Свободные незатухающие колебания были нами рассмотрены в § 3 (раздел 4); мы называли их там «гармоническими колебаниями». Теперь мы прежде всего рассмотрим вынужденные незатухающие колебания.
Дифференциальное уравнение этих колебаний имеет вид:
\[
m \ddot{x}+k x=c \sin \omega t .
\]

Здесь $\omega=\frac{2 \pi}{\tau}$ есть круговая частота вынуждающей силы.
Таким образом, мы считаем дифференциальное уравнение движения линейным относительно переменной $x$, что вполне допустимо (ср. математический маятник) для случая «малых» колебаний. Это замечание относится и к дальнейшим примерам, приводимым в этом и следующих параграфах.
«Упругая» сила равна $-k x$, как и в уравнении (3.19); величина $c$ в уравнении (19.1) означает амплитуду вынуждающей силы, которая вызывает рассматриваемые колебания.

Ввиду наличия отличной от нуля правой части, уравнение (19.1) является неоднородным линейным дифференциальным уравнением. Приравнивая левую часть этого уравнения нулю, получаем, как уже отмечалось при решении уравнения (3.23), соответствующее однородное дифференциальное уравнение.

Частным интегралом неоднородного дифференциального уравнения будет
\[
x=C \sin \omega t,
\]

если значение $C$ удовлетворяет условию
\[
C\left(k-m \omega^{2}\right)=c .
\]

Полагая, аналогично формуле (3.20),
\[
\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}},
\]

получим:
\[
C=\frac{\frac{c}{m}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} .
\]

Общий интеграл уравнения (19.1) равен сумме этого частного интеграла и общего интеграла соответствующего однородного уравнения:
\[
x=C \sin \omega t+A \cos \omega_{0} t+B \sin \omega_{0} t .
\]

Амплитуда $C$ в первом члене уравнения (19.4) возрастает с увеличением $\omega$ и при $\omega=\omega_{0}$ обращается в бесконечность; в той же точке $\omega=\omega_{0}$ она испытывает скачок в отрицательную бесконечность и затем при $\omega \rightarrow \infty$ медленно приближается к нулю, оставаясь отрицательной.

Однако эту перемену знака нецелесообразно относить на счет амплитуды, которая по своему смыслу является существенно положительной величиной. Поэтому в дальнейшем мы будем под амплитудой понимать $|C|$, а перемену знака относить к синусу, где она скажется как «сдвиг фаз» $\delta= \pm \pi$.

В соответствии с этим, на рис. 31а и 316 представлены величины $|C|$ и $\delta$ как функции $\omega$.
Рис. 31. Амплитуда и фаза вынужденного незатухающего колебания
Рассматривая рис. 31б, нельзя установить, имеем ли мы при $\omega>\omega_{0}$ опережение или запаздывание по фазе, т.е. нужно ли выбрать $\delta=+\pi$ или $\delta=-\pi$. Но считая незатухающие колебания предельным случаем затухающих колебаний (см. ниже), мы выбираем величину $-\pi$ и пишем первый член уравнения (19.4) в следующей уточненной форме:
\[
\left(\omega>\omega_{0}\right) \quad x=\frac{\frac{c}{m}}{\omega^{2}-\omega_{0}^{2}} \sin (\omega t-\pi) .
\]

Обращение амплитуды в бесконечность при $\omega=\omega_{0}$ характеризует явление резонанса между свободным и вынужденным колебаниями, которое играет важную роль во всех разделах физики. Знаменатель в выражениях (19.3) и (19.4а), обращение которого в нуль приводит к бесконечно большой амплитуде, называется «резонансным знаменателем». Образно выражаясь, колеблющаяся система тем «охотнее» поддается воздействию внешней силы, чем ближе ее собственная частота к частоте изменения внешней силы.

Рис. 32. Резонанс свободного и вынужденного колебаний. Вековое нарастание амплитуды

Впрочем, надо отметить, что наше заключение о появлении бесконечно больших амплитуд при резонансе является крайней экстраполяцией, поскольку уравнение колебания можно считать линейным, строго говоря, почти исключительно для бесконечно малых колебаний.

До сих пор мы рассматривали только первый член правой части уравнения (19.4). Оба последующих члена определятся, если мы зададим начальные условия. В качестве таковых выберем, например,
\[
t=0: \quad x=0, \quad \dot{x}=0 .
\]

Подставив эти начальные условия в уравнение (19.4), получим:
\[
A=0, \quad \omega C+\omega_{0} B=0, \quad \text { откуда } \quad B=-\frac{\omega}{\omega_{0}} C .
\]

Следовательно,
\[
x=C\left(\sin \omega t-\frac{\omega}{\omega_{0}} \sin \omega_{0} t\right) .
\]

Выясним смысл этого уравнения длн особенно интересного случая, когда вынуждающее и вынужденное колебания совершаются почти в резонансе и, следовательно, обе частоты $\omega$ и $\omega_{0}$ почти равны между собою. Положим
\[
\omega=\omega_{0}+\Delta \omega .
\]

Разлагая в ряд и отбрасывая члены, квадратичные относительно $\Delta \omega$, и члены высших степеней, получаем:
\[
\sin \omega t-\frac{\omega}{\omega_{0}} \sin \omega_{0} t=\sin \omega_{0} t+t \Delta \omega \cos \omega_{o} t-\sin \omega_{0} t-\frac{\Delta \omega}{\omega_{0}} \sin \omega_{0} t .
\]

Тогда выражение (19.5) запишется в виде:
\[
x=C \Delta \omega\left(t \cos \omega_{0} t-\frac{1}{\omega_{0}} \sin \omega_{0} t\right) .
\]

Наконец, подставляя вместо $C$ его значение из формулы (19.3), получим в пределе при $\Delta \omega=0$ :
\[
x=\frac{c}{2 m \omega_{0}^{2}}\left(\sin \omega_{0} t-\omega_{0} t \cos \omega_{0} t\right) .
\]

Описываемое этим уравнением колебание уже не является периодическим, каким было рассмотренное выше свободное колебание. Признаком этого является то, что время $t$ входит в формулу (19.5) в качестве векового члена (т.е. не только под знаком тригонометрической функции). При $t \rightarrow \infty$ амплитуда колебания приближается к представленной на рис. 31 величине $|C|=\infty$ при $\omega=\omega_{0}$.

Свободные затухающие колебания описываются дифференциальным уравнением
\[
m \ddot{x}+k x=-w \dot{x} .
\]

Наличие в этом уравнении члена, пропорционального первой степени скорости и соответствующего сопротивлению среды (трению), обосновывается в гидродинамике медленных (ламинарных) течений (возникающих, например, при трении о воздух).

Уравнение (19.7) является однородным линейным дифференциальным уравнением. Как и прежде, введем обозначение:
\[
\frac{k}{m}=\omega_{0}^{2},
\]

где $\omega_{0}$ – собственная частота незатухающих колебаний. Кроме того, положим
\[
\frac{w}{m}=2 \rho, \quad \rho>0 .
\]

В этих обозначениях уравнение (19.7) запишется:
\[
\ddot{x}+2 \rho \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=0 .
\]

Здесь полностью применим метод, введенный при решении уравнения (3.23). Ищем решение в виде
\[
x=C e^{\lambda t}
\]

и, подставляя вместо $x$ в уравнение (19.8) выражение (19.8a), получим следующее характеристическое уравнение для $\lambda$ :
\[
\lambda^{2}+2 \rho \lambda+\omega_{0}^{2}=0,
\]

которое имеет два корня
\[
\lambda=-\rho \pm \sqrt{-\omega_{0}^{2}+\rho^{2}}=\left\{\begin{array}{l}
\lambda_{1} \\
\lambda_{2}
\end{array} .\right.
\]

Таким образом, мы можем обобщить решение (19.8a) в виде линейной комбинации
\[
x=C_{1} e^{\lambda_{1} t}+C_{2} e^{\lambda_{2} t} .
\]

Мы различаем два случая:
\[
\text { 1) } \left.\rho<\omega_{0} \quad \text { и } 2\right) \rho>\omega_{0} \text {. }
\]

Первый случай обычно встречается в приложениях- это случай периодически затухающих колебаний. Второй случай характеризуется наличием «апериодического затухания». В обоих случаях мы выбираем одинаковые начальные условия: $x=0$ при $t=0$, что при подстановке в выражение (19.8б) приводит к равенству $C_{2}=-C_{1}$.
\[
\begin{array}{c}
\text { 1) } \rho<\omega_{0} ; \quad \lambda=-\rho \pm i \sqrt{\omega_{0}^{2}-\rho^{2}}, \\
x=2 C_{1} e^{-\rho t} \sin \sqrt{\omega_{0}^{2}-\rho^{2} t} .
\end{array}
\]

Период колебания
\[
\tau=\frac{2 \pi}{\sqrt{\omega_{0}^{2}-\rho^{2}}}
\]

при малом $\rho$ лишь незначительно отличается от периода незатухающего колебания. Множитель $e^{-\rho t}$ характеризует затухание; величину $\rho \tau$ называют логарифмическим декрементом затухания.
2) $\rho>\omega_{0}$, т.е. $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ действительны; решение принимает вид:
\[
x=2 C_{1} e^{-\rho t} \operatorname{sh} \sqrt{\rho^{2}-\omega_{0}^{2}} t .
\]

Символ sh означает гиперболический синус.
В заключение мы рассмотрим затухающие вынужденные колебания, предельными случаями которых, по существу, являются все разобранные выше типы колебаний.
Дифференциальное уравнение этих колебаний таково:
\[
m \ddot{x}+w \dot{x}+k x=c \sin \omega t .
\]

Принимая во внимание обозначения (19.7a, б), перепишем его в виде:
\[
\ddot{x}+2 \rho \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=\frac{c}{2 m i}\left(e^{i \omega t}-e^{-i \omega t}\right) .
\]

Теперь к общему интегралу (19.8б) однородного уравнения прибавляется частный интеграл неоднородного уравнения, который мы запишем в форме:
\[
x=|C| \sin (\omega t+\delta)=\frac{|C|}{2 i}\left(e^{i(\omega t+\delta)}-e^{-i(\omega t+\delta)}\right) .
\]

Подставляя это выражение в уравнение (19.9) и приравнивая коэффициенты при $e^{ \pm i \omega t}$ в правой и левой частях уравнения, получим:
\[
\begin{array}{c}
|C|\left(-\omega^{2}+2 i \rho \omega+\omega_{0}^{2}\right) e^{i \delta}=\frac{c}{m}, \\
|C|\left(-\omega^{2}-2 i \rho \omega+\omega_{0}^{2}\right) e^{-i \delta}=\frac{c}{m} .
\end{array}
\]

Путем почленного перемножения и, соответственно, деления этих двух соотношений найдем:
\[
\begin{array}{c}
|C|^{2}=\left(\frac{c}{m}\right)^{2} \frac{1}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 \rho^{2} \omega^{2}}, \\
e^{2 i \delta}=\frac{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}-2 i \rho \omega}{\omega_{0}^{2}-\omega+2 i \rho \omega} .
\end{array}
\]

Отсюда
\[
\begin{array}{c}
|C|=\frac{c}{m} \frac{1}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 \rho^{2} \omega^{2}}} \\
\operatorname{tg} \delta=\frac{1}{i} \frac{e^{2 i \delta}-1}{e^{2 i \delta}+1}=-\frac{2 \rho \omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}
\end{array}
\]
(см. рис. 33 и ср. его с рис. 31a, б).
Из рис. 33 видно, что благодаря затуханию наш прежний бесконечный резонансный максимум амплитуды уменьшился до конечной величины (причем этот максимум амплитуды достигается не точно при $\omega=\omega_{0}$, а при несколько меньшей частоте $\omega$; см. также задачу III. 2).

Рис. 33 в то же время показывает, что при возрастании $\omega$ сдвиг фаз $\delta$ изменяется от значения $\delta=0$ при $\omega=0$ в сторону отрицательных значений, при $\omega=\omega_{0}$ становится в точности равным $-\frac{\pi}{2}$ и далее при $\omega \rightarrow \infty$ приближается к значению $-\pi$. Тем самым казавшийся прежде произвольным выбор между $+\pi$ и $-\pi$ оказывается вполне оправданным и для случая вынужденных колебаний без трения (см. рис. 31). Таким образом, действительно всегда имеет место запаздывание фазы колебания по сравнению с фазой вынуждающей силы. Дальнейшие примеры вынужденных колебаний приведены в задачах III. 3 и III. 4.