Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Мы уже указывали, что второе из уравнений (43.8) неудобно для интегрирования. Это объясняется тем, что мы получаем интеграл нашего дифференциального уравнения в частных производных не в форме (43.6), а в форме (43.10) или, соответственно (43.18). С другой стороны, мы получили уравнение (43.7): Это уравнение весьма наглядно описывает временной ход движения. Покажем теперь, что если мы будем дифференцировать $S^{*}$ не по $W$, а по постоянным интегрирования $\alpha_{2}, \alpha_{3}, \ldots, \alpha_{f}$, то полученные уравнения будут описывать геометрическую форму траектории системы, поскольку мы будем рассматривать величины $\beta_{k}$ как новые постоянные интегрирования. Это и есть теорема Якоби в случае а). В случае б) она принимает еще более наглядную форму: В этом случае мы имеем $f$ уравнений одинакового вида, которые описывают движение системы как в пространстве, так и во времени. Чтобы получить такую же наглядность и в случае а), следует вместо равенства (44.1) формально написать: При доказательстве мы положим в основу случай а) и вспомним определение (41.9) касательного преобразования (41.11), которое мы для последующего запишем в виде: Сравним это выражение с дифференциалом функции действия (43.10): или, принимая во внимание формулы (43.8), а также (44.2) и (44.3a), получим: Это равенство совпадает с равенством (44.4), если положить: Мы знаем далее, что из обыкновенных дифференциальных уравнений Гамильтона (41.4) путем преобразования $q_{k}, p_{k} \rightarrow Q_{k}, P_{k}$ при условии (44.4) получаются уравнения (41.12). В нашем случае, в силу (44.6), эти уравнения принимают вид: Но, согласно (41.10), имеем: или с учетом (44.6): Отсюда следует: Таким образом, уравнения (44.7) переходят в Для величин $\alpha_{k}$ эти уравнения не дают ничего нового; они лишь подтверждают, что $\alpha_{k}$ суть постоянные интегрирования. Также и уравнение для $\beta_{1}$ не содержит ничего нового; именно — из $\dot{\beta}_{1}=1$ следует $\beta_{1}=t$ (с точностью до несущественной аддитивной постоянной), как мы уже отмечали в связи с равенством (41.3a). Напротив, уравнения (41.10) для $\beta_{k}$ при $k>1$ содержат доказательство теоремы Якоби; именно — из этих уравнений видно, что величины $\beta_{k}$ так же, как и $\alpha_{k}$, являются постоянными интегрирования. Приведенное доказательство можно без существенных изменений распространить и на случай б), если несколько обобщить определение касательного преобразования. Однако для дальнейшего это обобщение нам не понадобится.
|
1 |
Оглавление
|