В настоящее время воззрения Ньютона относительно пространства и времени кажутся нам очень схоластичными и стоящими в противоречии с его повторными утверждениями, что он хочет опираться только на факты. Ньютон говорит:
«Абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным».
«Абсолютное, истинное математическое время само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью».

Судя по этому, кажется, что Ньютона нисколько не заботил вопрос о том, откуда он берет свое абсолютное время и как он может отличить
${}^1$ Начинающий читатель, которому эти несколько абстрактные рассуждения могут показаться трудными, может отложить на некоторое время изучение этого параграфа и некоторых частей $\mathrm{\S }4$.

свое «неподвижное» абсолютное пространство от пространства, равномерно движущегося по отношению к «неподвижному». Это тем более удивительно, что в своей первой аксиоме Ньютон считает «состояние покоя» и «равномерное движение» равноправными. С другой стороны, Ньютон пытается выявить различие между абсолютным и относительным движением с помощью своего знаменитого «опыта с ведром»: вода наливается в ведро, которое висит на закрученной веревке и внезапно приводится этой веревкой во вращение вокруг своей оси. Вначале поверхность воды остается плоской, несмотря на то, что относительная скорость ведра и воды велика. Только по мере того, как вследствие трения вода приводится в движение, она поднимается у стенок вверх, и ее поверхность принимает параболоидальную форму. Относительное движение между ведром и водой теперь прекратилось, но возникло «абсолютное» движение воды в пространстве, а вместе с ним образовалась и вогнутость поверхности воды.

На самом деле этот опыт показывает только, что вращающееся ведро является неподходящей системой отсчета для того, чтобы понять движение воды ${}^1$. Является ли Земля такой системой отсчета? Она также вращается и вдобавок движется еще и вокруг Солнца. Какие вообще требования надо предъявлять к идеальной системе отсчета механи$\kappa и$ ? Под системой отсчета мы понимаем пространственно-временную систему, с помощью которой можно определять положение материальных точек и течение времени, как, например, прямоугольную систему координат $x,y,z$ и шкалу времени $t$.

На практике мы полагаемся в этих вопросах на астрономов, которые дают нам в системе неподвижных звезд достаточно неподвижные оси и в средних солнечных сутках достаточно постоянную единицу времени. Но с теоретической точки зрения мы, к сожалению, приходим к тавтологии: правильной является та система отсчета, в которой закон инерции Галилея оказывается в достаточной степени справедливым для достаточно свободного тела. Таким образом, закон инерции низводится к чисто формальному определению; в качестве положительного неформального содержания закона остается только следующее утверждение:
${}^1$ Имеется в виду: «понять на основе ньютоновых законов механики». Если бы закон инерции был справедлив, когда в качестве системы отсчета взято «вращающееся» ведро, то поверхность воды в нем была бы плоской. Поскольку опыт дает иной результат, мы должны сделать заключение, что в системе отсчета, связанной с вращающимся ведром, закон инерции не имеет места. (Прим. ред.)

существуют системы отсчета, обладающие требуемым свойством. Согласно всему нашему опыту, такая система приближенно задается астрономическими определениями места и времени.

В сущности, именно это имеют в виду, когда в основу механики кладут понятие инериальной системы, т.е. воображаемой системы, образованной траекториями тел, движущихся по инерции ${}^1$.

Теперь возникает вопрос: в какой мере определена эта идеальная система? Является ли такая система $x,y,z,t$ единственной или существует бесконечное множество таких систем? Из закона инерции, который не делает различия между состоянием покоя и состоянием равномерного движения, непосредственно следует, что системе $x,y,z,t$ равноправна любая система $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime }$, отличающаяся от нее только равномерным поступательным движением. Математически это выражается следующим образом:
$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }& =x+{\alpha }_{0}t,\\ y^{\prime }& =y+{\beta }_{0}t,\\ z^{\prime }& =z+{\gamma }_{0}t,\\ t^{\prime }& =t.\end{array}\}$$

Преобразование (2.1) можно обобщить на случай поворота системы пространственных координат $x,y,z$. Это сводится к замене $x,y,z$ в формулах (2.1) новыми пространственными координатами $\xi ,\eta ,\zeta$, удовлетворяющими условию.
$${\xi }^2+{\eta }^2+{\zeta }^2=x^2+y^2+z^2.$$

Это условие определяет произвольное ортогональное преобразование, которое можно охарактеризовать направляющими косинусами согласно следующей схеме:
$$\text{Unknown environment 'tabular'}$$
${}^1\mathrm{B}$ оригинале соответствующая фраза гласит: «Im Grunde dasselbe meint man, wenn man der Mechanik ein Inertial-System zugrunde legt, d. h. ein von Trägheitsbahnen gebildetes Gedankending». Эта фраза представляет затруднения для понимания, а следовательно, и для перевода. Всякая система отсчета образуется не траекториями, а телами. В соответствии с этим, и определение инерциальной системы должно сводиться к указанию тела, служащего в качестве тела отсчета. (Прим. ред.)

Эту схему можно читать как слева направо, так и сверху вниз. При этом, ввиду (2.2), $\alpha ,\beta ,\gamma$ удовлетворяют известным условиям
$$\sum {\alpha }_k^2=\sum {\beta }_k^2=\sum {\gamma }_k^2=1,\sum {\alpha }_k{\beta }_k=\dots =0\text{ ит.д. }$$

Заменив в правой части (2.1) $x,y,z$ через $\xi ,\eta ,\zeta$ и воспользовавшись (2.3), получим обобщенную схему преобразования:

Тот факт, что штрихованная система $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime }$ столь же пригодна в качестве системы отсчета классической механики, как и нештрихованная система $x,y,z,t$, называется принцпом относительности классической механики. В дальнейшем преобразование (2.5) мы будем называть преобразованием Галилея. Оно линейно относительно четырех координат, ортогонально относительно первых трех координат и оставляет координату времени инвариантной ( $t^{\prime }=t)$. Последнее означает, что принцип относительности классической механики оставляет незатронутым абсолютный характер времени, постулированный Ньютоном.

Не так, однако, обстоит дело в области электродинамики и, в частности, в одном из ее отделов — в оптике. Уравнения Максвелла, которые управляют областью электродинамики, показывают, что процесс распространения света в вакууме со скоростью $c$ не зависит от системы отсчета. Фронт шаровой волны, выходящей из начала координат, определяется уравнением
$$x^2+y^2+z^2=c^2{t}^2\text{ или }{x}^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=c^2{t}^{\prime 2},$$

в зависимости от того, пользуемся ли мы штрихованной или нештрихованной системой отсчета. Здесь удобно изменить обозначение координат следующим образом:
$$x=x_1,y=x_2,z=x_3,ict=x_4,$$

понимая под $i$ мнимую единицу; соответственные обозначения вводим и для штрихованных координат. Тогда уравнения (2.6) принимают следующий вид:
$$\sum _1^4{x}_k^2=0,\sum _1^4{x^{\prime }}_k^2=0.$$

Независимость распространения света от системы отсчета требует ${}^1$, чтобы
$$\sum _1^4{x^{\prime }}_k^2=\sum _1^4{x}_k^2.$$

Уравнение (2.2) определяло ортогональное преобразование в трехмерном пространстве, тогда как уравнение (2.9) относится к ортогональному преобразованию в четырехмерном пространстве, причем мнимость четвертой координаты не нарушает справедливости уравнений, аналогичных уравнениям (2.3), (2.4), (2.5). Соответствующее преобразованию (2.5) соотношение между $x_k$ и $x_k^{\prime }$ называется преобразованием Лоренца (по имени великого голландского физика-теоретика Гендрика Антона Лоренца). Записываем это преобразование в виде следующей общей схемы:

Эта схема указывает на то, что при изменении системы отсчета изменяются не только пространственные координаты, но и координаты времени (в мнимой форме $x_4$ ). Таким образом, требование инвариантности (2.9) с необходимостью ведет к отказу от абсолютности времени.

Значительно нагляднее общего преобразования частное преобразование Лоренца, которое мы получим, если оставим без изменения две пространственные координаты, например, $x_1$ и $x_2$, и преобразуем только $x_3$ и $x_4$.
${}^1$ А именно, одно из уравнений (2.8) должно быть следствием другого. Ввиду линейности связи между штрихованными и нештрихованными координатами, это означает, что одно из выражений (2.8) должно быть пропорционально другому; коэффициент пропорциональности должен равняться 1 ввиду взаимности соотношений.

Тогда в первом и втором горизонтальных и вертикальных рядах схемы (2.10) должны исчезнуть все $\alpha$, кроме
$${\alpha }_{11}={\alpha }_{22}=1\text{. }$$

Это следует из равенств $x_1^{\prime }=x_1,x_2^{\prime }=x_2$, которые можно прочитать в схеме (2.10) как слева направо, так и сверху вниз. Далее, из условий, аналогичных условиям (2.4), получаем
$${\alpha }_{33}^2+{\alpha }_{34}^2={\alpha }_{33}^2+{\alpha }_{43}^2={\alpha }_{43}^2+{\alpha }_{44}^2={\alpha }_{34}^2+{\alpha }_{44}^2=1;$$

таким образом,
$${\alpha }_{33}^2={\alpha }_{44}^2,{\alpha }_{34}^2={\alpha }_{43}^2.$$

Если мы положим здесь
$${\alpha }_{33}=+{\alpha }_{44},$$

то должны выбрать
$${\alpha }_{34}=-{\alpha }_{43},$$

чтобы удовлетворить условию ортогональности
$${\alpha }_{33}{\alpha }_{34}+{\alpha }_{43}{\alpha }_{44}=0.$$

Если еще ради сокращения ввести обозначения $\alpha$ и $\beta$, положив
$${\alpha }_{33}={\alpha }_{44}=\alpha ,{\alpha }_{34}=-{\alpha }_{43}=i\alpha \beta ,$$

то схема (2.10) перейдет в

Отсюда получаем следующие соотношения между двумя последними координатами (отныне мы будем применять для них первоначальные обозначения $z$ и $t$ ):
$$\begin{array}{rl}{z}^{\prime }& =\alpha (z-\beta ct),\\ t^{\prime }& =\alpha (t-\frac{\beta }{c}z).\end{array}\}$$

Из уравнений (2.11) и (2.12) следует, что
$${\alpha }^2(1-{\beta }^2)=1,\alpha =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}.$$

Далее мы положим
$$\beta c=v,\beta =\frac{v}{c}.$$

Согласно первому из уравнений (2.13), введенная нами величина $v$ означает скорость, с которой ось $z^{\prime }$ движется по отношению к нештрихованной системе ${}^1$. Скорость эта параллельна оси $z$ и направлена вдоль положительного направления этой оси. Подстановка (2.13a, б) в (2.13) окончательно дает двухмерное преобразование Лоренца:
$$\begin{array}{r}{z}^{\prime }=\frac{z-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\\ t^{\prime }=\frac{t-\frac{vz}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{array}\}$$

Отсюда в пределе при $c\to \mathrm{\infty }$ получается преобразование Галилея (2.1) с ${\alpha }_0={\beta }_0=0,{\gamma }_0=-v$, а именно
$$z^{\prime }=z-vt,t^{\prime }=t.$$

Относительность времени в (2.14) и изменение масштаба пространственной координаты $z$ (выражаемое знаменателем $\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$ ) обусловлены, как мы видим, конечностью скорости света $c$, с которой несовместим принцип относительности классической механики.
${}^1$ Действительно, если некоторая точка покоится относительно штрихованной системы координат, то ее координаты $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ остаются постоянными. Значит, на основании первого из уравнений (2.13), координата $z$ этой точки должна удовлетворять уравнению
$$\alpha (z-\beta ct)=\text{ const. }$$

или
$$z=vt+\text{ const. }$$

Отсюда следует, что рассматриваемая точка, а следовательно, и штрихованная система координат, движется равномерно вдоль оси $z$ со скоростью $v$ относительно нештрихованной системы. (Прим. ред.)

Тот факт, что при конечной скорости распространения $c$ всех электродинамических воздействий преобразования Галилея должны быть заменены преобразованиями Лоренца [в общей их форме (2.10) или в специализированной форме (2.14)], называют принципом относительности электродинамики. Однако ясно, что и механика должна быть приведена в согласие с фактом конечности скорости распространения света. Только вследствие того, что все скорости, встречающиеся в обычной механике, очень малы по сравнению с $c$, для целей механики можно почти всегда не принимать во внимание изменение масштаба пространственных и временных координат, предписываемое уравнениями (2.14).

Все многообразие физических следствий, вытекающих из преобразований Лоренца, может быть рассмотрено лишь в электродинамике. Здесь же мы еще рассмотрим только те изменения в понимании одной из важнейших механических величин — количества движения или импульса $\mathbf{G}$, которые вытекают из принципа относительности.

Мы назвали $\mathbf{G}$ вектором тод этим понимается только то, что при изменении координатной системы три составляющих $\mathbf{G}$ изменяются так же, как и сами координаты (т.е. как слагающие радиуса-вектора $\mathbf{r}=x,y,z$ ). Это утверждение выражают словами: $\mathbf{G}$ ковариантно с $\mathbf{r}$.

Однако это утверждение справедливо только с точки зрения преобразования Галилея, т.е. при условии, что время рассматривается как абсолютное. С точки зрения преобразований Лоренца радиус-вектор является четырехкомпонентной величиной, а именно четырехмерным вектором:
$$\mathfrak{r}=x_1,x_2,x_3,x_4.$$

Также и импульс — в дальнейшем мы будем обозначать его через $\mathfrak{G}$ надо рассматривать как четырехмерный вектор; иными словами, чтобы иметь «права гражданства» в теории относительности, он должен быть ковариантным с $\mathfrak{r}$. Мы приходим к этому четырехмерному вектору следующим путем:
a) Координатное расстояние между двумя соседними точками
$$d\mathfrak{r}=d{x}_1,d{x}_2,d{x}_3,icdt$$

так же, как и радиус-вектор (2.15), несомненно, является четырехмерным вектором.

б) Величина этого расстояния, конечно, инвариантна по отношению к преобразованиям Лоренца. С точностью до множителя $ic$, эта величина дается следующей формулой:
$$d\tau =\sqrt{d{t}^2-\frac{1}{c^2}(d{x}_1^2+d{x}_2^2+d{x}_3^2)}.$$

По введенной Минковским терминологии $d\tau$ называется элементом собственного времени; $d\tau$, в отличие от $dt$, релятивистски инвариантно. Если мы в (2.17) вынесем $dt$ за скобки и введем обыкновенную трехмерную скорость $v$, то получим:
$$d\tau =dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=dt\sqrt{1-{\beta }^2}.$$
[Cp. (2.13)].
в) Путем деления четырехмерного вектора (2.16) на инвариант (2.17a) мы, конечно, получим опять четырехмерный вектор; назовем его четырехмерным вектором скорости:.
$$\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}(\frac{d{x}_1}{dt},\frac{d{x}_2}{dt},\frac{d{x}_3}{dt},ic).$$
г) Подобно тому, как мы получили прежний вектор импульса $\mathbf{G}$ из трехмерного вектора скорости путем умножения этого последнего на массу $m$, не зависящую от системы отсчета, мы получим четырехмерный вектор импульса $\mathfrak{G}$ из четырехмерного вектора скорости (2.18) путем умножения этого последнего на не зависящий от системы отсчета коэффициент. Назовем этот коэффициент м а с о й по ко я $m_0$. Тогда получим:
$$\mathfrak{G}=\frac{m_0}{\sqrt{1-{\beta }^2}}(\frac{d{x}_1}{dt},\frac{d{x}_2}{dt},\frac{d{x}_3}{dt},ic).$$

Выражение, стоящее перед скобками, целесообразно назвать массой движения (так как оно для $\beta =0$ переходит в массу покоя) или просто массой. Следовательно, мы утверждаем, что
$$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-{\beta }^2}}.$$

Этот закон впервые был выведен Лоренцом в 1904 г. при весьма специальных предположениях (деформируемый электрон); вышеприведенный вывод из принципа относительности делает подобные специальные предположения излишними. Справедливость уравнения (2.20) подтверждена многочисленными точными опытами с быстрыми электронами; вместе с оптическими опытами, особенно с опытом Майкельсона, они являются тем фундаментом, на котором покоится теория относительности. Если мы в нашем изложении, следуя в обратной последовательности и исходя из принципа относительности, пришли к уравнению (2.20) очень формальным путем, то логически это допустимо и способствует краткости наших вводных пояснений. В §4 мы рассмотрим, какие изменения в применениях законов движения Ньютона вытекают из зависимости массы от скорости.

Теперь, чтобы довести до конца рассмотрение вопроса о допустимых системах отсчета, хотя бы в виде кратких указаний, мы перейдем от специальной теории относительности, которую мы рассматривали до сих пор, к общей теории относительности (Эйнштейн, 1915 г.). В специальной теории относительности имеются правомерные системы отсчета, преобразующиеся друг в друга путем преобразований Лоренца, и неправомерные системы отсчета, например, системы, движущиеся ускоренно относительно правомерных. В общей же теории относительности допускаются всевозможные системы отсчета; преобразования между ними не должны, подобно (2.10), быть линейными или ортогональными, а могут быть заданы произвольными функциями $x_k^{\prime }=f_k(x_1,x_2,x_3,x_4)$. Таким образом, речь идет о системах отсчета, произвольно движущихся и произвольно деформированных по отношению друг к другу. При этом пространство и время утрачивают последние черты той абсолютности, которой они обладали в основоположениях Ньютона. При подобных рассмотрениях даже евклидова геометрия оказывается недостаточной для этой цели и должна быть заменена значительно более общей геометрией, основание которой было заложено Риманом. При этом возникает задача придать физическим законам такую форму, которая делала бы их справедливыми для всех рассматриваемых систем отсчета, другими словами, придать им форму, инвариантную по отношению к любым «точечным преобразованиям» $x_k^{\prime }=f_k(x_1,\dots ,x_4)$ четырехмерного пространства. В разрешении этой задачи и заключается положительное содержание общей теории относительности. Очень сложная в математическом отношении форма, которую при этом принимают законы механики, не может быть нами рассмотрена в этих лекциях. Упомянем только, что этот путь автоматически приводит к обоснованию и вместе с тем к уточнению ньютоновского закона тяготения.

В заключение скажем несколько слов о термине «теория относительности». Заслугой этой теории является не полная релятивизация пространства и времени, а доказательство независимости законов природы от выбора системы отсчета, т. е. доказательство инвариантности явлений природы по отношению ко всякому изменению точки зрения наблюдателя. Поэтому термин «теория инвариантности явлений природы» удачнее характеризовал бы эту теорию, чем обычный термин «общая теория относительности».