Рассмотрим произвольную механическую систему; допустим сначала, что на ее составные части наложены только голономные связи и что она имеет $f$ степеней свободы. Тогда мы можем ввести $f$ независимых координат, определяющих мгновенное положение системы. Обозначим эти координаты [как в уравнении (7.2)] через
\[
q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{f} .
\]

Это наши «обобщенные координаты». Сопоставим им «обобщенные скорости»
\[
\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{f} .
\]

Совокупность всех $q_{k}$ и $\dot{q}_{k}$ полностью определяет мгновенное состояние системы.

Рассмотрим это более подробно. Допустим сначала, что положение системы описывается координатами $x_{1}, \ldots, x_{n}$, которые могут и не быть обычными прямоугольными координатами. Пусть на них наложено $(n-f)$ условий связи:
\[
F_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=0, \quad k=f+1, f+2, \ldots, n .
\]

С помощью $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ определяем координаты $q_{k}$ как некоторые функции следующего вида:
\[
F_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=q_{k}, \quad k=1,2, \ldots, f .
\]

Обозначая через $F_{i k}$ частные производные от $f_{k}$ по $x_{i}$ и дифференцируя по $t$ уравнения (34.2a) и (34.2), получим:
\[
\sum_{i=1}^{n} F_{i k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \dot{x}_{i}=\left\{\begin{array}{ll}
\dot{q}_{k}, & k=1,2, \ldots, f, \\
0, & k=f+1, \ldots, n .
\end{array}\right.
\]

Отсюда $\dot{x}_{i}$ определяются как линейные функции от $\dot{q}_{k}$ с коэффициентами, зависящими от $x_{1}, \ldots, x_{n}$ или, в силу условий $(34.2)$ и $(34.2 \mathrm{a})$, от $q_{1}, \ldots, q_{f}$. Кинетическая энергия $T$, являющаяся однородной квадратичной функцией от $\dot{x}_{i}$ (как и в исходных прямоугольных координатах), будет также однородной квадратичной функцией от $\dot{q}_{k}$ с коэффициентами, зависящими от $q_{k}$. Потенциальную энергию $V$ мы будем вначале считать зависящей только от координат $q_{k}$. Впрочем, в целях дальнейших обобщений, в нашем рассмотрении мы не исключаем принципиально возможной зависимости функции $V$ от $\dot{q}_{k}$. В связи с этим дополним определение (33.13) функции Лагранжа в том смысле, что $L$ следует рассматривать как функцию от $q_{k} u \dot{q}_{k}$.

Руководствуясь этим определением, образуем вариацию $L$, т.е. разность между значениями $L$ в виртуально варьированном состоянии (характеризуемом обобщенными координатами $q_{k}+\delta q_{k}$ и обобщенными скоростями $\dot{q}_{k}+\delta \dot{q}_{k}$ ) и в исходном состоянии (со значениями обобщенных координат и скоростей, соответственно, $q_{k}$ и $\dot{q}_{k}$ ):
\[
\delta L=\sum_{k} \frac{\delta L}{\delta q_{k}} \delta q_{k}+\sum_{k} \frac{\delta L}{\delta \dot{q}_{k}} \delta \dot{q}_{k} .
\]

Эту вариацию введем в выражение принципа Гамильтона:
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} \delta L d t=0
\]

Такая форма записи отличается от принятой в формуле (33.13) тем, что здесь варьирование производится под знаком интеграла, в то время как в выражении (33.13) оно вынесено за знак интеграла. Это, однако, допустимо ввиду условия (33.1): «t и $d t$ не варьируются», и, более того, даже соответствует той формулировке (33.10), в которой мы впервые встретились с принципом Гамильтона.

Интегрирование по времени в формуле (34.3a) мы выполним прежде всего для общего члена второй суммы в выражении (34.3) и произведем с помощью интегрирования по частям преобразование, которое со времен Эйлера ${ }^{1}$ является характерным для всего вариационного исчисления:
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} \delta \dot{q}_{k} d t=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} \delta q_{k} d t=\left.\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} \delta q_{k}\right|_{t_{0}} ^{t_{1}}-\int_{t_{0}}^{t_{1}} \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} \delta q_{k} d t .
\]

В этом двойном равенстве первый член правой части обращается в нуль, согласно условию (33.2). Поэтому, используя выражение (34.3) для $\delta L$, мы получим:
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} \delta L d t=-\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sum_{k}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial q_{k}}\right) \delta q_{k} d t=0 .
\]
${ }^{1}$ Вообще уравнением Эйлера произвольной вариационной задачи называют получаемое по образцу уравнений (34.4) и (34.5) дифференциальное уравнение типа (34.6). Таким образом, можно сказать, что уравнения Лагранжа являются эйлеровыми уравнениями вариационной проблемы, заданной функцией $L$.

Поскольку вариации $\delta q_{k}$ между собой независимы, мы можем все $\delta q_{k}$ положить равными 0 , кроме одной, относительно которой мы можем допустить еще, что она также обращается в нуль вдоль всей «траектории» рис. 51, кроме окрестности одной точки, или, что то же самое, кроме интервала времени $\Delta t$, заключающего произвольный момент времени $t$. Тогда для того, чтобы имело место равенство (34.4а), мы должны потребовать выполнения следующего условия:
\[
\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial q_{k}}\right) \int_{\Delta t} \delta q_{k} d t=0 .
\]

Но ни $\Delta t$, ни $\delta q_{k}$ в интервале $\Delta t$ не обращаются в нуль. Поэтому (для каждого произвольно выбранного момента времени $t$ и для каждого произвольно взятого индекса $k$ ) мы имеем:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=0 .
\]

Это и есть общие уравнения Лагранжа или, иначе, уравнения Лагранжа второго рода для рассматриваемого нами случая, когда силы, действующие на систему, имеют потенциал, а связи, существующие внутри системы, голономны.

Если какое-либо из этих двух условий не выполняется, то уравнения Лагранжа принимают соответствующую обобщенную форму.

В первом случае (силы не имеют потенциала) следует исходить из формулировки (33.11) принципа наименьшего действия. При этом, выражая виртуальную работу $\delta A$ через виртуальные перемещения $\delta q$, положим:
\[
\delta A=\sum Q_{k} \delta q_{k} .
\]

Введенные здесь коэффициенты $Q_{k}$ мы назовем обобщенными силами, соответствующими обобщенным координатам $q_{k}$. Это является формальным расширением понятия силы и, конечно, допустимо как математическое определение. Целесообразность введения понятия обобщенной силы обнаруживается, например, в том, что данное в выражении (9.7) определение момента силы относительно оси теперь может быть сформулировано следующим образом: «момент силы относительно оси представляет собой обобщенную силу, соответствующую углу поворота вокруг этой оси». Совершенно ясно, что величины $Q$, определяемые формулой (34.7), уже не являются векторами и, вообще говоря, отнюдь не должны иметь размерности «дины». Их размерность, согласно формуле (34.7), существенно зависит от размерности соответствующей координаты $q_{k}$ и в случае момента силы, как мы знаем, является размерностью работы, т. е. «эр»», поскольку соответствующее $\delta q-$ величина безразмерная.

Подставив выражение (34.7) в формулу (33.11) и произведя вышеописанные преобразования [см. равенства (34.4) и (34.5)], мы вместо уравнений (34.6), очевидно, получим:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{\partial T}{\partial q_{k}}=Q_{k} .
\]

Вместо этих уравнений мы можем написать еще несколько более общие уравнения:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=Q_{k} .
\]

Именно, когда только часть действующих сил имеет потенциал, а остальные силы его не имеют, можно написать в правой части уравнений (34.8a) только те $Q_{k}$, которые соответствуют силам, не имеющим потенциала; потенциальную же энергию остальной части сил можно в уравнении (34.8а) объединить с кинетической энергией $T$ в функцию Лагранжа $L$.

Эти уравнения (34.8a) являются общими уравнениями Лагранжа, когда часть сил не имеет потенциала.

Далее, если мы откажемся от второго из упомянутых условий, т. е. допустим, что часть из наложенных на систему связей неголономна, то мы тем самым затронем самый способ введения обобщенных координат $q_{k}$.

Согласно определению, неголономные связи мы не можем представить в форме условий (34.2) и, следовательно, не можем исключить их путем соответствующего выбора $q$. Напротив, нам придется ввести избыточные координаты $q$, число которых превышает число степеней свободы в бесконечно малой области. Последнее число равно $f-r$ ( $f-$ число степеней свободы в конечной области, $r$ – число неголономных связей). Мы выразим эти неголономные связи в виде виртуальных условий, аналогичных условию (7.4):
\[
\sum_{k=1}^{f} F_{k \mu}\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right) \delta q_{k}=0, \quad \mu=1,2, \ldots, r .
\]

Эти условия налагают ограничения на допустимые вариации $\delta q_{k}$. Это ограничение мы учтем путем умножения каждого из уравнений (34.9) на множитель Лагранжа $\lambda_{\mu}$ и суммирования их под знаком интеграла в формуле (33.13). Записывая, кроме того, функцию $F$ в несколько более сокращенной форме, мы получим:
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(\delta L+\sum_{\mu=1}^{r} \lambda_{\mu} F_{k \mu} \delta q_{k}\right) d t=0 .
\]

Преобразование Эйлера производится так же, как и в формуле (34.4); при этом вместо выражения (34.4а) получается следующее:
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sum_{k}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial q_{k}}-\sum_{\mu=1}^{r} \lambda_{\mu} F_{k \mu}\right) \delta q_{k} d t .
\]

Правда, теперь вариации $\delta q_{k}$ уже не являются, как прежде, независимыми, а связаны между собой условиями (34.9). Однако можно рассуждать так, как это изложено на стр. 91: при соответствующем выборе множителей $\lambda_{\mu}, r$ из числа скобок, умноженных на $\delta q_{k}$ обращаются в нуль. Тогда в оставшуюся сумму по $k$ войдут только $f-r$ независимых друг от друга $\delta q$. Рассуждение, аналогичное примененному к формуле (34.5), убеждает нас в том, что и остальные выражения в скобках обращаются в нуль. Таким образом, мы получаем полную систему $f$ уравнений
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=\sum_{\mu=1}^{r} \lambda_{\mu} F_{k \mu} .
\]

Эти уравнения могут быть названы уравнениями Лагранжа смешанного типа, так как занимают промежуточное положение между уравнениями Лагранжа первого и второго рода.

Следует также отметить, что этот смешанный тип уравнений встречается не только тогда, когда мы не можем исключить отдельные условия связи (случай неголономных связей), но и тогда, когда мы не хотим их исключать. А именно, нас может интересовать принуждение, оказываемое на систему голономными связями. Это принуждение представлено как раз множителем $\lambda_{\mu}$, соответствующим данному условию связи [как в уравнении (18.7) в случае сферического маятника], и может быть определено путем интегрирования уравнений (34.11).

Наконец, очевидно, можно также комбинировать друг с другом уравнения типов (34.11) и (34.8a), если отказаться одновременно от обоих предположений, при которых были выведены уравнения (34.6).

Но мы на этом останавливаться не будем, а рассмотрим здесь только вопрос, как и при каких допущениях можно вывести закон сохранения энергии из уравнений Лагранжа (34.6).

Выше, перед тем, как получить формулу (34.3), мы уже указывали, что $L$ является функцией от $q_{k}$ и $\dot{q}_{k}$; теперь мы специально подчеркиваем, что функиия Лагранжа $L$ не должна явно зависеть от времени $t$. Тогда соотношение (34.3) будет справедливо не только для виртуальных изменений $\delta q_{k}$ и $\delta \dot{q}_{k}$, но и для действительных изменений во времени $d q, d \dot{q}$; таким образом,
\[
\frac{d L}{d t}=\sum_{k} \dot{q}_{k} \frac{\partial L}{\partial q_{k}}+\sum_{k} \ddot{q}_{k} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} .
\]

С другой стороны, мы также подчеркивали, что кинетическая энергия $T$ является однородной квадратичной функцией ${ }^{1}$ от $\dot{q}_{k}$. Поэтому, применяя теорему Эйлера об однородных функциях, получим:
\[
2 T=\sum_{k} \dot{q}_{k} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{k}} .
\]

Если $T$ также не зависит явно от $t$ (см. ниже), то отсюда путем дифференцирования по $t$ можно найти:
\[
2 \frac{d T}{d t}=\sum_{k} \dot{q}_{k} \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{k}}+\sum_{k} \ddot{q}_{k} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{k}} .
\]

Вычтем почленно уравнение (34.12) из уравнения (34.14). Тогда, ввиду того, что $L=T-V$, в левой части получится
\[
\frac{d T}{d t}+\frac{d V}{d t} .
\]
${ }^{1}$ Если это даже не имеет места, так что $L$ является произвольной функцией $q_{k}$ и $\dot{q}_{k}$, можно доказать «обобщенный закон сохранения энергии», имеющий следующую форму:
\[
H=\sum \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} \dot{q}_{k}-L=\text { const. }
\]

Определенную таким образом функцию $H$ мы будем в гл. VIII называть «функцией Гамильтона»; частным случаем приведенного уравнения является закон сохранения энергии, выражаемый уравнением (34.15в).

Вторые члены в правой части взаимно уничтожаются, если $V$ не зависит от $\dot{q}_{k}$. При том же условии, согласно уравнениям (34. 6), обратится в нуль и разность первых членов в правой части. Следовательно, мы имеем:
\[
\frac{d T}{d t}+\frac{d V}{d t}=0
\]

откуда заключаем, что
\[
T+V=W,
\]
т.е. закон сохранения энергии является следствием уравнений Лагранжа.
Рассмотрим исходные положения этого важного вывода.
a) Кинетическая энергия $T$ по своему смыслу определяется положением и скоростью системы, т.е. является функцией $q$ и $\dot{q} ; T$ могла бы явно зависеть от $t$ только в результате исключения условий связи, в случае если бы последние зависели от $t^{1}$. Однако, мы уже видели (см. стр. 93), что такие связи производят работу над системой и, следовательно, нарушают сохранение энергии. Таким образом, независимость $T$ от времени действительно является необходимым условием выполнимости закона сохранения энергии.
б) Условие, что $L$ не должно явно зависеть от $t$, сводится, на основании вышесказанного, к условиям независимости $V$ от $t$. Последнее также является необходимым. В противном случае правая часть уравнения (34.12) содержала бы член
\[
-\frac{\partial V}{\partial t}
\]

который тогда появился бы и в правой части уравнения (34.14а) с обратным знаком. Таким образом, вместо $T+V=$ const, мы имели бы
\[
\frac{d}{d t}(T+V)=\frac{\partial V}{\partial t},
\]
т.е. в этом случае закон сохранения энергии теряет силу.
$\qquad$
${ }^{1}$ Такие зависящие от времени условия называются реономными (текущими) в противоположность условиям, не зависящим от времени, которые называются склерономными (твердыми).

в) Если $V$ зависит не только от $q_{k}$, но также от $\dot{q}_{k}$, то учитывая уравнения (34.6), мы получим разность правых частей уравнений (34.14) и (34.12) в виде
\[
\sum \dot{q}_{k} \frac{d}{d t} \frac{\partial V}{\partial \dot{q}_{k}}+\sum \ddot{q}_{k} \frac{\partial V}{\partial \dot{q}_{k}}=\frac{d}{d t} \sum \dot{q}_{k} \frac{\partial V}{\partial \dot{q}_{k}} .
\]

В этом случае, правда, имеет место закон сохранения, но форма его отлична от обычной:
\[
T+V-\sum \dot{q}_{k} \frac{\partial V}{\partial \dot{q}_{k}}=\text { const. }
\]

Из изложенного мы выведем еще одно следствие, которое будет нам полезно в дальнейшем. Выразим $L-2 T=-(T+V)$, используя для $2 T$ выражение (34.13) и снова считая $V$ функцией только $q_{k}$. Тогда мы найдем, что
\[
-(T+V)=L-\sum \dot{q}_{k} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{k}}=L-\sum \dot{q}_{k} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}
\]

или
\[
T+V=\sum \dot{q}_{k} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}-L .
\]

Таким образом, полная энергия $T+V$ может быть определена из выражения «свободной энергии» $L$.

Довольно абстрактные рассуждения, содержащиеся в этом параграфе, будут в полной мере конкретизированы на примерах, приводимых в следующем параграфе. Для того чтобы подготовить рассмотрение этих примеров, найдем выражения входящих в уравнения Лагранжа величин
\[
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \quad \text { и } \quad \frac{\partial L}{\partial q}
\]

для простейшего частного случая отдельной материальной точки и для обычных прямоугольных координат $x, y, z$. Мы получим:
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right), \quad \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial T}{\partial \dot{x}}=m \dot{x} \quad \text { и т. д.; } \\
\frac{\partial L}{\partial x}=-\frac{\partial V}{\partial x}=X \quad \text { и т.д. } \\
\end{array}
\]

Поскольку, как мы видим, величина $\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$ равна $x$-компоненте импульса, мы будем называть вообще $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}$ обобщенным импульсом, соответствующим обобщенной координате $q_{k}$. Так как, с другой стороны, выражение $\frac{\partial L}{\partial x}$ дает $x$-компоненту силы, мы будем называть оба получающихся из $\frac{\partial L}{\partial q}$ члена обобщенными силами, соответствующими обобщенным координатам $q$ :
\[
\frac{\partial T}{\partial q}-\frac{\partial V}{\partial q}=\frac{\partial T}{\partial q}-Q
\]

именно, $Q$ – внешней силой, как и в формуле (34.7), а $\frac{\partial T}{\partial q}$ – фиктивной силой Лагранжа (последняя зависит от того, что природа координаты $q$ меняется с изменением положения в пространстве). Для не зависящей от положения в пространстве параллельной системы координат, какой является система координат $x, y, z$, эта последняя часть обобщенной силы равна нулю.