Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
VI.1. Пример на применение принципа Гамильтона. Вычислить величину интеграла Гамильтона в пределах $t=0$ до $t=t_{1}$ : а) для случая действительного свободного падения материальной точки: $z=\frac{1}{2} g t^{2}$; б) для случаев двух фиктивных движений $z=c t$ и $z=a t^{3}$, где постоянные $c$ и $a$, в соответствии с условием относительно допустимых траекторий, должны быть определены таким образом, чтобы начальное и конечное положения совпадали с действительными положениями. Показать, что величина интеграла для истинного движения а) меньше, чем для фиктивных движений б). Нужно исходить из обычных полярных координат $r, \vartheta, \psi$, причем $r$ отсчитывается от центра Земли. Эти координаты нужно сравнить с координатами $\xi, \eta, \zeta$ (см. рис. 49). Если $R$ — радиус Земли, а $\vartheta_{0}, \psi_{0}$ — координаты точки, над которой находится начальная точка свободного падения или точка подвеса маятника, то координаты $r, \vartheta, \psi$ и $\xi, \eta, \zeta$ падающей или качающейся материальной точки $m$ связаны соотношениями: где и обратно: Входящий сюда угол $\vartheta$ нужно, в соответствии с соотношением (1), рассматривать как функцию от $\xi$. Эти величины надо подставить в выражение кинетической энергии которое вследствие этого становится функцией от $\dot{\xi}, \dot{\eta}, \dot{\zeta}, \xi, \eta, \zeta$. Отсюда можно, например, вычислить (если не учитываемые в дальнейшем члены обозначить через (..)): В качестве потенциальной энергии можно взять величину Убедиться в том, что таким путем получаются уравнения (30.5) для случая свободного падения и уравнения (31.2) для случая маятника Фуко (из которых и вытекали полученные ранее результаты). По методу «малых колебаний» показать, что при наинизшем положении центра тяжести $S$ имеет место устойчивое равновесие, а при наивысшем положении $S$ — неустойчивое равновесие. Рис. 58. Дифференциальная передача автомобиля; она же (по Больцману) может служить моделью индукционного взаимодействия двух цепей тока. Справа: вид вдоль оси задних колес автомобиля. Слева: вид на эту ось Ось задних колес автомобиля разрезана посередине. На левый конец правой половины этой оси посажена коническая шестерня $\omega_{1}$, на правый конец левой половины оси — коническая шестерня $\omega_{2}$. Таким образом, обе половины оси задних колес могут вращаться с различными угловыми скоростями, причем, однако, они связаны между собой дифференциальной передачей. Вывести кинематические соотношения между угловыми скоростями $\Omega$, $\omega, \omega_{1}$, и $\omega_{2}$. Далее, с помощью принципа виртуальной работы вывести условия равновесия между моментом $M$ действующим на колесо $\Omega$ (движущий момент), и моментами $M_{1}, M_{2}$, приложенными к зубчаткам $\omega_{1}, \omega_{2}$. Каково уравнение движения системы? Моменты инерции колес $\left(\omega_{1}\right),\left(\omega_{2}\right)$ положим равными $\Theta_{1}, \Theta_{2}$, момент инерции пары колес $\omega$ относительно собственной оси $-\Theta$, а относительно оси ведущего колеса $(\Omega)-\Theta^{\prime}$. Моментом инерции $\Theta^{\prime}$ колеса $\Omega$ пренебрегаем. Если вращение одного из задних колес ускоряется, например, вследствие уменьшения трения, то вращение другого заднего колеса замедляется (так же и в том случае, когда движущий его момент и момент трения остаются равными друг другу).
|
1 |
Оглавление
|