Приводимый ниже простейший пример — движение планет — является в то же время и важнейшим для нашего мировоззрения. Это плоская задача, так как движение происходит в плоскости эклиптики, если планетой является Земля. Мы считаем Солнце неподвижным и обосновываем это допущение ссылкой на подавляющую массу Солнца:
Солнце 330000 , Юпитер 320, Земля 1, Луна $\frac{1}{81}$.

Движение самого Солнца будет рассмотрено в конце этого параграфа. Обозначим массу Солнца через $M$, массу планеты через $m$. Ньютонова сила притяжения равна:
\[
|\mathbf{F}|=G \frac{m M}{r^{2}}, \quad(G-\text { постоянная тяготения })
\]

или в векторной форме:
\[
\mathbf{F}=-G \frac{m M}{r^{2}} \frac{\mathbf{r}}{r} .
\]

Направление этой силы проходит через неподвижную точку $O$ — центр Солнца, из которого проводится радиус-вектор $\mathbf{r}$.
Поэтому $[\mathbf{r F}]=0$, и, следовательно, согласно второй аксиоме,
\[
[\mathrm{r} \dot{\mathbf{G}}]=0 \quad \text { и ввиду }(5.14) \quad[\mathrm{rG}]=\text { const. }
\]

Момент импульса относительно Солнца постоянен, и, следовательно, согласно уравнению (5.15), постоянна также секториальная скорость. В этом состоит в торой закон Кеплера:
«Радиус-вектор, проведенный от Солнца $\kappa$ планете, описывает в равные времена равные площади».

Удвоенную постоянную секториальную скорость мы называем постоянной площадей $C$ :
\[
2 \frac{d S}{d t}=C .
\]

Рис. 6. Полярные координаты в задаче Кеплера; площадь, описанная радиусом-вектором; в начале координат находится Солнце
Введем (рис. 6) полярный угол $\varphi$ — центральную или истинную аномалию, по терминологии астрономов. Имеем:
\[
d S=\frac{1}{2} r^{2} d \varphi, \quad \frac{d S}{d t}=r^{2} \dot{\varphi}=C,
\]

и, следовательно,
\[
\dot{\varphi}=\frac{C}{r^{2}} .
\]

Чтобы прийти к перв в у закону Кеплера, а именно к уравнению траектории, перейдем к координатной форме записи. Уравнения движения после сокращения на $m$ примут вид:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d \dot{x}}{d t} & =-\frac{G M}{r^{2}} \cos \varphi \\
\frac{d \dot{y}}{d t} & =-\frac{G M}{r^{2}} \sin \varphi
\end{array}\right\}
\]

Умножая на $\frac{1}{\dot{\varphi}}$ и приняв во внимание (6.3), получим:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \dot{x}}{d \varphi}=-\frac{G M}{C} \cos \varphi \\
\frac{d \dot{y}}{d \varphi}=-\frac{G M}{C} \sin \varphi .
\end{array}
\]

Эти уравнения можно проинтегрировать, что дает
\[
\left.\begin{array}{c}
\dot{x}=-\frac{G M}{C} \sin \varphi+A, \\
\dot{y}=\frac{G M}{C} \cos \varphi+B,
\end{array}\right\}
\]

где $A$ и $B$ — постоянные интегрирования. Словами это означает: годограф движения планеты есть окружность:
\[
(\dot{x}-A)^{2}+(\dot{y}-B)^{2}=\left(\frac{G M}{C}\right)^{2} .
\]

К этому годографу мы вернемся в задаче I. 11. Теперь преобразуем левые части уравнения (6.5) к полярным координатам. Так как
\[
x=r \cos \varphi, \quad y=r \sin \varphi,
\]

то
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=\dot{r} \cos \varphi-r \dot{\varphi} \sin \varphi=-\frac{G M}{C} \sin \varphi+A, \\
\dot{y}=\dot{r} \sin \varphi+r \dot{\varphi} \cos \varphi=\frac{G M}{C} \cos \varphi+B .
\end{array}
\]

Исключим $\dot{r}$ путем умножения первого уравнения на $-\sin \varphi$, второго на $\cos \varphi$ и последующего их сложения. Сначала получаем:
\[
r \dot{\varphi}=\frac{G M}{C}-A \sin \varphi+B \cos \varphi
\]

или, приняв во внимание (6.3),
\[
\frac{1}{r}=\frac{G M}{C^{2}}-\frac{A}{C} \sin \varphi+\frac{B}{C} \cos \varphi .
\]

Это уравнение конического сечения в полярной системе координат, полюс которой совпадает с фокусом конического сечения. Таким образом, мы пришлик первому закону Кеплера:
«Планета описывает эллипс, в одном из фокусов которого находится Солние».

Отметим при этом, что другие возможные типы траекторий гипербола и парабола — относятся, очевидно, только к кометам, а не к планетам; поэтому мы можем их здесь не рассматривать (ср., однако, задачу I. 12).

Приведенный здесь вывод первого закона Кеплера отличается от вывода, обычно приводимого в учебниках и основывающегося на законе сохранения энергии. Чтобы вывести этот закон для нашего случая, вернемся к уравнению (6.4), заменив в нем справа $\cos \varphi$ на $\frac{x}{r}$ и $\sin \varphi$ на $\frac{y}{r}$. Умножаем первое из уравнений (6.4) на $\dot{x}$, второе на $\dot{y}$ и складываем. Получаем:
\[
\frac{d}{d t} \frac{1}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)=-\frac{1}{2} \frac{G M}{r^{3}} \frac{d}{d t}\left(x^{2}+y^{2}\right)=-\frac{G M}{r^{2}} \frac{d r}{d t} .
\]

Интегрирование по $t$ дает:
\[
\frac{1}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)=\frac{G M}{r}+W .
\]

Слева стоит кинетическая энергия, деленная на $m$, а первый член справа с точностью до знака равен потенциальной энергии, деленной на $m$. Поэтому $W$ означает постоянную энергии, также деленную на $m$. Наше уравнение (6.7) имеет ту же форму, что и закон сохранения энергии при одномерном движении [уравнение (3.8)].

Чтобы как можно проще получить из уравнения (6.7) уравнение траектории (6.6), вспомним, что квадрат элемента длины в полярных координатах выражается следующим образом:
\[
d x^{2}+d y^{2}=d r^{2}+r^{2} d \varphi^{2} .
\]

Следовательно,
\[
\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}=\left(\frac{d r}{d t}\right)^{2}+r^{2}\left(\frac{d \varphi}{d t}\right)^{2}=\left(\frac{d \varphi}{d t}\right)^{2}\left\{\left(\frac{d r}{d \varphi}\right)^{2}+r^{2}\right\} .
\]

На основании (6.3) это выражение можно записать так:
\[
C^{2}\left\{\left(\frac{1}{r} \frac{d r}{d \varphi}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\right\}
\]

или, полагая $s=\frac{1}{r}$,
\[
C^{2}\left\{\left(\frac{d s}{d \varphi}\right)^{2}+s^{2}\right\} .
\]

Теперь закон сохранения энергии (6.7) принимает вид:
\[
\frac{1}{2} C^{2}\left\{\left(\frac{d s}{d \varphi}\right)^{2}+s^{2}\right\}-G M s=W .
\]

Дифференцируя это равенство по $\varphi$, получаем:
\[
\frac{d s}{d \varphi}\left\{C^{2}\left(\frac{d^{2} s}{d \varphi^{2}}+s\right)-G M\right\}=0 .
\]

Так как $\frac{d s}{d \varphi}
eq 0^{1}$, то выражение в скобках должно обращаться в нуль. Это дает для $s$ линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
\[
\frac{d^{2} s}{d \varphi^{2}}+s=\frac{G M}{C^{2}} .
\]

Общий интеграл такого уравнения равен сумме какого-либо частного интеграла неоднородного уравнения и общего интеграла однородного
${ }^{1}$ Операция дифференцирования повышает порядок дифференциального уравнения. В соответствии с этим, число произвольных постоянных в общем решении уравнения увеличивается на единицу. Значит, такая операция приводит к появлению новых решений. В рассматриваемом здесь случае дифференциальное уравнение, полученное после дифференцирования уравнения
\[
\frac{1}{2} C^{2}\left\{\left(\frac{d s}{d \varphi}\right)^{2}+s^{2}\right\}-G M s=W,
\]

распадается на два уравнения:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d s}{d \varphi}=0 ; \\
C^{2}\left(\frac{d^{2} s}{d \varphi^{2}}+s\right)-G M=0 .
\end{array}
\]

Общее решение уравнения (б) есть $s=C^{\prime}$, где $C^{\prime}$ — произвольная постоянная. Оно соответствовало бы круговому движению. Однако оно является лишним, так как исходное уравнение (а) имеет решение такого вида лишь при вполне определенном значении $C^{\prime}$ и притом при вполне определенном соотношении между $W$ и $C$. В самом деле, в случае круговой траектории $\frac{d s}{d \varphi}$ обращается в нуль в каждой точке траектории. В общем же случае, как показывает уравнение (а), $\frac{d s}{d \varphi}=0$ лишь в двух точках, а именно
\[
s=\frac{G M \pm \sqrt{G^{2} M^{2}+2 W C}}{C^{2}} .
\]

Чтобы траектория была круговой, необходимо, чтобы оба корня $s$ были равны между собой. Это дает
\[
s=\frac{G M}{C^{2}} .
\]

Но это выражение является частным решением уравнения (в). Следовательно, отбрасывая уравнение (в), мы не теряем никаких решений уравнения (а). (Прим. ред.)

уравнения. Один из частных интегралов неоднородного уравнения равен, очевидно,
\[
r=\mathrm{const}=\frac{G M}{C^{2}} .
\]

Общий интеграл однородного уравнения является линейной комбинацией $\sin \varphi$ и $\cos \varphi$. Поэтому можем написать:
\[
s=\frac{G M}{C^{2}}-\frac{A}{C} \sin \varphi+\frac{B}{C} \cos \varphi,
\]

где $\frac{A}{C}$ и $\frac{B}{C}$ — постоянные интегрирования. Но это как раз и есть наше прежнее уравнение (6.6).

Рис. 7. Кеплеров эллипс с большой и малой осями; перигелий, афелий, численный эксцентриситет
Теперь запишем это уравнение для того специального случая, когда луч $\varphi=0$, исходящий из одного фокуса, проходит также через другой фокус, или, иначе выражаясь, он вместе с лучом $\varphi=\pi$ образует главную ось эллипса (рис. 7). На этой оси лежат точки $P$ — «перигелий» (вблизи Солнца) и $A$ — «афелий» (вдали от Солнца), в которых радиус-вектор $r$ должен быть минимальным и, соответственно, максимальным. Отсюда вытекает условие: $\frac{d r}{d \varphi}=0$ при $\varphi=\left\{\begin{array}{l}0 \\ \pi\end{array}\right.$.

Из него на основании (6.6) вытекает требование $A=0$.
Из рис. 7 , кроме того, следует, что в перигелии
\[
r=S P=a(1-\varepsilon), \quad \varphi=\pi
\]

и в афелии
\[
r=S P=a(1+\varepsilon), \quad \varphi=0,
\]

где через $\varepsilon$ обозначен численный эксцентриситет. Таким образом, согласно уравнению (6.6), в перигелии
\[
\frac{1}{a(1-\varepsilon)}=\frac{G M}{C^{2}}-\frac{B}{C},
\]

в афелии
\[
\frac{1}{a(1+\varepsilon)}=\frac{G M}{C^{2}}+\frac{B}{C} .
\]

Отсюда получим путем сложения и вычитания:
\[
\frac{G M}{C^{2}}=\frac{1}{a\left(1-\varepsilon^{2}\right)}, \quad \frac{B}{C}=-\frac{\varepsilon}{a\left(1-\varepsilon^{2}\right)} .
\]

Выразим еще постоянную площадей $C$ через период обращения $T$. Из (6.2) непосредственно получаем
\[
C=\frac{2 S}{T}, \quad \text { где } S=\pi a b=\pi a^{2} \sqrt{1-\varepsilon^{2}} .
\]
$S$ — полная площадь, описываемая радиусом-вектором за период обращения. Следовательно,
\[
C^{2}=\frac{4 \pi^{2} a^{4}\left(1-\varepsilon^{2}\right)}{T^{2}} .
\]

Если мы подставим это выражение в первое из уравнений (6.8), то получим:
\[
\frac{T^{2}}{a^{3}}=\frac{4 \pi^{2}}{G M} .
\]

Так как $G$ и $M$ одинаковы для траекторий всех планет, то уравнение (6.10) выражает третй закон Кеплера:
«Квадраты времен обращений планет относятся как кубы больших осей».

Кеплер приветствовал ${ }^{1}$ открытие этого закона следующими полными энтузиазма словами: «Наконец-то я выявил и, сверх моих надежд и ожиданий, нашел истинным, что вся природа гармонии в полном своем объеме и во всех своих деталях существует в небесных движениях, правда, не таким образом, как я раньше предполагал, а совсем другим, вполне совершенным образом».

Однако третий закон Кеплера в форме (6.10) еще не вполне точен. Он справедлив лишь постольку, поскольку можно пренебречь массой планеты $m$ по сравнению с массой Солнца $M$. Теперь мы откажемся от этого пренебрежения и обратимся к собственно астрономической проблеме двух тел, которая лишь незначительно труднее, чем рассматривавшаяся нами до сих пор проблема одного тела.
$1_{\text {«Harmonia mundi», } 1619 \text { г. Первые два закона Кеплера были опубликованы }}$ в 1609 г. в «Astronomia nova».

Учет движения Солнца
Пусть $x_{1}, y_{1}$ — координаты Солнца, а $x_{2}, y_{2}$ — координаты планеты.

Так как по третьему закону Ньютона сила, приложенная в точке $S$, противоположна силе, приложенной в точке $P$, то полная система уравнений движения будет иметь вид:
для Солнца
\[
\begin{aligned}
M \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} & =\frac{m M G}{r^{2}} \cos \varphi ; & m \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}}=-\frac{m M G}{r^{2}} \cos \varphi ; \\
M \frac{d^{2} y_{1}}{d t^{2}}=\frac{m M G}{r^{2}} \sin \varphi ; & m \frac{d^{2} y_{2}}{d t^{2}} & =-\frac{m M G}{r^{2}} \sin \varphi .
\end{aligned}
\]

Введем относительные координаты
\[
x_{2}-x_{1}=x, \quad y_{2}-y_{1}=y ;
\]

далее введем координаты центра тяжести
\[
\frac{m x_{2}+M x_{1}}{m+M}=\xi, \quad \frac{m y_{2}+M y_{1}}{m+M}=\eta .
\]

Тогда вычитание соответственных уравнений движения дает:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\frac{(M+m) G}{r^{2}} \cos \varphi, \\
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=-\frac{(M+m) G}{r^{2}} \sin \varphi .
\end{array}\right\}
\]

С другой стороны, сложение их дает:
\[
\frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}=0, \quad \frac{d^{2} \eta}{d t^{2}}=0 .
\]

Сравнение уравнений (6.12) с прежними уравнениями (6.4) непосредственно показывает, что оба первые закона Кеплера остаются без изменения, т.е. что они справедливы также и для относительного движения, тогда как третий закон принимает форму:
\[
\frac{T^{2}}{a^{3}}=\frac{4 \pi^{2}}{G(M+m)} .
\]

Таким образом, отношение $\frac{T^{2}}{a^{3}}$ не является более универсальной константой, а имеет несколько различные значения для каждой планеты. Однако, ввиду относительно большой массы Солнца, эти различия крайне незначительны.

Далее, уравнения (6.13) показывают, что центр тяжести Солнца и планеты движется с постоянной скоростью. Если поль-
Рис. 8. Учет движения Солнца в задаче Кеплера зоваться системой отсчета, неподвижно связанной с этим центром тяжести, то эту скорость, равно как и координаты центра тяжести $\xi, \eta$, нужно положить равными нулю.

При этом уравнения (6.11б) упрощаются, и с помощью их и уравнений (6.11a) можно выразить через относительные координаты $x, y$ координаты Солнца $x_{1}, y_{1}$ и координаты планеты $x_{2}, y_{2}$ :
\[
\begin{array}{l}
x_{1}, y_{1}=-\frac{m}{M+m}(x, y), \\
x_{2}, y_{2}=\frac{m}{M+m}(x, y) .
\end{array}
\]

Отсюда следует, что траектории Солнца и планеты в системе координат центра тяжести являются также эллипсами; при этом траектория планеты почти тождественна с рассматривавшейся до сих пор, тогда как траектория Солнца представляет собою эллипс, чрезвычайно малый по сравнению с эллипсом, по которому движется планета. Солнце движется по эллипсу таким образом, что оно всегда находится на стороне, противоположной месту нахождения планеты.

Если изменить закон тяготения, придав ему вид $F=k r^{n}$, где $n$ произвольно, то хотя второй закон Кеплера и останется при этом в силе, но траектории станут трансцендентными и, вообще говоря, незамкнутыми кривыми. Только в случае $n=+1$, как и в случае тяготения $n=-2$, получаются эллипсы (см. задачу I.13).