IV.1. Моменты инерии плоского распределения масс. Для каждого распределения масс в плоскости момент инерции относительно «полярной» оси (перпендикулярной к плоскости) равен сумме моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных «экваториальных» осей (расположенных в плоскости диска). Рассмотреть также частный случай кругового диска.
IV.2. Вращение волчка вокруг своих главных осей. В случае несимметричного волчка (см. рис. $46 \mathrm{a}$, б) вращение вокруг главных осей, соответствующих наибольшему или наименьшему моментам инерции, является устойчивым, а вращение вокруг оси, соответствующей среднему главному моменту, – неустойчивым. Для аналитического доказательства этого предложения нужно исходить из уравнений Эйлера и принять угловую скорость вращения вокруг оси, равной $p=$ const $=p_{0}$. Угловые скорости вращения $q$ и $r$ вокруг остальных двух главных осей инерции, которые вначале равны нулю, под влиянием внешнего возмущения принимают отличные от нуля значения. Если предположить, что возмущение мало, то из первого уравнения Эйлера следует, что $p$ в первом приближении остается неизменным и равным $p+0$. Из остальных двух уравнений получаем для $q$ и $r$ систему двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Полагая $q=a e^{\lambda t}$ и $r=b e^{\lambda t}$, где $a$ и $b$ произвольные константы, получаем квадратное уравнение для $\lambda$, из рассмотрения которого и вытекает высказанное нами выше утверждение.
IV.3. Удары «высокие» и «низкие», «с накатом» $и$ «с оттяжкой» в бильярдной игре. Горизонтальным кием ударяют бильярдный шар в его меридиональной плоскости, т. е. без «эффе». На какой высоте $h$ над центром шара следует сообщить удар, чтобы имело место чистое качение (без скольжения)? Развить теорию «высоких» инизких» ударов с учетом трения скольжения между шаром и сукном стола. Насколько возрастает скорость центра тяжести шара в течение периода трения при высоком ударе и насколько она уменьшается при низком ударе? По истечении какого времени имеет место лишь чистое качение? С помощью этих же методов можно объяснить и соотношения при ударах «с накатом» и «с оттяжкой».
IV.4. Параболическое движение бильярдного шара. Как нужно ударить шар для того, чтобы направление поступательного движения его центра тяжести не было перпендикулярным оси вращения? Показать, что направление силы трения остается неизменным, пока шар скользит. Какова траектория центра шара? Через какое время наступает чистое качение?