Подобно тому, как в $\S 35$ [ср. формулы (35.10) и (35.11)] мы рассматривали смешанный тип уравнений (по отношению к уравнениям Лагранжа первого и второго рода), мы теперь познакомимся еще с одним, смешанным типом «уравнений», занимающих промежуточное положение между уравнениями Лагранжа и уравнениями Гамильтона. Этот тип уравнений носит имя Paуса ${ }^{1}$, в продолжение нескольких десятков лет преподававшего механику в Кембриджском университете. Несколько позднее Гельмгольц ${ }^{2}$ положил этот же тип уравнений в основу своей теории моно- и полициклических систем, связанной с основными проблемами термодинамики.

Разобьем все степени свободы системы на две группы: одну группу, состоящую из $f-r$ степеней свободы, мы будем описывать лагранжевыми обобщенными координатами и обобщенными скоростями
\[
q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{f-r} ; \quad \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{f-r} ;
\]

вторую же группу степеней свободы мы будем характеризовать гамильтоновыми обобщенными координатами и обобщенными импульсами
\[
q_{f-r+1}, q_{f-r+2}, \ldots, q_{f} ; \quad p_{f-r+1}, p_{f-r+2}, \ldots, p_{f} .
\]

Вместо функции Лагранжа $L$ или функции Гамильтона $H$ мы теперь введем функцию Рауса $R$, являющуюся функцией вышеприведенных $2 f$-координат, а также (для общности) и времени $t$ :
\[
R\left(t, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{f} ; \quad \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{f-r}, p_{f-r+1}, \ldots, p_{f}\right)
\]
${ }^{1}$ Мы считаем нужным указать его книгу: «Treatise on the dynamics of a system of rigid bodies, by Routh, I elementary part, II advanced part» – сборник задач, являющийся единственным в своем роде по богатству содержания. Свою форму уравнений динамики Раус развил впервые в конкурсном сочинении «A treatise of stability of a given state of motion».
${ }^{2}$ Berliner Akademie, 1884 и Crelles J., Bd. 97.

и определяемую выражением:
\[
R=\sum_{k=f-r+1}^{f} p_{k} \dot{q}_{k}-L\left(t, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{f} ; \quad \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{f}\right) .
\]

Как мы видим, при $r=f$ функция Рауса переходит в функцию Гамильтона (41.1); с другой стороны, при $r=0$ [когда сумма в первой части формулы (42.2) исчезает] она, с точностью до знака, переходит в функцию Лагранжа. Заметим при этом, что вместо определения (40.2) мы могли бы, очевидно, написать:
\[
R=H\left(t, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{f} ; \quad p_{1}, \ldots, p_{f}\right)-\sum_{k=1}^{f-r} p_{k} \dot{q}_{k} .
\]

Теперь мы поступаем, как в $\S 41$ [см. (41.2) и (41.4)] и выражаем полный дифференциал $R$, с одной стороны, из (42.1):
\[
d R=\frac{\partial R}{\partial t} d t+\sum_{k=1}^{f} \frac{\partial R}{\partial q_{k}} d q_{k}+\sum_{k=1}^{f-r} \frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{k}} d \dot{q}_{k}+\sum_{k=f-r+1}^{f} \frac{\partial R}{\partial p_{k}} d p_{k},
\]

с другой стороны, из определения (42.2):
\[
d R=\sum_{k=f-r+1}^{f} \dot{q}_{k} d p_{k}+\sum_{k=f-r+1}^{f} p_{k} d \dot{q}_{k}-d L .
\]

Здесь для $d L$ мы можем непосредственно воспользоваться выражением (41.2б), которое мы для большей ясности перепишем в виде:
\[
d L=\frac{\partial L}{\partial t} d t+\sum_{k=1}^{f} \dot{p}_{k} d q_{k}+\sum_{k=1}^{f-r} p_{k} d \dot{q}_{k}+\sum_{k=f-r+1}^{f} p_{k} d \dot{q}_{k} .
\]

При подстановке в равенство (42.3а) последний член выражения (42.3б) и средний член (42.3a) взаимно уничтожаются, после чего остается:
\[
d R=-\frac{\partial L}{\partial t} d t-\sum_{k=1}^{f} \dot{p}_{k} d q_{k}-\sum_{k=1}^{f-r} p_{k} d \dot{q}_{k}+\sum_{k=f-r+1}^{f} \dot{q}_{k} d p_{k} .
\]

Сравнивая теперь почленно равенства (42.4) и (42.3), получим, кроме соотношения
\[
\frac{\partial R}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}
\]

следующую схему уравнений:

Здесь $f-r$ уравнений, стоящих слева, относятся к типу уравнений Лагранжа (при $L=-R$ ), а $r$ уравнений, стоящих справа, относятся к типу уравнений Гамильтона (при $H=R$ ).

Приложение этих уравнений к циклическим системам, которое и имел в виду Раус при их выводе, заключается в следующем. Мы принимаем, что координаты второй группы степеней свободы являются циклическими и, следовательно (согласно стр. 262), не входят в функцию Лагранжа; в таком случае они не входят также и в функцию Paуса. Вследствие этого, соответствующие $p_{k}$ оказываются постоянными (согласно верхнему уравнению из правой группы уравнений Рауса или так же, как мы уже замечали на стр. 263, согласно уравнениям Лагранжа). Подставляя эти постоянные значении $p_{k}$ и соответствующие им (вообще говоря, не постоянные) значения $q_{k}$ в выражение (42.2), получим функцию Рауса, зависящую только от $f-r$ координат первой группы $q_{k}$ и от $\dot{q}_{k}$. Для этих координат справедлива левая группа приведенных уравнений (42.5), благодаря чему задача сводится к $f-r$ уравнениям типа Лагранжа.

Для того чтобы пояснить этот метод на не слишком сложном примере (Раус применяет этот метод преимущественно к трудным вопросам устойчивости состояний движения), рассмотрим еще раз задачу о движении тяжелого симметричного волчка. Циклическими координатами этого «бицикла» являются эйлеровы углы $\varphi$ и $\psi$; согласно формулам (35.15)-(35.17) имеем:
\[
\begin{aligned}
p_{\varphi} \dot{\varphi}+p_{\psi} \dot{\psi}==N\left(\frac{N}{C}-\cos \vartheta \frac{n-N \cos \vartheta}{A \sin ^{2} \vartheta}\right) & +n \frac{n-N \cos \vartheta}{A \sin ^{2} \vartheta}= \\
& =\frac{N^{2}}{C}+\frac{(n-N \cos \vartheta)^{2}}{A \sin ^{2} \vartheta}
\end{aligned}
\]

Следовательно, принимая во внимание формулу (35.13), получим:
\[
\begin{array}{c}
R=\frac{N^{2}}{C}+\frac{(n-N \cos \vartheta)^{2}}{A \sin ^{2} \vartheta}-\frac{A}{2} \dot{\vartheta}^{2}-\frac{(n-N \cos \vartheta)^{2}}{2 A \sin ^{2} \vartheta}-\frac{N^{2}}{2 C}+P \cos \vartheta= \\
=-\frac{A}{2} \dot{\vartheta}^{2}+\Theta(\vartheta), \quad \Theta=\frac{N^{2}}{2 C}+\frac{(n-N \cos \vartheta)^{2}}{2 A \sin ^{2} \vartheta}+P \cos \vartheta .
\end{array}
\]

Поэтому из нижнего уравнения левой группы уравнений (42.5) следует (при $q_{k}=\vartheta$ ):
\[
p_{k}=A \dot{\vartheta}
\]

и из верхнего уравнения этой же группы:
\[
A \ddot{\vartheta}=-\frac{\partial \Theta}{\partial \vartheta},
\]

что, разумеется, совпадает с «обобщенным уравнением маятника» (35.19). Таким же образом можно было бы показать применимость метода Рауса к проблемам более сложным, чем только что рассмотренная.

В начале своих лекций по теории Максвелла, прочитанных в 1891 г. в Мюнхенском университете, Больцман подробно рассматривает бициклическую систему, наглядно представляющую индукционные взаимодействия двух контуров тока.

В заключение рассмотрим в общем виде формальный математический метод, с помощью которого мы перешли от уравнений Лагранжа к уравнениям Гамильтона и, соответственно, Рауса. Допустим, что мы имеем дело с функцией $Z$ двух переменных (или рядов переменных) $x$ и $y$; пусть
\[
d Z(x, y)=X d x+Y d y .
\]

Если вместо $x, y$ мы хотим ввести в качестве независимых переменных $X, Y$, то нужно вместо $Z$ рассматривать, «преобразованную функцию»:
\[
U(X, Y)=x X+y Y-Z(x, y) \text {. }
\]

Дифференцируя уравнение (42.8) и принимая во внимание условие (42.7), непосредственно получим:
\[
d U(X, Y)=x d X+y d Y .
\]

Уравнения (42.7) и (42.9) идентичны следующим «взаимным с ними соотношениям»:
\[
\begin{array}{ll}
\frac{\partial Z}{\partial x}=X, & \frac{\partial Z}{\partial y}=Y, \\
\frac{\partial U}{\partial X}=x, & \frac{\partial U}{\partial Y}=y .
\end{array}
\]

Если, с другой стороны, мы хотим заменить только одну из первоначальных переменных, например, $y$ на «канонически сопряженную» переменную $Y$, то мы должны видоизменить (42.8) следующим образом:
\[
V(x, Y)=y Y-Z,
\]

откуда получаем:
\[
d V(x, Y)=-X d x+y d Y
\]

следовательно,
\[
\frac{\partial V}{\partial x}=-X, \quad \frac{\partial V}{\partial Y}=y .
\]

Переход от $Z$ к $U$ можно сравнить с переходом от уравнений Лагранжа к уравнениям Гамильтона, а переход от $Z$ к $V$ с переходом от уравнений Лагранжа к уравнениям Рауса.

В математическом анализе подобная замена независимых переменных и связанное с ней преобразование характеристической функции, называемое преобразованием Лежандра, играет выдающуюся роль. Эта замена широко используется в термодинамике.