Кинематика изучает геометрию движений, не касаясь условий их физической реализации. Статика ${ }^{1}$ есть учение о силах, их сложении и эквивалентности, не касающееся вызываемых ими движений.
${ }^{1}$ Собственно говоря, термин «статика» неудачен, так как он односторонне указывает на вопросы равновесия, тогда как вопросы статики имеют отношение как

1. Кинематика на плоскости

Прежде всего приведем формулы для разложения и сложения скоростей и ускорений в прямоугольных координатах.
Скорость:
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{v}=\left(\mathbf{v}_{x}, \mathbf{v}_{y}\right)=\left(\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}\right)=(\dot{x}, \dot{y}), \\
|\mathbf{v}|=\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}=v .
\end{array}
\]

Ускорение:
\[
\begin{array}{l}
\dot{\mathbf{v}}=\left(\dot{\mathbf{v}}_{x}, \dot{\mathbf{v}}_{y}\right)=\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}, \frac{d^{2} y}{d t^{2}}\right)=(\ddot{x}, \ddot{y}), \\
|\dot{\mathbf{v}}|=\sqrt{\ddot{x}^{2}+\ddot{y}^{2}} .
\end{array}
\]

Вместо того, чтобы разлагать скорость и ускорение по прямоугольным координатам, мы можем разлагать их также по «естественным координатам» кривой, описываемой нашей материальной точкой. Пусть $s$ будет длина дуги и пусть индекс $s$ означает изменяющееся вдоль кривой направление траектории, а индекс $n$ – нормаль к ней. Тогда
\[
v_{s}= \pm v, \quad v_{n}=0 .
\]

Это тривиально. Существенным же является разложение $\dot{\mathbf{v}}$ на $\dot{\mathbf{v}}_{s}$ и $\dot{\mathbf{v}}_{n}{ }^{1}$.

Если $\alpha$ – угол между касательной к траектории и направлением оси $x$, то прежде всего получаем следующее выражение для касательного ускорения:
\[
\dot{v}_{s}=\dot{v}_{x} \cos \alpha+\dot{v}_{y} \sin \alpha
\]

к проблемам движения, так и к проблемам равновесия. Более правильный термин «динамика» неприменим, так как он исторически установлен для движений, вызываемых силами.
${ }^{1}$ Под $\dot{v}_{n}$ Зоммерфельд понимает не производную проекции $v_{n}$, как это принято, а проекцию производной вектора $\mathbf{v}$ по времени на направление нормали $n$. Иными словами, сначала следует продифференцировать вектор $\mathbf{v}$, а затем взять его проекцию. Результат не зависит от порядка выполнения этих операций только тогда, когда направление прямой $n$, на которую производится проектирование, не изменяется по мере движения точки вдоль траектории. (Прим. ред.)

и для нормального ускорения:
\[
\dot{v}_{n}=-\dot{v}_{x} \sin \alpha+\dot{v}_{y} \cos \alpha .
\]

Далее,
\[
\begin{array}{l}
\cos \alpha=\frac{d x}{d s}=\frac{\dot{x}}{\dot{s}}=\frac{v_{x}}{v}, \\
\sin \alpha=\frac{d y}{d s}=\frac{\dot{y}}{\dot{s}}=\frac{v_{y}}{v} .
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
\dot{v}_{s}=\frac{1}{v}\left(v_{x} \dot{v}_{x}+v_{y} \dot{v}_{y}\right)=\frac{1}{2 v} \frac{d}{d t}\left(v_{x}{ }^{2}+v_{y}{ }^{2}\right)=\frac{1}{2 v} \frac{d}{d t} v^{2}=\frac{d v}{d t}=\dot{v} .
\]

Рис. 3. Разложение вектора скорости при движении на плоскости; естественные координаты $s$ и $n$
Эта формула гласит: касательное ускорение есть изменение величины скорости; изменение направления не имеет для него значения.
С другой стороны, согласно (5.7),
\[
\begin{aligned}
\dot{v}_{n} & =\frac{1}{v}\left(v_{x} \dot{v}_{y}-v_{y} \dot{v}_{x}\right)= \\
& =\frac{1}{v}(\dot{x} \ddot{y}-\dot{y} \ddot{x})= \\
& =v^{2} \frac{\dot{x} \ddot{y}-\dot{y} \ddot{x}}{\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)^{3 / 2}}=\frac{v^{2}}{\rho},
\end{aligned}
\]

где $\frac{1}{\rho}$ – кривизна траектории.
Таким образом, нормальное ускорение зависит не от изменения величины скорости, а только от самой скорости и от формы траектории.
Если, в частности, $\frac{d v}{d t}=0$, то ускорение перпендикулярно к скорости, а, следовательно, и к траектории.

Дадим еще прямой дифференциально-геометрический вывод этих же соотношений с помощью введенного Гамильтоном годографа ${ }^{1}$.
${ }^{1}$ Термин «годограф» («записыватель пути») неточен, правильнее было бы применить термин «записыватель скорости» или еще лучше – «полярная диаграмма скорости».

Рис. 4а. Годограф движения на плоскости. Скорости $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ откладываются в полярной диаграмме от полюса $O$
Рис. 4б. Траектория движения на плоскости и ее радиус кривизны

Что надо понимать под годографом, видно из сравнения рис. 4 а с рис. 4б. Рис. 4б представляет траекторию в плоскости $x y$. В двух соседних точках этой траектории, находящихся друг от друга на расстоянии $\Delta s$, начерчены скорости по касательным к траектории; угол между ними равен $\Delta \varepsilon$. На рис. 4б угол $\Delta \varepsilon$ отмечен также из центра кривизны $M$; если под $\rho$ понимать радиус кривизны, то
\[
\Delta s=\rho \Delta \varepsilon .
\]

С другой стороны, на рис. 4а обе эти скорости перенесены параллельно самим себе в полюс $O$. Рассмотрим два соседних вектора $\overrightarrow{O A}$ и $\overrightarrow{O B}$; они образуют друг с другом угол $\Delta \varepsilon$. Проектируя точку $A$ на прямую $O B$, получим точку $C ; \Delta \mathrm{v}=\overrightarrow{A B}$ разлагается на $\Delta \mathbf{v}_{s}=\overrightarrow{C B}$ и $\Delta \mathbf{v}_{n}=\overrightarrow{A C}$. Соответственно этому, получаем в подтверждение равенств (5.8) и (5.9):
\[
\begin{array}{l}
\dot{v}_{s}=\frac{C B}{\Delta t}=\frac{v_{2}-v_{1}}{\Delta t}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{d v}{d t} \\
\dot{v}_{n}=\frac{A C}{\Delta t}=\frac{\Delta \varepsilon \cdot v}{\Delta t}=\frac{\Delta \varepsilon}{\Delta s} v^{2}=\frac{v^{2}}{\rho} .
\end{array}
\]

В последнем уравнении мы воспользовались соотношением (5.10) [см. задачу I. 9].

2. Понятие момента в статике и кинематике на плоскости

Момент вектора $\mathbf{V}$ относительно данной точки $O$ определяется как векторное произведение радиус-вектора $\mathbf{r}$, проведенного из $O$ в точку приложения $P$ вектора, и самого вектора:
\[
\mathbf{M}=[\mathbf{r V}] .
\]

Следовательно, M равно площади параллелограмма, образованного $\mathbf{r}$ и V. Направление M соответствует кратчайшему повороту, приводящему $\mathbf{r}$ в совпадение с $\mathbf{V}$ (если $\mathbf{r}$ и $\mathbf{V}$ отложены из одной и той же точки); на рис. 5 это направление поворота отмечено стрелкой. Если ввести «плечо рычага» $l$, то по абсолютной величине
\[
|\mathbf{M}|=l|\mathbf{V}|=r|\mathbf{V}| \sin \alpha .
\]

Если положить $\mathbf{V}$ равным силе $\mathbf{F}$, то получим «момент силы»
\[
\mathbf{M}=[\mathbf{r F}] .
\]

Момент силы является одним из основных понятий статики, введенным еще Архимедом. Если мы обозначим проекции $\mathbf{F}$ на оси координат через $X$ и $Y$, то по правилам элементарного векторного исчисления получим
\[
M=x Y-y X .
\]

Понятие момента важно также для кинематики и кинетики. Ограничиваясь сначала плоской задачей, введем:
момент скорости $=[\mathbf{r v}]$,
момент ускорения $=[\mathbf{r \dot { \mathbf { v } }}]$.
Момент количества движения $=$ моменту импульса $=[\mathbf{r G}]=$ $=m[\mathbf{r v}]$.

По образцу уравнения (5.12a), получаем в прямоугольных координатах
\[
\begin{array}{l}
|[\mathbf{r v}]|=|x \dot{y}-y \dot{x}| \\
|[\mathbf{r} \dot{\mathbf{v}}]|=|x \ddot{y}-y \ddot{x}| .
\end{array}
\]

Между моментом скорости и моментом ускорения существует следующее соотношение:
\[
[\mathbf{r} \dot{\mathbf{v}}]=\frac{d}{d t}[\mathbf{r v}] .
\]

Приняв во внимание, что $\frac{d \mathbf{r}}{d t}=\mathbf{v}$ и $[\mathbf{v} \mathbf{v}]=0$, его можно доказать путем следующего простого вычисления:
\[
\frac{d}{d t}[\mathbf{r v}]=\left[\mathbf{r} \frac{d \mathbf{v}}{d t}\right]+[\mathbf{v} \mathbf{v}]=[\mathbf{r} \dot{\mathbf{v}}] .
\]

Обычное доказательство, использующее координатную форму записи, проводится совершенно аналогично:
\[
\frac{d}{d t}(x \dot{y}-y \dot{x})=x \ddot{y}+\dot{x} \dot{y}-y \ddot{x}-\dot{y} \dot{x}=x \ddot{y}-y \ddot{x} .
\]

Если отождествить произвольный вектор $\mathbf{V}$ (рис. 5) со скоростью $\mathbf{v}$ точки $P$, описывающей произвольную траекторию, то можно получить еще одно простое соотношение между моментом импульса и так называемой секториальной скоростью. А именно, описанный радиусом-вектором из $O$ бесконечно малый элемент площади $d \mathbf{S}$ равен половине параллелограма $[\mathbf{r} d \mathbf{s}]$; следовательно, секториальная скорость равна
\[
\frac{d \mathbf{S}}{d t}=\frac{1}{2}[\mathbf{r v}] .
\]

Отсюда для момента импульса следует соотношение
\[
[\mathbf{r G}]=2 m \frac{d \mathbf{S}}{d t} .
\]

Рис. 5. Момент произвольного вектора $\mathbf{V}$ относительно произвольной точки $O$
3. Кинематика в пространстве

Если разложить скорость и ускорение по направлениям $\mathbf{s}$ (касательная), $\mathbf{n}$ (главная нормаль) и b (бинормаль) пространственной траектории, то получим следующие слагающие:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{v}=(v, 0,0), \\
\dot{\mathbf{v}}=\left(\dot{v}, \frac{v^{2}}{\rho}, 0\right),
\end{array}
\]

где $\rho$ есть введенный в (5.9) или (5.10) радиус кривизны, построение которого теперь надо производить в соприкасающейся плоскости траектории.

Момент скорости и момент ускорения в пространстве определяются, как и на плоскости, через векторные произведения $[\mathbf{r v}],[\mathbf{r \dot { v }}]$. Отметим, однако, что рис. 5 теперь надо понимать как пространственную. Изображенный на рис. 5 параллелограмм характеризуется, помимо величины и направления вращения, еще и положением в пространстве. Для наглядности это положение обычно характеризуется нормалью к плоскости параллелограмма. При этом по общей договоренности выбирают то направление нормали, которое образует с направлением момента вращения правовинтовую систему. Тогда векторным изображением момента будет направленная по этой нормали стрелка, длина которой равна величине момента. В гл. IV, $\S 23$, мы подробно остановимся на таком способе изображения и на различии между аксиальными и полярными векторами.

Здесь мы рассмотрели момент относительно (произвольно выбираемой) точки $O$. В следующем разделе мы разъясним, что мы будем понимать под моментом относительно заданной оси.
4. Статика в пространстве. Момент силы относительно точки и относительно оси
Момент силы $\mathbf{F}$ относительно заданной точки $O$ полностью определяется выражением:
\[
\mathbf{M}=[\mathbf{r F}],
\]

где $\mathbf{r}$ – радиус-вектор, проведенный из точки $O$ в точку приложения $P$ силы $\mathbf{F}$, т.е.
\[
\mathbf{r}=(x, y, z),
\]

если мы примем $O$ за начало координат. Согласно только что приведенному правилу (правило правого винта, стрелка длиною $|\mathbf{M}|$ ), $\mathbf{M}$ можно изобразить вектором момента. Требуется найти слагающие $\mathbf{M}$ по осям координат. Мы можем их определить как проекции вектора момента на эти оси, например:
\[
M_{z}=|\mathbf{M}| \cos (\mathbf{M}, z) .
\]

Но так как $|\mathbf{M}|$ есть площадь параллелограмма, построенного на $\mathbf{r}$ и $\mathbf{M}$, то правая часть уравнения (5.17) означает в то же время площадь параллелограмма, спроектированную на площадь $x y$. Эта площадь имеет стороны
\[
\mathbf{r}_{\text {пр. }}=x, y ; \quad \mathbf{F}_{\text {пр. }}=X, Y .
\]

Поэтому из (5.17) в согласии с (5.12a) следует
\[
M_{z}=x Y-y X,
\]

а также
\[
M_{x}=y Z-z Y, \quad M_{y}=z X-x Z .
\]

Эти слагающие $M_{x}, M_{y}, M_{z}$ называют также моментами силы $\mathbf{F}$ относительно осей $x, y, z$ (см. задачу I.10).

Все сказанное здесь относительно осей координат применимо также и к любой оси $a$. Стало быть, в соответствии с уравнением (5.17), момент силы $\mathbf{F}$ относительно оси а определяется следующим образом: надо образовать момент относительно какой-либо точки $O$, лежащей на оси $a$, и спроектировать вектор этого момента на ось $a$. Можно также, в соответствии с уравнениями $(5.17 \mathrm{a}$, б), спроектировать площадь, соответствующую моменту относительно точки $O$, на плоскость, перпендикулярную оси $a$. Третий способ состоит в следующем: мы определяем кратчайшее расстояние точки приложения силы от оси $a$, которое называем плечом силы $l$, и разлагаем силу $\mathbf{F}$ на три слагающие: $\mathbf{F}_{a}$ параллельно оси $a, \mathbf{F}_{l}$ в направлении $l$ и $\mathbf{F}_{\mathbf{n}}$ в направлении, перпендикулярном к $a$ и $l$. Тогда
\[
M_{a}(\mathbf{F})=M_{a}\left(\mathbf{F}_{a}\right)+M_{a}\left(\mathbf{F}_{l}\right)+M_{a}\left(\mathbf{F}_{n}\right) .
\]

Два первых члена справа равны нулю: сила, параллельная оси а, и сила, пересекающая эту ось, не дают момента относительно оси а.

Таким образом, в уравнении (5.18) остается только третий член, происходящий от силы, перпендикулярной оси $a$, плечо которой равно $l$. Таким образом, уравнение (5.18) сводится к
\[
M_{a}(\mathbf{F})=M_{a}\left(\mathbf{F}_{n}\right)=F_{n} l .
\]

Здесь уместно сказать несколько слов относительно различных обозначений произведений двух векторов. Помещаемая ниже таблица показывает, что по историческим и национальным обстоятельствам эти обозначения, к сожалению, очень различны ${ }^{1}$.
${ }^{1}$ В русской литературе приняты обозначения, соответствующие первому столбцу таблицы; иногда употребляются также обозначения Гиббса. (Прим. ред.)

Для пояснения. Великий термодинамик Виллард Гиббс составил для своих студентов краткий очерк векторного анализа, в то время еще мало известного. Обозначения, введенные в этом очерке, применяются большинством американцев и англичан. Введенное Хивисайдом обозначение векторного произведения, в котором $\bigvee$ означает начальную букву слова «вектор», было после этого вообще оставлено. Итальянская схема обозначений ведет свое начало от Марколонго. Герман Грассман установил в своем «Учении о притяжении» (1844 г. и 1862 г.) последовательную систему исчисления отрезков и точек. Простейшим сочетанием двух отрезков $a$ и $b$ он считает «площадь», т.е. построенный на $a$ и $b$ параллелограмм; поэтому он обозначает его через $a b$ (иногда также через $[a b]$ ). Вертикальная черта означает у Грассмана «дополнение», т. е. переход к вектору, перпендикулярному к площади параллелограмма.