III.1. Сферический маятник в случае бесконечно малых отклонений. В то время как у сферического маятника вершины траектории, вообще говоря, продвигаются вперед, они должны быть неподвижными при достаточ-
${ }^{1}$ По своей идее эта игрушка не отличается от хорошо известного маятника Максвелла. (Прим. ред.)

но малых отклонениях, в соответствии с тем обстоятельством, что здесь мы имеем дело с гармоническим движением по эллипсу. Оценить, в каком порядке исчезает продвижение вершины траектории $\Delta \varphi$ с уменьшением площади эллипса.
III.2. Положение резонансного максимума при вынужденном затухающем колебании. При вынужденном затухающем колебании максимум амплитуды колебания лежит не при $\omega=\omega_{0}$, как в случае незатухающего колебания, а при несколько меньшем значении $\omega$, зависящем от величины затухания (ср. рис. 33). Вывести указанную на рис. 33 максимальную величину $|C|$. Показать, с другой стороны, что максимум амплитуды скорости $|C| \omega$ (и, соответственно, среднего по времени значения кинетической энергии) находится в точности при $\omega=\omega_{0}$.
III.3. Процесс включения гальванометра. Гальванометр соединен через выключатель с источником постоянного тока постоянной электродвижущей силы $E$. В момент $t=0$ производится включение; через достаточное время устанавливается отклонение гальванометра $\alpha_{\infty}$. Как происходит переход от начального положения покоя $\alpha=0, \dot{\alpha}=0$ к конечному положению $\alpha=\alpha_{\infty}$ ?

Здесь нужно учесть, что на гальванометр с моментом инерции $\Theta$, кроме внешнего вращающего момента, пропорционального силе электрического тока (а, тем самым, и величине э.д.с.), оказывает тормозящее действие: 1) момент затухания, пропорциональный угловой скорости, и 2) момент упругих сил в подвесе, пропорциональный отклонению $\alpha$. Величина $\rho$ характеризует коэффициент пропорциональности в выражении момента затухания, а $\omega_{0}^{2}-$ соответствующий коэффициент в выражении момента упругих сил.
При этом нужно различать и графически представить случаи:
a) слабого затухания ( $\rho<\omega_{0}$ ),
б) апериодический предельный случай ( $\rho=\omega_{0}$ ),
в) сильного затухания ( $\rho>\omega_{0}$ ).
III.4. Маятник, точка подвеса которого движется заданным образом.
a) Материальная точка висит на нерастяжимой нити и совершает незатухающие колебания под действием силы тяжести. Точка подвеса движется прямолинейно в горизонтальном направлении по некоторому произвольному закону [перемещение $\xi=f(t)$ ].

Каковы будут уравнения движения системы (нить невесома)? Искомые уравнения выводятся из принципа Даламбера или из уравнений Лагранжа первого рода.

Уравнения движения значительно упрощаются, если перейти к случаю малых колебаний, а, следовательно, сохранить только члены первого порядка.

Если, кроме того, принять, что перемещение точки подвеса изменяется во времени по гармоническому закону, то уравнения движения могут быть просто проинтегрированы. Показать, что при установившемся движении (т.е. после того, как благодаря обычно непринимаемому во внимание затуханию, способствующему переходу к установившемуся движению, прекратились собственные колебания маятника) точка подвеса и масса $m$ в «дорезонансной» области частот движутся в одинаковом направлении, а в «зарезонансной» области – в противоположных направлениях.
б) Соответственно рассмотреть случай вертикального, в частности, равномерно ускоренного перемещения $\eta$ точки подвеса. Каков будет в этом случае период колебания, если точка подвеса перемещается с ускорением $\pm g$ ?
III.5. Легко выполнимая модель симпатических маятников (рис. 56). Между двумя неподвижными опорами $A, B$ (угловое железо) натянута невесомая упругая гибкая проволока. Натяжение $S$ проволоки вызывается грузом $G$, прикрепленным к свисающему концу проволоки. Величину груза можно менять. В точках $C$ и $D$, разделяющих отрезок $A B$ на три примерно равные части, бифилярно подвешены два маятника, так что они могут колебаться почти строго трансверсально в плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа. (На рисунке бифилярные подвесы, каждый в отдельности, схематично представлены длинами маятников.) Увеличивая $G$, можно сделать связь между обоими маятниками более слабой (а не более сильной!). В дальнейшем мы будем считать связь слабой, т.е. силу $S$ большой по сравнению с весами маятников. Углы отклонения маятников от вертикали $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ предполагаем малыми, так что (в отношении обозначений ср. рис. $56 ; 3^{\prime}$ и $4^{\prime}$ означают положения, противоположные положениям 3 и 4 точек подвеса $C$ и $D$ ):
\[
\begin{array}{l}
\sin \varphi_{1}=\varphi_{1}=\frac{x_{1}-x_{2}}{l_{1}}, \quad \cos \varphi_{1}=1 ; \\
\sin \varphi_{2}=\varphi_{2}=\frac{x_{2}-x_{4}}{l_{2}}, \quad \cos \varphi_{2}=1 ;
\end{array}
\]

Пренебрегая слагающей малых колебаний по оси $y$, имеем для $m_{1}$ и, соответственно, для $m_{2}$ :
\[
\begin{aligned}
m_{1} g & =S_{1} \cos \varphi_{1}=S_{1}, \quad m_{2} g=S_{2} \cos \varphi_{2}=S_{2}, \\
m_{1} \ddot{x}_{1} & =-S_{1} \sin \varphi_{1}=\frac{m_{1} g}{l_{1}}\left(x_{3}-x_{1}\right), \\
m_{2} \ddot{x}_{2} & =-S_{2} \sin \varphi_{2}=\frac{m_{2} g}{l_{2}}\left(x_{4}-x_{2}\right),
\end{aligned}
\]

В точках $C$ и $D$ натяжения $S_{1}$ и, соответственно, $S_{2}$ должны находиться в равновесии с натяжением $S$, которое, со своей стороны, изменяется силами $S_{1}$ и $S_{2}$ лишь на пренебрежимо малые величины. Это дает еще два

Рис. 56. Проволока $A C D B$ натянута с помощью груза $G$. Под действием веса маятников и их сил инерции проволока деформируется в ломаную $A 34 B$ или при отклонении маятников в другую сторону – в ломаную $A 3^{\prime} 4^{\prime} B$. Маятники 1 и 2 (длины $l_{1}$ и $l_{2}$ ) подвешены бифилярно и поэтому качаются перпендикулярно к плоскости чертежа (бифилярные подвесы на рисунке не изображены); $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ – углы между маятниками и вертикальной линией

условия, связывающие $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$. Выразив из этих условий $x_{3}$ и $x_{4}$ и подставив в уравнения (2), получим совместные дифференциальные уравнения симпатических маятников. Убедиться в том, что эти уравнения совпадают с уравнениями (20.10).
III.6. Успокоитель колебаний. С системой (масса $M$, постоянная упругой силы $K$ ), могущей колебаться в направлении оси $x$, связана пружиной (постоянная которой равна $k$ ) масса $m$ таким образом, что и она может колебаться в направлении оси $x$. При воздействии внешней силы $P_{x}=c \cos \omega t$ на массу $M$ последняя не должна двигаться. Каким условиям должна при этом удовлетворять система $(m, k)$ ?
III.7. Баллистический маятник.
a) Баллистический маятник служит для измерения скорости полета снаряда. В своей ранней конструкции (Робинс, 1742) этот маятник состоял из ящика, наполненного мягким материалом (деревянными опилками или песком; и подвешенного к горизонтальной оси; с одной стороны этот ящик открыт. Снаряд застревает в мягком материале, так что удар можно считать неупругим. Измеряется отклонение маятника $\alpha$; по величине этого отклонения, зная параметры маятника (его массу $M$, момент инерции $\Theta$, расстояние $s$ центра тяжести от оси вращения), массу снаряда $m$ и место попадания снаряда (характеризуемое расстоянием $\alpha$ от оси вращения), можно определить скорость $v$, с которой снаряд попал в маятник. Внести в окончательную формулу для $v$ период колебания $\tau$ мантника или длину $l$ соответствующего математического маятника.

б) На каком расстоянии от оси маятника должно находиться место попадания снаряда для того, чтобы ось маятника не испытала при ударе добавочной нагрузки?