Мы выберем примеры, которые мы уже рассматривали с помощью элементарных методов, чтобы на них показать превосходство формального метода Лагранжа.
1. Циклоидальный маятник
В качестве обобщенной координаты здесь удобно взять угол поворота $\varphi$ колеса, образующего циклоиду (см. рис. 26). Согласно формулам (17.2), прямоугольные координаты выражаются через этот угол следующим образом:
\[
\begin{array}{ll}
x=a(\varphi-\sin \varphi), & \dot{x}=a(1-\cos \varphi) \dot{\varphi} \\
y=a(1+\cos \varphi), & \dot{y}=-a \sin \varphi \dot{\varphi} .
\end{array}
\]

Отсюда мы определяем:
\[
\left.\begin{array}{rl}
T & =\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)=m a^{2}(1-\cos \varphi) \dot{\varphi}^{2}, \\
V & =m g y=m g a(1+\cos \varphi), \\
L & =m a^{2}(1-\cos \varphi) \dot{\varphi}^{2}-m g a(1+\cos \varphi) .
\end{array}\right\}
\]

Ничего более относительно геометрии и механики рассматриваемой системы нам знать не нужно. Все остальное «выполнит за нас» формальный метод Лагранжа. Пользуясь им, мы получаем:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}=2 m a^{2}(1-\cos \varphi) \dot{\varphi}, \quad \frac{\partial L}{\partial \varphi}=m a^{2} \sin \varphi \dot{\varphi}^{2}+m g a \sin \varphi, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}=2 m a^{2}(1-\cos \varphi) \ddot{\varphi}+2 m a^{2} \sin \varphi \dot{\varphi}^{2} .
\end{array}
\]

Таким образом, дифференциальное уравнение движения маятника запишется в виде
\[
(1-\cos \varphi) \ddot{\varphi}+\frac{1}{2} \sin \varphi \dot{\varphi}^{2}=\frac{g}{2 a} \sin \varphi
\]

или, после введения половинного угла и сокращения на $2 \sin \frac{\varphi}{2}$,
\[
\sin \frac{\varphi}{2} \ddot{\varphi}+\frac{1}{2} \cos \frac{\varphi}{2} \dot{\varphi}^{2}=\frac{g}{2 a} \cos \frac{\varphi}{2} .
\]

Легко убедиться, что левая часть этого уравнения тождественно равна
\[
-2 \frac{d^{2}}{d t^{2}} \cos \frac{\varphi}{2} .
\]

Следовательно, наше дифференциальное уравнение совпадает с прежним дифференциальным уравнением (17.6), с помощью которого был доказан точный изохронизм циклоидального маятника.
2. Сферический маятник
Координатами $q_{k}$ материальной точки здесь являются углы $\vartheta$ и $\varphi$, т. е. полярный угол и географическая широта на сфере радиуса $l$. Квадрат элемента длины запишется в виде
\[
d s^{2}=l^{2}\left(d \vartheta^{2}+\sin ^{2} \vartheta d \varphi^{2}\right) .
\]

Поэтому кинетическая энергия равна
\[
T=\frac{m}{2} l^{2}\left(\dot{\vartheta}^{2}+\sin ^{2} \vartheta \dot{\varphi}^{2}\right) .
\]

Выражая потенциальную энергию, как в формуле (18.5а) в виде $V=m g l \cos \vartheta$, получим:
\[
L=\frac{m}{2} l^{2}\left(\dot{\vartheta}^{2}+\sin ^{2} \vartheta \dot{\varphi}^{2}\right)-m g l \cos \vartheta .
\]

Теперь вступают в силу «автоматические» операции по схеме формального метода Лагранжа: после отделения постоянных множителей дифференциальные уравнения, относящиеся к $\vartheta$ и $\varphi$, принимают следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{c}
\ddot{\vartheta}-\sin \vartheta \cos \vartheta \dot{\varphi}^{2}-\frac{g}{l} \sin \vartheta=0, \\
\frac{d}{d t}\left(l^{2} \sin ^{2} \vartheta \dot{\varphi}\right)=0 .
\end{array}\right\}
\]

Второе из этих уравнений представляет собой закон площадей, в полном согласии с уравнением (18.8). При этом мы замечаем, что здесь удалось обойтись без преобразования координат, которое предшествовало уравнению (18.8). Вводя константу площадей $C$ из уравнения (18.8), перепишем первое уравнение (35.4) в форме
\[
\ddot{\vartheta}=\frac{C^{2}}{l^{4}} \frac{\cos \vartheta}{\sin ^{3} \vartheta}+\frac{g}{l} \sin \vartheta .
\]

Второй член правой части соответствует моменту силы тяжести $M=m g l \sin \vartheta$, который представляет собой соответствующую углу $q=\vartheta$ обобщенную силу $Q$ в смысле определения (34.7). Первый член представляет фиктивную силу Лагранжа в смысле формулы (34.17); эта сила обусловлена тем, что градусы долготы, соответствующие данной координате $\vartheta$, расположены на сфере не «параллельно», а расходятся по мере удаления от полюса.

Весьма поучительно также проделать на этом примере предусмотренное в (34.11) обобщение уравнений Лагранжа, вводя в рассмотрение, наряду с $\vartheta, \varphi$, излишнюю координату $r$. Хотя эта координата уже определена условием $r=l$, но она интересует нас потому, что дает возможность с помощью множителя $\lambda$ определить давление материальной точки на поверхность сферы, или, что то же самое, натяжение нити маятника. Для того чтобы получить соответствующее дифференциальное уравнение, нам нужно лишь вместо формулы (35.3) написать:
\[
L=\frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\vartheta}^{2}+r^{2} \sin ^{2} \vartheta \dot{\varphi}^{2}\right)-m g r \cos \vartheta
\]

и, в дополнение к двум уравнениям (35.4), получить еще третье уравнение Лагранжа:
\[
\frac{d}{d t} m \dot{r}-m r \dot{\vartheta}^{2}-m r \sin ^{2} \vartheta \dot{\varphi}^{2}+m g \cos \vartheta=\lambda r .
\]

При этом величину $F_{k \mu}$, входящую в уравнения (34.11), мы положим равной $r$, переписав условие $r=l$ [для приведения в соответствие с условием (18.1)] в форме
\[
F=\frac{1}{2}\left(r^{2}-l^{2}\right)=0 .
\]

Но из уравнения (35.6) при $r=l$ и $\dot{r}=\ddot{r}=0$ следует:
\[
\lambda l=m g \cos \vartheta-m l\left(\dot{\vartheta}^{2}+\sin ^{2} \vartheta \dot{\varphi}^{2}\right) .
\]

Эта формула совпадает с формулой (18.6), если в последней произвести преобразование от прямоугольных координат к сферическим $(\vartheta, \varphi)$. Мы видим, что и это преобразование координат становится излишним благодаря применению формального метода Лагранжа.
3. Двойной маятник
В качестве обобщенных координат $q_{k}$ здесь удобно выбрать углы $\varphi$ и $\psi$, обозначенные на рис. 38 . Пользуясь обозначениями $\S 21$, запишем:
\[
\left.\begin{array}{ll}
X=L \sin \varphi, & x=L \sin \varphi+l \sin \psi \\
Y=L \cos \varphi, & y=L \cos \varphi+l \cos \psi
\end{array}\right\}
\]

Отсюда получим:
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{M}{2}\left(\dot{X}^{2}+\dot{Y}^{2}\right)+\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)= \\
& =\frac{M+m}{2} L^{2} \dot{\varphi}^{2}+\frac{m}{2} l^{2} \dot{\psi}^{2}+m L l \cos (\varphi-\psi) \dot{\varphi} \dot{\psi}, \\
V & =-M g Y-m g y=-(M+m) g L \cos \varphi-m g l \cos \psi .
\end{aligned}
\]

Последнее выражение имеет отрицательный знак, так как (ср. рис. 38) положительное направление $Y$ и $y$ совпадает с направлением силы тяжести. Функцию Лагранжа, равную $T-V$, мы обозначим здесь через $\Lambda$, так как через $L$ мы уже обозначили длину маятника. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \Lambda}{\partial \dot{\varphi}}=(M+m) L^{2} \dot{\varphi}+m L l \cos (\varphi-\psi) \dot{\psi}, \\
\frac{\partial \Lambda}{\partial \dot{\psi}}=m l^{2} \dot{\psi}+m L l \cos (\varphi-\psi) \dot{\varphi}, \\
\frac{\partial \Lambda}{\partial \varphi}=-(M+m) g L \sin \varphi-m L l \sin (\varphi-\psi) \dot{\varphi} \dot{\psi}, \\
\frac{\partial \Lambda}{\partial \psi}=-m g l \sin \psi+m L l \sin (\varphi-\psi) \dot{\varphi} \dot{\psi} .
\end{array}
\]

При написании вытекающих отсюда уравнений Лагранжа мы сразу перейдем к малым углам $\varphi, \psi$. Ввиду того, что $\dot{\varphi}, \dot{\psi}$ являются величинами того же порядка малости, что $\varphi$ и $\psi$, квадратами их можно пренебречь. Тогда искомые уравнения Лагранжа принимают следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\ddot{\varphi}+\frac{g}{L} \varphi & =-\frac{m}{M+m} \frac{l}{L} \ddot{\psi}, \\
\ddot{\psi}+\frac{g}{l} \psi & =-\frac{L}{l} \ddot{\varphi} .
\end{array}\right\}
\]

Эти уравнения оказываются идентичными с уравнениями (21.3), если проделать обратное преобразование от угловых координат $\varphi, \psi$ к координатам $X, x$ по формулам (35.8), упрощенным для случая малых $\varphi, \psi$ :
\[
\varphi=\frac{X}{L}, \quad \psi=\frac{x-X}{l} .
\]

Это непосредственно очевидно для вторых уравнений (35.9) и (21.3); то же самое получается для первых уравнений (35.9) и (21.3), если в их правую часть подставить значение $\ddot{\psi}$ из второго уравнения (35.9). Поэтому все рассуждения относительно процесса колебания, относящиеся к уравнениям (21.3), полностью сохраняют силу и для наших новых уравнений (35.9) и их можно здесь не повторять.

Следует еще подчеркнуть, что в нашем чисто формальном рассмотрении вообще не шла речь относительно натяжения нити маятника $l$;

как уже указывалось в примечании к стр. 151, это натяжение неявно учтено в самом методе уравнений Лагранжа как внутренняя реакция системы.
4. Тяжелый симметричный волчок
Классическими координатами $q_{k}$ для этой задачи являются эйлеровы углы $\vartheta, \varphi$ и $\psi[\vartheta$ и $\psi$ мы уже вводили в выражениях (25.4) и (26.5a)].

Мы определяем их вместе с соответствующими угловыми скоростями следующим образом (рис. 52).
1) $\vartheta$ – угол между вертикалью и осью фигуры; $\dot{\vartheta}$ – угловая скорость вращения вокруг линии узлов, перпендикулярной к обеим этим осям.
2) $\psi$ – угол, образованный линией узлов с некоторой неподвижной прямой в горизонтальной плоскости, например, с осью $x ; \dot{\psi}-$ угловая скорость вращения вокруг вертикали.
3) $\varphi$ – угол, образованный линией узлов с некоторой неподвижной прямой в экваториальной плоскости волчка, например, с осью $X ; \dot{\varphi}$ – угловая скорость вращения вокруг оси фигуры волчка.

Величины $\dot{\vartheta}, \dot{\varphi}, \dot{\psi}$ являются «голономными», но косоугольными компонентами вектора угловой скорости вращения $\boldsymbol{\omega}$ в противоположность величинам $p, q, r$, которые были прямоугольными, но неголономными слагающими вектора $\boldsymbol{\omega}$. Нижеследующая таблица дает величины направляющих косинусов между обеими тройками компонент $p, q, r$ и $\dot{\vartheta}, \dot{\varphi}, \dot{\psi}$; одновременно она фиксирует выбор положительных направлений вращения $\dot{\vartheta}, \dot{\varphi}, \dot{\psi}$ (в соответствии с прави-

Рис. 52. Определение эйлеровых углов $\vartheta, \varphi, \psi$ и направлений их отсчета. Обозначения осей соответствуют координатным системам, введенным на стр. $185(z-$ вертикальная линия, $Z$ – ось фигуры, $x$ – неподвижная горизонтальная прямая, $X$-прямая, закрепленная в экваториальной плоскости вращающегося тела)

лом правого винта):

В силу сказанного в пп. 1 и 3 , первые два столбца таблицы не требуют пояснений. Нетрудно уяснить себе и смысл третьего столбца, если сообразить, что проекция вертикального вектора длины $\dot{\psi}$ на экваториальную плоскость равна $\dot{\psi} \sin \vartheta$ и что при последующем проектировании на координатные оси в самой экваториальной плоскости она дает как раз приведенные в таблице слагающие при $p$ и $q$.
Итак, три горизонтальных строки нашей таблицы дают:
\[
\left.\begin{array}{rl}
p & =\cos \varphi \dot{\vartheta}+\sin \vartheta \sin \varphi \dot{\psi}, \\
q & =-\sin \varphi \dot{\vartheta}+\sin \vartheta \cos \varphi \dot{\psi} \\
r & =\dot{\varphi}+\cos \vartheta \dot{\psi} .
\end{array}\right\}
\]

Отсюда
\[
p^{2}+q^{2}=\dot{\vartheta}^{2}+\sin ^{2} \vartheta \dot{\psi}^{2} .
\]

Из выражения (26.17), полагая $B=A$, получаем:
\[
T=\frac{A}{2}\left(\dot{\vartheta}^{2}+\sin ^{2} \vartheta \dot{\psi}^{2}\right)+\frac{C}{2}(\dot{\varphi}+\cos \vartheta \dot{\psi})^{2} .
\]

На основании формулы (25.6a) для потенциальной энергии $V$ в поле тяжести имеем:
\[
\begin{aligned}
L & =T-V= \\
& =\frac{A}{2}\left(\dot{\vartheta}^{2}+\sin ^{2} \vartheta \dot{\psi}^{2}\right)+\frac{C}{2}(\dot{\varphi}+\cos \vartheta \dot{\psi})^{2}-P \cos \vartheta, \quad P=m g s .
\end{aligned}
\]

Таким образом, функция Лагранжа $L$ не зависит от координат $\varphi$ и $\psi$, а зависит только от соответствующих им скоростей. В таких случаях

$\varphi$ и $\psi$ называют циклическими координатами. Этот термин заимствован из задачи о вращающемся колесе, динамическое поведение которого, очевидно, совершенно не зависит от его мгновенного положения, а определяется лишь его окружной скоростью. Итак,
\[
\frac{\partial L}{\partial \varphi}=\frac{\partial L}{\partial \psi}=0 .
\]

Согласно уравнениям Лагранжа, обращаются в нуль и производные по времени от величин
\[
\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} \quad \text { и } \quad \frac{\partial L}{\partial \dot{\psi}} .
\]

В конце предыдущего параграфа мы назвали эти величины обобщенными импульами, соответствующими обобщенным коордиатам $\varphi$ и Впредь мы будем обозначать их буквой $p$. Итак, в общем виде мы пишем:
\[
p_{k}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} .
\]

Таким образом, для случая циклических координат $q_{k}$ мы можем высказать следующее утверждение: циклические обобщенные импульсы суть постоянные интегрирования. В нашем случае смысл этих постоянных нам уже известен из формул (25.6). Имеем:
\[
p_{\varphi}=N, \quad p_{\psi}=n .
\]

Однако раньше (стр. 188) мы не смогли выразить эти постоянные через углы Эйлера. Теперь же воспользуемся общим соотношением (35.14), из которого найдем:
\[
\left.\begin{array}{l}
p_{\varphi}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}=C(\dot{\varphi}+\cos \vartheta \dot{\psi}), \\
p_{\psi}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\psi}}=A \sin ^{2} \vartheta \dot{\psi}+C \cos \vartheta(\dot{\varphi}+\cos \vartheta \dot{\psi}) .
\end{array}\right\}
\]

Сравнивая выражения (35.15) и (35.16), получаем:
\[
\left.\begin{array}{c}
\dot{\varphi}+\cos \vartheta \dot{\psi}=\frac{N}{C}, \\
A \sin ^{2} \vartheta \dot{\psi}=n-N \cos \vartheta .
\end{array}\right\}
\]

Этим и исчерпывается содержание двух уравнений Лагранжа. Третье уравнение Лагранжа, определяющее закон изменения величины
\[
p_{\vartheta}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\vartheta}}=A \dot{\vartheta}
\]

имеет следующий вид [если с помощью соотношения (35.17) исключить $\dot{\varphi}$ и $\dot{\psi}]$ :
\[
A \ddot{\vartheta}=\frac{(n-N \cos \vartheta)(n \cos \vartheta-N)}{A \sin ^{3} \vartheta}+P \sin \vartheta .
\]

Правая часть этого уравнения, получающаяся из $\frac{\partial L}{\partial \vartheta}$, содержит не только уже знакомый нам член, учитывающий действие силы тяжести [ср. формулу (25.4)], но также и «фиктивную силу», обусловленную, как мы знаем (см. стр. 256), природой выбранной системы координат.

Уравнение (35.19) имеет вид обобщенного уравнения маятника. Но нам не нужно заниматься его интегрированием, так как мы располагаем интегралом энергии
\[
T+V=W,
\]

который должен совпадать с результатом первого интегрирования уравнения (35.19). Исключая с помощью уравнений (35.17) величины $\dot{\varphi}$ и $\dot{\psi}$, входящие в выражение (35.12), находим из формулы (35.20):
\[
\frac{A}{2}\left\{\dot{\vartheta}^{2}+\left(\frac{n-N \cos \vartheta}{A \sin \vartheta}\right)^{2}\right\}+\frac{N^{2}}{2 C}+P \cos \vartheta=W .
\]

Так как мы имеем здесь три постоянных интегрирования $n, N$ и $W$, то выражение (35.21) является общим интегралом первого порядка задачи о волчке. Наконец, заменяем $\vartheta$ и $\dot{\vartheta}$, как мы уже делали в $\S 18$ для случая сферического маятника, по формулам
\[
\cos \vartheta=u, \quad \sin \vartheta \dot{\vartheta}=-\dot{u} .
\]

Тогда получим просто
\[
\begin{array}{c}
\left(\frac{d u}{d t}\right)^{2}=U(u) \\
U=\left(\frac{2 W}{A}-\frac{N^{2}}{A C}-\frac{2 P}{A} u\right)\left(1-u^{2}\right)-\left(\frac{n-N u}{A}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Так как $U(u)$ является многочленом третьей степени относительно $u$, то время $t$ выражается, как и в случае сферического маятника, эллиптическим интегралом первого рода:
\[
t=\int^{u} \frac{d u}{\sqrt{U}},
\]

а азимут $\psi$, согласно второму уравнению (35.17), выражается эллиптическим интегралом третьего рода (ср. стр. 133):
\[
\psi=\int^{u} \frac{n-N u}{A\left(1-u^{2}\right)} \frac{d u}{\sqrt{U}} .
\]

Теперь мы можем повторить рассуждения, относящиеся к рис. 29 (стр. 132), и таким образом придем к изображению, представленному на рис. 53 ; след оси фигуры волчка на сфере единичного радиуса параллелями $u=u_{2}$ и $u=u_{1}$, которых он касается. Как видно из рис. 53 , это касание может происходить либо без перемены направления движения следа, либо в виде петли (которая в частном случае может выродиться в острие). За время каждого такого качания или «цикла» ось фигуры волчка продвигается по азимуту на один и тот же угол $\Delta \psi$, который вычисляется по формуле (18.15).

В частности, для того, чтобы волчок совершал регулярную прецессию вокруг вертикали, необходимо,чтобы параллели $u_{1}$ и $u_{2}$ совпадали друг с другом; следовательно, в этом случае кривая $U(u)$ на рис. 29 (стр. 132) должна касаться снизу оси абсцисс. Вследствие этого регулярная прецессия является для тяжелого волчка (в противоположность свободному волчку) лишь частным случаем его движения.

Если оба корня $u_{1}$ и $u_{2}$, совпадают не в точности, а лишь приближенно, то все еще имеет место кажущееся равномерное перемещение оси фигуры вокруг
Рис. 53. След оси фигуры тяжелого симметричного волчка на сфере единичного радиуса на сфере единичного радиуса вертикали, на которое, однако, как показывает более детальное рассмотрение, накладываются малые нутации. В этом случае мы говорим о псевдорегулярной прецессии. Последняя является типичным явлением, сопровождающим обычные гироскопические опыты, в которых мы сообщаем маховичку с помощью шнура возможно более сильное вращение вокруг оси фигуры, а потом без заметного бокового толчка помещаем нижний конец его оси в подпятник (опору).

Мы объясняем это следующим образом. В рассматриваемом опыте вектор начального момента импульса $\mathbf{N}$ проходит вблизи оси фигуры; согласно построению Пуансо, то же самое относится и к начальному положению оси вращения. Таким образом, ось фигуры вначале описывает малый контур на сфере единичного радиуса (ср. рис. 43); касательные к этому контуру параллели $u=u_{1}$ и $u=u_{2}$ расположены близко друг к другу и остаются в таком положении в течение всего процесса движения (как показывает справедливое в общем случае изображение на рис. 53). Момент импульса, а значит и угловая скорость вращения, вначале весьма велики; они остаются таковыми и во время последующего движения (если не учитывать потери на трение). Таким образом, нутации происходят в очень быстром темпе и вообще почти не заметны. Волчок кажущимся образом не поддается влиянию силы тяжести, а постоянно отклоняется в перпендикулярном к ней направлении. Это парадоксальное поведение волчка с давних пор приковывало внимание любителей и исследователей к теории волчка.