В настоящем параграфе, собственно говоря, речь будет идти лишь о частном случае принципа Гаусса. Однако причина, по которой Герц смог назвать свой принцип если и не новым, то во всяком случае общим, заключается в том, что ему удалось, как мы уже указывали на стр. 15 , заменить силы связями между рассматриваемой системой и другими, находящимися с ней во взаимодействии системами. Таким образом, Герц мог ограничиваться рассмотрением свободных систем. Далее, для того, чтобы прийти к геометрическому толкованию, которое он имел в виду, Герц должен был рассматривать все массы как кратные некоторой, скажем, атомарной единичной массе. Поэтому множитель $m_{k}$ в гауссовом выражении (38.1) становится равным единице, тогда как $X_{k}$ становится равным нулю. При этом выражение (38.1) переходит в
\[
Z=\sum_{k=1}^{N} \ddot{x}_{k}^{2} .
\]

Здесь верхний предел $N$ над знаком суммы означает, что число единичных масс, по которым (согласно предусмотренным связям и нумерации масс) нужно суммировать, возросло в степени, не поддающейся более точному определению.
Произведем в формуле (39.1) еще одно изменение, заменив
\[
\ddot{x}_{k} \quad \text { на } \quad \frac{d^{2} x_{k}}{d s^{2}}, \quad \text { где } \quad d s^{2}=\sum_{k=1}^{N} d x_{k}^{2} .
\]

Это допустимо потому, что закон сохранения энергии, который является следствием уравнений Лагранжа первого рода, а следовательно, и принципа Гаусса, в рассматриваемом частном случае гласит:
\[
\frac{1}{2} \sum\left(\frac{d x_{k}}{d t}\right)^{2}=W
\]

или
\[
\left(\frac{d s}{d t}\right)^{2}=\text { const. }
\]

Разделив равенство (39.1) на квадрат этой постоянной, получим из $Z$ величину
\[
K=\sum_{k=1}^{N}\left(\frac{d^{2} x_{k}}{d s^{2}}\right)^{2} .
\]
сываемой системой, и постулирует:
\[
\delta K=0 .
\]
«Всякая система пребывает в состоянии покоя или равномерного движения по прямейшему пути».

Этот способ выражения (ср. стр. 309 ранее цитированной книги Герца) весьма напоминает формулировку первой аксиомы Ньютона.

Математическое преобразование требования (39.4) повторяет гауссово (ср. выше) и на основании условий варьирования, установленных на стр. 280 в пп. а) и б), приводит, очевидно, к уравнениям Лагранжа первого рода (при $m_{k}=1$ ) для свободного движения.

Однако возникает вопрос: чем оправдан выбор названий «элемент длины» для величины $d s$ и «кривизна» для величины $\sqrt{K}$ ? Очевидно, что эти величины надо рассматривать как многомерные. Мы «находимся» при этом не в трехмерном, а в $N$-мерном евклидовом пространстве координат $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}$. В этом пространстве, как известно, элемент длины действительно определяется выражением (39.2). Выражение (39.3) для квадрата кривизны траектории в общем случае мы оправдываем, исходя из двух- и трехмерного случаев, следующим образом.

Согласно формуле (5.10), в пространстве координат $x_{1}, x_{2}$ имеет место
\[
K=\frac{1}{\rho^{2}}=\left(\frac{\Delta \varepsilon}{\Delta s}\right)^{2} .
\]

Согласно рис. 4б, $\Delta \varepsilon$ есть угол между двумя соседними касательными к траектории, точки касания которых находятся на расстоянии $\Delta s$ друг от друга. Эти касательные имеют направляющие косинусы, соответственно,
\[
\frac{d x_{1}}{d s}, \quad \frac{d x_{2}}{d s} \quad \text { и } \quad \frac{d x_{1}}{d s}+\frac{d^{2} x_{1}}{d s^{2}} \Delta s, \quad \frac{d x_{2}}{d s}+\frac{d^{2} x_{2}}{d s^{2}} \Delta s .
\]

Однако эти направляющие косинусы являются в то же время ординатами обеих точек пересечения единичной окружности с ее радиусами, проведенными параллельно обеим касательным; дуговая мера угла $\Delta \varepsilon$ является расстоянием между двумя названными точками пересечения. Таким образом, согласно (39.6), имеем:
\[
\Delta \varepsilon=\left[\left(\frac{d^{2} x_{1}}{d s^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{d^{2} x_{2}}{d s^{2}}\right)^{2}\right] \Delta s^{2}
\]

и, согласно формуле (39.5),
\[
K=\left(\frac{d^{2} x_{1}}{d s^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{d^{2} x_{2}}{d s^{2}}\right)^{2} .
\]

В пространстве трех координат $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ величина $\Delta \varepsilon$ снова определяется как угол между соседними касательными к трехмерной траектории. Вместо единичной окружности мы имеем здесь единичную сферу, через центр которой нужно провести параллели к обеим касательным. Расстояние между точками их пересечения с единичной сферой дает дуговую меру угла $\Delta \varepsilon$; следовательно,
\[
\Delta \varepsilon^{2}=\left[\left(\frac{d^{2} x_{1}}{d s^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{d^{2} x_{2}}{d s^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{d^{2} x_{3}}{d s^{2}}\right)^{2}\right] \Delta s^{2} .
\]

Отсюда, согласно формуле (39.5), получается трехчленное выражение для $K$.

Обобщение для пространства $N$ измерений и для $N$-членной формулы (39.3) очевидно.

На этом мы заканчиваем наше изложение механики Герца. Как мы уже отмечали на стр. 15, механика Герца построена в высшей степени увлекательно и последовательно, но, в силу сложности замены сил связями, оказалась мало плодотворной.