаний. Взаимный обмен энергией, вследствие расстройки маятников, стал неполным. Для применения вышеизложенной теории к электротехническим вопросам необходимо ее расширить, приняв во внимание также и затухание маятников, аналогом которого в электротехнике является омическое сопротивление (член с ускорением соответствует электрической самоиндукции, «упругая» сила — электрической емкости). При рассмотрении электротехнических вопросов нужно было бы, наряду с рассмотренной здесь «связью, зависящей только от положения» $\left[k\right.$, умноженное на $\left.\pm\left(x_{2}-x_{1}\right)\right]$, принять во внимание и «связь, зависящую от ускорения или от скорости». В задаче III. 5 мы проведем расчет простого в изготовлении устройства, в котором маятники бифилярно подвешены на гибкой проволоке и колеблются не в плоскости своего положения покоя, а перпендикулярно к этой плоскости. Интересным устройством, при котором оба симпатических маятника реализованы, так сказать, в одном и том же объекте, является колеблющаяся спи- Эта пружина (рис. 37) может совершать как колебания в осевом направлении $(y)$, так и крутильные колебания ( $x$ ) вокруг оси. При конечном расстоянии между витками пружины связь между обоими этими колебаниями осуществляется самой пружиной. Именно, если оттянуть пружину вниз, то можно ощутить боковое давление: пружина стремится отойти в боковом направлении. Если закрутить пружину вбок, в сторону продолжения проволоки, то пружина будет стремиться вытянуть- ся вниз; таким образом, если вызвать колебание в направлении $y$, то будет возбуждено и колебание в направлении $x$, и наоборот. С точки зрения упругих напряжений в материале колебание в направлении оси $y$ является крутильным колебанием, а колебание в направлении $x$ — колебанием изгиба. Варьируя добавочную массу $Z$, можно привести вертикальное и горизонтальное колебания в состояние точного или приближенного резонанса. Если тогда возбудить одно из колебаний, то будет иметь место обмен энергией в соответствии с рис. 34 или 36.
|
1 |
Оглавление
|