Колеблющимся телом является в данном случае материальная точка $m$, связанная невесомым твердым стержнем длины $l$ (называемой длиной маятника) с неподвижной точкой $O$. Таким образом, траектория материальной точки $m$ будет дугой окружности. Если не принимать во внимание трения в точке подвеса и сопротивления воздуха, то единственной действующей силой будет сила тяжести со слагающей $-mg\sin \phi$ в направлении возрастания угла $\phi$ (рис. 24). Из общего уравнения (11.4) для движения по любой траектории и соотношения $v=l\dot{\phi }$ (для круговой траекРис. 24. Математический маятник. Слагающая силы тяжести в направлении траектории тории) получаем точное уравнение маятника:
$$ml\frac{d^2\phi }{d{t}^2}=-mg\sin \phi .$$

Для достаточно малых колебаний, т.е. при $\phi \ll 1$, можно принять $\sin \phi =\phi$. Тогда, вводя обозначение
$$\frac{g}{l}={\omega }^2,$$

получим линейное уравнение маятника:
$$\frac{d^2\phi }{d{t}^2}+{\omega }^2\phi =0.$$

Это есть дифференциальное уравнение «гармонических колебаний», рассмотренное нами в §3 (раздел 4), оно совпадает (с точностью до обозначений функций) с уравнением (3.23). Определенная соотношением (3.22) «угловая частота» $\omega$ дается теперь вышеприведенным равенством (15.2). Таким образом,
$$\omega =\frac{2\pi }{\tau }=\sqrt{\frac{g}{l}},\tau =2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}.$$

Время $\tau$ не зависит от массы $m$. Последняя выпадает уже из уравнения (15.1), следовательно, материальные точки, различные по массе, имеют при одинаковой длине маятника один и тот же период колебания. Время $\tau$ и является полным периодом колебания маятника, т.е. продолжительностью его однократного движения вперед и назад. Часто половину этого времени также называют периодом колебания. Например, говорят о «секундном маятнике», если $\frac{\tau }{2}$ равно одной секунде. Длина такого маятника, согласно уравнению (15.4), равна:
$$l=\frac{g}{{\pi }^2}\sim 1\text{ метру. }$$

В пределах применимости уравнения (15.3) период колебания не зависит также и от величины амплитуды. Это выражают словами: малые колебания маятника изохронны.
Общее решение уравнения (15.3) можно представить в виде
$$\phi =a\sin \omega t+b\cos \omega t.$$

Потребуем, чтобы $\phi =0$ при $t=0$ и $\phi =\alpha$ при $t=\frac{\tau }{4}$. Тогда $b=0$ и $a=\alpha$, т.е.
$$\phi =\alpha \sin \omega t.$$

Здесь $\alpha$ означает угловую амплитуду, т.е. максимальное отклонение от положения равновесия, выраженное в радианах.

При конечном отклонении $\phi$ изохронизм нарушается ввиду нелинейности точного уравнения (15.1). Для интегрирования уравнения (15.1) умножаем его на $\frac{d\phi }{dt}$, что соответствует переходу от уравнения движения к уравнению энергии. Путем интегрирования получаем
$${\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2=2{\omega }^2\cos \phi +C.$$

Постоянная $C$ определяется из условия, что $\frac{d\phi }{dt}=0$ при $\phi =\alpha$. Следовательно,
$$C=-2{\omega }^2\cos \alpha .$$

Непосредственное применение закона сохранения энергии дало бы [принимая во внимание значение $H$ (рис. 24)]:
$$\frac{m}{2}{l}^2{\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2+mgh=mgH;\left\{\begin{array}{c}h=l(1-\cos \phi ),\\ H=l(1-\cos \alpha ),\end{array}\right\}$$

что, очевидно, совпадает с уравнением (15.6).
Принимая во внимание, что
$$\cos \phi -\cos \alpha =2({\sin }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\phi }{2}),$$

из уравнения (15.6) выводим:
$$\begin{array}{l}\frac{d\left(\frac{\phi }{2}\right)}{\sqrt{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\phi }{2}}}=\omega dt\\ {\int }_0^{\phi }\frac{d\left(\frac{\phi }{2}\right)}{\sqrt{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\phi }{2}}}=\omega t.\end{array}$$

Таким образом, мы пришли к «ллиптическому интегралу первого рода». Для пояснения этого термина нужно коснуться «спрямления» дуг эллипса (т.е. измерения их длины). В качестве уравнения эллипса мы воспользуемся его представлением в параметрической форме:
$$\begin{array}{l}x=a\sin v,\\ y=b\cos v.\end{array}$$

В соответствии с этим получаем:
$$\begin{array}{c}d{s}^2=d{x}^2+d{y}^2=(a^2{\cos }^{2}v+b^2{\sin }^{2}v)d{v}^2,\\ ds=\sqrt{a^2-(a^2-b^2){\sin }^{2}v}dv.\end{array}$$

Полагая
$$k^2=+\frac{a^2-b^2}{a^2}(<1,\text{ если }a>b),$$

получаем для длины дуги эллипса, заключенной между конечной точкой малой оси $v=0$ и произвольной точкой $v$ эллипса, следующее выражение
$$s=a{\int }_0^v\sqrt{1-k^2{\sin }^{2}v}dv.$$

Это так называемый «эллиптический интеграл второго рода».
Более простой с точки зрения теории функций «интеграл первого рода», если его написать в той же «нормальной форме Лежандра», имеет следующий вид:
$${\int }_0^v\frac{dv}{\sqrt{1-k^2{\sin }^{2}v}}.$$

К этой форме приводим наш интеграл (15.8) с помощью преобразования
$$\begin{array}{c}\sin \frac{\phi }{2}=\sin \frac{\alpha }{2}\sin v\\ \sqrt{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\phi }{2}}=\sin \frac{\alpha }{2}\cos v\\ \frac{d\frac{\phi }{2}}{\sqrt{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\phi }{2}}}=\frac{dv}{\cos \frac{\phi }{2}}=\frac{dv}{\sqrt{1-k^2{\sin }^{2}v}}\end{array}$$

«Модуль» $k$ здесь равен:
$$k=\sin \frac{\alpha }{2}.$$

Чтобы вычислить период колебаний $\tau$, нужно в формуле (15.8) положить $t=\frac{\tau }{4}$ и $\phi =\alpha$, т.е., согласно (15.10), $v=\frac{\pi }{2}$. Таким путем мы получим так называемый «полный интеграл первого рода», который обозначается через $K$ :
$$K={\int }_0^{\pi /2}\frac{dv}{\sqrt{1-k^2{\sin }^{2}v}}.$$

Итак, формула (15.8) после подстановки $\omega$ из равенства (15.2) дает:
$$\tau =4\sqrt{\frac{l}{g}}K.$$

Из определения (15.12) непосредственно следует, что $K=\frac{\pi }{2}$ при $k\to 0$, т. е., согласно условию (15.11), для достаточно малых амплитуд $\alpha$; $K=\mathrm{\infty }$ при $k\to 1$, т. е., согласно условию (15.11), для $\alpha =\pi$ (отклонение до вертикального положения).

В первом случае мы, естественно, снова получаем нашу прежнюю формулу (15.4). В последнем же случае имеет место максимальное отклонение от этой формулы.

В общем случае, путем разложения в ряд по формуле бинома и почленного интегрирования выражения (15.12), находим:
$$K=\frac{\pi }{2}(1+\frac{k^2}{4}+\frac{9k^4}{64}+\dots ).$$

Этому соответствует общее выражение для периода колебания $\tau$ :
$$\tau =2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}(1+\frac{1}{4}{\sin }^2\frac{\alpha }{2}+\frac{9}{64}{\sin }^4\frac{\alpha }{2}+\dots ),$$

которым количественно определяется отклонение от изохронизма при конечных амплитудах $\alpha$.

Астрономические часы снабжены маятником простой конструкции с амплитудой $\alpha ⩽1\frac{1}{2}{}^{\circ }$. Для таких часов первый поправочный член в скобках формулы (15.14) равен приблизительно $1/20000$.