Мы выведем эти законы для системы дискретных материальных точек, которую можно перемещать и вращать в пространстве, как целое. Законы эти могут быть, однако, путем предельного перехода распространены на свободно движущееся твердое тело или на произвольную механическую систему, подвижность которой не ограничена внешними связями.

Мы подразделим действующие силы на силы внешние и внутренние ${ }^{1}$. Внешнюю силу, приложенную к точке $k$, мы будем обозначать через $\mathbf{F}_{k}$, внутренние силы – через $\mathbf{F}_{i k}$, чтобы указать на то, что они являются силами взаимодействия двух точек системы и поэтому удов-
${ }^{1}$ Подразделение сил на «внешние и внутренние» ничего не говорит о происхождении сил и поэтому ни в коем случае не совпадает с приведенным на стр. 75 подразделением сил на «сторонние силы физического происхождения и силы реакции». Например, внутренние силы планетной системы являются сторонними силами физического происхождения, именно, силами тяготения; с другой стороны, внешняя сила, приводящая в движение поезд, является, как мы убедимся (см. стр. 115), силой реакции, именно силой трения сцепления вращающихся колес. Подразделение сил на внешние и внутренние производится только в зависимости от того, удовлетворяется или не удовлетворяется в пределах данной системы закон равенства действия и противодействия.

летворяют в пределах системы закону равенства действия и противодействия:
\[
\mathbf{F}_{i k}=-\mathbf{F}_{k i} .
\]

В планетной системе существуют только внутренние силы.
A. Применяем принцип Даламбера в форме (10.5). Силу $\mathbf{F}_{k}$ в этом уравнении мы заменяем через $\mathbf{F}_{k}+\sum_{i} \mathbf{F}_{i k}$, силу же $\mathbf{F}^{*}$, согласно ее определению, заменяем через – $\dot{\mathbf{G}}_{k}$ и полагаем все $\delta \mathbf{s}_{k}$ равными друг другу. Таким образом, мы сообщаем всем материальным точкам системы одно и то же виртуальное перемещение. Согласно (13.1), все внутренние силы $\mathbf{F}_{i k}$ взаимно уничтожаются при суммировании по $i$ и $k$, так что мы получаем:
\[
\left(\delta \mathrm{s} \sum_{k} \mathbf{F}_{k}-\sum_{k} \dot{\mathbf{G}}_{k}\right)=0 .
\]

Суммирование по $k$ мы обозначим черточкой сверху; из равенства (13.2), ввиду произвольности $\delta \mathbf{s}$, получим:
\[
\dot{\overline{\mathbf{G}}}=\overline{\mathbf{F}},
\]
$\overline{\mathbf{G}}$ есть полный импульс системы, равный векторной сумме импульсов всех материальных точек системы.

Введем понятие «скорости центра тяжести» V с помощью соотношения
\[
M \mathbf{V}=\overline{m \mathbf{v}}=\overline{\mathbf{G}}, \quad M=\bar{m} .
\]

Тогда уравнение (13.3) можно записать в виде:
\[
M \dot{\mathbf{V}}=\overline{\mathbf{F}} .
\]

Выберем в качестве начала отсчета радиусов-векторов $\mathbf{r}_{k}$ всех точек системы произвольную, но неподвижную точку $O$ и назовем «центром тяжести» системы такую точку, радиус-вектор $\mathbf{R}$ которой определяется соотношением
\[
M \mathbf{R}=\overline{m r} .
\]

Уравнения $(13.3 \mathrm{a}$, б) гласят: центр тяжести свободно движущейся механической системы движется так же, как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложена равнодействующая $\mathbf{F}$ всех внешних сил.

Б. Сообщим системе виртуальный поворот $\delta \varphi$ вокруг произвольной оси, проходящей через точку $O$. В этом случае перемещения $\delta \mathbf{s}_{k}$ различных точек $m_{k}$ системы будут различными, а именно:
\[
\delta \mathbf{s}_{k}=\left[\delta \varphi \mathbf{r}_{k}\right] .
\]

Для доказательства рассмотрим рис. 15 , на которой виртуальный поворот $\delta \varphi$ изображен двояко: 1) в виде вектора, направленного по оси вращения, и 2) в виде круговой стрелки вокруг этой оси, образующей с ней правовинтовую систему. В силу определения векторного произведения абсолютная величина $\delta \mathrm{s}_{k}$ равна:
\[
\delta s_{k}=\delta \varphi\left|r_{k}\right| \sin \alpha=\delta \varphi \rho_{k},
\]

как это и должно иметь место в рассматриваемом случае. Направление вектора $\delta \mathbf{s}_{k}$ также правильно определяется выражением (13.4). Этот вектор направлен за плоскость чертежа перпендикулярно к ней, что соответствует направлению изображенной на рис. 15 круговой стрелки.
Рис. 15. Виртуальное смещение $\delta s$, связанное с виртуальным смещением $\delta \varphi$
Рис. 16. Моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга
Внеся выражение (13.4) в уравнение (10.5) и преобразовав $\mathbf{F}^{*}$ и $\mathbf{F}$ так же, как в п. А, получаем:
\[
\sum_{k}\left(\mathbf{F}_{k}+\sum_{i} \mathbf{F}_{i k}-\dot{\mathbf{G}}_{k}\left[\delta \varphi \mathbf{r}_{k}\right]\right)=0 .
\]

Используем теперь правило элементарной векторной алгебры
\[
(\mathbf{A}[\mathbf{B C}])=(\mathbf{B}[\mathbf{C A}])=(\mathbf{C}[\mathbf{A B}]),
\]

которое гласит, что объем параллелепипеда, построенного на какихлибо трех векторах $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$, остается неизменным при циклической перестановке обозначений трех его ребер.
На этом основании можно вместо уравнения (13.5) написать:
\[
\left(\delta \varphi, \sum_{k}\left[\mathbf{r}_{k} \mathbf{F}_{k}\right]+\sum_{i} \sum_{k}\left[\mathbf{r}_{k} \mathbf{F}_{i k}\right]-\sum_{k}\left[\mathbf{r}_{k} \dot{\mathbf{G}}_{k}\right]\right)=0 .
\]

Таким образом, вектор $\delta \varphi$ выделен в виде отдельного сомножителя. Вектор, на который умножается $\delta \varphi$ в уравнении (13.7), должен, ввиду произвольности $\delta \varphi$, обращаться в нуль. Для упрощения записи введем следующие обозначения:
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{M}_{k}=\left[\mathbf{r}_{k} \mathbf{F}_{k}\right], \quad \text { как в }(5.12), \\
\mathbf{M}=\sum \mathbf{M}_{k}, \\
\mathbf{N}_{k}=\left[\mathbf{r}_{k} \mathbf{G}_{k}\right], \quad\left[\mathbf{r}_{k} \dot{\mathbf{G}}_{k}\right]=\frac{d}{d t}\left[\mathbf{r}_{k} \mathbf{G}_{k}\right]=\dot{\mathbf{N}}_{k},
\end{array}
\]

как в (5.14),
\[
\overline{\mathbf{N}}=\sum \mathbf{N}_{k}, \quad \dot{\overline{\mathbf{N}}}=\sum \dot{\mathbf{N}}_{k} .
\]

Таким образом, $\overline{\mathbf{M}}$ означает векторную сумму моментов всех внешних сил относительно общей для всех них точки отсчета $O$, а $\overline{\mathbf{N}}-$ векторную сумму моментов импульсов всех материальных точек системы относительно той же точки отсчета $O$, или, короче, полный вращательный импульс (момент импульса) системы.

Далее, из рассмотрения рис. 16 убеждаемся, что все члены двойной суммы, входящей в уравнение (13.7), попарно взаимно уничтожаются, т. e.
\[
\left[\mathbf{r}_{k} \mathbf{F}_{i k}\right]+\left[\mathrm{r}_{i} \mathbf{F}_{k i}\right]=0 .
\]

Это соотношение является следствием того, что внутренние силы по определению удовлетворяют принципу равенства действия и противодействия [уравнение (13.1)].

Из соотношения (13.8) следует, что двойная сумма в уравнении (13.7) обращается в нуль. Поэтому, используя обозначения (13.7a), (13.7б) и (13.7в), мы из уравнения (13.7) непосредственно получаем:
\[
\dot{\overline{\mathbf{N}}}=\overline{\mathbf{M}} \text {. }
\]

Это уравнение вполне аналогично уравнению (13.3). Оно гласит: производная по времени полного момента импульса системы равна сумме внешних сил, подобно тому, как по уравнению (13.3) производная по времени полного импульса системы равна равнодействующей внешних сил.

Фундаментальное уравнение (13.9) принято называть исторически сложившимся термином – «закон площадей». Мы предпочитаем называть его «законом момента импульса (или вращательного импульса)» и, в соответствии с этим, называть уравнение (13.3) «законом импульca».

Термин «закон площадей» возник в связи с задачей Кеплера. Но в то время, как в случае одной планеты секториальная скорость пропорциональна моменту импульса и вектор момента импульса направлен по нормали к площади, описываемой радиусом-вектором, в случае проблемы многих тел (многих планет) это уже не имеет места. В этом случае имеет место соотношение
\[
\overline{\mathbf{N}}=\sum 2 m_{k} \frac{d \mathbf{S}_{k}}{d t},
\]

в которое не только входят сомножителями отличающиеся друг от друга массы различных планет, но в котором секториальные скорости отдельных планет складываются векторно. Получающаяся таким способом секториальная скорость замкнутой планетной системы определяет, как известно, неизменяемую плоскость (плоскость, перпендикулярную к $\overline{\mathbf{N}}$. Она неизменяема в силу того, что в замкнутой планетной системе нет внешних сил; поэтому $\overline{\mathbf{M}}=0$ и, согласно уравнению (13.9),
\[
\overline{\mathbf{N}}=\text { const. }
\]

Вообще при $\overline{\mathbf{M}}=0$ из закона (13.9) получается в качестве частного его случая закон сохранения момента импульа.

Представление о площадях, описываемых радиусами-векторами, становится еще менее наглядным в случае системы, состоящей из бесконечного числа материальных точек, например, в случае твердого тела.

Равным образом, неудачен термин «центр тяжести», так как здесь речь идет не о «тяготеющих», а об «инертных» массах. Более подходящим был бы термин «центр инерции».

Чтобы некоторым образом пойти навстречу широко распространенной привычке к прямоугольным координатам, которым отдавалось предпочтение в старых учебниках, мы приводим доказательства законов импульса и момента импульса методом координат.
Исходными являются уравнения:
\[
\left.\begin{array}{c}
m_{k} \ddot{x}_{k}=X_{k}+\sum_{i} X_{i k}, \\
m_{k} \ddot{y}_{k}=Y_{k}+\sum_{i} Y_{i k}, \\
. . . . . . . . .
\end{array}\right\}
\]

Произведя суммирование по $k$ первой группы этих уравнений и имея ввиду, что $X_{i k}=-X_{k i}$, получим «закон движения центра тяжести» для $x$-компоненты
\[
\frac{d^{2}}{d t^{2}} \sum_{k} m_{k} x_{k}=\sum_{k} X_{k} .
\]

Умножая уравнения второй группы на $x_{k}$, а уравнения первой группы на $-y_{k}$, получим:
\[
\sum_{k} m_{k}\left(x_{k} \ddot{y}_{k}-y_{k} \ddot{x}_{k}\right)=\sum_{k}\left(x_{k} Y_{k}-y_{k} X_{k}\right)+\ldots
\]

Не выписанные здесь члены мы группируем в пары с индексами $i k$ и $k i$ и записываем их так, чтобы явно выразить направление внутренних сил $k \rightarrow i$ и $i \rightarrow k$. Получаем:
\[
\begin{array}{c}
x_{k} Y_{k i}-y_{k} X_{k i}+x_{i} Y_{i k}-y_{i} X_{i k}= \\
=\frac{\left|\mathbf{F}_{i k}\right|}{r_{i k}}\left[x_{k}\left(y_{i}-y_{k}\right)-y_{k}\left(x_{i}-x_{k}\right)+x_{i}\left(y_{k}-y_{i}\right)-y_{i}\left(x_{k}-x_{i}\right)\right] .
\end{array}
\]

Но это выражение, как показывает рис. 16 , равно нулю. Поэтому правая часть уравнения (13.13), если учесть соотношение (5.17a), сводится к
\[
\sum_{k} \mathbf{M}_{k z}=\overline{\mathbf{M}}_{z} .
\]

Левая же часть уравнения (13.13) на основании соотношения (5.14б) равна
\[
\frac{d}{d t} \sum_{k} m_{k}\left(x_{k} \dot{y}_{k}-y_{k} \dot{x}_{k}\right)=\sum_{k} \dot{N}_{k z}=\dot{\bar{N}}_{z} .
\]

Таким образом, уравнение (13.13) совпадает с «законом площадей» (13.9) для $z$-компоненты.

Между законом движения центра тяжести и законом площадей существует глубокое различие. Мы разберем его на частном случае системы, на которую не действуют внешние силы.

В этом случае, согласно уравнению (13.3а), скорость центра тяжести остается постоянной, ибо полная масса $M$, входящая в это уравнение в качестве сомножителя, также постоянна (хотя бы внутри системы и происходили относительные перемещения). Таким образом, если центр тяжести вначале находился в состоянии покоя, то он и будет пребывать в нем. Внутренние силы никогда не могут привести в движение центр тяжести, даже в шарнирном механизме или в теле животного (коса Мюнхгаузена!). Для того, чтобы привести в движение свой центр тяжести, необходимо от чего-либо оттолкнуться, т.е. необходима внешняя сила.

Так как при отсутствии внешних сил, очевидно, и $\overline{\mathbf{M}}=0$, то из (13.9) следует
\[
\overline{\mathbf{N}}=\text { const. }
\]

Если момент импульса вначале был равен нулю, то он и останется равным нулю, даже если внутри системы и возможны относительные перемещения. Из этого, однако, еще не следует, что ориентация системы должна оставаться неизменной. Напротив, она может претерпевать произвольные изменения под воздействием одних только внутренних сил, без какого-либо отталкивания от внешнего тела.

Примером может служить кошка, которая при падении всегда становится на лапы. Это достигается посредством соответствующего поворота передних конечностей и противоположно направленного поворота задних конечностей. В «Comptes Rendus» Парижской академии за 1894 г. (стр. 714) помещены моментальные снимки, наглядно демонстрирующие это.

Сущность этого процесса можно легко проследить на примере вращающейся скамьи (скамьи Жуковского), представляющей собой горизонтальную площадку, которая может вращаться с возможно малым трением вокруг вертикальной оси. Человек, производящий опыт, стоит на площадке и находится вначале в покое:
\[
\mathbf{N}_{0}=0 .
\]

Он поднимает правую руку, протягивает ее вперед и затем отводит назад. «Описанная при этом площадь» должна быть скомпенсирована поворотом в обратную сторону остальных частей тела и площадки, или, выражаясь точнее, момент импульса $\mathbf{N}_{1}$ руки, производящей движение, вызывает появление момента импульса $\mathbf{N}_{2}$ туловища и площадки, так что
\[
\mathbf{N}_{2}=-\mathbf{N}_{1} .
\]

Затем человек опускает руку, что не вызывает изменения $\mathbf{N}$. Этим вновь восстанавливается исходное положение, и процесс можно начинать снова. При каждом его повторении происходит тот же самый поворот в обратную сторону $\mathbf{N}_{2}$. После $n$ повторений человек, производящий опыт, замечает, что он повернулся лицом в направлении, прямо противоположном первоначальному. Таким образом, ориентация тела (в противоположность его центру тяжести) отнюдь не определяется исходным состоянием покоя.

Этот опыт можно еще более «усилить», если дать в руки лицу, производящему опыт, тяжелый груз. Этим, так сказать, увеличивается «описанная площадь», и поэтому заметно увеличивается поворот в обратную сторону.

Еще два опыта. 1) Человек, производящий опыт, стоит с опущенными руками на вращающейся скамье и получает момент импульса $\mathbf{N}_{0}$; затем он поднимает руки (в руках могут быть грузы), разводя их в стороны. При этом вращение внезапно замедляется. 2) Человек с разведенными в стороны руками приводится во вращательное движение; затем он опускает руки и при этом большей частью падает со скамьи, потому что скорость вращения (особенно, если в руках у человека были грузы) внезапно значительно увеличивается.

В обоих случаях начальный и конечный вращательные импульсы равны между собой:
\[
\mathbf{N}_{0}=\mathbf{N}_{1}
\]

и поэтому, согласно уравнению (11.6),
\[
\Theta_{0} \omega_{0}=\Theta_{1} \omega_{1} .
\]

Но в первом случае
\[
\Theta_{0} \ll \Theta_{1} \quad \text { и, следовательно, } \omega_{1} \ll \omega_{0},
\]

тогда как во втором случае
\[
\Theta_{0} \gg \Theta_{1} \quad \text { и, следовательно, } \omega_{1} \gg \omega_{0} .
\]

Изменяемость момента инерции тела при одновременном сохранении момента импульса используется также при всех гимнастических упражнениях, особенно на турнике. Рассмотрим, например, «стойку передним махом» на турнике. Вначале при раскачивании тело гимнаста вытянуто, его момент инерции велик, скорость вращения вокруг турника невелика. При качании вперед непосредственно перед «стойкой передним махом» гимнаст подтягивает ноги, уменьшая тем самым свой момент инерции относительно турника, вследствие чего скорость вращения его становится большей. Центр тяжести гимнаста перебрасывается через перекладину турника, и гимнаст приходит наверху в положение вертикальной стойки. При этом следует обратить внимание на то, что реакции, вызванные руками, хватающими турник, не оказывают заметного влияния на момент импульса гимнаста, так как, вследствие малого диаметра перекладины турника, плечо этих реакций исчезающе мало.

Аналогично обстоит дело и с другими гимнастическими снарядами («конь», «козел» и т. д.). Вообще, гимнастика, катание на коньках, ходьба на лыжах являются прекрасной иллюстрацией к курсам прикладной и теоретической механики.

В заключение рассмотрим пример большого масштаба – уравновешивание масс в судовых поршневых машинах по методу Шлика.

Примерно в конце прошлого столетия, при переходе к современным быстроходным пароходам, судостроение переживало кризис. Скорость вращения вала судового двигателя по техническим причинам составляла около 100 об/мин. С такой же частотой изменяются и инерционные воздействия поршневых машин, которые должны восприниматься корпусом корабля. По мере увеличения длины корабля уменьшалась «собственная частота» его колебаний, которая, таким образом, оказалась в опасной близости к частоте инерционных воздействий. Здесь мы употребим уже термин «резонанс», на выяснении смысла которого мы подробно остановимся в следующей главе. Этот термин заимствован из акустики, где резонансные явления проявляются наиболее непосредственно и где они раньше всего были изучены.

На быстроходных судах, в целях экономии места, цилиндры паровых машин устанавливаются в вертикальном положении. Поэтому силы инерции действуют также в вертикальном направлении. Рассмотрим, например, случай, когда четыре поршня (рис. 17) работают на один и тот же коленчатый вал, расположенный вдоль корабля (по оси $z$ ). Мы увидим, что при меньшем числе поршней уравновешивание масс невозможно, даже в первом приближении, которым мы здесь ограничимся. При выборе осей координат, указанном на рис. 17 , силы инерции направлены по оси $x$; они дают моменты только относительно оси $y$. Инерционные воздействия уравновешиваются реакциями корпуса корабля, который при этом приходит в ритмическое колебание.

Рис. 17. Уравновешивание масс в вертикальной «четырехцилиндровой поршневой машине (по Шлику). Справа внизу: взаимное расположение четырех кривошипов (вид сбоку)

Это хорошо видно на моделях. Идеализированной схемой корпуса корабля здесь служит продолговатый брус, подвешенный на спиральных пружинах, позволяющих ему колебаться и играющих роль подъемной силы воды. Если привести в движение укрепленные на брусе модели машин, то брус несколько прогибается. Если, далее, увеличивать число оборотов вала этих машин, то колебания бруса увеличиваются по мере приближения частоты оборотов к частоте главного собственного колебания бруса (рис. 18). Большие амплитуды колебаний оказали бы вредное влияние на безопасность корабля (а также на состояние пассажиров). Инерционные воздействия машин – враги корпуса корабля. Нужно взаимно скомпенсировать эти воздействия, чтобы разгрузить от них корпус корабля. В этом заключается идея уравновешивания масс.

Для уравновешивания сил инериии, направленных только по оси $x$, необходимо, если мы сразу же перейдем от ускорений к самим координатам $x$, чтобы
\[
\sum M_{k} x_{k}=0 .
\]

В $M_{k}$ нужно в первом приближении вклю-
Рис. 18. Собственное колебание свободной балки как модель основного колебания судна чить, помимо масс поршней и поршневого штока, также и массы шатуна и частей кривошипа.

По меньшей мере столь же важным является и уравновешивание моментов сил инерции, причем здесь, как это уже указывалось и что можно видеть из рис. 17 , играют роль только моменты относительно оси $y$. И в этом случае мы также сразу перейдем от ускорений к координатам, что возможно в силу постоянства плеч, на которые действуют силы инерции (расстояния $a_{k}$ на рис. 17). Таким образом, мы требуем, чтобы
\[
\sum M_{k} a_{k} x_{k}=0 .
\]

Выразим теперь пути поршней $x_{k}$ через углы поворота кривошипов $\varphi_{k}$. Согласно рис. 9 и уравнению (9.6), в первом приближении имеет место соотношение
\[
x_{k}+r_{k} \cos \varphi_{k}=\text { const. }
\]
«Первое приближение» ${ }^{1}$ при этом означает предельный случай бесконечно длинного шатуна, т.е. $\frac{r}{l} \rightarrow 0$. Мы не будем здесь останавливаться на рассмотрении второго приближения, при котором, как и в уравнениях (9.5) и (9.6), учитывается первая степень малой величины $\frac{r}{l}$. Ввиду того, что все кривошипы работают на один и тот же коленчатый вал, все углы $\varphi_{k}$ равны между собой с точностью до постоянного во времени углового сдвига $\alpha_{k}$ :
\[
\varphi_{k}=\varphi_{1}+\alpha_{k}\left(\alpha_{1}=0, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} \text { произвольны }\right) .
\]
${ }^{1}$ Это первое приближение определяет уравновешивание масс первого порядка. Так как мы им только и ограничимся, то мы не станем рассматривать второго приближения.

Переменная во времени часть выражения (13.15) и (13.16), которая только и играет роль при рассмотрении колебаний, дает на основании соотношений (13.17) и (13.18)
\[
\begin{array}{l}
\sum M_{k} r_{k} \cos \left(\varphi_{1}+\alpha_{k}\right)=0, \\
\sum M_{k} r_{k} a_{k} \cos \left(\varphi_{1}+\alpha_{k}\right)=0 .
\end{array}
\]

Каждый из множителей при $\cos \varphi_{1}$ и $\sin \varphi_{1}$ в отдельности должен обращаться в нуль. Таким образом, получаем следующие четыре уравнения, связывающие между собой параметры $\alpha_{k}$ и $a_{k}$
\[
\left.\begin{array}{l}
\sum M_{k} r_{k} \cos \alpha_{k}=0, \quad \sum M_{k} r_{k} \sin \alpha_{k}=0, \\
\sum M_{k} r_{k} a_{k} \cos \alpha_{k}=0, \quad \sum M_{k} r_{k} a_{k} \sin \alpha_{k}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Величины $M_{k}$ и $r_{k}$ устанавливаются из конструктивных соображений. Таким образом, можно распоряжаться тремя угловыми сдвигами $\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ и двумя отношениями отрезков $a_{2}: a_{3}: a_{4}$ [абсолютные величины отрезков $a$ не входят в уравнение (13.20)], т. е. в общем пятью параметрами. Следовательно, при выполнении условий (13.20) остается еще известная свобода выбора, что позволяет избежать технически непригодных решений. Таким образом, мы показали, что уравновешивание масс выполнимо в первом приближении в случае четырехцилиндровых машин, но невозможно, как мы и утверждали, при меньшем числе цилиндров (ввиду недостатка необходимого числа свободных параметров). Внешний признак уравновешивания масс по методу Шлика заключается в том, что расстояния между поршнями четырехцилиндровой машины отнюдь не одинаковы и что их кривошипы расположены не под одинаковыми углами друг к другу; последнее обстоятельство иллюстрируется схемой справа внизу на рис. 17 .

Этот метод уравновешивания масс оправдался на быстроходных судах линии Гамбург-Америка и позволил предотвратить опасность резонанса. Впрочем, уравновешивание масс практически имело лишь преходящее значение для судостроения, так как вскоре повсюду перешли от поршневых машин к турбинам, в которых нет масс, совершающих возвратно-поступательное движение. Но в автомобильных и авиационных моторах, а также и в дизель-моторах подводных лодок уравновешивание масс еще и поныне играет важную роль.

О числе выполнимых в общем виде интеграций уравнений движения замкнутой системы
Механическая система называется замкнутой, если она не подвержена воздействию внешних сил и в ней действуют только внутренние силы $^{1}$. Закон движения центра тяжести и закон площадей становятся в этом случае законами сохранения импульса и момента импульса. Первый из этих законов содержит $2 \cdot 3$, второй 3 постоянных интегрирования. Далее, имеет место закон сохранения энергии, содержащий одну постоянную. Таким образом, всего имеется
\[
2 \cdot 3+3+1=10
\]

интегралов уравнения движения.
Это относится к трехмерному случаю. В случае двух измерений, например, в астрономической задаче двух тел, имеется только один момент импульса (направленный перпендикулярно к общей плоскости траектории обоих тел) и $2 \cdot 2$ постоянных, содержащихся в законе движения центра тяжести (это движение происходит в плоскости траектории); таким образом, вместе с одной постоянной из закона сохранения энергии имеется
\[
2 \cdot 2+1+1=6
\]

интегралов движения.
В случае одного измерения число интегралов сводится, очевидно, к
\[
2 \cdot 1+0+1=3 \text {. }
\]

Общая формула для $n$ измерений имеет вид:
\[
n+1+\frac{1}{2} n(n+1) .
\]

Лучше всего уяснить себе эту формулу релятивистски, положив $n=3$ и присоединив время в качестве четвертой координаты. В этом случае надо образовать четырехмерный вектор импульса $\mathfrak{G}$, который получается из уравнения (2.19) путем суммирования по всем точкам системы. Основные уравнения релятивистской механики гласят, что этот четырехмерный вектор остается постоянным, причем его

${ }^{1}$ При достаточном расширении системы, а именно, если в систему включить источники внешних сил, всякая система, конечно, станет замкнутой.

временная слагающая (с точностью до множителя $-i c$ и до аддитивной постоянной) совпадает с кинетической энергией. Получающиеся таким образом четыре интеграла (закон сохранения импульса и энергии) учтена в формуле (13.24) членом $(n+1)$. Второй член этой формулы соответствует попарным комбинациям осей при образовании моментов. Однако в то время, как комбинации двух пространственных осей дают, очевидно, законы площадей в обычном смысла слова, комбинация оси времени с одной из пространственных осей дает вторые интегралы движения центра тяжести, выражающие прямолинейность движения этого центра. Действительно, если мы, как на стр. 96 , будем обозначать черточкой сверху суммирование по всем материальным точкам, то из формулы (2.19), заменив в ней $\sqrt{1-\beta^{2}}$ единицей, получим
\[
x_{k} \mathfrak{G}_{4}-x_{4} \mathfrak{G}_{k}=i c\left(\overline{m_{k} x_{k}}-\overline{t m_{k} \dot{x}_{k}}\right), \quad k=1,2,3 .
\]

Согласно закону сохранения моментов, эта величина постоянна. Если мы положим ее равной $i c \mathbf{A}_{k}$, то, пользуясь обозначениями (13.За, б), получим следующее равенство (в трехмерной векторной записи):
\[
\mathbf{R}-t \mathbf{V}=\mathbf{A} .
\]

Поскольку $\mathbf{A}$ и $\mathbf{V}$ постоянны, это равенство означает, что центр тяжести действительно движется прямолинейно и равномерно. Нам представляется, что такое рассмотрение, особенно выигрывающее в ясности благодаря использованию четырехмерной симметрии пространства времени, достаточно хорошо разъясняет общую формулу (13.24).

Однако мы дополним подсчеты числа интегралов движения (13.21) и (13.22) еще одним замечанием, важным для астрономии. Для полного интегрирования знаменитой задачи трех тел, т. е. для нахождения выражений для $3 \cdot 3$ координат и $3 \cdot 3$ компонент скоростей потребовалось бы
\[
2 \cdot 3 \cdot 3=18
\]

первых интегралов движения, каждый из которых [ср., например, уравнение (13.25)] дает по одному (связанному с одной постоянной интегрирования) соотношению между координатами и компонентами скоростей. Из сравнения подсчета (13.26) с подсчетом (13.21) видно, что для полного интегрирования здесь не хватает 8 интегралов. В продолжение столетий величайшие математики от Лагранжа до Пуанкаре доказывали, что эти недостающие интегралы не могут быть получены в алгебраической форме; окончательное доказательство этого дал Г. Брунс.

Соответствующий подсчет для задачи двух тел (плоской по самому своему существу) показывает, что для полного интегрирования в этом случае необходимо знание не $2 \cdot 3 \cdot 3=18$, а лишь
\[
2 \cdot 2 \cdot 2=8
\]

интегралов движения, т.е. нам нужно знать лишь на два интеграла больше, чем имеется в нашем распоряжении, согласно подсчету (13.22), для случая плоского движения. Однако эти два интеграла движения действительно могут быть найдены, как это видно из перехода от уравнений (6.4) к уравнениям (6.5). Поэтому проблема двух тел является разрешимой, а проблема трех тел, вообще говоря, неразрешимой математической задачей (т.е. задачей, разрешимой путем последовательных приближений). Только при весьма специальных допущениях относительно рода движения мы сможем дать в §32 решение этой задачи в законченной форме.