VI.1. Пример на применение принципа Гамильтона. Вычислить величину интеграла Гамильтона в пределах $t=0$ до $t=t_{1}$ : а) для случая действительного свободного падения материальной точки: $z=\frac{1}{2} g t^{2}$; б) для случаев двух фиктивных движений $z=c t$ и $z=a t^{3}$, где постоянные $c$ и $a$, в соответствии с условием относительно допустимых траекторий, должны быть определены таким образом, чтобы начальное и конечное положения совпадали с действительными положениями. Показать, что величина интеграла для истинного движения а) меньше, чем для фиктивных движений б).
VI.2. Относительное движение в плоскости и движение по вращающейся прямой. Задачи V.1.. и V.2.. решить по методу Лагранжа.
VI.3. Свободное падение на вращающейся Земле и маятник Фуко. Убедиться в том, что и эти задачи можно решить по методу Лагранжа, не зная законов относительного движения. Этот метод интересен и по своей идее более прост, чем метод, изложенный в гл. V; однако он требует тщательного учета многочисленных малых членов, причем пренебрежения, связанные с большим значением земного радиуса и медленностью вращения Земли, могут быть допущены лишь после того, как будут выполнены операции дифференцирования
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial \dot{q}} \quad \text { и } \quad \frac{\partial}{\partial q} .
\]

Нужно исходить из обычных полярных координат $r, \vartheta, \psi$, причем $r$ отсчитывается от центра Земли. Эти координаты нужно сравнить с координатами $\xi, \eta, \zeta$ (см. рис. 49). Если $R$ – радиус Земли, а $\vartheta_{0}, \psi_{0}$ – координаты точки, над которой находится начальная точка свободного падения или точка подвеса маятника, то координаты $r, \vartheta, \psi$ и $\xi, \eta, \zeta$ падающей или качающейся материальной точки $m$ связаны соотношениями:
\[
\xi=R\left(\vartheta-\vartheta_{0}\right), \quad \eta=R \sin \vartheta\left(\psi-\psi_{0}\right), \quad \zeta=r-R,
\]

где
\[
\psi_{0}=\omega t, \quad \vartheta_{0}=\frac{\pi}{2}-\varphi,
\]
$\frac{\pi}{2}-\varphi$ – дополнительный угол географической широты.
Отсюда следует:
\[
\dot{\xi}=R \dot{\vartheta}, \quad \dot{\eta}=R \sin \vartheta(\dot{\psi}-\omega)+\frac{\cos \vartheta}{\sin \vartheta} \eta \dot{\vartheta}, \quad \dot{\zeta}=\dot{r}
\]

и обратно:
\[
\begin{array}{c}
r \dot{\vartheta}=\left(1+\frac{\zeta}{R}\right) \dot{\xi} \\
r \sin \vartheta \dot{\psi}=\left(1+\frac{\zeta}{R}\right) \dot{\eta}+\omega R\left(1+\frac{\zeta}{R}\right) \sin \vartheta-\frac{\cos \vartheta}{\sin \vartheta}\left(1+\frac{\zeta}{R}\right) \frac{\eta}{R} \dot{\xi} \\
\dot{r}=\dot{\zeta}
\end{array}
\]

Входящий сюда угол $\vartheta$ нужно, в соответствии с соотношением (1), рассматривать как функцию от $\xi$.

Эти величины надо подставить в выражение кинетической энергии
\[
T=\frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\vartheta}^{2}+r^{2} \sin ^{2} \vartheta \dot{\psi}^{2}\right),
\]

которое вследствие этого становится функцией от $\dot{\xi}, \dot{\eta}, \dot{\zeta}, \xi, \eta, \zeta$. Отсюда можно, например, вычислить (если не учитываемые в дальнейшем члены обозначить через (..)):
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial T}{\partial \xi}=m\left(1+\frac{\zeta}{R}\right)^{2} \dot{\xi}-m \frac{\cos \vartheta}{\sin \vartheta}\left(1+\frac{\zeta}{R}\right) \frac{\eta}{R}\left\{\ldots+\omega R\left(1+\frac{\zeta}{R}\right) \sin \vartheta+\ldots\right\} \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\xi}}=m \ddot{\xi}-m \omega \cos \vartheta \dot{\eta}+\ldots \\
\frac{\partial T}{\partial \xi}=\frac{1}{R} \frac{\partial T}{\partial \vartheta}=+m \omega \cos \vartheta \dot{\eta}+\ldots
\end{array}
\]

В качестве потенциальной энергии можно взять величину
\[
V=m g(r-R)=m g \zeta .
\]

Убедиться в том, что таким путем получаются уравнения (30.5) для случая свободного падения и уравнения (31.2) для случая маятника Фуко (из которых и вытекали полученные ранее результаты).
VI.4. «Маятникообразное» качение цилиндра по плоскому основанию. Пусть центр тяжести $S$ неоднородного кругового цилиндра радиуса $a$ находится на расстоянии $s$ от его оси. Цилиндр катится под действием силы тяжести по горизонтальной плоскости. Масса цилиндра равна $m$, момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести параллельно оси цилиндра, равен $\Theta$. Исследовать движение по методу Лагранжа, введя в качестве обобщенной координаты $q$ угол $\varphi$ поворота цилиндра вокруг его оси. При вычислении кинетической энергии поместить точку отсчета
a) в центре тяжести,
б) в (геометрическом) центре цилиндра и убедиться в том, что в обоих случаях получается одно и то же дифференциальное уравнение для $\varphi$.

По методу «малых колебаний» показать, что при наинизшем положении центра тяжести $S$ имеет место устойчивое равновесие, а при наивысшем положении $S$ – неустойчивое равновесие.
VI.5. Дифференциальная передача автомобиля. Для того чтобы ведущие колеса автомобиля не скользили при прохождении автомобиля по криволинейному пути, они должны вращаться с различной скоростью. Это осуществляется с помощью дифференциональной передачи (рис. 58). Мотор вращает ведущее колесо $(\Omega)$, с которым неподвижно скреплена ось $A$. Вокруг этой оси может вращаться укрепленная на ней пара конических шестерен $\omega$. Своими зубьями эта пара сцепляется с другой парой конических шестерен, по которой она катится при вращении оси $A$

Рис. 58. Дифференциальная передача автомобиля; она же (по Больцману) может служить моделью индукционного взаимодействия двух цепей тока. Справа: вид вдоль оси задних колес автомобиля. Слева: вид на эту ось

Ось задних колес автомобиля разрезана посередине. На левый конец правой половины этой оси посажена коническая шестерня $\omega_{1}$, на правый конец левой половины оси – коническая шестерня $\omega_{2}$. Таким образом, обе половины оси задних колес могут вращаться с различными угловыми скоростями, причем, однако, они связаны между собой дифференциальной передачей.

Вывести кинематические соотношения между угловыми скоростями $\Omega$, $\omega, \omega_{1}$, и $\omega_{2}$. Далее, с помощью принципа виртуальной работы вывести условия равновесия между моментом $M$ действующим на колесо $\Omega$ (движущий момент), и моментами $M_{1}, M_{2}$, приложенными к зубчаткам $\omega_{1}, \omega_{2}$.

Каково уравнение движения системы? Моменты инерции колес $\left(\omega_{1}\right),\left(\omega_{2}\right)$ положим равными $\Theta_{1}, \Theta_{2}$, момент инерции пары колес $\omega$ относительно собственной оси $-\Theta$, а относительно оси ведущего колеса $(\Omega)-\Theta^{\prime}$. Моментом инерции $\Theta^{\prime}$ колеса $\Omega$ пренебрегаем. Если вращение одного из задних колес ускоряется, например, вследствие уменьшения трения, то вращение другого заднего колеса замедляется (так же и в том случае, когда движущий его момент и момент трения остаются равными друг другу).