Представим себе, что твердому телу сообщены импульс поступательного движения (одиночный импульс, возбуждение толчком) и импульс вращательного движения (момент импульса, вращательный импульс). Поступательный импульс обозначим через $\mathbf{G}$, вращательный импульс – через $\mathbf{N}$. Импульс $\mathbf{G}$ вычислим как сумму всех элементарных импульсов $d \mathbf{g}=\mathbf{v} d m$; следовательно,
\[
\mathbf{G}=\int d \mathbf{g}=\int \mathbf{v} d m .
\]

Пользуясь уравнением (22.7), получаем:
\[
\mathbf{G}=\mathbf{u} \int d m+\left[\boldsymbol{\omega} \int \mathbf{r} d m\right]
\]

или, вводя радиус-вектор $\mathbf{R}$, проведенный из точки $O$ в центр тяжести [ср. (22.11a)],
\[
\mathbf{G}=m \mathbf{u}+m[\boldsymbol{\omega} \mathbf{R}] .
\]

В частности, если совместить начало отсчета $O$ с центром тяжести $S$, то $\mathbf{R}=0$ и
\[
\mathbf{G}=m \mathbf{u} .
\]

С другой стороны, момент импульса $\mathbf{N}$ твердого тела равен сумме моментов всех элементарных импульсов относительно общего начала отсчета $O$. Таким образом,
\[
\mathbf{N}=\int[\mathbf{r} d \mathbf{g}]=\int d m[\mathbf{r v}] .
\]

Отсюда, принимая во внимание соотношения (22.7) и (22.11a), имеем:
\[
\mathbf{N}=\int d m[\mathbf{r u}]+\int d m[\mathbf{r}[\boldsymbol{\omega} \mathbf{r}]]=m[\mathbf{R u}]+\int[\mathbf{r}[\boldsymbol{\omega} \mathbf{r}]] d m .
\]

Первое слагаемое обращается в нуль как при совпадении точек $O$ и $S$, так и при $\mathbf{u}=0$, так что для этих двух случаев момент импульса равен
\[
\mathbf{N}=\int d m[\mathbf{r}[\boldsymbol{\omega} \mathbf{r}]]
\]

Для наглядного представления этого интеграла воспользуемся известным соотношением векторной алгебры
\[
[\mathbf{A}[\mathbf{B C}]]=\mathbf{B}(\mathbf{A C})-\mathbf{C}(\mathbf{A B}),
\]

которое справедливо для любой тройки векторов $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$. В нашем случае
\[
[\mathbf{r}[\boldsymbol{\omega} \mathbf{r}]]=\mathbf{r}^{2}-\mathbf{r}(\boldsymbol{\omega} \mathbf{r})
\]

и, следовательно, например,
\[
\left.\begin{array}{c}
N_{x}=\int[\mathbf{r}[\boldsymbol{\omega} \mathbf{r}]]_{x} d m=\omega_{x} \int\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d m- \\
-\omega_{x} \int x^{2} d m-\omega_{y} \int x y d m-\omega_{z} \int x z d m .
\end{array}\right\}
\]

Вводя моменты инерции и произведения инерции, в соответствии с их определениями (22.12a), можем написать:
\[
\left.\begin{array}{l}
N_{x}=\Theta_{x x} \omega_{x}-\Theta_{x y} \omega_{y}-\Theta_{x z} \omega_{z}, \\
N_{y}=-\Theta_{y x} \omega_{x}+\Theta_{y y} \omega_{y}-\Theta_{y z} \omega_{z}, \\
N_{z}=-\Theta_{z x} \omega_{x}-\Theta_{z y} \omega_{y}+\Theta_{z z} \omega_{z}
\end{array}\right\}
\]

Таким образом, мы пришли к линейной зависимости между динамическим вектором $\mathbf{N}$ и кинематическим вектором $\boldsymbol{\omega}$, причем эта линейная зависимость характеризуется тензором $\Theta$ [ср. определение (22.13б)]; поэтому говорят: $\mathbf{N}$ есть «линейная векторная функция» от $\boldsymbol{\omega}$. Такие линейные векторные функции играют важную роль во всех разделах тензорного исчисления, особенно в теории упругости.

Уравнениям (24.9) можно придать замечательную форму, если использовать выражение (22.12б) для кинетической энергии вращения. Именно,
\[
N_{i}=\frac{\partial T_{\text {вращ. }}}{\partial \omega_{i}}, \quad i=x, y, z .
\]

Мы замечаем далее, что это выражение справедливо не только при совпадении центра тяжести $S$ и начала отсчета $O$ или при $\mathbf{u}=0$, т.е. в случаях, для которых выведены уравнения (24.9), но также и при любом положении точки $O$. В этом случае нужно только дополнить выражение (22.12б) для $T_{\text {вращ. выражением }}(22.11)$ для $T_{w}$, благодаря чему в правой части соотношения (24.10) прибавится член вида
\[
\frac{\partial T_{w}}{\partial \omega_{i}}=m[\mathbf{R u}]_{i} .
\]

Но это тот же самый добавочный член, который входит в правую часть выражения (24.5) для $\mathbf{N}$, если точки $O$ и $S$ не совпадают. Так как полная кинетическая энергия $T$ отличается от $T_{\text {вращ. }}+T_{w}$ только слагаемым $T_{\text {пост. }}$, не зависящим от $\boldsymbol{\omega}$ [ср. формулы (22.9) и (22.10)], то соотношения (24.10) можно обобщить, причем новые обобщенные соотношения будут справедливы для любого положения точки $O$ :
\[
N_{i}=\frac{\partial T}{\partial \omega_{i}}, \quad i=x, y, z .
\]

То же самое справедливо и для импульса поступательного движения $\mathbf{G}$, как и для вращательного импульса $\mathbf{N}$. Чтобы сразу же рассмотреть общий случай, когда точки $O$ и $S$ не совпадают, образуем с помощью формул $(22.9),(22.10)$ и (22.11) производную
\[
\frac{\partial T}{\partial u_{i}}=m u_{i}+m[\boldsymbol{\omega} \mathbf{R}]_{i},
\]

что совпадает с уравнением (24.2) для импульса $\mathbf{G}$. Таким образом, получаем соотношение, вполне аналогичное соотношению (24.10a):
\[
G_{i}=\frac{\partial T}{\partial u_{i}}, \quad i=x, y, z .
\]

Наши уравнения (24.10a) и (24.11) являются частными случаями гораздо более общих соотношений, связывающих обобщенные импульсы с обобщенными скоростями. Но это мы можем показать лишь в гл. VI, §36. Теперь нам важно выяснить геометрическое толкование уравнений (24.10). Речь идет здесь о знаменитом построении Пуансо: по заданной оси вращения $\boldsymbol{\omega}$ найти направление вектора момента импульса $\mathbf{N}$. Собственно говоря, это построение не ограничивается случаем твердого тела; его всегда можно применять в том случае, когда имеют дело с симметричным тензором; изображают этот тензор тензорной поверхностью второго порядка и находят линейную векторную функцию, с которой сопоставляется этот тензор.

Правило Пуансо гласит: из центра $O$ эллипсоида инерции нужно отложить вектор угловой скорости $\boldsymbol{\omega}$ и в точке его пересечения с эллипсоидом провести касательную плоскость к последнему. Перпендикуляр, опущенный из центра эллипсоида на эту плоскость, и даст направление вектора момента импульса $\mathbf{N}$. Для доказательства правильности этого построения следует только вспомнить, что для любой поверхности $f(\xi, \eta, \zeta)=$ const направляющие косинусы нормали к касательной пропорциональны производным
\[
\frac{\partial f}{\partial \xi}, \quad \frac{\partial f}{\partial \eta}, \quad \frac{\partial f}{\partial \zeta} .
\]

В нашем случае $f(\xi, \eta, \zeta)=$ const есть уравнение (22.15) эллипсоида инерции, и производные функции $f$ по $\xi, \eta$, $\zeta$ действительно пропорциональны слагающим вектора $\mathbf{N}$, определяемым уравнениями (24.9).

Можно также сказать: построение Пуансо является непосредственным геометрическим представлением наших уравнений (24.10), так как поверхность эллипсоида инерции по существу тождественна с поверхностью
\[
T_{\text {вращ. }}=\text { const. }
\]

Рис. 42а, б соответствуют случаю симметричного эллипсоида инерции, для которого векторы $\boldsymbol{\omega}$ и $\mathbf{N}$ находится в одной и той же плоскости, проходящей через его ось симметрии («ось фигуры»); касательная плоскость может быть поэтому представлена прямой, касательной к эллипсу осевого сечения. В случае удлиненного эллипсоида вращения (рис. 42б) вектор $\mathbf{N}$ и ось фигуры $F$ лежат по разные стороны от вектора $\boldsymbol{\omega}$, а в случае сплюснутого эллипсоида вращения (рис. 42a) вектор $\mathbf{N}$ лежит между осью $F$ и вектором $\boldsymbol{\omega}$. Графическое изображение для случая трехосного эллипсоида инерции более сложно.

В заключение подчеркнем, что соотношения, рассмотренные в этом параграфе, по существу, являются не чем иным, как ньютоновским определением, примененным Рис. 42. Построение Пуансо для нахождения относительного положения мгновенной оси вращения $\boldsymbol{w}$ и момента импульса $\mathbf{N}$ в случае сплюснутого и удлиненного эллипсоида инерции

к твердому телу (ср. стр. 12): «количество движения есть мера такого, устанавливаемая пропорционально скорости и количеству материи». Наши теперешние уравнения оказались значительно сложнее соотношения между импульсом и скоростью для одной и той же материальной точки только потому, что в механике точки «количество материи», т.е. масса, есть скаляр, а в случае твердого тела моменты инерции образуют тензор.