Почти все численные расчеты, встречающиеся в задачах могут быть с достаточной степенью точности выполнены с помощью счетной линейки, которой мы и рекомендуем пользоваться при приближенных подсчетах.

I.1. Доказательство того, что должно быть $v_{1}=v_{2}=v$, можно провести алгебраическим или геометрическим путем. В последнем случае следует воспользоваться величинами $v_{1}$ и $v_{2}$, как прямоугольными координатами на плоской диаграмме.
I.2. Скорость отлетающих масс $m$ и $M$ равна:
\[
\frac{2 M}{M+m} v_{0} \quad \text { и, соответственно, } \frac{M-m}{M+m} v_{0} .
\]
I.3. Здесь сохраняют силу формулы задачи I.2., но скорость первой массы направлена в противоположную сторону.
I.4. Нужно убедиться в том, что квадратное уравнение для $V$ приводит к тому же минимальному значению $v_{0}$, как и уравнение для $v$.
I.5. Дифференциальные уравнения, которые надо проинтегрировать, имеют вид:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d m}{d t}=-\mu, \\
\frac{d}{d t}(m v)-\mu a=-m g .
\end{array}
\]

Из первого уравнения находим:
\[
m=m_{0}-\mu t .
\]

Подставляя это значение во второе уравнение и интегрируя, получим:
\[
v=\frac{\mu a t-m_{0} g t+\frac{\mu g t^{2}}{2}}{m_{0}-\mu t},
\]

или
\[
v=\frac{m_{0}\left(a-\frac{g}{2} \frac{m_{0}}{\mu}\right)}{m_{0}-\mu t}-\left(a-\frac{g}{2} \frac{m_{0}}{\mu}\right)-\frac{g t}{2} .
\]

После вторичного интегрирования ( $z$ – высота над поверхностью Земли):
\[
z=\frac{a m_{0}}{\mu}\left\{\left(1-\frac{\mu}{m_{0}} t\right) \lg \left(1-\frac{\mu}{m_{0}} t\right)+\frac{\mu}{m_{0}} t\right\}-\frac{1}{2} g t^{2} .
\]

Для малых $t$, пренебрегая высшими степенями $t$, получаем:
\[
z=\left(\frac{\mu a}{m_{0}}-g\right) \frac{t^{2}}{2} .
\]

Вычисление с помощью формулы (1) дает:
\[
\begin{array}{l}
t=10 ; \quad 30 ; \quad 50 \text { сек. } \\
z=0,54 ; \quad 5,65 ; \quad 18,4 \text { км. } \\
\end{array}
\]

I.6. Поскольку плотность равна единице, масса водяной капли будет $m=\frac{4 \pi}{3} r^{3}$; следовательно, $d m=4 \pi r^{2} d r$. С другой стороны, при конденсации ( $\alpha$ – коэффициент пропорциональности) $d m=4 \pi r^{2} \alpha d t$; следовательно, $d r=\alpha d t$. Переходя к переменной $r$, получим следующее дифференциальное уравнение:
\[
\alpha \frac{d}{d r}\left(r^{3} v\right)=r^{3} g .
\]

Решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию $v=v_{0}$ при $r=c$, имеет вид:
\[
v=\frac{g}{\alpha} \frac{r}{4}+\frac{c^{3}}{r^{3}}\left(v_{0}-\frac{g}{\alpha} \frac{c}{4}\right) .
\]

При $c=0$ получаем:
\[
v=\frac{g}{\alpha} \frac{r}{4},
\]

а при $v_{0}=0$,
\[
v=\frac{g}{\alpha} \frac{r}{4}\left(1-\frac{c^{4}}{r^{4}}\right) .
\]
I.7. Обозначим через $x$ длину свешивающейся части цепи. Полагая массу, приходящуюся на единицу длины цепи, равной единице, получим следующее уравнение движения:
\[
\frac{d}{d t}(x \dot{x})=x \ddot{x}+\dot{x}^{2}=g x .
\]

Ввиду того, что интегрирование этого уравнения довольно сложно (после подстановки $x=\sqrt{u}$ оно приводит к эллиптическому интегралу), можно ограничиться выражением величин $\dot{T}, \dot{V}, \dot{Q}$ (потеря энергии за единицу времени по теории Карно) через $x, \dot{x}, \ddot{x}$ и показать, что, в силу уравнения движения, имеет место:
\[
\dot{T}+\dot{V}+\dot{Q}=0, \quad \text { т. е. } \quad \dot{T}+\dot{V}
eq 0 .
\]
I.8. Уравнение движения имеет вид $l \ddot{x}=g x$. Это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами можно проинтегрировать согласно (3.24б). В том, что закон сохранения энергии удовлетворяется, можно убедиться либо в его дифференциальной форме – путем рассмотрения уравнения движения, либо в его интегральной форме – рассматривая решение этого уравнения:
\[
x=a\left(e^{\alpha t}+e^{-\alpha t}\right), \quad \alpha^{2}=\frac{g}{l}, \quad a=\frac{x_{0}}{2} .
\]

I.9. Числовые данные задачи позволяют определить центростремительное ускорение Луны в $м /$ сек $^{2}$. Длину радиуса Земли можно при этом положить, в соответствии с определением метра, равной $r=\frac{2}{\pi} \cdot 10^{7}$ м; с другой стороны, из закона всемирного тяготения, исключая гравитационную постоянную $G$ с помощью $g$ (см. стр. 34), получаем для центростремительного ускорения величину $g / 60^{2}$. Оба полученные таким образом числовые значения совпадают с достаточной степенью точности.
I.10. Применим формулы преобразования координат, как в (2.5), полагая, однако, $\alpha_{0}=\beta_{0}=\gamma_{0}=0$. Компоненты преобразованного момента $M^{\prime}$ получаются в виде выражений, линейных относительно компонент $M$, с коэффициентами, равными минорам матрицы преобразования. Последние удовлетворяют следующим соотношениям, справедливость которых вытекает из условий ортогональности:
\[
\rho \gamma_{1}=\left|\begin{array}{ll}
\alpha_{2} & \alpha_{3} \\
\beta_{2} & \beta_{3}
\end{array}\right|, \quad \rho \gamma_{2}=\left|\begin{array}{ll}
\alpha_{3} & \alpha_{1} \\
\beta_{3} & \beta_{1}
\end{array}\right|, \ldots
\]

Здесь $\rho= \pm 1$, в зависимости от того, можно ли путем вращения совместить преобразованную систему с исходной или нет (правая и левая системы).
I.11. Из формул (6.8) (стр. 65) непосредственно следует:
\[
\varepsilon=\frac{B}{\frac{G M}{C}} .
\]

Следовательно, для эллипса $(\varepsilon<1) \frac{G M}{C}>B$, для гиперболы $(\varepsilon>1$ ) $\frac{G M}{C}<B$. Но $R=\frac{G M}{C}$ есть радиус окружности годографа, а $B$ – расстояние центра от полюса. Отсюда непосредственно вытекает утверждение задачи. Характеристики предельных случаев окружности и параболы дает следующая таблица, в которой
\[
v_{0}=\frac{G M}{C}-B
\]

означает скорость планеты в перигелии.

I.12. В дифференциальных уравнениях (6.4) нужно заменить $G M$ на $\pm \frac{e E}{m}$, причем верхний знак (притяжение) соответствует случаю положительного иона, а нижний знак (отталкивание) – случаю отрицательного иона. Тогда уравнения (6.5) (при том же значении $\varphi$, что и на рис. 6) дадут при $\varphi=\frac{\pi}{2}$
\[
A= \pm \frac{e E}{m} C, \quad B=-v_{0},
\]

так как
\[
\dot{x}=0, \quad \dot{y}=-v_{0} .
\]

При этом уравнения (6.6) принимают вид
\[
\frac{1}{r}= \pm \frac{e E}{m_{0} C^{2}}(1-\sin \varphi)-\frac{v_{0}}{C} \cos \varphi .
\]

Так как $C$ меняется от траектории к траектории в зависимости от расстояния начальной прямолинейной траектории от оси $y$, то это уравнение определяет семейство кривых. Для того чтобы получить огибающую этого семейства, нужно продифференцировать уравнение (1) по $C$. Исключив $C$ из продифференцированного и исходного уравнения (1), получим для искомой огибающей
\[
x^{2}=p^{2}-2 p g, \quad p= \pm \frac{4 e E}{m_{0} v_{0}^{2}} .
\]

Нужно принять во внимание, что траектория электрона всякий раз представляет собой одну ветвь гиперболы, тогда как уравнение (1) определяет обе ветви, и убедиться (проще всего, изобразив рассматриваемое семейство кривых графически) в том, что только в случае отталкивания уравнение (2) определяет огибающую истинных траекторий электронов.
I.13. Проще всего воспользоваться методом гармонических колебаний (см. §3, раздел 4). Поучительно, однако, убедиться и том, что методы, приведенные в $\S 6$, также ведут к цели.
I.14. Рассматриваемый здесь ядерный процесс не является ни упругим, ни неупругим, а «сверхупругим» соударением, поскольку к первичной энергии $E$ прибавляется ядерная энергия $W$. Кинетическую энергию альфа-частиц можно выразить в классической форме:
\[
E_{\alpha}=\frac{1}{2} m_{\alpha} v_{\alpha}^{2} .
\]

Исключая $v_{\alpha}$ из уравнений, выражающих законы сохранения энергии и импульса, получаем (в согласии с Кирхнером) для симметричного случая:
\[
\cos \varphi=\sqrt{\frac{m_{p}}{2 m_{\alpha}} \frac{E_{p}}{W+E_{p}}} .
\]

1 электрон-вольт есть энергия, которую приобретает электрон $\left(e=1,6 \cdot 10^{-20}\right.$ электромагнитных единиц заряда) под действием разности потенциалов в один вольт ( $1 \mathrm{~V}=10^{8}$ электромагнитных единиц потенциала); следовательно, $1 \mathrm{eV}=1,6 \cdot 10^{-12}$ эрг.

Масса протона $m=1,65 \cdot 10^{-24}$ г; следовательно, масса альфа-частицы $m=6,6 \cdot 10^{-24}$ г. Последняя величина необходима для того, чтобы перейти от значения энергии $E_{\alpha}$, первоначально выраженного в электрон-вольтах, а затем в эргах, к скорости $v_{\alpha}$. Найденная таким образом величина $v_{\alpha}$ показывает, что применение классического выражения для $E_{\alpha}$ оправдано и что релятивистская поправка [формула (4.11)] неощутимо мала.
I.15. Из второй формулы (3.27) при $V_{0}=0$ и, например, $v_{0}=1$ непосредственно вычисляется кинетическая энергия $\frac{M}{2} V^{2}$ «ударяемой» частицы после соударения как функция $x=\frac{M}{m}$, в частности, ее максимум для $x=1$ и ее малая ордината для $x=206$. Последняя величина составляет всего только 10 промилле (т.е. $1 \%$ от первой).

Исходя из этого рассуждения, Ферми разработал в 1935 г. свой метод получения «тепловых» нейтронов, т. е. медленных нейтронов одинаковой скорости, которые, благодаря многократным соударениям, приходят в равновесие с протонами, содержащимися в парафине.
I.16. Координаты точки $E$ суть
\[
\begin{array}{c}
x=M L=a \cos u=S L-S M=r \cos \varphi-\varepsilon a, \\
y=E L=r \sin \varphi=b \sin u .
\end{array}
\]

Уравнение эллипса, выраженное через $r$ и $\varphi$, преобразуется к виду:
\[
r=\varepsilon r \cos \varphi+p, \quad p=a\left(1-\varepsilon^{2}\right) .
\]

Отсюда, подставляя величину $r \cos \varphi$ из (1a), получаем:
\[
r=\varepsilon(a \cos u+\varepsilon a)+a\left(1-\varepsilon^{2}\right)=a(1+\varepsilon \cos u) .
\]

Дифференцирование уравнения (2) дает:
\[
d r=-\varepsilon a \sin u d u .
\]

Дифференцируя уравнение (1), получаем:
\[
\varepsilon \sin \varphi d \varphi=-p \frac{d r}{r^{2}} .
\]

Отсюда
\[
\frac{-p}{\varepsilon \sin \varphi} \dot{r}=r^{2} \dot{\varphi}=C \text { (постоянная площадей). }
\]

С помощью соотношений (1б) и (3) это уравнение преобразуется к виду:
\[
\frac{p a}{b} r \dot{u}=C .
\]

Заменяя еще $r$ по формуле (2), окончательно получим дифференциальное уравнение
\[
\begin{array}{c}
(1+\varepsilon \cos u) d u=n d t, \\
n=\frac{C b}{p a^{2}} .
\end{array}
\]

Интегрирование уравнения (5) дает:
\[
u-\varepsilon \sin u=n t .
\]

Постоянная интегрирования обращаетея в нуль, так как при $t=0 u$ должно быть равно нулю. Величина $n t$ называется «средней аномалией» (в астрономии она также отсчитывается от перигелия). Это название объясняется тем, что правая часть формулы (6) с помощью формулы (6.9) может быть приведена к виду $2 \pi / T$.
II.1. Преобразуя выражение
\[
\delta f=\frac{\partial f}{\partial x} \delta x+\frac{\partial f}{\partial y} \delta y+\frac{\partial f}{\partial \varphi} \delta \varphi+\frac{\partial f}{\partial \psi} \delta \psi,
\]

согласно условию (1) данной задачи, получим
\[
\left(\frac{\partial f}{\partial x} a \cos \psi+\frac{\partial f}{\partial y} a \sin \psi+\frac{\partial f}{\partial \varphi}\right) \delta \varphi+\frac{\partial f}{\partial \psi} \delta \psi=0 .
\]

Отсюда, поскольку $\delta \varphi$ и $\delta \psi$ могут быть в отдельности приравнены нулю,
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial f}{\partial \psi}=0 \\
a \frac{\partial f}{\partial x} \cos \psi+a \frac{\partial f}{\partial y} \sin \psi+\frac{\partial f}{\partial \varphi}=0 .
\end{array}
\]

Последнее равенство справедливо для любого $\psi$ и поэтому может быть продифференцировано по $\psi$. Принимая во внимание (2), получаем:
\[
-a \frac{\partial f}{\partial x} \sin \psi+a \frac{\partial f}{\partial y} \cos \psi=0
\]

и после вторичного дифференцирования по $\psi$ :
\[
a \frac{\partial f}{\partial x} \cos \psi+a \frac{\partial f}{\partial y} \sin \psi=0 .
\]

Из (4) и (5) следует:
\[
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}=0 .
\]

Согласно (3), имеем также:
\[
\frac{\partial f}{\partial \varphi}=0 .
\]

Из равенств (2), (6) и (7) следует, что никакого условия связи $f=0$, содержащего $x, y, \varphi, \psi$, не существует и поэтому наша система является неголономной. (Доказательство Г. Гаме.ıя – «Elementare Mechanik», 2. Aufl. Leipzig, 1922.)
II.2. Начертим диаграмму работы машины, т.е. кривую момента $M$ и (горизонтальную) прямую момента $W$; по оси абсцисс откладываем угол поворота кривошипа от 0 до $\pi$; следует обратить внимание на то, что площади, заключенные между осью и соответственно линией $M$ и прямой $W$, должны быть равны друг другу. Таким образом, получается соотношение между $M_{0}$ и $W$. Углы $\varphi_{2}$ и $\varphi_{1}$, соответствующие $\omega_{\max }$ и $\omega_{\min }$, получаются на диаграмме как абсциссы точек пересечения линий $M$ и $W: \sin \varphi_{1}=\sin \varphi_{2}=\frac{2}{\pi}$, $\varphi_{2}=\pi-\varphi_{1}, \varphi_{1}=39^{\circ} 33^{\prime}=0,69$ в дуговой мере. Определяем разность кинетических энергий маховика при углах $\varphi_{2}$ и $\varphi_{1}$ и выражаем ее через $\Theta, \omega_{m}$ и $\delta$. Из закона сохранения энергии, примененного к тому же интервалу углов, получаем выражение для искомого момента инерции $\Theta$ в виде:
\[
\Theta=\frac{W}{\delta \omega_{m}^{2}}\left(\pi \cos \varphi_{1}-\pi+2 \varphi_{1}\right)=\frac{0,66}{\delta \omega_{m}^{2}} W .
\]

Введн
\[
N=\frac{W \omega}{75} \text { л.с. } \quad \text { и } \quad n=\frac{60}{2 \pi} \omega \frac{\text { об. }}{\text { мин. }},
\]

получаем (в технической системе единиц):
\[
\Theta \sim 43400 \frac{N}{\delta n^{3}} \kappa 2 \cdot \mu \cdot \text { cek }^{2} .
\]
II.3. Относительно величины земного радиуса см. задачу I. 9. Для вычисления продолжительности суток можно принять $\sqrt{8 \pi}=5$.

II.4. а) Если представить себе коромысло весов закрепленным, то нужно рассматривать только равновесие силы тяжести и сил инерции, действующих на ролик при его виртуальном вращении $\delta \varphi$ (уравнение моментов). Отсюда получается ускорение грузов $\ddot{x}$ как малая часть величины $g$
б) Прибавляем виртуальное вращение коромысла весов. При этом нужно принять во внимание моменты сил инерции относительно оси вращения коромысла весов. Равновесие нарушается: коромысло отклоняется в сторону чашки весов до тех пор, пока падает груз $p$. При определении избыточного груза можно пренебречь диаметром ролика по сравнению с плечом коромысла весов. В этом пренебрежении можно также приравнять Друг другу нагрузку чашки весов и нагрузку другого конца коромысла, вызванную весом и силами инерции.
II.5. Пусть уравнение наклонной плоскости имеет вид:
\[
F(z, x, t)=z-a x-\varphi(t)=0 .
\]

Здесь $a=\operatorname{tg} \alpha$ определяет постоянный угол $\alpha$, образуемый наклонной плоскостью с горизонтом; $\varphi(t)$ – изменяющийся со временем отрезок, отсекаемый наклонной плоскостью на оси $z$. Уравнения Лагранжа первого рода (12.9) дают:
\[
\ddot{x}=-\lambda a, \quad \ddot{z}=\lambda-g .
\]

Для того чтобы определить $\lambda$, нужно дважды продифференцировать по $t$ уравнение (1); при этом получаем:
\[
\ddot{z}-a \ddot{x}=\ddot{\varphi}(t) .
\]

Подставляя выражение (2) в уравнение (3), получим $\lambda$, после чего интегрирование уравнений (2) легко выполняется. Начальные условия $\dot{x}=\dot{z}=0$, $x=x_{0}, z=z_{0}$ при $t=0$ дают:
\[
\begin{array}{l}
x=x_{0}-\frac{a}{1+a^{2}}\left(\varphi(t)-\varphi(0)-\dot{\varphi}(0) t+g \frac{t^{2}}{2}\right), \\
z=z_{0}+\frac{1}{1+a^{2}}\left(\varphi(t)-\varphi(0)-\dot{\varphi}(0) t-g a^{2} \frac{t^{2}}{2}\right),
\end{array}
\]

Отсюда для $\ddot{\varphi}=+g$ получим:
\[
x=x_{0}-\sin 2 \alpha g \frac{t^{2}}{2}, \quad z=z_{0}+\cos 2 \alpha g \frac{t^{2}}{2}
\]

и для $\ddot{\varphi}=-g$ :
\[
x=x_{0}, \quad z=z_{0}-g \frac{t^{2}}{2},
\]

как и при свободном падении. Только при этом допущении $\lambda$ равно нулю, в остальных случаях $\lambda$ характеризует давление на скользящее по наклонной плоскости тело и обусловливает отличную от нуля работу связи.

Задачу можно решить, не вводя $\lambda$, с помощью принципа Даламбера. Ввиду того, что время не должно варьироваться (стр. 92), виртуальные перемещения, согласно (1), связаны соотношением $\delta z=a \delta x$. Тогда, согласно принципу Даламбера, имеет место уравнение:
\[
\ddot{x}+(g+\ddot{z}) a=0 .
\]

Это уравнение вместе с уравнением (3) позволяет непосредственно вычислить $\ddot{x}$ и $\ddot{z}$. На этом примере видно, что метод Даламбера прямее и проще приводит к цели, чем уравнения Лагранжа, преимущество которых, в свою очередь, заключается в возможности количественного определения возникающих давлений.
II.6. В § 11, раздел 1 , мы применяли принцип Даламбера для вывода уравнения ускорения системы, вращающейся под действием момента внешних сил. При этом мы рассматривали виртуальный поворот $\delta \varphi$ вокруг оси вращения, которая в дальнейшем может быть выбрана за ось $x$. В рассмотрение входили лишь касательные силы инерции, поскольку нормальные силы инерции (центробежные силы) при вращении $\delta \varphi$ не производят работы.

Теперь речь идет о нагрузке на подшипники $A, B$ при равномерном вращении, а, значит, и об их реакциях $A$ и $B$. При этом нужно принять во внимание именно центробежные силы, в то время как касательные силы инерции при равномерном вращении отсутствуют. Если сообщить системе виртуальные параллельные перемещения $\delta y(\delta z)$, то соответствующие виртуальные работы будут равны произведению величины $\delta y$ (и соответственно $\delta z$ ) на сумму слагающих по оси $y$ (соответственно по оси $z$ ) центробежных сил всех элементов массы:
\[
d m y \omega^{2}, \quad d m z \omega^{2} .
\]

Отсюда путем интегрирования получаем слагающие $Y$ и $Z$ обычного центробежного движения общей массы $m$, которую мы представляем себе сосредоточенной в центре тяжести системы.

Если, с другой стороны, сообщить системе виртуальные повороты $\delta \varphi_{y}$ и $\delta \varphi_{z}$ вокруг осей $y$ и $z$, то получаем виртуальные работы
\[
-\delta \varphi_{y} \int d m x z \omega^{2} \quad \text { и } \quad \delta \varphi_{z} \int d m x y \omega^{2} .
\]

Они соответствуют моментам
\[
M_{y}=-\Theta_{x z} \omega^{2} \quad \text { и } \quad M_{z}=\Theta_{x y} \omega^{2} .
\]

Для определения реакций подшипников $A$ и $B$ поместим начало системы координат $x, y, z$, например, в подшипнике $A$ и обозначим расстояние между обоими подшипниками через $l$, а координаты центра тяжести в направлениях $y$ и $z$ – через $\eta$ и $\zeta$. Тогда для определения четырех неизвестных $A_{y}, A_{z}$ и $B_{y}, B_{z}$ мы имеем два уравнения для компонент сил:
\[
\begin{array}{c}
A_{y}+B_{y}=-m \eta \omega^{2}, \\
A_{z}+B_{z}=-m \zeta \omega^{2}
\end{array}
\]

и два уравнения для моментов:
\[
\begin{array}{l}
l B_{z}=\Theta_{x z} \omega^{2}, \\
l B_{y}=\Theta_{x y} \omega^{2} .
\end{array}
\]

Понятно, что эти периодически изменяющиеся реакции подшипников крайне нежелательны в технике; для их устранения недостаточно, чтобы центр тяжести находился на оси вращения, $\eta=\zeta=0$ [уравнения (1)], но также необходимо, чтобы ось вращения была главной осью инерции, т. е. $\Theta_{x z}=\Theta_{x y}=0$ [уравнения (2)]; ср. в $\S 22$ рассуждения, относящиеся к уравнению (22.15a). Выполнение этого второго требования столь же важно, как и выполнение первого требования. Выполнение этих двух требований называют «балансировкой тела вращения».
II.7. Обозначим через $S$ натяжение нити, а через $z$ – длину ее размотанной части в данный момент времени. Тогда имеет место: $B$ случае а), т.е. при опускании:
\[
\Theta \dot{\omega}=S r, \quad S=m(g-\ddot{z}) .
\]

Величины $\dot{z}$ и $\ddot{z}$ положительны; ввиду того, что $\dot{z}=r \omega$, имеем
\[
\begin{array}{c}
\ddot{z}-r \dot{\omega}=\frac{S r^{2}}{\Theta}, \\
S=\frac{m g}{1+\frac{m r^{2}}{\Theta}} .
\end{array}
\]

В случае б), т.е. при подъеме:
Вращение $\omega$ сохраняет свое направление. Вращающий момент силы натяжения нити противодействует вращению $\omega$. Величины $\dot{z}$ и $\ddot{z}$ отрицательны, и мы имеем:
\[
\begin{array}{c}
\dot{z}=-r \omega, \quad \ddot{z}=-r \dot{\omega}=+\frac{S r^{2}}{\Theta} . \\
S=\frac{m g}{1+\frac{m r^{2}}{\Theta}} .
\end{array}
\]

Натяжение нити в обоих случаях а) и б) одинаково; оно меньше веса вращающегося тела.

В промежутке времени между а) и б) рука, держащая нить, ощущает заметный рывок, соответствующий переходу от положительного ускорения $\ddot{z}$ к отрицательному; в этом промежутке $\ddot{z}$ на мгновение обращается в нуль, и натяжение $S$ становится в действительности больше, чем по формуле (2).
II.8. Условием отрыва, согласно (18.7), является
\[
\lambda=0 \text { или } R_{n}=0 ;
\]

следовательно, согласно (18.6),
\[
m g \frac{z}{l}=-\frac{m}{l}(x \ddot{x}+y \ddot{y}+z \ddot{z}) .
\]

Для каждой траектории на сфере имеет место соотношение:
\[
x \dot{x}+y \dot{y}+z \dot{z}=0, \quad \text { т. е. } \quad x \ddot{x}+y \ddot{y}+z \ddot{z}=-\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)=-v^{2} .
\]

Поэтому уравнение (1) принимает вид:
\[
\frac{m g z}{l}=\frac{m v^{2}}{l} .
\]

Правая часть этой формулы не равна центробежной силе на траектории (поскольку в нашем случае эта траектория не является геодезической линией), однако, согласно теореме Менье (см. §35), она соответствует проекции этой центробежной силы на нормаль к поверхности шара.
Согласно закону сохранения энергии,
\[
v^{2}=v_{0}^{2}-2 g\left(z-z_{0}\right) .
\]

В соответствии с этим, уравнение (2) может быть преобразовано к начальным значениям $v_{0}, z_{0}$ следующим образом:
\[
3 z=2 z_{0}+\frac{v_{0}^{2}}{g}=2\left(z_{0}+h_{0}\right),
\]

где $h_{0}=v_{0}^{2} / 2 g-$ скоростной напор, соответствующий скорости $v_{0}$.
III.1. В случае почти вертикально свисающего маятника координаты $x$ и $y$ являются величинами первого порядка малости; $z=-l$ с точностью до малых второго порядка. Поэтому третье уравнение (18.2) дает (с точностью до малых второго порядка):
\[
\lambda=-\frac{m g}{l},
\]

а первые два уравнения (18.2) определяют, как и в задаче 1.13, гармоническое движение по эллипсу с циклической частотой
\[
\frac{2 \pi}{T}=\sqrt{\frac{g}{l}} .
\]

Для постоянной площадей при движении по эллипсу имеем:
\[
C=\frac{2 \pi a b}{T}=\sqrt{\frac{g}{l}} a b \rightarrow 0
\]

и для постоянной энергии (начальное состояние $\vartheta_{0}=\varepsilon, \dot{\vartheta}_{0}=0$ ):
\[
W=T+V=m g l\left(-1+\frac{\varepsilon^{2}}{2}\right) .
\]

Вводя $u=1-\eta$, получаем из уравнения (18.11):
\[
\begin{array}{c}
U=-\frac{4 g}{l}\left(\eta-\frac{\varepsilon^{2}}{2}\right) \eta-\frac{C^{2}}{l^{4}}=\frac{4 g}{l}\left(\eta-\eta_{1}\right)\left(\eta-\eta_{2}\right), \\
\eta_{1,2}=\frac{\varepsilon^{2}}{4} \pm \sqrt{\frac{\varepsilon^{4}}{16}-\frac{C^{2}}{4 g l^{2}}} .
\end{array}
\]

Следовательно, из формулы (18.15) при $k=0$ получаем:
\[
\Delta \varphi=\frac{C}{2 l \sqrt{l g}} \int_{\eta_{2}}^{\eta_{1}} \frac{d \eta}{\eta \sqrt{\left(\eta_{1}-\eta\right)\left(\eta-\eta_{2}\right)}} .
\]

Интеграл, входящий в формулу (5), можно преобразовать с помощью подстановки аналогичной (45.11), в известный интеграл:
\[
\int_{0}^{\pi} \frac{d v}{A+B \cos v}=\frac{\pi}{\sqrt{A^{2}-B^{2}}},
\]

где
\[
A=\frac{\varepsilon^{2}}{4}, \quad B=\sqrt{\frac{\varepsilon^{4}}{16}-\frac{C^{2}}{4 g l^{3}}} .
\]

В соответствии с этим, из (5) получаем $\Delta \varphi=\pi$, что и требовалось доказать.
III.2. Первое (и соответственно второе) утверждение данной задачи доказывается непосредственно путем дифференцирования выражения (19.10) для $|C|$ (и, соответственно, выражения $|C| \omega$ ) по $\omega$.

III.3. Если коэффициенты пропорциональности момента затухания и упругого момента обозначить через $2 \rho \Theta$ и соответственно через $\omega_{0}^{2} \Theta$, то в качестве уравнения движения гальванометра получаем непосредственно уравнение (19.9), но с постоянной правой частью $C$ и с переменной $\alpha$ вместо $x$. Значения констант $a$ и $b$, входящих в общее решение
\[
\alpha=C+e^{-\rho t}\left(a \cos \sqrt{\omega_{0}^{2}-\rho^{2}} t+b \sin \sqrt{\omega_{0}^{2}-\rho^{2}} t\right),
\]

нужно выбирать так, чтобы они удолетворяли условиям $\alpha=\dot{\alpha}=0$ при $t=0$.
В случае а) переход в конечное положение сопровождается затухающими колебаниями, в случае в) этот переход происходит монотонно. Случай б) надо рассматривать как предельный по отношению к а) или в), причем здесь появляется вековой член с множителем $t$.
III.4. а) Согласно принципу Даламбера ( $x, y$ – координаты качающейся материальной точки, ось $y$ направлена вертикально вверх), имеем:
\[
\ddot{x} \delta x+(\ddot{y}+g) \delta y=0 .
\]

Условие связи имеет вид:
\[
(x-\xi)^{2}+y^{2}=l^{2} .
\]

Варьирование этого условия дает:
\[
(x-\xi) \delta x+y \delta y=0
\]
$(t$, а поэтому также и $\xi$, не варьируется). Комбинируя (1) и (3), получим:
\[
y \ddot{x}-(x-\xi)(\ddot{y}+g)=0 .
\]

Если условие (2) дважды продифференцировать по $t$, то получим второе соотношение для $\ddot{x}$ и $\ddot{y}$, которое вместе с (4) и дает точное дифференциальное уравнение рассматриваемой задачи.

Переходя к малым колебаниям, нужно учесть, что $x-\xi$ является величиной первого порядка малости и что, согласно (2), с точностью до малых величин второго порядка $y=-l$. Следовательно, $\dot{y}$ и $\ddot{y}$ являются величинами второго порядка малости. В соответствии с этим уравнение (4) переходит в
\[
l \ddot{x}+(x-\xi) g=0 .
\]

Вводя $x-\xi=u$, получим неоднородное уравнение маятника
\[
\ddot{u}+\frac{g}{l} u=-\ddot{\xi},
\]

в котором $-m \ddot{\xi}$ играет роль вынуждающей силы. Интегрирование выполняется, как указано на стр. 137. Указанное в задаче соотношение фаз движений точки подвеса и материальной точки соответствует рис. 31. Рекомендуем проделать опыт со шнуром, на нижнем конце которого подвешен груз, а верхний конец приводится рукой в колебательное движение в горизонтальном направлении. При быстром движении (выше резонанса) противоположное по фазе движение обеих точек особенно заметно.

Если воспользоваться методом уравнений Лагранжа первого рода, то из уравнения для $y$ получаем, с точностью до малых второго порядка, $\lambda=-\frac{g}{l}$; из уравнения для $x$ получаем уравнение (5).
б) Условие (1) сохраняется и в этом случае. Условие связи (2) принимает следующий вид:
\[
x^{2}+(y-\eta)^{2}=l^{2} .
\]

Варьирование этого условия дает вместо (4):
\[
(y-\eta) \ddot{x}-x(\ddot{y}+g)=0 .
\]

Если $x$ рассматривать как малую величину первого порядка, то из условия (7), с точностью до малых второго порядка, получаем;
\[
y-\eta=-l, \quad \ddot{y}=\ddot{\eta} .
\]

Поэтому уравнение (8) принимает вид
\[
\ddot{x}+\frac{\ddot{\eta}+g}{l} x=0 .
\]

То же самое получается и из уравнений Лагранжа первого рода, так как уравнение для $y$ в приближении (9) дает величину
\[
\lambda=-\frac{\ddot{\eta}+g}{l},
\]

вследствие чего уравнение для $x$ становится тождественным с уравнением (10).

При равномерно ускоренном движении точки подвеса вверх с ускорением $+g$ действие силы тяжести как бы удваивается, а при движении вниз с ускорением $-g$ ее действие как бы уничтожается. Это означает эквивалентность тяжести и ускорения, которая, наряду с равенством тяжелой и инертной масс (стр. 32), явилась основой теории тяготения Эйнштейна.

III.5. Из равновесия натяжения в точках $c$ и $D$ вытекают требования:
\[
\begin{array}{l}
S_{1} \frac{x_{1}-x_{3}}{l_{1}}=S \frac{x_{3}}{a}+S \frac{x_{3}-x_{4}}{a}, \\
S_{2} \frac{x_{2}-x_{4}}{l_{2}}=S \frac{x_{4}}{a}+S \frac{x_{4}-x_{3}}{a} .
\end{array}
\]

Таким образом, ввиду уравнений (1) (ср. текст задачи), вводя
\[
\sigma_{1}=\frac{m_{1} g}{S} \frac{a}{l_{1}}, \quad \sigma_{2}=\frac{m_{2} g}{S} \frac{a}{l_{2}},
\]

получаем:
\[
\left.\begin{array}{l}
\sigma_{1} x_{1}=\left(2+\sigma_{1}\right) x_{3}-x_{4}, \\
\sigma_{2} x_{2}=\left(2+\sigma_{2}\right) x_{4}-x_{3} .
\end{array}\right\}
\]

В силу предположения о слабой свнзи, $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ нвляются малыми величинами, так что в правых частях уравнений (4) ими можно пренебречь. Разрешая эти уравнения относительно $x_{3}, x_{4}$, получаем:
\[
\begin{array}{l}
x_{3}=\frac{2}{3} \sigma_{1} x_{1}+\frac{1}{3} \sigma_{2} x_{2}, \\
x_{4}=\frac{2}{3} \sigma_{2} x_{2}+\frac{1}{3} \sigma_{1} x_{1} .
\end{array}
\]

и, после подстановки в уравнении (2):
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}_{1}+\frac{g}{l_{1}}\left(1-\sigma_{1}\right) x_{1}=\frac{1}{3} \frac{g}{l_{1}} \sigma_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right), \\
\ddot{x}_{2}+\frac{g}{l_{2}}\left(1-\sigma_{2}\right) x_{2}=\frac{1}{3} \frac{g}{l_{1}} \sigma_{1}\left(x_{1}-x_{2}\right) .
\end{array}
\]

Эту систему дифференциальных уравнений нужно сравнить с уравнениями (20.10); при этом получаются значения введенных там величин $\omega_{1}, \omega_{2}$, $k_{1}, k_{2}$ для рассматриваемого теперь расположения.
III.6. Воздействие $m$ на $M$ выражается величиной $k(X-x)$, а воздействие $M$ на $m$ – величиной $k(x-X)$. В полученной таким путем системе двух дифференциальных уравнений для $X$ и $x$ нужно положить $X=0$. Оказывается, что искомое условие (колебание одной только массы $m$ ) совпадает с условием резонанса; круговая частота собственных колебаний системы $(m, k)$ должна совпадать с частотой $\omega$ внешней силы.

Подобное устройство применяется в технике в качестве «успокоителя колебаний», чтобы, например, в случае коленчатого вала с маховиком, вращающегося с постоянной угловой скоростью $\omega$, передавать колебания с вала на связанный с ним успокоитель колебаний (являющийся в данном случае также вращающимся механизмом, способным совершать крутильные колебания). При этом вместо координаты $x$ нашей задачи в рассмотрение войдет угол поворота.
III.7. а) Удар $m v$ сообщает баллистическому маятнику начальный момент импульса, из которого нужно определить его угловую скорость при $t=0$. Из уравнения движения физического маятника, зная угловую скорость, найдем отклонение $\alpha$. Обратив эту формулу, получим:
\[
v=\frac{\sqrt{M g s \Theta}}{m a} 2 \sin \frac{\alpha}{2}
\]

или также
\[
v=\frac{M}{m} \frac{s}{a} g \tau \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\pi}=\frac{M}{m} \frac{s}{a} \sqrt{g l} 2 \sin \frac{\alpha}{2},
\]

где $\tau$ – период малого колебания.
б) После удара угловая скорость вращения маятника $\omega$ определяется из закона сохранения момента импульса:
\[
\Theta \omega=m v a,
\]

где $\Theta$ – момент инерции всей системы (маятник + снаряд) относительно оси вращения маятника. (В дальнейшем под маятником понимается система, состоящая из собственно баллистического маятника и снаряда, застрявшего в нем.) С другой стороны, если при ударе снаряда ось маятника не испытывает дополнительной нагрузки, то закон движения центра тяжести дает:
\[
M u=m v,
\]

где $u$ – скорость движения центра тяжести системы. Так как
\[
u \equiv \omega s,
\]

то
\[
\frac{\Theta}{M}=a s,
\]

откуда, вводя приведенную длину маятника $l=\frac{\Theta}{M s}$, находим:
\[
a=l .
\]

Определенная таким образом точка подвеса маятника (ось машинка) называется «центром удара». Кузнец точно знает, в каком месте нужно держать рукоятку своего тяжелого молота (именно – в центре удара), чтобы при ударе не ощущать в руке неприятную отдачу.

IV.1. Моменты инерции плоско распределенных масс играют важную роль в теории упругости при рассмотрении кручения и изгиба балок. Ввиду $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ имеем:
\[
\Theta_{p}=\int r^{2} d m=\int x^{2} d m+\int y^{2} d m=\Theta_{x}+\Theta_{y} .
\]

В применении к теории упругости масса предполагается равномерно распределенной с плотностью 1 по поперечному сечению балки, так что $d m=d f=$ элементу площади. В соответствии с этим для кругового диска радиуса $a$, т.е. площади $F=\pi a^{2}$, получаем:
\[
\Theta_{p}=\int r^{2} d f=2 \pi \int r^{3} d r=\frac{1}{2} F a^{2},
\]

откуда
\[
\Theta_{x}=\Theta_{y}=\frac{1}{4} F a^{2} .
\]
IV.2. Оставляя до конца открытым вопрос о соотношениях величин трех главных моментов инерции, мы охватываем одним и тем же расчетом все три случая: когда $A$ является наибольшим, наименьшим или средним из главных моментов инерции.
IV.3. Удар S одновременно сообщает шару радиуса $a$ импульс поступательного движения и импульс вращательного движения:
\[
M v=S
\]

и
\[
\Theta \omega=S h,
\]

где $h$ – высота (относительно центра шара) точки удара, произведенного кием в горизонтальном направлении.

Ось вращения $\omega$ перпендикулярна к центральной плоскости. Окружная скорость $u$ в наинизшей точке лежит в центральной плоскости и равна $a \omega$. Это справедливо не только для $t=0$ (момент удара), но также для $t>0$.

Так как, согласно формуле (11.12a), $\Theta=\frac{2}{5} M a^{2}$, то, в силу (2) и (1), при $t=0$ имеем:
\[
\frac{2}{5} M a u=S h=M v h ;
\]
$v=u$ означает чистое качение; условием последнего, согласно (3), является $h=\frac{2}{5} a$. При этом нужно учесть, что положительные направления отсчета скоростей $u$ и $V$ противоположны. При высоких ударах ( $h>\frac{2}{5} a$ ) скорость скольжения $u-v$ точки касания шара с сукном будет больше 0 и направлена противоположно $v$; таким образом, сила трения направлена в ту же сторону, что и $v$, и равна по величине $f M g$. Момент силы трения относительно центра шара равен $f M g a$ и противодействует вращению $\omega$.
При низких ударах сила трения направлена в противоположную сторону. В общем случае при $t>0$ имеем:
\[
\begin{aligned}
\dot{v} & = \pm f g, \\
\dot{u} & = \pm \frac{5}{2} f g
\end{aligned}
\]
(верхний знак соответствует высокому удару, нижний знак – низкому удаpy).

Графическое рассмотрение. Будем откладывать скорости $v$ и $u$ по оси ординат, а по оси абсцисс – время $t$; оба графика представляют собой прямые, пересекающиеся друг с другом как при высоких, так и при низких ударах. Точка пересечения $u=v$ соответствует началу чистого качения. В своей дальнейшей части графики $u$ и $v$ представляют собой совпадающие горизонтальные прямые. Абсцисса точки пересечения равна
\[
\tau= \pm \frac{5 h-2 a}{7 a} \cdot \frac{S}{f g M} .
\]
(При низком ударе числитель первой дроби имеет отрицательный знак, так как $h$ лежит в этом случае между $-a$ и $\frac{2}{5} a$; поэтому правая часть отрицательна лишь кажущимся образом.) Прирост или убыль скорости при высоких и соответственно низких ударах будет $\Delta v= \pm f g \tau$. Конечная скорость чистого качения равна
\[
v+\Delta v=\frac{5}{7} \frac{h+a}{a} \frac{S}{M}
\]

таким образом, она пропорциональна высоте $h+a$ точки удара над сукном.
Теория ударов «с накатом». Шар, которому сообщен высокий удар, ударяет центрально другой шар в момент времени $t<\tau$ (когда $u>v$ ). Пусть скорости $u$ и $v$ при соударении равны $u_{0}$ и $v_{0}$. Скорость $v_{0}$ передается второму шару. Движение первого шара, согласно (4), ускоряется, начиная от $v=0$. Согласно (5), его окружная скорость $u$ уменьшается, начиная от $u_{0}$. Новый график показывает, что имеется точка пересечения, соответствующая началу чистого качения. Абсцисса точки пересечения и скорость чистого качения соответственно равны
\[
\tau_{1}=\frac{2}{7} \frac{u_{0}}{f g}, \quad v_{1}=f g \tau_{1}=\frac{2}{7} u_{0} .
\]

Теория ударов «с оттяжкой». Шар, которому сообщен удар, ударяет другой шар также в момент времени $t<\tau$; при этом, однако, $u<v$. При особенно низких ударах, которые мы и будем предполагать имеющими место, скорость $u$ будет даже отрицательна (т. е. будет совпадать по направлению с $v$ ). Пусть скорости $u$ и $v$ при соударении равны $u_{0}$ и $v_{0}$. Скорость $v_{0}$ по-прежнему передается второму шару. Движение первого шара будет, согласно (4), ускоряться, начиная от $v_{0}=0$, в отрицательном направлении; шар катится назад. Окружная скорость $u$, согласно (5), увеличивается от отрицательного начального значения $u_{0}$ в положительном направлении, т. е. уменьшается по абсолютной величине. Обе прямые, представляющие $v$ и $u$, пересекаются (новый график). Абсцисса точки пересечения и конечная скорость чистого качения равны
\[
\tau_{2}=\frac{2}{7} \frac{\left|u_{0}\right|}{f g}, \quad\left|v_{2}\right|=\frac{2}{7}\left|u_{0}\right| .
\]
IV.4. Пусть кий направлен не горизонтально, как в задаче IV.3, а под некоторым углом к горизонтальной плоскости. Если выбрать ось $x$ по направлению горизонтальной слагающей удара, а ось $z$ – по вертикали (начало координат системы $x, y, z$ помещаем в центре шара), то компоненты силы удара $\mathbf{S}$ равны $S_{x}, 0, S_{y}$, а компоненты момента силы удара $\mathbf{N}$ относительно центра шара равны:
\[
N_{x}=y S_{z}, \quad N_{y}=z S_{x}-x S_{z}, \quad N_{z}=-y S_{x} .
\]

Здесь $x, y, z$ – координаты точки удара кия по шару. Слагающим момента силы удара $N_{x}, N_{y}$ соответствуют угловые скорости
\[
\omega_{x}=\frac{5}{2} \frac{N_{x}}{M a^{2}}, \quad \omega_{y}=\frac{5}{2} \frac{N_{y}}{M a^{2}} .
\]

Соответствующие окружные скорости в наинизшей точке $P$ шара суть
\[
u_{x}=-a \omega_{y}, \quad u_{y}=+a \omega_{x} .
\]

Величины $N_{z}$ и $\omega_{z}$ нас не интересуют, так как они не вызывают скольжения точки $P$; они вызывают лишь некоторое (пренебрежимо малое) «сверлящее» трение. Пусть слагающие скорости скольжения точки $P$ по сукну равны
\[
v_{x}-u_{x}=-\rho \cos \alpha, \quad v_{y}-u_{y}=-\rho \sin \alpha .
\]

Это скольжение вызывает силу трения $R$, которая образует с осью $x$ угол $\pi+\alpha$ и имеет величину $f g M$. Ее влияние на поступательное и вращательное движения определяется при $t>0$ уравнениями
\[
\begin{aligned}
M \dot{v}_{z} & =R_{x}, & M \dot{v}_{y}=R_{y}, \\
\Theta \dot{\omega}_{x} & =a R_{y}, & \Theta \dot{\omega}_{y}=-a R_{x} .
\end{aligned}
\]

Отсюда
\[
\dot{v}_{x}=-f g \cos \alpha, \quad \dot{v}_{y}=-f g \sin \alpha
\]

и, принимая во внимание (1) и (2),
\[
\left.\begin{array}{c}
\dot{u}_{y}=-\frac{5}{2} f g \sin \alpha, \quad \dot{u}_{x}=-\frac{5}{2} f g \cos \alpha . \\
\dot{v}_{x}-\dot{u}_{x}=-\frac{d}{d t}(\rho \cos \alpha)=-\frac{7}{2} f g \cos \alpha, \\
\dot{v}_{y}-\dot{u}_{y}=-\frac{d}{d t}(\rho \sin \alpha)=-\frac{7}{2} f g \sin \alpha .
\end{array}\right\}
\]

Разрешая последние два уравнения (5) относительно $\dot{\alpha}$ и $\dot{\rho}$, получаем:
1) $\dot{\alpha}=0$. Сила трения постоянна по направлению; ввиду того, что она постоянна и по величине, траектория точки $P$ в горизонтальной плоскости оказывается параболой. Ось параболы параллельна начальному направлению скольжения $\alpha$, которое определяется векторами $\mathbf{S}$ и $\mathbf{N}$.
2) $\dot{\rho}=-\frac{7}{2} f g, \quad \rho=\rho_{0}-\frac{7}{2} f g t, \quad \rho=0 \quad$ при $\quad t=\tau=\frac{2}{7} \frac{\rho_{0}}{f g}$.

Здесь $\rho_{0}$ – начальная величина скорости скольжения, которая также может быть определена из $\mathbf{S}$ и $\mathbf{N}$. При $t>\tau$ скольжение и трение становятся равными нулю. Шар катится прямолинейно по касательной к параболе.
V.1. Пусть $\varphi$ – мгновенный угол поворота вращающейся плоскости относительно неподвижной. Положим
\[
x+i y=(\xi+i \eta) e^{i \varphi} .
\]

Дифференцируя дважды по $t$ и полагая $\dot{\varphi}=\omega$, получим:
\[
\ddot{x}+i \ddot{y}=\left\{\ddot{\xi}+i \ddot{\eta}+2 i \omega(\dot{\xi}+i \dot{\eta})+i \dot{\omega}(\xi+i \eta)-\omega^{2}(\xi+i \eta)\right\} e^{i \varphi} .
\]

Здесь $\xi+i \eta$ есть вектор $\mathbf{r}$, рассматриваемый относительно вращающейся плоскости; $\dot{\xi}+i \dot{\eta}$ – соответствующая ему скорость (также относительно вращающейся плоскости) и т. д.; $i(\dot{\xi}+i \dot{\eta})=(\dot{\xi}+i \dot{\eta}) e^{i \pi / 2}$ – перпендикулярный к нему вектор, так что можно написать:
\[
2 i \omega(\dot{\xi}+i \dot{\eta})=2[\boldsymbol{\omega} \dot{\mathbf{r}}], \quad i \dot{\omega}=(\xi+i \eta)=[\dot{\boldsymbol{\omega}} \mathbf{r}] .
\]

При этом за направление вектора $\boldsymbol{\omega}$ нужно взять нормаль к комплексной плоскости. Обозначим скорость $\dot{x}+i \dot{y}$, рассматриваемую относительно неподвижной плоскости, как на стр. 220, через w. Для производных по времени от величин, рассматриваемых относительно вращающейся плоскости, мы сохраним обозначение с помощью точек (над соответствующими величинами), использованное в уравнении (3). Тогда (2) переходит в следующее уравнение, аналогичное уравнению (29.4):
\[
\dot{\mathbf{w}}=\left\{\ddot{\mathbf{r}}+2[\boldsymbol{\omega} \dot{\mathbf{r}}]+[\dot{\boldsymbol{\omega}} \mathbf{r}]-\omega^{2} r\right\} e^{i \varphi} .
\]

Если $\mathbf{F}=\mathbf{F}_{x}+i \mathbf{F}_{y}$ – сила, рассматриваемая относительно неподвижной плоскости, а $\mathbf{\Phi}=\mathbf{F}_{\xi}+i \mathbf{F}_{\eta}$ – сила, рассматриваемая относительно вращающейся плоскости, то, согласно (1), имеет место $\mathbf{F}=\boldsymbol{\Phi} e^{i \varphi}$, следовательно,
\[
\boldsymbol{\Phi}=\mathbf{F} e^{-i \varphi} .
\]

Тогда, согласно (4) и (5), из $m \dot{\mathbf{w}}=\mathbf{F}$ следует:
\[
m\left\{\ddot{\mathbf{r}}+2[\boldsymbol{\omega} \dot{\mathbf{r}}]+[\dot{\boldsymbol{\omega}} \mathbf{r}]-\omega^{2} \mathbf{r}\right\}=\boldsymbol{\Phi} .
\]

Тем самым искомые дополнительные силы определены. В частности, второй член слева представляет собой уже знакомую нам кориолисову силу.

Мы намеренно рассматривали эту задачу в комплексной форме, чтобы подчеркнуть, что двухмерные векторы лучше всего представлять с помощью комплексных переменных.
V.2. Плоскость, в которой вращается прямая, выберем в качестве плоскости $x, y$, ось $X$ направим горизонтально, а ось $y$ – вертикально вверх. Пусть ось вращения проходит через начало координат; $\varphi=\omega t$ есть угол, образованный прямой с осью $x$. Эту задачу можно свести к предыдущей, если (мысленно) неподвижно связать с вращающейся прямой вертикальную плоскость $\xi, \eta$, вращающуюся, таким образом, с постоянной угловой скоростью $\omega$ относительно плоскости $x, y$. При этом удобно направить ось $\xi$ по вращающейся прямой. Однако в этом случае для того, чтобы материальная точка неизменно оставалась на оси $\xi$, необходима некоторая вынуждающая сила (реакция связи), действующая на нее в направлении оси $\eta$.

Таким образом, внешняя сила $\Phi$ здесь состоит из реакции связи, которую мы обозначим через $m b$, и силы тяжести $m g$. Если теперь спроектировать уравнение (6) предыдущей задачи на неподвижные оси $x$ и $y$, то получим (при $\dot{\omega}=0$ ):
\[
\left.\begin{array}{l}
\ddot{r} \cos \varphi-2 \dot{r} \sin \varphi-r \omega^{2} \cos \varphi=-b \sin \varphi, \\
\ddot{r} \sin \varphi+2 \dot{r} \cos \varphi-r \omega^{2} \sin \varphi=b \cos \varphi-g .
\end{array}\right\}
\]

Умножая первое уравнение на $\cos \varphi$, второе – на $\sin \varphi$ и складывая их почленно, найдем $(\varphi=\omega t)$ :
\[
\ddot{r}-r \omega^{2}=-g \sin \omega t .
\]

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид
\[
r=A \operatorname{ch} \omega t+B \operatorname{sh} \omega t+\frac{g}{2 \omega^{2}} \sin \omega t .
\]

Не зная этого решения, можно приведенное в задаче соотношение
\[
b=g \cos \varphi+2 \dot{r} \omega
\]

между реакцией связи, силой тяжести и кориолисовой силой вывести непосредственно с помощью соответствующей комбинации уравнений (1).
V.3. а) Пусть $x_{0}+i y_{0}$ определяет положение точки $O$ в плоскости $x, y$. Тогда

Пусть, далее, $x+i y$ определяет положение точки $S$ в плоскости $x, y$. Имеем:
\[
\left.\begin{array}{c}
x+i y=x_{0}+i y_{0}+a e^{i \varphi}, \\
\dot{x}+i \dot{y}=(u+i v+i \omega a) e^{i \varphi} .
\end{array}\right\}
\]

Внешней силе $R$ соответствует в плоскости $x, y$ комплексная величина
\[
F=\operatorname{Rie}^{i \varphi} \text {. }
\]

Закон движения центра тяжести $\ddot{x}+i \ddot{y}=F / M$ дает, согласно (2) и (2′),
\[
\dot{u}+i \dot{v}+i \dot{\omega} a+i \omega(u+i v)-\omega^{2} a=\frac{i R}{M}
\]

или, отделяя вещественную и мнимую части,
\[
\begin{array}{l}
\dot{u}-\omega v-\omega^{2} a=0, \\
\dot{v}+\dot{\omega} a+\omega u=\frac{R}{M} .
\end{array}
\]

Далее, согласно закону площадей (уравнению момента импульса) имеем:
\[
\Theta \dot{\omega}=-R a .
\]
б) В силу условий $v=0, \dot{v}=0$, уравнения (3) и (4) упрощаются и принимают вид:
\[
\begin{aligned}
\dot{u}-\omega^{2} a & =0, \\
\dot{\omega} a+\omega u & =\frac{R}{M} .
\end{aligned}
\]

Исключая $R$ из ( $\left.4^{\prime}\right)$ и (5), получим:
\[
\dot{\omega} a\left(1+\frac{\Theta}{M a^{2}}\right)+\omega u=0 .
\]

Положим $\Theta=M b^{2}$ ( $b-$ радиус инерции) и
\[
k^{2}=1+\frac{b^{2}}{a^{2}}>1,
\]

вследствие чего уравнение (6) перейдет в
\[
k^{2} \dot{\omega} a+\omega u=0 \text {. }
\]

После интегрирования системы уравнений ( $\left.3^{\prime}\right)$ и $\left(6^{\prime}\right) R$ определяется с помощью формулы (4′) или (5).
в) Исключая $u$ из (3) и (6), имеем:
\[
k^{2} \frac{d}{d t} \frac{\dot{\omega}}{\omega}=-\omega^{2} .
\]

После умножения на $\frac{\dot{\omega}^{2}}{\omega}$ это уравнение может быть проинтегрировано и дает:
\[
\begin{array}{c}
k^{2}\left(\frac{\dot{\omega}}{\omega}\right)^{2}=k^{2} c^{2}-\omega^{2} . \\
k \dot{\omega}=\omega \sqrt{k^{2} c^{2}-\omega^{2}},
\end{array}
\]

где $c$ – постоянная интегрирования.
От квадратного корня избавляемся, полагая
\[
\omega=k c \cos \psi .
\]

Тогда при соответствующем выборе знака квадратного корня в $\left(9^{\prime}\right)$ получаем:
\[
\dot{\psi}=c \cos \psi
\]

или
\[
c d t=\frac{d \psi}{\cos \psi}, \quad c t=\frac{1}{2} \lg \frac{1+\sin \psi}{1-\sin \psi} .
\]

Тем самым определена величина $\psi$ как функция $t$. Через $\psi$ выражаются остальные величины, а именно: $\omega$ – согласно формуле (10), а $u$ и $R$ – согласно формулам $\left(6^{\prime}\right)$ и $\left(4^{\prime}\right)$ :
\[
\begin{array}{c}
u=a k^{2} c \sin \psi, \\
R=\frac{M}{2} a k\left(k^{2}-1\right) c^{2} \sin 2 \psi .
\end{array}
\]

Этим и заканчивается интегрирование.

Сравнение (10) с (10) дает, ввиду $\omega=\dot{\varphi}$, соотношение $\dot{\psi}=\dot{\varphi} / k$. Таким образом, наш вспомогательный угол $\psi$ пропорционален углу поворота
\[
\psi=\frac{\varphi}{k},
\]

поскольку при соответствующем выборе пока что произвольной оси $x$ постоянная интегрирования может быть обращена в нуль.
г) Из (1′) получаем при $v=0$ :
\[
\begin{array}{c}
|\dot{x}+i \dot{y}|^{2}=\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}=u^{2}+\omega^{2} a^{2}, \\
T=\frac{M}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)+\frac{\Theta}{2} \omega^{2}= \\
=\frac{M}{2}\left(u^{2}+\omega^{2} a^{2}\right)+\frac{M}{2}\left(k^{2}-1\right) a^{2} \omega^{2}=\frac{M}{2}\left(u^{2}+k^{2} a^{2} \omega^{2}\right) .
\end{array}
\]

Но, в силу формул (10) и (12), получаем:
\[
T=\frac{M}{2} a^{2} k^{4} c^{2}\left(\sin ^{2} \psi \cos ^{2} \psi\right)=\text { const. }
\]
д) Согласно (1) и (12), имеем:
\[
\dot{x}_{0}=a k^{2} c \sin \psi \cos \varphi, \quad \dot{y}_{0}=a k^{2} c \sin \psi \cos \varphi ;
\]

следовательно, ввиду ( $10^{\prime}$ ) и (13),
\[
\frac{d x_{0}}{d \varphi}=a k \operatorname{tg} \psi \cos \varphi, \quad \frac{d y_{0}}{d \varphi}=a k \operatorname{tg} \psi \sin \varphi .
\]

Из (11) вытекает:
\[
\begin{array}{l}
\text { при } \psi=0 \quad t=0 \text {, } \\
\text { при } \psi= \pm \frac{\pi}{2} \quad t= \pm \infty . \\
\end{array}
\]

Вся траектория проходит в следующих интервалах углов $\psi$ и $\varphi$
\[
-\frac{\pi}{2}<\psi<+\frac{\pi}{2}, \quad-k \frac{\pi}{2}<\varphi<+k \frac{\pi}{2} .
\]

При $t=0$ траектория имеет острие; именно – из (16), ввиду $\psi=0, \varphi=0$, получаем:
\[
\frac{d x_{0}}{d \varphi}=\frac{d y_{0}}{d \varphi}=\frac{d^{2} y_{0}}{d \varphi^{2}}=0, \quad \text { но } \quad \frac{d^{2} x_{0}}{d \varphi^{2}} \quad \text { и } \quad \frac{d^{3} y_{0}}{d \varphi^{3}}
eq 0 .
\]

Острие является точкой возврата кривой; касательная к траектории в этой точке параллельна оси $x$.

При $t= \pm \infty$ траектория стремится к асимптотам; угол $\varphi$ становится постоянным, так как, вообще говоря,
\[
\frac{d x_{0}}{d \varphi}=\frac{d y_{0}}{d \varphi}= \pm \infty
\]
[на основании формул (16)]. Поскольку из (14) следует
\[
\frac{d y_{0}}{d x_{0}}=\operatorname{tg} \varphi= \pm \operatorname{tg} k \frac{\pi}{2},
\]

то асимптоты расположены симметрично относительно оси $x$ под углами $\pm k \frac{\pi}{2}$, как показывает рис. 57 (стр. 328) для $k=1, \frac{3}{2}, 2,3$.
VI.1. Если направить ось $z$ по направлению падения, т. е. вертикально вниз, то $V=-m g z$. Начальное положение $z=0$ при $t=0$ лежит выше конечного положения $z=z_{1}$ при $t=t_{1}$
а) При $z=\frac{1}{2} g t^{2}$ получаем:
\[
\int L d t=\int_{0}^{t_{1}}\left[\frac{m}{2}(g t)^{2}+m g \frac{g}{2} t^{2}\right] d t=\frac{1}{3} m g^{2} t_{1}^{3} .
\]
б) В случае $z=c t$ постоянная $c$ должна быть выбрана так, чтобы при $t=t_{1}$ имело место соотношение
\[
z=z_{1}=g \frac{t_{1}^{2}}{2}
\]

таким образом, $c=\frac{g t_{1}}{2}$.
Отсюда находим:
\[
\int L d t=\int_{0}^{t_{1}}\left[\frac{m}{2}\left(\frac{g t_{1}}{2}\right)^{2}+m g \frac{g t_{1}}{2} t\right] d t=\frac{3}{8} m g^{2} t_{1}^{3} .
\]

С другой стороны, в случае $z=a t^{3}, a=g / 2 t_{1}$ имеем:
\[
\int L d t=\int_{0}^{t_{1}}\left[\frac{m}{2}\left(\frac{3 g}{2 t_{1}}\right)^{2} t^{4}+m g \frac{g}{2 t_{1}} t^{3}\right] d t=\frac{7}{20} g^{2} t_{1}^{3} .
\]

В то время как при пользовании принципом Гамильтона мы сравниваем лишь траектории, бесконечно мало отличающиеся друг от друга, траектории в фазовом пространстве «координат» $q, \dot{q}$ (здесь $z, \dot{z}$ ) в обоих случаях отличаются от истинного движения на конечные величины. Несмотря на это, величина интеграла Гамильтона и теперь оказывается меньшей в случае а), чем в случае б):
\[
\frac{1}{3}<\frac{3}{8} \quad \text { и } \quad \frac{1}{3}<\frac{7}{20}
\]

и притом для любых длин траекторий, что, вообще говоря (ср. стр. 276), не обязательно должно иметь место.
VI.2. Пусть $\xi, \eta$ (как в задаче V.1) – координаты, измеренные во вращающейся плоскости; $u=(\dot{\xi}, \dot{\eta})$ – скорость, измеренная также относительно этой плоскости. Тогда скорость относительно неподвижной плоскости равна
\[
\mathbf{w}=\mathbf{u}+\mathbf{v}, \quad \mathbf{v}=[\omega \mathbf{r}]
\]
(ср., например, первую строку таблицы на стр. 185). Поэтому при разложении на слагающие получим:
\[
\begin{array}{c}
w_{x}=\dot{\xi}-\omega \eta, \quad w_{y}=\dot{\eta}+\omega \xi, \\
|\mathbf{w}|^{2}=\dot{\xi}^{2}+\dot{\eta}^{2}+2 \omega(\xi \dot{\eta}-\eta \dot{\xi})+\omega^{2}\left(\xi^{2}+\eta^{2}\right) .
\end{array}
\]

Отсюда следует (вводим $\left.T=\frac{m|\omega|^{2}}{2}\right)$ :
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\xi}} & =m \frac{d}{d t}(\dot{\xi}-\omega \eta)=m(\ddot{\xi}-\omega \dot{\eta}-\dot{\omega} \eta), \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\eta}} & =m \frac{d}{d t}(\dot{\eta}+\omega \xi)=m(\ddot{\eta}+\omega \dot{\xi}+\dot{\omega} \xi), \\
\frac{\partial T}{\partial \xi} & =m\left(\omega \dot{\eta}+\omega^{2} \xi\right), \quad \frac{\partial T}{\partial \eta}=m\left(-\omega \dot{\xi}+\omega^{2} \eta\right) .
\end{aligned}
\]

Если обозначить через $F_{\xi}, F_{\eta}$ слагающие внешней силы $F$ по движущимся осям $\xi, \eta$, то получим следующие уравнения Лагранжа:
\[
\begin{array}{l}
\ddot{\xi}-2 \omega \dot{\eta}-\dot{\omega} \eta-\omega^{2} \xi=F_{\xi}, \\
\ddot{\eta}+2 \omega \dot{\xi}+\dot{\omega} \xi-\omega^{2} \eta=F_{\eta} .
\end{array}
\]

Это в точности совпадает с уравнением (6) задачи V.1, если последнее написать в компонентах.

В случае движения материальной точки по вращающейся прямой, рассмотренном в задаче V.2, имеем:
\[
\begin{array}{c}
v^{2}=\frac{d r^{2}+r^{2} d \varphi^{2}}{d t^{2}}=\dot{r}^{2}+r^{2} \omega^{2}, \quad L=\frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \omega^{2}\right)-m g r \sin \omega t, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m \ddot{r}, \quad \frac{\partial L}{\partial r}=m r \omega^{2}-m g \sin \omega t .
\end{array}
\]

Вытекающее отсюда уравнение Лагранжа тождественно с уравнением (2), приведенным в пояснении к задаче V.2; оно непосредственно приводит к указанному там же решению (3). При этом вообще не приходится рассматривать кориолисову силу и т. п.; правда, при этом мы ничего не узнаем относительно давления на направляющую.
VI.3. Члены, опущенные в уравнении (4) данной задачи и обозначенные точками, имеют вид
\[
\left(1+\frac{\zeta}{R}\right) \dot{\eta} \quad \text { и } \quad-\frac{\eta}{R}\left(1+\frac{\zeta}{R}\right) \frac{\cos \vartheta}{\sin \vartheta} \dot{\xi} .
\]

Эти члены после умножения на стоящий перед фигурными скобками множитель и последующего дифференцирования по $t$ дали бы члены второго или высшего порядка малости относительно $\xi, \eta, \zeta$ или их производных. Относительно уравнений (5) и (6) нужно заметить, что после дифференцирования члены второго порядка, как $\zeta \ddot{\xi}, \dot{\zeta} \ddot{\xi}$ и т. д., в них, конечно, опущены. Заслуживает внимания, что при этом одновременно из результатов выпадает радиус Земли $R$. В уравнении (6) к выписанному члену прибавился бы член с $\omega^{2}$, а именно
\[
R \sin \vartheta \cos \vartheta \omega^{2} .
\]

Это, очевидно, слагающая обычной центробежной силы по оси $\xi$; соответствующая слагающая по оси $\zeta$ вошла бы в $\frac{\partial T}{\partial \zeta}$. Однако эти члены нужно опустить, так как они уже учтены в эффективном ускорении свободного падения $\mathbf{g}$ [уравнение (30.1)].

В случае маятника Фуко следует, очевидно, применять не уравнения Лагранжа в их обычной форме (34.6), а смешанный тип уравнений (34.11), принимая во внимание условие связи (31.11).

Впрочем, нужно заметить, что в силу определений $\eta$ и $\psi_{0}$ [формулы (1) и (2)] наша задача относится к охарактеризованному на стр. 288 классу задач, условия которых зависят от времени.
VI.4. Центр тяжести описывает «сплющенную» циклоиду в плоскости, перпендикулярной к оси цилиндра. Мы получим ее параметрическое представление через угол поворота $\varphi$ из уравнения (17.1) для «обыкновенной»

циклоиды, если а в этом уравнении частично заменим через $s$ :
\[
\begin{array}{ll}
\xi=a \varphi-s \sin \varphi, & \dot{\xi}=(a-s \cos \varphi) \dot{\varphi} \\
\eta=a-s \cos \varphi, & \dot{\eta}=s \sin \varphi \dot{\varphi} .
\end{array}
\]
a) Выбрав центр тяжести за точку отсчета $O$, получим:
\[
\begin{array}{c}
T_{\text {пост. }}=\frac{m}{2}\left(\dot{\xi}^{2}+\dot{\eta}^{2}\right)=\frac{m}{2}\left(a^{2}+s^{2}-2 a s \cos \varphi\right) \dot{\varphi}^{2}, \\
T_{\text {вращ. }}=\frac{\Theta}{2} \dot{\varphi}^{2}, \quad T_{\omega}=0, \quad V=m g \eta=m g(a-s \cos \varphi) .
\end{array}
\]

При этом надо приннть во внимание, что величину $\omega=\dot{\varphi}$ можно рассматривать как угловую скорость вращения цилиндра не только вокруг его геометрической оси (как мы считаем первоначально), но с тем же правом и вокруг оси, проходящей через его центр тяжести [согласно (23.8)]. Если, кроме того, положить $\Theta=m b^{2}$ ( $b-$ радиус инерции), $c^{2}=a^{2}+s^{2}+b^{2}$, то получим:
\[
\left.\begin{array}{c}
L=T_{\text {пост. }}+T_{\text {вращ. }}-V=\frac{m}{2}\left(c^{2}-2 a s \cos \varphi\right) \dot{\varphi}^{2}-m g(a-s \cos \varphi), \\
\frac{1}{m} \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}=\left(c^{2}-2 a s \cos \varphi\right) \ddot{\varphi}+2 a s \sin \varphi \dot{\varphi}^{2}, \\
\frac{1}{m} \frac{\partial L}{\partial \varphi}=a s \sin \varphi \dot{\varphi}^{2}-g s \sin \varphi .
\end{array}\right\}
\]

Таким образом, уравнение движения имеет вид
\[
\left(c^{2}-2 a s \cos \varphi\right) \ddot{\varphi}+a s \sin \varphi \dot{\varphi}^{2}+g s \sin \varphi=0 .
\]
б) Если в качестве точки отсчета $O$ выбрать центр поперечного сечения, проведенного через центр тяжести, то эта точка будет двигаться горизонтально со скоростью $a \dot{\varphi}$; полагая $\Theta^{\prime}=\Theta+m s^{2}$ [ср. (16.8)], имеем:
\[
T_{\text {пост. }}=\frac{m}{2} a^{2} \dot{\varphi}^{2}, \quad T_{\text {вращ. }}=\frac{\Theta^{\prime}}{2} \dot{\varphi}^{2}, \quad \mathrm{~V}-\text { как прежде },
\]

однако теперь $T_{w}$ не равна нулю. Действительно, на основании (22.11),
\[
T_{w}=-m a \dot{\varphi}^{2} \cos \varphi .
\]

Отсюда
\[
L=T_{\text {пост. }}+T_{\text {вращ. }}+T_{w}-V=\frac{m}{2}\left(c^{2}-2 a s \cos \varphi\right) \dot{\varphi}^{2}=m g(a-s \cos \varphi),
\]

что совпадает с (1). Тем самым и в этом случае мы приходим к уравнению движения (2). Для малых колебаний при $\varphi=0$ оно дает:
\[
\ddot{\varphi}+\frac{g}{l_{1}} \varphi=0, \quad l_{1} \frac{c^{2}-2 a s}{s}=\frac{(a-s)^{2}+b^{2}}{s} \ldots(\text { устойчивость }) ;
\]

напротив, для малых колебаний при $\varphi=\pi$, полагая $\psi=\pi+\varphi$, получаем:
\[
\ddot{\psi}-\frac{g}{l_{2}} \psi_{1}=0, \quad l_{2} \frac{c^{2}+2 a s}{s}=\frac{(a+s)^{2}+b^{2}}{s} \ldots \text { (неустойчивость). }
\]
VI.5. 1. Соотношения между угловыми скоростями. Эти соотношения проще всего вывести, если учесть, что в местах сцепления конических шестерен $(\omega)$ с конической шестерней $\left(\omega_{1}\right)$, с одной стороны, и с конической шестерней $\left(\omega_{2}\right)$ – с другой, окружные скорости в любой момент должны быть одинаковы. Шестерни ( $\omega$ ) вращаются вокруг оси $A$ с угловой скоростью $\omega$; кроме того, сама ось $A$ вращается вместе с шестернями ( $\omega$ ) вокруг общей геометрической оси колес $(\Omega),\left(\omega_{1}\right),\left(\omega_{2}\right)$ с угловой скоростью $\Omega$. Если $r, r_{1}$ и $r_{2}$ – средние радиусы конических шестерен $(\omega),\left(\omega_{1}\right),\left(\omega_{2}\right)$, то для места сцепления колес $(\omega),\left(\omega_{1}\right)$ осуществляется равенство
\[
r \omega+r_{1} \Omega=r_{1} \omega_{1},
\]

а для места сцепления колес $(\omega),\left(\omega_{2}\right)$ – равенство
\[
-r \omega+r_{2} \Omega=r_{2} \omega_{2} .
\]

Отсюда при $r_{1}=r_{2}$ получаются соотношения
\[
\left.\begin{array}{l}
2 \Omega=\omega_{1}+\omega_{2}, \\
2 \omega=\frac{r_{1}}{r}\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Эти формулы могут быть, конечно, получены и путем введения виртуальных вращений.
2. Соотношения между моментами. Виртуальная работа момента $M$ всегда должна быть равна сумме виртуальных работ моментов $M_{1}$ и $M_{2}$, т. е.
\[
M \Omega \delta t=M_{1} \omega_{1} \delta t+M_{2} \omega_{2} \delta t .
\]

Заменяя $\Omega$ через $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ согласно (1), получим:
\[
\left(\frac{M}{2}-M_{1}\right) \omega_{1}+\left(\frac{M}{2}-M_{2}\right) \omega_{2}=0 .
\]

При произвольных $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ это возможно только в том случае, если
\[
\frac{M}{2}=M_{1}=M_{2} .
\]

Таким образом, развиваемый двигателем момент распределяется на оба задних колеса поровну при произвольных значениях угловых скоростей $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$.
3. Уравнение движения системы. В этом случае проще всего пользоваться уравнениями Лагранжа второго рода. Имеем:
\[
T=\frac{1}{2}\left(\Theta_{1} \omega_{1}^{2}+\Theta_{2} \omega_{2}^{2}+\Theta \omega^{2}+\Theta^{\prime} \Omega^{2}\right) .
\]

Если мы подставим сюда вместо $\omega$ и $\Omega$ их выражения через $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ и введем обозначения
\[
\begin{array}{l}
L_{11}=\Theta_{1}+\frac{\Theta^{\prime}}{4}+\frac{\Theta r_{1}^{2}}{4 r^{2}}, \\
L_{22}=\Theta_{2}+\frac{\Theta^{\prime}}{4}+\frac{\Theta r_{1}^{2}}{4 r^{2}}, \\
L_{12}=L_{21}=\frac{\Theta^{\prime}}{4}-\frac{\Theta r_{1}^{2}}{4 r^{2}},
\end{array}
\]

то, по Лагранжу, получим:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d}{d t}\left(L_{11} \omega_{1}+L_{12} \omega_{2}\right)=\frac{M}{2}-W_{1}, \\
\frac{d}{d t}\left(L_{21} \omega_{1}+L_{22} \omega_{2}\right)=\frac{M}{2}-W_{2} .
\end{array}\right\}
\]

Здесь $W_{1}$ и $W_{2}$ – приложенные к обоим задним колесам противодействующие моменты, вызванные трением сцепления с почвой, причем в эти моменты можно включить также и прочие сопротивления (сопротивление воздуха и т. д.)

Если $M, W_{1}, W_{2}$ заданы как функции времени, то выражения в скобках в левых частях уравнений (3) вычисляются как интегралы по времени от правых частей этих уравнений, откуда определяются также $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$.

Средние по времени значения правых частей уравнений (3) равны нулю, a, следовательно, $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ постоянны; если сопротивление на одном колесе уменьшится [например, если колесо подскочит на неровной дороге и будет некоторое время вращаться в воздухе $(W=0)]$, то вращение этого колеса ускорится, тогда как вращение другого колеса замедлится.
4. Электродинамическая аналогия. Уравнения (3) имеют вид, напоминающий уравнение взаимодействия двух индуктивно связанных цепей тока (ср. сказанное на стр. 299 о работе Больцмана). А именно, если отождествить величины $L$, с коэффициентами индукции этих цепей тока, а $\omega_{1}$ и $\omega_{2}-$ с токами, текущими в цепях, то левые части (3) будут выражать электродинамические индукционные воздействия. $\frac{M}{2}$ соответствует «сторонним» электродвижущим силам, действующим в цепях тока;
\[
T=\frac{1}{2} L_{11} \omega^{2}+L_{12} \omega_{1} \omega_{2}+\frac{1}{2} L_{22} \omega_{2}^{2}
\]

есть полная магнитная энергия. Согласно определению на стр. 262 , системы, функция Лагранжа которых содержит только производные координат по времени (в данном случае $\omega_{1}=\dot{\varphi}_{1}, \omega_{2}=\dot{\varphi}_{2}$ ), называются циклическими системами. Таким образом, они являются механическими аналогами стационарных электрических токов. Дифференциальная передача, как и симметрический волчок, является «бициклом».