В этом параграфе мы покажем, как метод интегрирования Гамильтона-Якоби непосредственно и, так сказать, «автоматически» приводит к решению астрономической задачи о движении планет. С другой стороны, мы установим, что этот же метод удовлетворяет требованиям атомной физики и дает естественное введение в (старую) квантовую теорию.

Мы исходим из функции Лагранжа для задачи двух тел (при неподвижном Солнце $M$ ) в полярных координатах:
\[
L=\frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\varphi}^{2}\right)+G \frac{m M}{r} .
\]

Выразим отсюда обобщенные импульсы:
\[
p_{r}=m \dot{r}, \quad r_{\varphi}=m r^{2} \dot{\varphi} .
\]

Вводя их в формулу (45.1) и изменив знак перед потенциальной энергией, получим функцию Гамильтона:
\[
H=\frac{1}{2 m}\left(p_{r}^{2}+\frac{1}{r^{2}} p_{\varphi}^{2}\right)-G \frac{m M}{r} .
\]

Согласно (43.9), дифференциальное уравнение Гамильтона имеет следующий вид:
\[
\left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial S}{\partial \varphi}\right)^{2}=2 m\left(W+G \frac{m M}{r}\right) .
\]

На этом примере мы покажем, что следует понимать под «методом разделения переменных», упомянутым на стр. 303 .
Будем искать решение дифференциального уравнения (45.2) в виде:
\[
S=R+\Phi,
\]

где $R$ должно зависеть только от $r$, а $\Phi$ – только от $\varphi$. Если бы мы заменили правую часть уравнения (46.2) для общности через $f(r, \varphi)$, то должно было иметь место
\[
\left(\frac{d R}{d r}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{d \Phi}{d \varphi}\right)^{2}=f(r, \varphi) .
\]

Подобное соотношение, вообще говоря, не выполняется. Если, однако, как в нашем случае, $f$ не зависит от $\varphi$, то достаточно положить $\frac{d \Phi}{d \varphi}$ равным постоянной, скажем $C$. Тогда для определения $R$ получим уравнение
\[
\left(\frac{d R}{d r}\right)^{2}=f(r)-\frac{C^{2}}{r^{2}},
\]

которое может быть разрешено в квадратурах. Допущение о независимости $f$ от $\varphi$, очевидно, равносильно тому, что в нашем случае $\varphi$ является «циклической» координатой, т.е. не входит явно в дифференциальное уравнение. На этом примере мы видим, что метод разделения переменных связан с особыми свойствами симметрии данного дифференциального уравнения, которые проявляются во многих случаях, но далеко не всегда.

Согласно общей схеме $\S 44$, положим $C=\alpha_{2}$. Тогда уравнение (45.2) распадается на два уравнения:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial S}{\partial \varphi}=\alpha_{2}, \\
\frac{\partial S}{\partial r}=\sqrt{2 m\left(W+G \frac{m M}{r}\right)-\frac{\alpha_{2}^{2}}{r^{2}}} .
\end{array}
\]

Уравнение (45.5) представляет собой закон площадей, т. е. второй закон Кеплера: постоянная интегрирования $\alpha_{2}$ означает постоянный момент импульса и в сущности идентична с использованной ранее постоянной площадей (§6). Уравнение (45.6) есть уравнение изменения радиального импульса.

Согласно (45.5) и (45.6), если еще заменить $W$ на $\alpha_{1}$, функция действия $S$ выразится в виде:
\[
S=\int_{r_{0}}^{r} \sqrt{2 m\left(\alpha_{1}+G \frac{m M}{r}\right)-\frac{\alpha_{2}^{2}}{r^{2}}} d r+\alpha_{2} \varphi+\text { const. }
\]

Нижний предел интегрирования может быть выбран произвольно, так как он влияет только на величину аддитивной постоянной.

Прежде всего нас интересует уравнение траектории, т.е. первый закон Кеплера. Для этого мы образуем, согласно (44.2),
\[
\beta_{2}=\frac{\partial S}{\partial \alpha_{2}}=-\alpha_{2} \int_{r_{0}}^{r}\left\{2 m\left(\alpha_{1}+G \frac{m M}{r}\right)-\frac{\alpha_{2}^{2}}{r^{2}}\right\}^{-1 / 2} \frac{d r}{r^{2}}+\varphi .
\]

Здесь, очевидно, удобно ввести вместо $r$ в качестве новой переменной интегрирования $s=\frac{1}{r}$ и переписать равенство (45.8) в следующем виде:
\[
\begin{aligned}
\beta_{2}-\varphi=\alpha_{2} \int_{s_{0}}^{s}\left\{2 m\left(\alpha_{1}+G m M s\right)\right. & \left.-\alpha_{2}^{2} s^{2}\right\}^{-1 / 2} d s= \\
& =\int_{s_{0}}^{s} \frac{d s}{\sqrt{\left(s-s_{\min }\right)\left(s_{\max }-s\right)}} .
\end{aligned}
\]

Здесь $s_{\min }$ и $s_{\max }$ означают обратные величины расстояний от афелия и перигелия; как показывает сравнение обоих интегральных выражений в равенстве (45.9), имеет место:
\[
\left.\begin{array}{c}
s_{\text {min }} s_{\max }=-\frac{2 m \alpha_{1}}{\alpha_{2}^{2}}, \\
s_{\text {min }}+s_{\text {max }}=\frac{2 G m^{2} M}{\alpha_{2}^{2}} .
\end{array}\right\}
\]

Чтобы получить выражение (45.9) в удобной тригонометрической форме, введем еще подстановку:
\[
s=\frac{s_{\text {min }}+s_{\text {max }}}{2}+\frac{s_{\max }-s_{\text {min }}}{2} u,
\]

которая переводит $s=s_{\max }$ в $u=+1, s=s_{\min }$ в $u=-1$. Тогда из (45.9) получаем:
\[
\beta_{2}-\varphi=\int_{u_{0}}^{u} \frac{d u}{\sqrt{1-u^{2}}}
\]

и если мы еще возьмем произвольный нижний предел интегрирования равным $\frac{\pi}{2}$, то
\[
\varphi-\beta_{2}=\arccos u, \quad u=\cos \left(\varphi-\beta_{2}\right) .
\]

Наконец, при помощи (45.11) возвращаемся от $u$ к $s$ и принимаем во внимание, что, согласно рис. 7 , имеет место:
\[
s_{\text {min }}=\frac{1}{a(1+\varepsilon)}, \quad s_{\max }=\frac{1}{a(1-\varepsilon)}
\]

и, следовательно,
\[
s=\frac{1}{a\left(1-\varepsilon^{2}\right)}+\frac{\varepsilon}{a\left(1-\varepsilon^{2}\right)} u .
\]

Отсюда, принимая во внимание формулу (45.13), получаем уравнение эллипса в известной форме:
\[
s=\frac{1}{r}=\frac{1+\varepsilon \cos \left(\varphi-\beta_{2}\right)}{a\left(1-\varepsilon^{2}\right)},
\]

причем постоянная $\beta_{2}$ может быть включена в угол $\varphi$.
Однако по причинам, связанным с наблюдениями, астронома интересует не столько форма орбиты, сколько процесс движения по орбите во времени. Метод Гамильтона – Якоби весьма наглядным образом разрешает и этот вопрос, именно, посредством уравнения (44.1)
\[
t=\frac{\partial S}{\partial W}=\frac{\partial S}{\partial \alpha_{1}}
\]

из которого, после введения переменной $s$, получаем:
\[
t=-\frac{m}{\alpha_{2}} \int_{s_{0}}^{s} \frac{d s}{s^{2} \sqrt{\left(s-s_{\min }\right)\left(s_{\max }-s\right)}} .
\]

Этим представлением мы одновременно дополняем наше прежнее рассмотрение в $\S 6$, при котором мы оставляли без внимания зависимость местоположения планеты от времени. Если мы, далее, введем в качестве новой переменной интегрирования «эксцентрическую аномалию» из задачи I. 16 [ее обозначение $u$ не имеет, конечно, ничего общего с вспомогательной величиной $u$ в формуле (45.11)], то интеграл (45.15) можно взять элементарными способами, и мы придем непосредственно к приведенному в упомянутой задаче уравнению Кеплера:
\[
n t=n-\varepsilon \sin u \text {. }
\]

Как известно, проблема двух и многих тел играет центральную роль также и в современной атомной физике. В атоме водорода электрон движется вокруг ядра (протона), как планета вокруг Солнца. Метод Гамильтона-Якоби поразительным образом оправдался также и в этой области. Этот метод непосредственно приводит нас к необходимости введения квантовых чисел.

В (старой) квантовой теории фазовым интегралом, соответствующим $k$-й степени свободы (если последняя может быть отделена от остальных степеней свободы), называют интеграл:
\[
J_{k}=\int p_{k} d q_{k},
\]

распространенный по всей области значений («фазовой области») переменной $q_{k}$ и требуют при этом, чтобы $J_{k}$ было целым кратным планковского кванта действия (ср. стр. 243):
\[
J_{k}=n_{k} h .
\]

Выражая $p_{k}$ в формуле (45.16) через функцию действия $S$, получаем:
\[
\int \frac{\partial S}{\partial q_{k}} d q_{k}=\Delta S_{k}=n_{k} h
\]

Величина $\Delta S$ есть $k$-й «модуль периодичности» функции действия, т. е. приращение, которое испытывает $S$, когда $q_{k}$ пробегает всю свою фазовую область.

Электрон водородного атома имеет координаты $q_{1}=\varphi$ и $q_{2}=r$. Дифференциальное уравнение (45.2) для $S$ и его решение (45.7) могут быть непосредственно перенесены из астрономии в атомную физику, если в них заменить потенциальную энергию тяготения на кулоновскую энергию $-\frac{e^{2}}{r}$.

Так как фазовая область координаты $\varphi$ простирается от 0 до $2 \pi$, то из формул (45.7) и (45.17) получаем:
\[
\Delta S_{\varphi}=2 \pi \alpha_{2}=n_{\varphi} h .
\]

Здесь $n_{\varphi}$ – азимутальное квантовое число; $\alpha_{2}$, как мы знаем, идентично с азимутальным моментом импульса $p_{\varphi}$.

Фазовая область координаты $r$ простирается от $r_{\min }$ до $r_{\max }$ и обратно. В соответствии с этим формулы (45.7) и (45.17) дают:
\[
\Delta S_{r}=2 \int_{r_{\min }}^{r_{\max }} \sqrt{2 m\left(W-\frac{e^{2}}{r}\right)-\frac{n_{\varphi}^{2} h^{2}}{4 \pi^{2} r^{2}}} d r=n_{r} h .
\]

Здесь $n_{r}$ радиальное квантовое число. Интегрирование можно выполнить (лучше всего комплексным интегрированием в плоскости $r$ ); при этом формула (45.19) переходит в
\[
-n_{\varphi} h+2 \pi i \frac{m e^{2}}{\sqrt{2 m W}}=n_{r} h .
\]

Отсюда получается энергия электрона водородного атома в квантовом состоянии $n=n_{r}+n_{\varphi}$ :
\[
W=-\frac{2 \pi^{2} m e^{4}}{h^{2} n^{2}} .
\]

Эта величина отрицательна, так как энергия при бесконечном удалении электрона от протона (ср. вышеприведенное допущение о потенциальной энергии) принята равной нулю.

Формула (45.21), вместе с постулатом Бора об излучении энергии при квантовых переходах, впервые привела к пониманию спектра водорода (так называемые серии Бальмера) и далее – к современной теории спектральных линий вообще.

Как мы уже указывали в начале §43, современное развитие атомной теории не остановилось на изложенном здесь представлении об электронных орбитах, но, следуя по стопам Гамильтона, пришло к углубленному пониманию атомных процессов на основе волновой механики.