1. Рычаг (Архимед)
Рычаг имеет одну степень свободы $f=1$ и поэтому также одно линейное перемещение $\delta q$, соответствующее виртуальному изменению угла $\delta \varphi$.

Равновесие имеет место тогда и только тогда, когда виртуальная работа при повороте рычага на $\delta \varphi$ равна нулю. Если $\delta s_{P}$ и $\delta s_{Q}$ означают виртуальные перемещения точек приложения сил $A$ и $B$, то это условие гласит:
\[
A \delta s_{P}+B \delta s_{Q}=0 .
\]

Однако, согласно рис. 10a,
\[
\delta s_{P}=a \cdot \delta \varphi, \quad \delta s_{Q}=-b \cdot \delta \varphi .
\]

Следовательно,
\[
(A a-B b) \delta \varphi=0
\]

и поэтому
\[
A a=B b .
\]

Таким образом, моменты сил относительно точки вращения $O$ равны между собою, иначе говоря, алгебраическая сумма моментов равна нулю.
Рис. 10а. Рычаг с плечами $a$ и $b$ при нагрузках $A$ и $B$, действующих перпендикулярно
Рис. 10б. Рычаг при нагрузке, действующей наклонно. Реакция в точке опоры
Если сила $A$ не перпендикулярна к плечу рычага, как это изображено на рис. 10б, то из двух ее слагающих $A_{1}$ (направленной вдоль плеча рычага) и $A_{2}$ (перпендикулярной плечу рычага) слагающая $A_{1}$ не оказывает действия, так что условие равновесия гласит:
\[
A_{2} \cdot a=B \cdot b .
\]

Чтобы определить нагрузку на опору $O$, нужно в случае рис. $10 \mathrm{a}$ приложить в $O$ направленную вертикально вверх силу противодействия, равную $Q=A+B$; нагрузка на опору $O$ равна этой силе $Q$, но противоположна по направлению. В случае рис. 10 имеет место векторное соотношение $\mathbf{Q}=\mathbf{A}+\mathbf{B}$, причем опять-таки нагрузка в точке $O$ противоположна этой силе $\mathbf{Q}$. Впрочем, вопрос о нагрузке на опору, в сущности, выходит за рамки принципа виртуальной работы. В рассматриваемой механической системе (рычаг) точка вращения $O$ неподвижна; поэтому ее виртуальное перемещение и произведенная в этой точке виртуальная работа равны нулю. Чтобы определить $Q$ или, соответственно, $\mathbf{Q}$ с помощью принципа виртуальной работы, нужно было бы рассмотреть совсем другую механическую систему. А именно, следовало бы наделить точку опоры $O$ двумя степенями свободы и определить условие равновесия при возможности, помимо рассматривавшегося до сих пор вращения, также и параллельного смещения всего рычага.
2. Распределение нагрузки: велосипед, мост
При езде на велосипеде земля противодействует нагрузке в двух точках $-H$ (заднее колесо) и $V$ (переднее колесо) (рис. 11а). При этом заднее колесо подвергается большему давлению, так как общий вес $Q$ велосипеда и седока приложен ближе к $H$, чем к $V$. Поэтому велосипедист накачивает заднее колесо сильнее, чем переднее. Нагрузка заднего колеса $A=\frac{b}{a+b} Q$, нагрузка переднего колеса $B=\frac{a}{a+b} Q$.

Такие же соотношения справедливы и для односторонне нагруженного моста (рис. 11б).

3. Полиспаст (известный еще грекам)

Допустим, что число блоков на нижнем и верхнем концах полиспаста равно $n$. Обозначим поднимаемый груз через $Q$, а прилагаемую к концу каната силу через $P$. Пусть при виртуальной работе полиспаста точка приложения силы $P$ проходит путь $\delta p$, точка приложения силы $Q$ проходит путь $\delta q$

при указанном на рис. 12 выборе положительного направления $\delta p$ и $\delta q$.
Равновесие имеет место, если
\[
+P \delta p-Q \delta q=0 .
\]

Когда груз $Q$ поднимается на $\delta q$, то $2 n$ канатов между верхними и нижними блоками сокращаются каждый на $\delta q$, в целом же, следовательно, на $2 n \delta q$. На такую же величину удлиняется свешивающаяся часть каната в месте приложения силы $P$. Таким образом
\[
\delta p=2 n \delta q
\]

и, ввиду (9.1),
\[
(Q-2 n P) \delta q=0 .
\]

Следовательно,
\[
P=\frac{Q}{2 n} .
\]

Рис. 12. Полиспаст. Виртуальное смещение груза и силы
При этом мы рассматривали полиспаст как «идеальную» механическую систему, т.е. мы не принимали во внимание ни трения каната о блоки, ни осевого трения блоков.

Конечно, этот простой пример можно рассматривать элементарным методом, определяя натяжение в канатах, что в данном случае дает, пожалуй, даже более наглядное представление о взаимодействии различных сил.

Пусть $S$ — натяжение каната (взятое по всему его поперечному сечению). Если не принимать во внимание трения, то натяжение в канате будет всюду одинаковым; это значит, что в каком бы месте мы ни перерезали канат, всюду мы обнаружили бы одинаковое натяжение, равное $S$, действующее на место разреза с обеих сторон. Сначала мысленно рассечем канат слева над $P$. Условие равновесия отсеченного куска каната, на который $P$ действует вниз, а $S$ вверх, дает:
\[
P=S \text {. }
\]

Теперь сделаем мысленный разрез через правую часть полиспаста над $Q$; при этом «вскрываются» $2 n$ поперечных сечений каната. Для равновесия отрезанной справа нижней части полиспаста необходимо, чтобы
\[
Q=2 n S .
\]

Таким образом, мы опять приходим к уравнению
\[
P=\frac{Q}{2 n} \text {. }
\]

Рассмотрение верхней части полиспаста приводит к определению нагрузки балки, на которой висит полиспаст. Эта нагрузка равна, очевидно, $P+Q$.
4. Кривошипно-шатунный механизм
Возвращаясь к рис. 9, обозначим общее давление пара на поршень через $P$; таким образом, $P \delta x$ есть виртуальная работа на поршне. Пусть $Q$ — сила, действующая на кривошип в направлении, противоположном силе $U$, и уравновешивающая в итоге силу $P$. Ее виртуальная работа будет равна $-\operatorname{Qr} \delta \varphi$. Принцип виртуальной работы требует:
\[
\operatorname{Qr} \delta \varphi=P \delta x, \quad Q=P \frac{\delta x}{r \delta \varphi} .
\]

Таким образом, вычисление $Q$ сводится к чисто кинематической задаче определения отношения $\delta x$ к $\delta \varphi$.
Согласно рис. 9 , проекция на ось $x$ равна:
\[
\begin{array}{c}
r \cos \varphi+l \cos \psi=\mathrm{const}-x, \\
r \sin \varphi \delta \varphi+l \sin \psi \delta \psi=\delta x .
\end{array}
\]

Из треугольника $O Z K$ следует:
\[
\begin{aligned}
\sin \psi & =\frac{r}{l} \sin \varphi, \\
\delta \psi=\frac{r}{l} \frac{\cos \varphi}{\cos \psi} \delta \varphi & =\frac{r}{l} \frac{\cos \varphi}{\sqrt{1-\left(\frac{r}{l}\right)^{2} \sin ^{2} \varphi}} \delta \varphi .
\end{aligned}
\]

Подставив это в (9.4а), получим:
\[
r \sin \varphi \delta \varphi\left(1+\frac{r}{l} \frac{\cos \varphi}{\sqrt{1-\left(\frac{r}{l}\right)^{2} \sin ^{2} \varphi}}\right)=\delta x .
\]

Из этого уравнения находим искомую кинематическую величину $\frac{\delta x}{r \delta \varphi}$. Подставив ее в (9.3), получаем:
\[
Q=P \sin \varphi\left(1+\frac{r}{l} \frac{\cos \varphi}{\sqrt{1-\left(\frac{r}{l}\right)^{2} \sin ^{2} \varphi}}\right) .
\]

Этим выражением определяется также для каждого положения кривошипа $\varphi$ окружная сила $U=Q$, переданная на цапфу $Z$. Точное знание этой силы важно для суждения о степени неравномерности хода машины и для подбора необходимого махового колеса. Так как $\frac{r}{l}$ — малая правильная дробь, то выражение (9.5) можно разложить в хорошо сходящийся ряд по степеням $\frac{r}{l}$ (см. также задачу II. 2).

Для целей дальнейшего применения выразим еще путь поршня $x$ в виде ряда по степеням $\frac{r}{l}$, написав, согласно (9.4) и (9.4б),
\[
x+r\left(\cos \varphi-\frac{1}{2} \frac{r}{l} \sin ^{2} \varphi+\ldots\right)=\text { const. }
\]
5. Момент силы относительно оси и работа при виртуальном вращении

Пусть точка $P$ находится на расстоянии $l$ по перпендикуляру от оси $a$. В точке $P$ приложена сила $\mathrm{F}$ произвольного направления. При виртуальном повороте $\delta \varphi$ вокруг оси $a$ точка $P$ перемещается на
\[
\delta s_{P}=l \delta \varphi .
\]

Какую работу $\delta A$ совершает при этом сила $\mathbf{F}$ ?
Разложим силу $\mathbf{F}$, как в уравнении (5.18), на взаимно перпендикулярные слагающие $\mathbf{F}_{a}, \mathbf{F}_{l}, \mathbf{F}_{n}$. Работа совершается только слагающей $\mathbf{F}_{n}$, а именно
\[
\delta A=F_{n} \delta s_{P}=F_{n} l \delta \varphi .
\]

Сравнивая это выражение с (5.18a), приходим к следующей теореме.
Момент силы относительно оси может быть определен как деленная на бч виртуальная работа, совершаемая этой силой при повороте ее точки приложения вокруг оси на угол $\delta \varphi$ :
\[
M_{a}(\mathbf{F})=\frac{\delta A}{\delta \varphi}=l F_{n} .
\]

Таким образом, устанавливается связь основного статического понятия «момент» с основным для всех вопросов равновесия понятием «виртуальная работа».

При этом нужно заметить, что размерность момента (сила $\times$ плечо) такая же, как и размерность работы (сила $\times$ путь); это согласуется с равенством (9.7), если, как это принято, считать измеренный в радианах угол безразмерной величиной.