Заменим Землю произвольным твердым телом $K$, вращающимся с мгновенной угловой скоростью $\boldsymbol{\omega}$ вокруг неподвижной точки $O$. Пусть $P$ – материальная точка, движущаяся с произвольно меняющейся относительной скоростью по отношению к телу $K$. Скорость точки $P$ относительно неподвижной системы координат складывается из этой относительной скорости и скорости той точки тела $K$, которая в данный момент совпадает с точкой $P$; последняя скорость, согласно формуле (22.4), равна $[\boldsymbol{\omega r}]$. Обозначим скорость точки $P$ относительно неподвижной системы координат, как в формуле (22.4), через w, а ее скорость относительно тела $K$ – через $\mathbf{v}$ (вместо $\mathbf{v}_{\text {отн. }}$.). Таким образом,
\[
\mathbf{w}=\mathbf{v}+[\boldsymbol{\omega} \mathbf{r}] .
\]

В дальнейшем мы будем обозначать производные по времени в неподвижной системе координат точкой над соответствующими величинами, а в системе координат, связанной с телом $K$, через $\frac{d}{d t}$. В соответствии с этим имеем:
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{w}=\dot{\mathbf{r}} \\
\mathbf{v}=\frac{d \mathbf{r}}{d t} \\
\dot{\mathbf{r}}=\frac{d \mathbf{r}}{d t}+[\boldsymbol{\omega} \mathbf{r}] .
\end{array}
\]

Дифференцируя по времени уравнение (29.1), получим ускорение нашей точки $P$ в неподвижной системе координат:
\[
\dot{\mathbf{w}}=\dot{\mathbf{v}}+[\boldsymbol{\omega} \dot{\mathbf{r}}]+[\dot{\boldsymbol{\omega}} \mathbf{r}] .
\]

Заменяя в среднем члене правой части $\dot{\mathbf{r}}$, согласно уравнениям (29.2a) и (29.1), получим:
\[
[\boldsymbol{\omega} \dot{\mathbf{r}}]=[\boldsymbol{\omega} \mathbf{v}]+[\boldsymbol{\omega}[\boldsymbol{\omega} \mathbf{r}]]
\]

В формуле (29.2в) под $\mathbf{r}$ можно понимать произвольный вектор; заменяя в ней $\mathbf{r}$ на $\mathbf{v}$, представим $\dot{\mathbf{v}}$ в виде
\[
\dot{\mathbf{v}}=\frac{d \mathbf{v}}{d t}+[\boldsymbol{\omega} \mathbf{v}] .
\]

Подставляя выражения (29.3a) и (29.3б) в (29.3), получаем:
\[
\dot{\boldsymbol{\omega}}=\frac{d \mathbf{v}}{d t}+2[\boldsymbol{\omega} \mathbf{v}]+[\boldsymbol{\omega}[\boldsymbol{\omega} \mathbf{r}]]+[\dot{\boldsymbol{\omega}} \mathbf{r}] .
\]

Относительно последнего члена этого уравнения следует еще заметить, что, согласно формуле (26.8a), безразлично, напишем ли мы в нем $\dot{\boldsymbol{\omega}}$ или $\frac{d \omega}{d t}$.

Из последнего уравнения можно получить силу инерции, действующую на нашу материальную точку, умножая его почленно на ( $-m$ ). При этом в левой части получим силу инерции $\mathbf{F}^{*}$ в неподвижной системе координат, а первый член справа будет выражать силу инерции в «неправомерной» системе отсчета $K$; назовем последнюю силу $\mathbf{F}_{\text {отн }}^{*}$. Из второго члена правой части получается уже известное нам выражение (28.6) для силы Кориолиса, а именно
\[
-2 m[\boldsymbol{\omega} \mathbf{v}]=+2 m[\mathbf{v} \boldsymbol{\omega}]=\mathbf{C} .
\]

Таким образом, настоящее рассмотрение содержит (в качестве дополнения к частному выводу, изложенному в предыдущем параграфе) общий вывод кориолисовой силы. Предпоследний член уравнения (29.4) представляет собой (после умножения на $m$ и перемены знака) обычную центробежную силу $\mathbf{Z}$, действующую на нашу материальную точку благодаря вращению системы отсчета $K$ [в формуле (28.5) эта сила обозначена через $\mathbf{Z}_{2}$ ]. Итак, вместо уравнения (29.4) окончательно получим:
\[
\mathbf{F}^{*}=\mathbf{F}_{\text {oтн. }}^{*}+\mathbf{C}+\mathbf{Z}+m[\mathbf{r} \dot{\boldsymbol{\omega}}] .
\]

Подставим вместо $\mathbf{F}_{\text {отн. }}^{*}$, согласно определению, величину
\[
\mathbf{F}_{\text {отн. }}^{*}=-m \frac{d \mathbf{v}}{d t}
\]

и примем во внимание, что в силу равновесия внешних сил и сил инерции в неподвижной системе координат,
\[
\mathbf{F}+\mathbf{F}^{*}=0 .
\]

Мы получим общее дифференциальное уравнение относительного движения:
\[
m \frac{d \mathbf{v}}{d t}=\mathbf{F}+\mathbf{Z}+\mathbf{C}+m[\mathbf{r} \dot{\boldsymbol{\omega}}] .
\]

Из этого уравнения видно, что в системе отсчета $K$, наряду с «истинной» внешней силой $\mathbf{F}$, появляются «фиктивные силы» $\mathbf{Z}$ и $\mathbf{C}$. С точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с системой $K$, эти силы действуют так же, как и внешняя сила $\mathbf{F}$; но они возникают только вследствие инерции материальной точки $m$ при ее движении относительно системы отсчета $K$. Такого же «инерционного» происхождения и сила, выражаемая последним членом уравнения (29.6): она обусловлена возможным ускорением вращения или перемещением оси вращения; в применении к Земле этот член соответствует колебаниям полюса; им, несомненно, можно пренебречь, как исчезающе малой величиной. Мы будем пользоваться дифференциальным уравнением (29.6) в трех следующих параграфах, а также при решении задач V. 1 и V.2.