Сперва рассмотрим тело, свободно движущееся в пространстве. Поместим начало отсчета в центр тяжести тела и приведем к нему приложенные к телу силы согласно указанию, сделанному в $\S 23$. Тогда вся система сил, действующих на тело, сведется к равнодействующей силе $\mathbf{F}$ и к результирующему (главному) моменту М. Согласно $\S 13$, уравнения движения твердого тела примут форму «закона движения центра тяжести» и «закона площадей»:
\[
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{G}} & =\mathbf{F}, \\
\dot{\mathbf{N}} & =\mathbf{M} .
\end{aligned}
\]

Так как твердое тело имеет только шесть степеней свободы, то этих двух векторных уравнений достаточно для полного описания состояния его движения.

Если сила $\mathbf{F}$ не зависит от угловой скорости, а момент $\mathbf{M}$ – от скорости поступательного движения, то уравнения (25.1) и (25.2) можно рассматривать независимо друг от друга. В баллистике, например, это не имеет места. В случае же, когда такое раздельное рассмотрение этих двух уравнений допустимо, уравнение (25.1) соответствует просто задаче из механики точки, а уравнение (25.2) – задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки или, короче, задаче о движении волчка.

Мы займемся рассмотрением, главным образом, последней из этих задач. При упомянутом выборе начала отсчета мы можем не принимать во внимание силу тяжести, так как она не дает момента относительно центра тяжести. Если мы пренебрежем также сопротивлением воздуха, трением и т.д., то будем иметь дело с задачей о движении свободного волчка. Эту задачу мы рассмотрим в разделах $1-3$. Волчок в кардановом подвесе также будет свободным волчком, если мы вправе пренебречь массой подвесных колец по сравнению с массой маховичка. В противном случае мы имели бы дело с задачей о движении тела с пятью степенями свободы, тогда как в задачах о движении волчка, которые мы имеем в виду, число степеней свободы равно трем.

Мы рассмотрим, однако, и вращение вокруг неподвижной точки, не совпадающей с центром тяжести. В этом случае следует, как отмечено на стр. 162 , выбрать эту неподвижную точку за начало отсчета $O$ и ввести момент силы тяжести М относительно этой точки. Тогда мы говорим о тяжелом волчке. Этот вид волчка рассматривается в разделах 4 и 5 .

Однако полное аналитическое рассмотрение движения свободного волчка мы отложим до следующего параграфа, где воспользуемся новым вспомогательным средством – уравнениями Эйлера. Полное же рассмотрение законов движения тяжелого волчка, поскольку оно вообще возможно, мы должны отложить даже до $§ 35$, чтобы иметь возможность воспользоваться таким мощным средством, как общие уравнения Лагранжа.
В случае свободного волчка из уравнения (25.2) следует
\[
\dot{\mathbf{N}}=0 \text {. }
\]

Это уравнение немедленно интегрируется и дает:
\[
\mathbf{N}=\text { const. }
\]

Для свободного волчка момент импульса по величине и направлению в пространстве постоянен. Эта теорема вполне соответствует закону инерции Галилея, однако она не приводит к таким простым заключениям относительно скорости и положения в пространстве, как этот закон.
1. Свободный шаровой волчок
Только в частном случае, когда эллипсоид инерции превращается в шар, из уравнения $\mathbf{N}=\Theta \boldsymbol{\omega}$ следует, что при $\mathbf{N}=$ const и $\boldsymbol{\omega}=$ const. Ось вращения неопределенно долго совпадает с неподвижной осью момента импульса. Каждая точка тела, какую бы внешнюю форму оно ни имело (ср., например, рис. 40в), описывает окружность вокруг этой оси (с одинаковой для всего тела угловой скоростью).
2. Свободный симметричный волчок
В случае свободного симметричного волчка чистое вращение имеет место только тогда, когда направление момента импульса $\mathbf{N}$ совпадает с одной из главных осей, т. е. либо с осью фигуры, либо с одной из экваториальных осей. Общей же формой движения симметричного волчка является так называемая регулярная прецессия.
Рис. 43. Регулярная прецессия свободного симметричного волчка
Поясним регулярную прецессию при помощи рис. 43. Неподвижную в пространстве ось момента импульса $\mathbf{N}$ направим вертикально вверх; точку пересечения этой оси с поверхностью сферы единичного радиуса, описанной вокруг центра эллипсоида инерции, обозначим через $N$. Точки пересечения мгновенной оси вращения и оси фигуры с этой сферой обозначим через $R$ и $F$. Так как, согласно построению Пуансо, эти три оси должны лежать в меридиональной плоскости, проходящей через точку $F$, то наши три точки $N, R$ и $F$ лежат на одном меридиане, проходящем через неподвижную точку $N$; для случая сплюснутого эллипсоида инерции, который здесь подразумевается (рис. 42a), точка $N$ находится между точками $F$ и $R$. Мгновенное движение является вращением вокруг оси $O R$. При этом точка $F$ движется нормально к названному меридиану, причем угловое расстояние между точками $F$ и $N$ не изменяется. Таким образом, мы можем изобразить мгновенное перемещение точки $F$ в виде короткой дуги параллели, описанной вокруг оси $O N$ (см. стрелку слева на рис. 43). Следовательно, и точка $R$ должна изменить свое положение, а именно, переместиться так, чтобы все три точки $F, N$ и $R$ оставались на одном меридиане, определяемом теперь новым положением точки $F$. При этом угловое расстояние между точками $N$ и $R$ сохраняется, поскольку оно задано построением Пуансо. Таким образом, точка $R$ также движется по дуге параллели, описанной вокруг оси $O N$ (см. стрелку справа на рис. 43). Относительное положение точек $F, N$ и $R$ теперь такое же, как и вначале, так что мы можем повторить наши рассуждения. Итак, в пространстве ось фигуры и ось вращения описывают каждая, и притом с постоянной угловой скоростью, круговой конус вокруг неподвижной оси момента импульса (эта угловая скорость постояна о потому что она определяется величиной момента импульса $\mathbf{N}$ и его положением относительно эллипсоида инерции волчка). Этим и установлен характер регулярной прецессии.

То же самое справедливо, конечно, и в случае продолговатого эллипсоида инерции, для которого, однако, точка $R$ находилась бы между точками $F$ и $N$ (рис. 42б).
3. Свободный несимметричный волчок
Рассмотренную только что форму движения симметричного волчка можно было бы описать короче (хотя, быть может, менее наглядно). Для этого через конец вектора $\mathbf{N}$ момента импульса проводим перпендикулярно к нему «неизменяемую плоскость» $\mathscr{E}$ (ср. стр. 99) и строим «эллипсоид кинетической энергии» с центром в начале вектора $\mathbf{N}$, подобный эллипсоиду инерции и касающийся плоскости $E$. Точка касания является концом вектора угловой скорости вращения $\boldsymbol{\omega}$. Мгновенное движение волчка состоит во вращении этого эллипсоида вокруг $\boldsymbol{\omega}$. При этом эллипсоид катится без скольжения по плоскости $\mathscr{E} .^{1}$ Если эллипсоид обладает симметрией вращения, то кривая качения будет окружностью, описанной вокруг вектора $\mathbf{N}$; поэтому конус, описанный вектором $\boldsymbol{\omega}$, равно как и конус, описанный осью фигуры, будет круговым конусом. Таким образом, мы снова пришли к регулярной прецессии симметричного волчка.

Это же построение приводит нас непосредственно к введенному Пуансо представлению свободного движения произвольного волчка в случае трехосного эллипсоида инерции. Подобно этому эллипсоиду,
${ }^{1}$ Качение без скольжения можно определить как такое качение, при котором изменение вектора угловой скорости $\boldsymbol{\omega}$ имеет одинаковое значение в неподвижной системе отсчета и в системе, связанной с телом. Это утверждение будет доказано нами несколько позже [см. уравнение (26.8a)].

«эллипсоид кинетической энергии» мы также заставляем катиться по неизменяемой плоскости $\mathscr{E}$ (ср. примечание на этой странице). Однако теперь кривая качения является уже не окружностью, а трансцендентной кривой, вообще говоря, незамкнутой. Равным образом и конусы, описываемые в пространстве осью вращения и осью фигуры, являются трансцендентными конусами. Аналитическое рассмотрение движения несимметричного волчка, даже в случае отсутствия внешних сил, приводит к эллиптическим интегралам (ср. раздел $3, \S 26$ ), тогда как при рассмотрении движения свободного симметричного волчка можно обойтись элементарными функциями. Конечно, вращение вокруг какой-либо из трех главных осей и в случае несимметричного волчка характеризуется постоянством направления оси вращения и угловой скорости, а потому может быть представлено в элементарных функцинх.
4. Тяжелый симметричный волчок
Здесь мы не будем останавливаться отдельно на шаровом волчке, так как рассмотрение его движения лишь немногим проще, чем в случае симметричного волчка.

у тяжелого симметричного волчка неподвижная точка $O$ (точка опоры о подставку) не совпадает с центром тяжести $S$ (лежащим на оси фигуры); отрезок $O S$ обозначим через $s$. Величина момента силы тяжести равна
\[
|\mathbf{M}|=m g s \sin \vartheta,
\]

где через $\vartheta$ обозначен угол между вертикалью и осью фигуры волчка. Сам вектор момента М направлен по нормали к плоскости, проходящей через вертикальную линию и ось фигуры волчка, или, другими словами, по линии пересечения горизонтальной плоскости с экваториальной плоскостью эллипсоида инерции. Эту линию пересечения обозначают астрономическим термином «линия узлов». (По поводу знаков см. стр. 187-188.)

Теперь уже нельзя столь просто проинтегрировать общее уравнение (25.2), как это было в случае отсутствия внешних сил [ср. уравнение (25.3)]; напротив, момент импульса $\mathbf{N}$ непрерывно изменяется по закону
\[
d \mathbf{N}=\mathbf{M} d t .
\]

Таким образом, к мгновенному вектору момента импульса $N$ векторно прибавляется бесконечно малый вектор $\mathbf{M} d t$. При этом конец вектора $\mathbf{N}$ движется в направлении мгновенной линии узлов, т.е. перпендикулярно к вертикали и к оси фигуры. Отсюда следует, что проекции вектора $\mathbf{N}$ на вертикаль и на ось фигуры остаются постоянными. Обозначим обе эти постоянные через
\[
n=N_{\text {верт. }} . \quad \text { и } \quad N=N_{\text {фиг }} .
\]

Эти две величины $n$ и $N$, которые могут быть заданы произвольно, являются двумя интеграционными постоянными уравнений движения.

Третьей интеграционной постоянной является энергия $W$. Поскольку потенциальная энергия волчка в поле тяжести, в соответствии с уравнением (18.18), равна
\[
V=m g s \cos \vartheta,
\]

имеем:
\[
T+m g s \cos \vartheta=W .
\]

Однако для того, чтобы с помощью последних соотношений получить аналитическое выражение законов движения тяжелого симметричного волчка, необходимо выразить кинетическую энергию $T$ и проекции момента импульса $N_{\text {верт. }}$. и $N_{\text {фиг }}$. через подходящие параметры, характеризующие положение волчка (эйлеровы углы), что будет сделано лишь в $\S 35$. При этом аналитическое представление движения сведется к эллиптическим интегралам.

В частном случае это аналитическое представление описывает регулярную прецессию волчка, которая теперь, однако, не является общей формой движения, как было в случае свободного волчка, а получается только для специально подобранных значений $n, N$ и $W$. Чаще всего наблюдаемая при обычном «возбуждении» тяжелого волчка прецессия является только по видимости регулярной; ее называют псевдорегулярной прецессией. Чистое вращение вокруг вертикально расположенной оси фигуры также является, и притом при любой угловой скорости, возможной (устойчивой или неустойчивой) формой движения.

До сих пор мы рассматривали только уравнение момента импульса (25.2). Нам нужно, однако, коснуться также и уравнения импульса (25.1). В правой части этого уравнения стоит приложенная к неподвижной точке $O$ сила $\mathbf{F}$, являющаяся реакцией подставки; назовем ее опорной силой $\mathbf{F}_{\text {оп. }}$ Изменение импульса, стоящее в левой части уравнения (25.1), согласно уравнению (24.2) и с учетом $u=0$, равно
\[
\dot{\mathbf{G}}=m \frac{d}{d t}[\boldsymbol{\omega} \mathbf{R}]=m \dot{\mathbf{V}},
\]

где $\mathbf{V}$ – скорость движения центра тяжести. Таким образом, уравнение (25.1) принимает вид
\[
\mathbf{F}_{\text {оп. }}=m \dot{\mathbf{V}} .
\]

Это означает, что для соблюдения закона движения центра тяжести волчок должен испытывать со стороны подставки действие опорной силы, равной произведению массы на ускорение его центра тяжести.
5. Тяжелый волчок с трехосным эллипсоидом инерции
Несмотря на усилия многих великих математиков, проинтегрировать в общем виде дифференциальные уравнения этой задачи не удалось. Из двух интегралов импульса, выражаемых соотношениями (25.6), первый остается в силе, так как момент силы тяжести и в этом случае действует относительно горизонтальной оси, вследствие чего конец вектора $\mathbf{N}$ остается в горизонтальной плоскости, неподвижной в пространстве. Однако второе из соотношений (25.6) теряет силу, поскольку оно было связано с симметрией эллипсоида инерции. Интеграл энергии (25.7), разумеется, сохраняет силу и для общего случая эллипсоида инерции.

В разрешимых частных случаях предполагается либо специальное распределение масс, либо специальная форма движения.

Наиболее известным является случай С. Ковалевской. Эллипсоид инерции предполагается здесь симметричным, но центр тяжести лежит не на оси фигуры, а в экваториальной плоскости; кроме того, момент инерции относительно оси фигуры должен равняться половине экваториального момента инерции. В этом случае не требуется специализировать состояние движения.

Случай Штауде касается вопроса: какие оси, будучи расположены вертикально, могут являться перманентными осями вращения? Оказывается, что эти оси лежат в теле на конусе второго порядка, содержащем, кроме трех главных осей, также и центральную ось (проходящую через центр тяжести). Каждой оси соответствует определенная (с точностью до знака) угловая скорость вращения. При этом не требуется специализировать распределение масс и положение центра тяжести.

Наконец, в случае Гесса речь идет о движении, аналогичном простому движению маятника (сферического или, в частном случае, обыкновенного маятника). При этом ценгр тяжести должен лежать на определенной оси в эллипсоиде инерции, а начальное возбуждение волчка должно быть определенным образом специализировано, подобно тому, как это делается в случае симметричного волчка: центр тяжести последнего только тогда совершает маятникообразное движение в чистом виде, когда начальный момент импульса не имеет слагающей по оси фигуры.