I.1. Упругий $у \partial а p^{1}$. $n$ равных масс $M$ расположены по пряной линии одна возле другой. Слева по ним одновременно ударяют две массы $M$, каждая со скоростью $v$. Законы сохранения энергии и импульса, очевидно, будут удовлетворены в том случае, если две массы слева передадут свою скорость двум последним массам справа. Показать, что эти законы не могли бы выполняться, если бы была выбита только одна масса справа или если бы две массы справа пришли в движение с различными скоростями $v_{1}, v_{2}$.
I.2. Упругий удар в случае неравных масс. Допустим, что последняя масса $m$ меньше остальных масс. Пусть слева ударяет масса $M$ со скоростью $v_{0}$. Показать, что, в силу законов сохранения энергии и импульса, невозможно, чтобы в движение пришла только одна масса $m$. Допустим, далее, что справа приходят в движение только две массы; каковы будут при этом их скорости?
I.3. Упругий удар в случае неравных масс. Последняя масса справа $M^{\prime}$ больше остальных масс. Сделав те же допущения, что и в задаче 2 , нужно, однако, учесть, что предпоследняя масса справа передает свой импульс влево. Каковы скорости массы $M^{\prime}$ и первой массы $M$, расположенной на левом конце прямой? Что произойдет, если масса $M^{\prime}$ очень велика?
I.4. Неупругое соударение электрона с атомом. Электрон, обладающий массой $m$ и скоростью $v$, ударяется о покоящийся атом массы $M$. При этом атом возбуждается, т.е. переходит из основного состояния в более высокое энергетическое состояние (разность соответствующих энергетических уровней равна $W$ ). Какова минимальная начальная скорость $v_{0}$ электрона, необходимая для этого возбуждения атома, если удар центральный?
Находим квадратные уравнения отдельно для конечной скорости электрона $v$ и атома $V$. Из требования вещественности квадратного корня, входящего в решения этих уравнений, определяем минимальную величину $v_{0}$. Эта величина несколько больше (впрочем, ввиду соотношения масс $\frac{M}{m}>2000$, это превышение ненаблюдаемо мало), чем можно было бы ожидать, исходя
${ }^{1}$ Рекомендуется изучающему эту книгу самому произвести опыты, описанные в задачах I.1.-I.3., с помощью монет на гладкой поверхности или упругих шаров, нанизанных на нить таким образом, чтобы в состоянии покоя они соприкасались.
только из закона сохранения энергии, т. е. требуя, чтобы начальная кинетическая энергия электрона была не меньше $W$.
Если же ударяющая частица имеет такую же (или приблизительно такую же) массу, как ударяемая частица, то величина минимально необходимой энергии получается вдвое больше (или приблизительно вдвое больше), чем нужно было ожидать по закону сохранения энергии.
I.5. Ракета для полета на Луну. Ракета с непрерывным истечением пороховых газов летит вертикально вверх. Скорость истечения газов относительно ракеты $a$ и масса вытекающих в секунду пороховых газов $\mu=-\dot{m}$ предполагаются постоянными во времени. Движение совершается без трения при постоянном ускорении силы тяжести $g$. Составить уравнение движения и проинтегрировать его, считая начальную скорость ракеты у поверхности Земли равной пулю. На какой высоте будет находиться ракета через $t=10 ; 30 ; 50$ сек, если $\mu=\frac{1}{100}$ начальной массы $m_{0}$ и $a=2000 \mathrm{~m} /$ сек?
I.6. Падение водяной капли в насыщенной атмосфере. Шарообразная водяная капля падает без трения под влиянием силы тяжести в атмосфере, насыщенной водяными парами. Пусть и начале движения ( $t=0$ ) ее радиус $=c$, а ее скорость $=v_{0}$. Вследствие конденсации, капля испытывает непрерывное приращение массы, пропорциональное ее поверхности, и, следовательно, приращение радиуса, пропорциональное времени. Проинтегрировать дифференциальное уравнение движения, введя $r$ вместо $t$ в качестве независимой переменной, и доказать, что в случае $c=0$ скорость равномерно нарастает со временем.
I.7. Падающая цепь. Свернутая цепь лежит на краю стола, причем вначале одно звено цепи неподвижно свешивается со стола. Звенья цепи по одному вовлекаются в движение; трение не принимается во внимание. Теорема живых сил (в ее обычной форме) в рассматриваемом случае не является интегралом уравнения движения. Здесь в балансе энергии нужно учесть, согласно теореме Карно, потерю энергии при ударе.
I.8. Падающий канат. Канат длиной $l$ соскальзывает с неподвижной горизонтальной подставки, с которой к началу движения свешивался отрезок каната длиной $x_{0} ; x$ – длина вертикально висящей части каната в момент времени $t$. Канат не должен оказывать сопротивления изгибу. Показать, что закон сохранения энергии в форме $T+V=$ const является интегралом уравнения движения.
I.9. Ускорение Луны под действием земного притяжения. Расстояние Луны от Земли составляет приблизительно 60 земных радиусов. Орбиту Луны считаем круговой; время обращения полагаем равным 27 суткам 7 часам 43 минутам. Отсюда можно определить ускорение Луны по направлению к Земле (центростремительное ускорение). Сравнение этого ускорения с ускорением, вычисленным из закона всемирного тяготения Ньютона, явилось первым подтверждением правильности этого закона.
I.10. Момент силы как векторная величина. Пусть в прямоугольной системе координат $(x, y, z)$ точка приложения силы $\mathbf{F}$ дана радиусомвектором $\mathbf{r}$. Показать, что момент силы $\mathbf{F}$ относительно начала координат системы при переходе к другой системе отсчета $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right.$ ), полученной из первой путем поворота, преобразуется как вектор, т. е. так же, как $\mathbf{r}(x, y, z)$. При этом предполагаем, что рассматриваемые системы координат являются обе либо правыми, либо левыми.
I.11. Годограф движения планеты. Как следует из уравнений (6.5), при $A=0$ годограф движения планеты определяется уравнениями:
\[
\begin{array}{l}
\xi=\dot{x}=-\frac{G M}{C} \sin \varphi, \\
\eta=\dot{y}=+\frac{G M}{C} \cos \varphi+B
\end{array}
\]
( $M$ – масса Солнца, $C$ – постоянная площадей, $\varphi$ – истинная аномалия, ср. рис. 6). Показать, что орбита представляет собой гиперболу или эллипс, в зависимости от того, находится ли «полюс» $\xi=\eta=0$ годографа вне или внутри последнего, и охарактеризовать предельные случаи параболы и окружности также в зависимости от положения этого полюса.
I.12. Траектории параллельного пучка электронов в поле иона и огибающая этих траекторий. На покоящийся ионизированный атом $A$ (заряд $E$, масса $M$ ) последовательно (во времени) падает из бесконечности параллельный пучок электронов (заряд $e$, масса $m$ ) со скоростью $v_{0}$. В какую окрестность атома вообще не могут попасть электроны, если знаки зарядов $e$ и $E$ одинаковы?
Примем направление падающих частиц за ось и будем рассматривать вопрос о движении электронов как плоскую задачу, лучше всего, исходя из уравнения траектории частицы в полярных координатах с $A$ в качестве полюса системы координат и фокуса гиперболической траектории. Границей искомой области будет огибающая всех траекторий. Ввиду того, что $M \gg m$, ион $A$ может рассматриваться как неподвижный.
Показать, что если заряды $e$ и $E$ имеют противоположные знаки, то хотя условия огибания и дают (кажущимся образом) ту же границу искомой области, но эта граница не имеет физического смысла.
I.13. Эллиптическая траектория в поле центральной силы, прямо пропорциональной расстоянию. Пусть масса $m$ находится под действием силы, направленной к неподвижной точке $O$ (центральной силы)
\[
\mathbf{F}=-k \mathbf{r}
\]
$(\mathbf{r}=\overrightarrow{O m} ; k=$ const). Показать, что для движения массы $m$ справедливы следующие три закона:
1) $m$ описывает эллипс с центром в точке $O$.
2) Радиус-вектор $\mathbf{r}$ в равные промежутки времени описывает равные площади.
3) Время обращения $T$ не зависит от формы эллиптической траектории, а зависит только от закона силы, т.е. от $k$ и массы $m$.
I.14. Расщепление ядра атома лития (Кирхнер, 1933 г.). Если ядро атома водорода (протон, масса $m_{p}$ ) со скоростью $v_{p}$ попадает в ядро $L i^{7}$ (литий, атомный вес 7 ), то последнее расщепляется на две альфа-частицы (масса $m_{\alpha}=4 m_{p}$ ), которые разлетаются почти (но не точно) в диаметрально противоположных направлениях. Для случая, когда альфа-частицы разлетаются с равными скоростями симметрично относительно направления «удара», вычислить угол $2 \varphi$ их разлета. При этом нужно принять во внимание, что, кроме кинетической энергии $E_{p}$ протона, в рассматриваемом случае фигурирует еще энергия $W$, освобождающаяся при расщеплении и определяемая дефектом массы, причем $W$ гораздо больше, чем $E_{p}$. Эта энергия $W$ также передается альфа-частицам. В окончательные формулы для $\cos \varphi$ входят, кроме масс $m_{p}$ и $m_{\alpha}$, кинетическая энергия протона $E_{p}$ и энергия $W$.
В принятых в атомной физике единицах энергии $W=14 \cdot 10^{6} \mathrm{eV}$ (электрон-вольт). Как велики были скорость $v_{\alpha}$ и угол $2 \varphi$ в опыте, в котором кинетическая энергия протона $E_{p}=0.2 \cdot 10^{6} \mathrm{eV}$ ?
I.15. Центральное соударение нейтронов с атомными ядрами; действие парафинового блока. Нейтроны лишь весьма слабо тормозятся свинцовой пластиной толщиной в 50 см, в то же время они полностью задерживаются слоем парафина в 20 см. Это объясняется тем, что при центральном ударе кинетическая энергия нейтрона (масса $m=1$ ) полностью передается одному из водородных ядер парафина (масса протона $M_{1}=1$ ), тогда как ядру свинца (масса $M_{2}=206$ ) не передается сколько-нибудь заметная энергия. Построить кривую зависимости кинетической энергии, приобретаемой первоначально покоящимся атомным ядром (масса $M$ ) при центральном соударении с нейтроном (масса $m$ ), от величины отношения $\frac{M}{m}$.
I.16. Уравнение Кеплера. Временной ход процесса движения планеты по ее орбите определяется в дифференциальной форме законом площадей. Для того чтобы получить закон движения в конечной форме, можно, по Кеплеру, поступить следующим образом (рис. 55).
На большой оси кеплерова эллипса как на диаметре строится окружность. Планете, находящейся в момент $t$ в точке $E$, сопоставляется на этой окружности точка $K$, имеющая в системе координат, совпадающей с главными осями эллипса, ту же абсциссу, что и точка $E$. Точка $E$ задается полярными координатами $r, \varphi$ (полюс $S$ ), тогда как точка $K$, задается полярными координатами $a, u$ (полюс $M$ ). Таким образом, к истинной аномалии $\varphi$ добавляется эксцентрическая аномалия $u$. (Мы отсчитываем, как в тексте, обе эти аномалии от афелия в направлении движения, в отличие от астрономов, отсчитывающих их от перигелия, конечно, также в направлении движения планеты.)
Координаты $x$ и $y$ планеты $E$ можно выразить, с одной стороны, через $r$, $\varphi$ и, с другой стороны, известным образом, через полуоси эллипса и эксцентрическую аномалию $u$, так что заданием точки $K$ определяется также и точка $E$. Тогда процесс движения точки $K$, по окружности будет происходить согласно знаменитому уравнению Кеплера:
\[
n t=(u-\varepsilon \sin u) .
\]
Здесь $\varepsilon$ означает численный эксцентриситет эллиптической орбиты, а $n=\frac{\sqrt{G M}}{a^{3}}=\frac{C}{a b}$, где $a, b-$ полуоси эллипса, $G$ – постоянная тяготения, $M$ – масса Солнца, $C$ – постоянная площадей.
Для вывода уравнения Кеплера нужно исходить из уравнения эллипса в полярных координатах, беря $S$ за полюс и радиус-вектор $S A$ (Солнце афелий) – за полярную ось [«параметр» $\left.p=a\left(1-\varepsilon^{2}\right)\right]$ :
\[
r=\frac{p}{(1-\varepsilon \cos \varphi)} .
\]
Если мы с помощью указанных выше формул преобразования введем $u$ вместо $\varphi$, то получим уравнение:
\[
r=a(1+\varepsilon \cos u) .
\]
Дифференцируя оба приведенных выше уравнения, исключая $r$ и $\varphi$, а также используя закон площадей и соотношения (6.8), мы, в конце концов, путем интегрирования получим уравнение Кеплера; при этом надо еще условиться отсчет времени начинать с афелия.
