VI.1. Пример на применение принципа Гамильтона. Вычислить величину интеграла Гамильтона в пределах $t=0$ до $t=t_1$ : а) для случая действительного свободного падения материальной точки: $z=\frac{1}{2}g{t}^2$; б) для случаев двух фиктивных движений $z=ct$ и $z=a{t}^3$, где постоянные $c$ и $a$, в соответствии с условием относительно допустимых траекторий, должны быть определены таким образом, чтобы начальное и конечное положения совпадали с действительными положениями. Показать, что величина интеграла для истинного движения а) меньше, чем для фиктивных движений б).
VI.2. Относительное движение в плоскости и движение по вращающейся прямой. Задачи V.1.. и V.2.. решить по методу Лагранжа.
VI.3. Свободное падение на вращающейся Земле и маятник Фуко. Убедиться в том, что и эти задачи можно решить по методу Лагранжа, не зная законов относительного движения. Этот метод интересен и по своей идее более прост, чем метод, изложенный в гл. V; однако он требует тщательного учета многочисленных малых членов, причем пренебрежения, связанные с большим значением земного радиуса и медленностью вращения Земли, могут быть допущены лишь после того, как будут выполнены операции дифференцирования
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial }{\partial \dot{q}}\text{ и }\frac{\partial }{\partial q}.$$

Нужно исходить из обычных полярных координат $r,\vartheta ,\psi$, причем $r$ отсчитывается от центра Земли. Эти координаты нужно сравнить с координатами $\xi ,\eta ,\zeta$ (см. рис. 49). Если $R$ — радиус Земли, а ${\vartheta }_0,{\psi }_0$ — координаты точки, над которой находится начальная точка свободного падения или точка подвеса маятника, то координаты $r,\vartheta ,\psi$ и $\xi ,\eta ,\zeta$ падающей или качающейся материальной точки $m$ связаны соотношениями:
$$\xi =R(\vartheta -{\vartheta }_0),\eta =R\sin \vartheta (\psi -{\psi }_0),\zeta =r-R,$$

где
$${\psi }_0=\omega t,{\vartheta }_0=\frac{\pi }{2}-\phi ,$$
$\frac{\pi }{2}-\phi$ — дополнительный угол географической широты.
Отсюда следует:
$$\dot{\xi }=R\dot{\vartheta },\dot{\eta }=R\sin \vartheta (\dot{\psi }-\omega )+\frac{\cos \vartheta }{\sin \vartheta }\eta \dot{\vartheta },\dot{\zeta }=\dot{r}$$

и обратно:
$$\begin{array}{c}r\dot{\vartheta }=(1+\frac{\zeta }{R})\dot{\xi }\\ r\sin \vartheta \dot{\psi }=(1+\frac{\zeta }{R})\dot{\eta }+\omega R(1+\frac{\zeta }{R})\sin \vartheta -\frac{\cos \vartheta }{\sin \vartheta }(1+\frac{\zeta }{R})\frac{\eta }{R}\dot{\xi }\\ \dot{r}=\dot{\zeta }\end{array}$$

Входящий сюда угол $\vartheta$ нужно, в соответствии с соотношением (1), рассматривать как функцию от $\xi$.

Эти величины надо подставить в выражение кинетической энергии
$$T=\frac{m}{2}({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\vartheta }}^2+r^2{\sin }^2\vartheta {\dot{\psi }}^2),$$

которое вследствие этого становится функцией от $\dot{\xi },\dot{\eta },\dot{\zeta },\xi ,\eta ,\zeta$. Отсюда можно, например, вычислить (если не учитываемые в дальнейшем члены обозначить через (..)):
$$\begin{array}{c}\frac{\partial T}{\partial \xi }=m{(1+\frac{\zeta }{R})}^2\dot{\xi }-m\frac{\cos \vartheta }{\sin \vartheta }(1+\frac{\zeta }{R})\frac{\eta }{R}\{\dots +\omega R(1+\frac{\zeta }{R})\sin \vartheta +\dots \}\\ \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{\xi }}=m\ddot{\xi }-m\omega \cos \vartheta \dot{\eta }+\dots \\ \frac{\partial T}{\partial \xi }=\frac{1}{R}\frac{\partial T}{\partial \vartheta }=+m\omega \cos \vartheta \dot{\eta }+\dots \end{array}$$

В качестве потенциальной энергии можно взять величину
$$V=mg(r-R)=mg\zeta .$$

Убедиться в том, что таким путем получаются уравнения (30.5) для случая свободного падения и уравнения (31.2) для случая маятника Фуко (из которых и вытекали полученные ранее результаты).
VI.4. «Маятникообразное» качение цилиндра по плоскому основанию. Пусть центр тяжести $S$ неоднородного кругового цилиндра радиуса $a$ находится на расстоянии $s$ от его оси. Цилиндр катится под действием силы тяжести по горизонтальной плоскости. Масса цилиндра равна $m$, момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести параллельно оси цилиндра, равен $\mathrm{\Theta }$. Исследовать движение по методу Лагранжа, введя в качестве обобщенной координаты $q$ угол $\phi$ поворота цилиндра вокруг его оси. При вычислении кинетической энергии поместить точку отсчета
a) в центре тяжести,
б) в (геометрическом) центре цилиндра и убедиться в том, что в обоих случаях получается одно и то же дифференциальное уравнение для $\phi$.

По методу «малых колебаний» показать, что при наинизшем положении центра тяжести $S$ имеет место устойчивое равновесие, а при наивысшем положении $S$ — неустойчивое равновесие.
VI.5. Дифференциальная передача автомобиля. Для того чтобы ведущие колеса автомобиля не скользили при прохождении автомобиля по криволинейному пути, они должны вращаться с различной скоростью. Это осуществляется с помощью дифференциональной передачи (рис. 58). Мотор вращает ведущее колесо $(\mathrm{\Omega })$, с которым неподвижно скреплена ось $A$. Вокруг этой оси может вращаться укрепленная на ней пара конических шестерен $\omega$. Своими зубьями эта пара сцепляется с другой парой конических шестерен, по которой она катится при вращении оси $A$

Рис. 58. Дифференциальная передача автомобиля; она же (по Больцману) может служить моделью индукционного взаимодействия двух цепей тока. Справа: вид вдоль оси задних колес автомобиля. Слева: вид на эту ось

Ось задних колес автомобиля разрезана посередине. На левый конец правой половины этой оси посажена коническая шестерня ${\omega }_1$, на правый конец левой половины оси — коническая шестерня ${\omega }_2$. Таким образом, обе половины оси задних колес могут вращаться с различными угловыми скоростями, причем, однако, они связаны между собой дифференциальной передачей.

Вывести кинематические соотношения между угловыми скоростями $\mathrm{\Omega }$, $\omega ,{\omega }_1$, и ${\omega }_2$. Далее, с помощью принципа виртуальной работы вывести условия равновесия между моментом $M$ действующим на колесо $\mathrm{\Omega }$ (движущий момент), и моментами $M_1,M_2$, приложенными к зубчаткам ${\omega }_1,{\omega }_2$.

Каково уравнение движения системы? Моменты инерции колес $\left({\omega }_1\right),\left({\omega }_2\right)$ положим равными ${\mathrm{\Theta }}_1,{\mathrm{\Theta }}_2$, момент инерции пары колес $\omega$ относительно собственной оси $-\mathrm{\Theta }$, а относительно оси ведущего колеса $(\mathrm{\Omega })-{\mathrm{\Theta }}^{\prime }$. Моментом инерции ${\mathrm{\Theta }}^{\prime }$ колеса $\mathrm{\Omega }$ пренебрегаем. Если вращение одного из задних колес ускоряется, например, вследствие уменьшения трения, то вращение другого заднего колеса замедляется (так же и в том случае, когда движущий его момент и момент трения остаются равными друг другу).