Хотя принцип наименьшего действия и дает нам способ вывода общих уравнений Лагранжа, непревзойденный по своей наглядности и краткости, все же этот способ представляется нам несколько искусственным. Приведенный вывод не раскрывает истинной природы уравнений Лагранжа, заключающейся в свойствах преобразований различных механических величин. Следующий вывод должен восполнить этот пробел.

Рассмотрим систему $n / 3$ материальных точек $[n$ должно делиться на 3), на которую наложены произвольные связи (для простоты будем считать их голономными). Число этих связей равно $n-f$, где $f$ означает число степеней свободы системы. Будем пользоваться обозначениями, введенными в $\S 34$ [ср. уравнения (36.2)]. Пронумеруем координаты (которые мы теперь считаем прямоугольными) и обозначим их через $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$; так же поступим и со слагающими внешних сил $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ Компоненты элементарных количеств движения наших материальных точек обозначим через $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n}$ [а не через $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, как это следовало бы сделать согласно общему условию (35.14); эти обозначения мы сохраним для лагранжевых обобщенных импульсов]. Тогда имеем:
\[
\xi_{i}=m_{i} \dot{x}_{i}, \quad i=1,2, \ldots, n,
\]

причем величины $m_{i}$, конечно, по-трое равны между собой. Движение нашей системы описывается уравнениями Лагранжа первого рода (12.9), которые в принятых нами теперь обозначениях имеют следующий вид:
\[
\frac{d \xi_{i}}{d t}=X_{i}+\sum_{\mu=f+1}^{n} \lambda_{\mu} \frac{\partial F_{\mu}}{\partial x_{i}}, \quad i=1,2, \ldots, n .
\]

Введем теперь обобщенные координаты $q_{1}, \ldots, q_{f}$, которые могут и должны быть выбраны таким образом, чтобы [как в (34.2)] $n-f$ условий $F_{\mu}=0$ удовлетворялись тождественно. Тогда старые и новые обобщенные скорости будут связаны соотношениями (34.26); разрешая последние относительно $\dot{x}$, получим:
\[
\dot{x}_{i}=\sum_{k=1}^{f} a_{i k} \dot{q}_{k}, \quad i=1,2, \ldots, n .
\]

Коэффициенты $a_{i k}$, как мы указывали в связи с уравнением (34.26), являются функциями от $x_{1}, \ldots, x_{n}$, а следовательно, и от $q_{1}, \ldots, q_{f}$. Таким образом, в то время как старые и новые координаты связаны друг с другом произвольным «точечным преобразованием», скорости преобразуются друг в друга линейно, причем коэффициенты этого преобразования, в свою очередь, зависят от координат.

Как преобразуются друг в друга обобщенные силы? Обозначим новые обобщенные силы через $Q_{k}$ и определим их, как и в (34.7), условием инвариантности виртуальной работы, т.е. с помощью соотношения
\[
\delta A=\sum_{i=1}^{n} X_{i} \delta x_{i}=\sum_{k=1}^{f} Q_{k} \delta q_{k} .
\]

Переходя от виртуальных перемещений к действительным и от последних к соответствующим скоростям и принимая во внимание выражения (36.3), получим из условия (36.4):
\[
\sum_{k=1}^{f} Q_{k} \dot{q}_{k}=\sum_{i=1}^{n} X_{i} \sum_{k=1}^{f} a_{i k} \dot{q}_{k} .
\]

В противоположность $\dot{x}_{i}$ величины $\dot{q}_{k}$ независимы друг от друга. Следовательно, коэффициенты при $\dot{q}_{k}$ в правой и левой частях равенства (36.4а) должны быть равны между собою; таким образом,
\[
Q_{k}=\sum_{i=1}^{n} a_{i k} X_{i}, \quad k=1,2, \ldots
\]

Это преобразование является «транспонированным» по отношению к преобразованию (36.3), ибо в (36.3) суммирование производится по $k$, а в (36.5) – по $i$. Выпишем подробно:
\[
\begin{aligned}
\dot{x}_{1} & =a_{11} \dot{q}_{1}+a_{12} \dot{q}_{2}+\ldots \\
Q_{1} & =a_{11} X_{1}+a_{21} X_{2}+\ldots \\
\dot{x}_{2} & =a_{21} \dot{q}_{1}+a_{22} \dot{q}_{2}+\ldots \\
Q_{2} & =a_{12} X_{1}+a_{22} X_{2}+\ldots
\end{aligned}
\]

Таким образом, «транспозиция» заключается в замене $a_{i k}$ на $a_{k i}$. В этом случае принято говорить, что обобщенные силы преобразуются контраградиентно ${ }^{1}$ по отношению к обобщенным скоростям.

Так же, как обобщенные силы, т.е. коградиентно с ними, преобразуются обобщенные импульсы. Импульсы мы можем рассматривать как толчки, сообщающие данные скорости первоначально покоящимся материальным точкам. Если новые импульсы обозначить через $p_{k}$, то они выразятся через старые импульсы $\xi_{i}$ следующим образом:
\[
p_{k}=\sum_{i=1}^{n} a_{i k} \xi_{i} \text {. }
\]

Этим и устанавливается определение обобщенных импульсов $p_{k}$. Это определение, правда, довольно сложно, но оно может быть легко преобразовано к более содержательному виду. С этой целью рассмотрим,
${ }^{1}$ Согласно принятым в общей теории относительности обозначениям, индексы у контраградиентных (или контравариантных) величин $Q, p$ пишутся сверху, в отличие от ковариантных величин $\dot{q}_{k}$. Однако для наших целей нам нет необходимости вводить разные обозначения для ковариантных и контравариантных величин.

подобно изложенному на стр. 248, выражения кинетической энергии как функции, с одной стороны, $\dot{q}$ и, с другой стороны, $\dot{x}$, причем в случае необходимости мы будем их различать с помощью обозначений
\[
T_{\dot{q}} \text { и } T_{\dot{x}} .
\]

В соответствии с этим преобразуем выражение
\[
\frac{\partial T_{\dot{q}}}{\partial \dot{q}_{k}}=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial T_{\dot{x}}}{\partial \dot{x}_{i}}\left[\frac{\partial \dot{x}_{i}}{\partial \dot{q}_{k}}\right] .
\]

Квадратные скобки здесь означают, что при дифференцировании по $\dot{q}_{k}$ как $q_{k}$, так и все остальные $\dot{q}$, кроме $\dot{q}_{k}$, считаются постоянными. Но при этом условии производная $\frac{\partial \dot{x}_{i}}{\partial \dot{q}_{k}}$, согласно соотношению (36.3), равна просто $a_{i k}$. С другой стороны, элементарная формула
\[
T_{\dot{x}}=\frac{1}{2} \sum m_{i} \dot{x}_{i}^{2}
\]

дает, очевидно,
\[
\frac{\partial T_{\dot{x}}}{\partial \dot{x}_{i}}=\xi_{i} .
\]

Таким образом, формула (36.7) принимает вид
\[
\frac{\partial T_{\dot{q}}}{\partial \dot{q}_{k}}=\sum_{i=1}^{n} a_{i k} \xi_{i} .
\]

Правая часть полученного равенства совпадает с правой частью равенства (36.6). Отсюда результат:
\[
p_{k}=\frac{\partial T_{\dot{q}}}{\partial \dot{q}_{k}} .
\]

Принимая, что внешние силы имеют потенциал $V$, не зависящий от $\dot{q}$, и вводя функцию Лагранжа $L=T-V$, можно вместо формулы (36.9) написать также
\[
p_{k}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} .
\]

Тем самым мы обосновали в общем виде определение (35.14) обобщенного импульса $p_{k}$.

Теперь мы можем преобразовать и уравнения движения (36.2) к нашим обобщенным координатам. Для этой цели умножим эти уравнения поочередно на $a_{i k}$ и просуммируем по $i$. Согласно формуле (36.5), в первом члене правой части получим:
\[
Q_{k}=-\frac{\partial V}{\partial q_{k}} .
\]

Во втором члене правой части множителем при $\lambda_{\mu}$ будет
\[
\sum_{i=1}^{n} a_{i k} \frac{\partial F_{\mu}}{\partial x_{i}} \quad \text { при } \quad \mu=f+1, \ldots, n .
\]

Но, согласно формуле (36.3), имеем:
\[
a_{i k}=\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}} .
\]

В этом легко убедиться, если в уравнении $d x_{i}=\sum a_{i k} d q_{k}$, тождественном с уравнением (36.3), фиксировать все $q$, кроме $q_{k}$. Таким образом, выражение (36.11) принимает следующий вид:
\[
\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial F_{\mu}}{\partial x_{i}} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}}=\frac{\partial F_{\mu}}{\partial q_{k}} .
\]

Но поскольку при нашем выборе $q_{k}$, функции $F_{\mu}$ при $\mu=f+1, \ldots, n$ тождественно обращаются в нуль [согласно (34.2)], то обращается в нуль также и частная производная $F_{\mu}$ по $q_{k}$. Таким образом, правая часть нашего уравнения сводится к выражению (36.10). В левой части вначале получим:
\[
\sum_{i} a_{i k} \frac{d \xi_{i}}{d t} .
\]

Преобразуем это выражение:
\[
\frac{d}{d t} \sum_{i} a_{i k} \xi_{i}-\sum_{i} \xi_{i} \frac{d a_{i k}}{d t}=\frac{d p_{k}}{d t}-\sum_{i} \xi_{i} \frac{d}{d t} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}}
\]

[при этом мы использовали формулы (36.6) и (36.12)]. Последнюю сумму мы переписываем в виде
\[
\sum m_{i} \dot{x}_{i} \frac{\partial \dot{x}_{i}}{\partial q_{k}}=\frac{\partial}{\partial q_{k}} \frac{1}{2} \sum m_{i} \dot{x}_{i}^{2}=\frac{\partial}{\partial q_{k}} T_{\dot{q}} .
\]

Здесь индекс $\dot{q}$ при $T$ указывает, что прежнее выражение $T$ через скорости $\dot{x}$ перед дифференцированием по $\dot{q}$ должно быть преобразовано к переменным $q, \dot{q}$. В соответствии с этим правая часть равенства (36.13) принимает вид
\[
\frac{d p_{k}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial q_{k}} .
\]

Так как это выражение должно быть равно выражению (36.10), то мы получаем:
\[
\frac{d p_{k}}{d t}=\frac{\partial T}{\partial q_{k}}-\frac{\partial V}{\partial q_{k}}=\frac{\partial L}{\partial q_{k}} .
\]

Но это уравнение, принимая во внимание формулу (36.9a), вполне идентично с уравнением Лагранжа в форме (34.6), или, если не предполагать существования потенциальной энергии, с уравнением Лагранжа в форме $(34.8)$.

Таким образом, все изложенное убеждает нас в том, что при выводе уравнений Лагранжа можно обойтись без принципа наименьшего действия, если только вместо этого достаточно глубоко исследовать свойства преобразований механических величин.