Колеблющимся телом является в данном случае материальная точка $m$, связанная невесомым твердым стержнем длины $l$ (называемой длиной маятника) с неподвижной точкой $O$. Таким образом, траектория материальной точки $m$ будет дугой окружности. Если не принимать во внимание трения в точке подвеса и сопротивления воздуха, то единственной действующей силой будет сила тяжести со слагающей $-m g \sin \varphi$ в направлении возрастания угла $\varphi$ (рис. 24). Из общего уравнения (11.4) для движения по любой траектории и соотношения $v=l \dot{\varphi}$ (для круговой траекРис. 24. Математический маятник. Слагающая силы тяжести в направлении траектории тории) получаем точное уравнение маятника:
\[
m l \frac{d^{2} \varphi}{d t^{2}}=-m g \sin \varphi .
\]

Для достаточно малых колебаний, т.е. при $\varphi \ll 1$, можно принять $\sin \varphi=\varphi$. Тогда, вводя обозначение
\[
\frac{g}{l}=\omega^{2},
\]

получим линейное уравнение маятника:
\[
\frac{d^{2} \varphi}{d t^{2}}+\omega^{2} \varphi=0 .
\]

Это есть дифференциальное уравнение «гармонических колебаний», рассмотренное нами в §3 (раздел 4), оно совпадает (с точностью до обозначений функций) с уравнением (3.23). Определенная соотношением (3.22) «угловая частота» $\omega$ дается теперь вышеприведенным равенством (15.2). Таким образом,
\[
\omega=\frac{2 \pi}{\tau}=\sqrt{\frac{g}{l}}, \quad \tau=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} .
\]

Время $\tau$ не зависит от массы $m$. Последняя выпадает уже из уравнения (15.1), следовательно, материальные точки, различные по массе, имеют при одинаковой длине маятника один и тот же период колебания. Время $\tau$ и является полным периодом колебания маятника, т.е. продолжительностью его однократного движения вперед и назад. Часто половину этого времени также называют периодом колебания. Например, говорят о «секундном маятнике», если $\frac{\tau}{2}$ равно одной секунде. Длина такого маятника, согласно уравнению (15.4), равна:
\[
l=\frac{g}{\pi^{2}} \sim 1 \text { метру. }
\]

В пределах применимости уравнения (15.3) период колебания не зависит также и от величины амплитуды. Это выражают словами: малые колебания маятника изохронны.
Общее решение уравнения (15.3) можно представить в виде
\[
\varphi=a \sin \omega t+b \cos \omega t .
\]

Потребуем, чтобы $\varphi=0$ при $t=0$ и $\varphi=\alpha$ при $t=\frac{\tau}{4}$. Тогда $b=0$ и $a=\alpha$, т.е.
\[
\varphi=\alpha \sin \omega t .
\]

Здесь $\alpha$ означает угловую амплитуду, т.е. максимальное отклонение от положения равновесия, выраженное в радианах.

При конечном отклонении $\varphi$ изохронизм нарушается ввиду нелинейности точного уравнения (15.1). Для интегрирования уравнения (15.1) умножаем его на $\frac{d \varphi}{d t}$, что соответствует переходу от уравнения движения к уравнению энергии. Путем интегрирования получаем
\[
\left(\frac{d \varphi}{d t}\right)^{2}=2 \omega^{2} \cos \varphi+C .
\]

Постоянная $C$ определяется из условия, что $\frac{d \varphi}{d t}=0$ при $\varphi=\alpha$. Следовательно,
\[
C=-2 \omega^{2} \cos \alpha .
\]

Непосредственное применение закона сохранения энергии дало бы [принимая во внимание значение $H$ (рис. 24)]:
\[
\frac{m}{2} l^{2}\left(\frac{d \varphi}{d t}\right)^{2}+m g h=m g H ; \quad\left\{\begin{array}{c}
h=l(1-\cos \varphi), \\
H=l(1-\cos \alpha),
\end{array}\right\}
\]

что, очевидно, совпадает с уравнением (15.6).
Принимая во внимание, что
\[
\cos \varphi-\cos \alpha=2\left(\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}-\sin ^{2} \frac{\varphi}{2}\right),
\]

из уравнения (15.6) выводим:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{\sqrt{\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}-\sin ^{2} \frac{\varphi}{2}}}=\omega d t \\
\int_{0}^{\varphi} \frac{d\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{\sqrt{\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}-\sin ^{2} \frac{\varphi}{2}}}=\omega t .
\end{array}
\]

Таким образом, мы пришли к «ллиптическому интегралу первого рода». Для пояснения этого термина нужно коснуться «спрямления» дуг эллипса (т.е. измерения их длины). В качестве уравнения эллипса мы воспользуемся его представлением в параметрической форме:
\[
\begin{array}{l}
x=a \sin v, \\
y=b \cos v .
\end{array}
\]

В соответствии с этим получаем:
\[
\begin{array}{c}
d s^{2}=d x^{2}+d y^{2}=\left(a^{2} \cos ^{2} v+b^{2} \sin ^{2} v\right) d v^{2}, \\
d s=\sqrt{a^{2}-\left(a^{2}-b^{2}\right) \sin ^{2} v} d v .
\end{array}
\]

Полагая
\[
k^{2}=+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}} \quad(<1, \text { если } a>b),
\]

получаем для длины дуги эллипса, заключенной между конечной точкой малой оси $v=0$ и произвольной точкой $v$ эллипса, следующее выражение
\[
s=a \int_{0}^{v} \sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} v} d v .
\]

Это так называемый «эллиптический интеграл второго рода».
Более простой с точки зрения теории функций «интеграл первого рода», если его написать в той же «нормальной форме Лежандра», имеет следующий вид:
\[
\int_{0}^{v} \frac{d v}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} v}} .
\]

К этой форме приводим наш интеграл (15.8) с помощью преобразования
\[
\begin{array}{c}
\sin \frac{\varphi}{2}=\sin \frac{\alpha}{2} \sin v \\
\sqrt{\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}-\sin ^{2} \frac{\varphi}{2}}=\sin \frac{\alpha}{2} \cos v \\
\frac{d \frac{\varphi}{2}}{\sqrt{\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}-\sin ^{2} \frac{\varphi}{2}}}=\frac{d v}{\cos \frac{\varphi}{2}}=\frac{d v}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} v}}
\end{array}
\]

«Модуль» $k$ здесь равен:
\[
k=\sin \frac{\alpha}{2} .
\]

Чтобы вычислить период колебаний $\tau$, нужно в формуле (15.8) положить $t=\frac{\tau}{4}$ и $\varphi=\alpha$, т.е., согласно (15.10), $v=\frac{\pi}{2}$. Таким путем мы получим так называемый «полный интеграл первого рода», который обозначается через $K$ :
\[
K=\int_{0}^{\pi / 2} \frac{d v}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} v}} .
\]

Итак, формула (15.8) после подстановки $\omega$ из равенства (15.2) дает:
\[
\tau=4 \sqrt{\frac{l}{g}} K .
\]

Из определения (15.12) непосредственно следует, что $K=\frac{\pi}{2}$ при $k \rightarrow 0$, т. е., согласно условию (15.11), для достаточно малых амплитуд $\alpha$; $K=\infty$ при $k \rightarrow 1$, т. е., согласно условию (15.11), для $\alpha=\pi$ (отклонение до вертикального положения).

В первом случае мы, естественно, снова получаем нашу прежнюю формулу (15.4). В последнем же случае имеет место максимальное отклонение от этой формулы.

В общем случае, путем разложения в ряд по формуле бинома и почленного интегрирования выражения (15.12), находим:
\[
K=\frac{\pi}{2}\left(1+\frac{k^{2}}{4}+\frac{9 k^{4}}{64}+\ldots\right) .
\]

Этому соответствует общее выражение для периода колебания $\tau$ :
\[
\tau=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left(1+\frac{1}{4} \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}+\frac{9}{64} \sin ^{4} \frac{\alpha}{2}+\ldots\right),
\]

которым количественно определяется отклонение от изохронизма при конечных амплитудах $\alpha$.

Астрономические часы снабжены маятником простой конструкции с амплитудой $\alpha \leqslant 1 \frac{1}{2}{ }^{\circ}$. Для таких часов первый поправочный член в скобках формулы (15.14) равен приблизительно $1 / 20000$.