Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Представим себе, что твердому телу сообщены импульс поступательного движения (одиночный импульс, возбуждение толчком) и импульс вращательного движения (момент импульса, вращательный импульс). Поступательный импульс обозначим через $\mathbf{G}$, вращательный импульс — через $\mathbf{N}$. Импульс $\mathbf{G}$ вычислим как сумму всех элементарных импульсов $d \mathbf{g}=\mathbf{v} d m$; следовательно, Пользуясь уравнением (22.7), получаем: или, вводя радиус-вектор $\mathbf{R}$, проведенный из точки $O$ в центр тяжести [ср. (22.11a)], В частности, если совместить начало отсчета $O$ с центром тяжести $S$, то $\mathbf{R}=0$ и С другой стороны, момент импульса $\mathbf{N}$ твердого тела равен сумме моментов всех элементарных импульсов относительно общего начала отсчета $O$. Таким образом, Отсюда, принимая во внимание соотношения (22.7) и (22.11a), имеем: Первое слагаемое обращается в нуль как при совпадении точек $O$ и $S$, так и при $\mathbf{u}=0$, так что для этих двух случаев момент импульса равен Для наглядного представления этого интеграла воспользуемся известным соотношением векторной алгебры которое справедливо для любой тройки векторов $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$. В нашем случае и, следовательно, например, Вводя моменты инерции и произведения инерции, в соответствии с их определениями (22.12a), можем написать: Таким образом, мы пришли к линейной зависимости между динамическим вектором $\mathbf{N}$ и кинематическим вектором $\boldsymbol{\omega}$, причем эта линейная зависимость характеризуется тензором $\Theta$ [ср. определение (22.13б)]; поэтому говорят: $\mathbf{N}$ есть «линейная векторная функция» от $\boldsymbol{\omega}$. Такие линейные векторные функции играют важную роль во всех разделах тензорного исчисления, особенно в теории упругости. Уравнениям (24.9) можно придать замечательную форму, если использовать выражение (22.12б) для кинетической энергии вращения. Именно, Мы замечаем далее, что это выражение справедливо не только при совпадении центра тяжести $S$ и начала отсчета $O$ или при $\mathbf{u}=0$, т.е. в случаях, для которых выведены уравнения (24.9), но также и при любом положении точки $O$. В этом случае нужно только дополнить выражение (22.12б) для $T_{\text {вращ. выражением }}(22.11)$ для $T_{w}$, благодаря чему в правой части соотношения (24.10) прибавится член вида Но это тот же самый добавочный член, который входит в правую часть выражения (24.5) для $\mathbf{N}$, если точки $O$ и $S$ не совпадают. Так как полная кинетическая энергия $T$ отличается от $T_{\text {вращ. }}+T_{w}$ только слагаемым $T_{\text {пост. }}$, не зависящим от $\boldsymbol{\omega}$ [ср. формулы (22.9) и (22.10)], то соотношения (24.10) можно обобщить, причем новые обобщенные соотношения будут справедливы для любого положения точки $O$ : То же самое справедливо и для импульса поступательного движения $\mathbf{G}$, как и для вращательного импульса $\mathbf{N}$. Чтобы сразу же рассмотреть общий случай, когда точки $O$ и $S$ не совпадают, образуем с помощью формул $(22.9),(22.10)$ и (22.11) производную что совпадает с уравнением (24.2) для импульса $\mathbf{G}$. Таким образом, получаем соотношение, вполне аналогичное соотношению (24.10a): Наши уравнения (24.10a) и (24.11) являются частными случаями гораздо более общих соотношений, связывающих обобщенные импульсы с обобщенными скоростями. Но это мы можем показать лишь в гл. VI, §36. Теперь нам важно выяснить геометрическое толкование уравнений (24.10). Речь идет здесь о знаменитом построении Пуансо: по заданной оси вращения $\boldsymbol{\omega}$ найти направление вектора момента импульса $\mathbf{N}$. Собственно говоря, это построение не ограничивается случаем твердого тела; его всегда можно применять в том случае, когда имеют дело с симметричным тензором; изображают этот тензор тензорной поверхностью второго порядка и находят линейную векторную функцию, с которой сопоставляется этот тензор. Правило Пуансо гласит: из центра $O$ эллипсоида инерции нужно отложить вектор угловой скорости $\boldsymbol{\omega}$ и в точке его пересечения с эллипсоидом провести касательную плоскость к последнему. Перпендикуляр, опущенный из центра эллипсоида на эту плоскость, и даст направление вектора момента импульса $\mathbf{N}$. Для доказательства правильности этого построения следует только вспомнить, что для любой поверхности $f(\xi, \eta, \zeta)=$ const направляющие косинусы нормали к касательной пропорциональны производным В нашем случае $f(\xi, \eta, \zeta)=$ const есть уравнение (22.15) эллипсоида инерции, и производные функции $f$ по $\xi, \eta$, $\zeta$ действительно пропорциональны слагающим вектора $\mathbf{N}$, определяемым уравнениями (24.9). Можно также сказать: построение Пуансо является непосредственным геометрическим представлением наших уравнений (24.10), так как поверхность эллипсоида инерции по существу тождественна с поверхностью Рис. 42а, б соответствуют случаю симметричного эллипсоида инерции, для которого векторы $\boldsymbol{\omega}$ и $\mathbf{N}$ находится в одной и той же плоскости, проходящей через его ось симметрии («ось фигуры»); касательная плоскость может быть поэтому представлена прямой, касательной к эллипсу осевого сечения. В случае удлиненного эллипсоида вращения (рис. 42б) вектор $\mathbf{N}$ и ось фигуры $F$ лежат по разные стороны от вектора $\boldsymbol{\omega}$, а в случае сплюснутого эллипсоида вращения (рис. 42a) вектор $\mathbf{N}$ лежит между осью $F$ и вектором $\boldsymbol{\omega}$. Графическое изображение для случая трехосного эллипсоида инерции более сложно. В заключение подчеркнем, что соотношения, рассмотренные в этом параграфе, по существу, являются не чем иным, как ньютоновским определением, примененным Рис. 42. Построение Пуансо для нахождения относительного положения мгновенной оси вращения $\boldsymbol{w}$ и момента импульса $\mathbf{N}$ в случае сплюснутого и удлиненного эллипсоида инерции к твердому телу (ср. стр. 12): «количество движения есть мера такого, устанавливаемая пропорционально скорости и количеству материи». Наши теперешние уравнения оказались значительно сложнее соотношения между импульсом и скоростью для одной и той же материальной точки только потому, что в механике точки «количество материи», т.е. масса, есть скаляр, а в случае твердого тела моменты инерции образуют тензор.
|
1 |
Оглавление
|