Мы уже указывали, что второе из уравнений (43.8) неудобно для интегрирования. Это объясняется тем, что мы получаем интеграл нашего дифференциального уравнения в частных производных не в форме (43.6), а в форме (43.10) или, соответственно (43.18). С другой стороны, мы получили уравнение (43.7):
\[
t=\frac{\partial S}{\partial W} .
\]

Это уравнение весьма наглядно описывает временной ход движения. Покажем теперь, что если мы будем дифференцировать $S^{*}$ не по $W$, а по постоянным интегрирования $\alpha_{2}, \alpha_{3}, \ldots, \alpha_{f}$, то полученные уравнения
\[
\beta_{k}=\frac{\partial S}{\partial \alpha_{k}}, \quad k=2,3, \ldots, f
\]

будут описывать геометрическую форму траектории системы, поскольку мы будем рассматривать величины $\beta_{k}$ как новые постоянные интегрирования. Это и есть теорема Якоби в случае а). В случае б) она принимает еще более наглядную форму:
\[
\beta_{k}=\frac{\partial S^{*}}{\partial \alpha_{k}}, \quad k=1,2, \ldots, f .
\]

В этом случае мы имеем $f$ уравнений одинакового вида, которые описывают движение системы как в пространстве, так и во времени.

Чтобы получить такую же наглядность и в случае а), следует вместо равенства (44.1) формально написать:
\[
\beta_{1}=\frac{\partial S}{\partial \alpha_{1}},
\]
т. е. положить $t=\beta_{1}$ и $W=\alpha_{1}$.

При доказательстве мы положим в основу случай а) и вспомним определение (41.9) касательного преобразования (41.11), которое мы для последующего запишем в виде:
\[
d F(q, Q)=\sum p_{k} d q_{k}-\sum P_{k} d Q_{k} .
\]

Сравним это выражение с дифференциалом функции действия (43.10):
\[
d S(q, W, \alpha)=\sum_{k=1}^{f} \frac{\partial S}{\partial q_{k}} d q_{k}+\frac{\partial S}{\partial W} d W+\sum_{k=2}^{f} \frac{\partial S}{\partial \alpha_{k}} d \alpha_{k},
\]

или, принимая во внимание формулы (43.8), а также (44.2) и (44.3a), получим:
\[
d S(q, \alpha)=\sum_{k=1}^{f} p_{k} d q_{k}+\sum_{k=1}^{f} \beta_{k} d \alpha_{k} .
\]

Это равенство совпадает с равенством (44.4), если положить:
\[
F=S, \quad Q_{k}=\alpha_{k}, \quad P_{k}=-\beta_{k} .
\]

Мы знаем далее, что из обыкновенных дифференциальных уравнений Гамильтона (41.4)
\[
\dot{p}_{k}=-\frac{\partial H}{\partial q_{k}}, \quad \dot{q}_{k}=\frac{\partial H}{\partial p_{k}}
\]

путем преобразования $q_{k}, p_{k} \rightarrow Q_{k}, P_{k}$ при условии (44.4) получаются уравнения (41.12).
\[
\dot{P}_{k}=-\frac{\partial \bar{H}}{\partial Q_{k}}, \quad \dot{Q}_{k}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial P_{k}} .
\]

В нашем случае, в силу (44.6), эти уравнения принимают вид:
\[
-\dot{\beta}_{k}=-\frac{\partial \bar{H}}{\partial \alpha_{k}}, \quad \dot{\alpha}_{k}=-\frac{\partial \bar{H}}{\partial \beta_{k}} .
\]

Но, согласно (41.10), имеем:
\[
\bar{H}(Q, P)=H(q, p)
\]

или с учетом (44.6):
\[
\bar{H}(\alpha,-\beta)=W=\alpha_{1} .
\]

Отсюда следует:
\[
\frac{\partial \bar{H}}{\partial \alpha_{k}}=\left\{\begin{array}{ll}
1 & \text { при } k=1, \\
0 & \text { при } k>1,
\end{array} \quad \frac{\partial \bar{H}}{\partial \beta_{k}}=\left\{\begin{array}{ll}
0 & \text { при } k=1, \\
0 & \text { при } k>1 .
\end{array}\right.\right.
\]

Таким образом, уравнения (44.7) переходят в
\[
\dot{\beta}_{k}=\left\{\begin{array}{ll}
1 & \text { при } k=1, \\
0 & \text { при } k>1,
\end{array} \quad \dot{\alpha}_{k}=\left\{\begin{array}{ll}
0 & \text { при } k=1, \\
0 & \text { при } k>1 .
\end{array}\right.\right.
\]

Для величин $\alpha_{k}$ эти уравнения не дают ничего нового; они лишь подтверждают, что $\alpha_{k}$ суть постоянные интегрирования. Также и уравнение для $\beta_{1}$ не содержит ничего нового; именно – из $\dot{\beta}_{1}=1$ следует $\beta_{1}=t$ (с точностью до несущественной аддитивной постоянной), как мы уже отмечали в связи с равенством (41.3a). Напротив, уравнения (41.10) для $\beta_{k}$ при $k>1$ содержат доказательство теоремы Якоби; именно – из этих уравнений видно, что величины $\beta_{k}$ так же, как и $\alpha_{k}$, являются постоянными интегрирования.

Приведенное доказательство можно без существенных изменений распространить и на случай б), если несколько обобщить определение касательного преобразования. Однако для дальнейшего это обобщение нам не понадобится.