Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Кинематика изучает геометрию движений, не касаясь условий их физической реализации. Статика ${ }^{1}$ есть учение о силах, их сложении и эквивалентности, не касающееся вызываемых ими движений. 1. Кинематика на плоскости Прежде всего приведем формулы для разложения и сложения скоростей и ускорений в прямоугольных координатах. Ускорение: Вместо того, чтобы разлагать скорость и ускорение по прямоугольным координатам, мы можем разлагать их также по «естественным координатам» кривой, описываемой нашей материальной точкой. Пусть $s$ будет длина дуги и пусть индекс $s$ означает изменяющееся вдоль кривой направление траектории, а индекс $n$ — нормаль к ней. Тогда Это тривиально. Существенным же является разложение $\dot{\mathbf{v}}$ на $\dot{\mathbf{v}}_{s}$ и $\dot{\mathbf{v}}_{n}{ }^{1}$. Если $\alpha$ — угол между касательной к траектории и направлением оси $x$, то прежде всего получаем следующее выражение для касательного ускорения: к проблемам движения, так и к проблемам равновесия. Более правильный термин «динамика» неприменим, так как он исторически установлен для движений, вызываемых силами. и для нормального ускорения: Далее, Следовательно, Рис. 3. Разложение вектора скорости при движении на плоскости; естественные координаты $s$ и $n$ где $\frac{1}{\rho}$ — кривизна траектории. Дадим еще прямой дифференциально-геометрический вывод этих же соотношений с помощью введенного Гамильтоном годографа ${ }^{1}$. Рис. 4а. Годограф движения на плоскости. Скорости $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ откладываются в полярной диаграмме от полюса $O$ Что надо понимать под годографом, видно из сравнения рис. 4 а с рис. 4б. Рис. 4б представляет траекторию в плоскости $x y$. В двух соседних точках этой траектории, находящихся друг от друга на расстоянии $\Delta s$, начерчены скорости по касательным к траектории; угол между ними равен $\Delta \varepsilon$. На рис. 4б угол $\Delta \varepsilon$ отмечен также из центра кривизны $M$; если под $\rho$ понимать радиус кривизны, то С другой стороны, на рис. 4а обе эти скорости перенесены параллельно самим себе в полюс $O$. Рассмотрим два соседних вектора $\overrightarrow{O A}$ и $\overrightarrow{O B}$; они образуют друг с другом угол $\Delta \varepsilon$. Проектируя точку $A$ на прямую $O B$, получим точку $C ; \Delta \mathrm{v}=\overrightarrow{A B}$ разлагается на $\Delta \mathbf{v}_{s}=\overrightarrow{C B}$ и $\Delta \mathbf{v}_{n}=\overrightarrow{A C}$. Соответственно этому, получаем в подтверждение равенств (5.8) и (5.9): В последнем уравнении мы воспользовались соотношением (5.10) [см. задачу I. 9]. 2. Понятие момента в статике и кинематике на плоскости Момент вектора $\mathbf{V}$ относительно данной точки $O$ определяется как векторное произведение радиус-вектора $\mathbf{r}$, проведенного из $O$ в точку приложения $P$ вектора, и самого вектора: Следовательно, M равно площади параллелограмма, образованного $\mathbf{r}$ и V. Направление M соответствует кратчайшему повороту, приводящему $\mathbf{r}$ в совпадение с $\mathbf{V}$ (если $\mathbf{r}$ и $\mathbf{V}$ отложены из одной и той же точки); на рис. 5 это направление поворота отмечено стрелкой. Если ввести «плечо рычага» $l$, то по абсолютной величине Если положить $\mathbf{V}$ равным силе $\mathbf{F}$, то получим «момент силы» Момент силы является одним из основных понятий статики, введенным еще Архимедом. Если мы обозначим проекции $\mathbf{F}$ на оси координат через $X$ и $Y$, то по правилам элементарного векторного исчисления получим Понятие момента важно также для кинематики и кинетики. Ограничиваясь сначала плоской задачей, введем: По образцу уравнения (5.12a), получаем в прямоугольных координатах Между моментом скорости и моментом ускорения существует следующее соотношение: Приняв во внимание, что $\frac{d \mathbf{r}}{d t}=\mathbf{v}$ и $[\mathbf{v} \mathbf{v}]=0$, его можно доказать путем следующего простого вычисления: Обычное доказательство, использующее координатную форму записи, проводится совершенно аналогично: Если отождествить произвольный вектор $\mathbf{V}$ (рис. 5) со скоростью $\mathbf{v}$ точки $P$, описывающей произвольную траекторию, то можно получить еще одно простое соотношение между моментом импульса и так называемой секториальной скоростью. А именно, описанный радиусом-вектором из $O$ бесконечно малый элемент площади $d \mathbf{S}$ равен половине параллелограма $[\mathbf{r} d \mathbf{s}]$; следовательно, секториальная скорость равна Отсюда для момента импульса следует соотношение Рис. 5. Момент произвольного вектора $\mathbf{V}$ относительно произвольной точки $O$ Если разложить скорость и ускорение по направлениям $\mathbf{s}$ (касательная), $\mathbf{n}$ (главная нормаль) и b (бинормаль) пространственной траектории, то получим следующие слагающие: где $\rho$ есть введенный в (5.9) или (5.10) радиус кривизны, построение которого теперь надо производить в соприкасающейся плоскости траектории. Момент скорости и момент ускорения в пространстве определяются, как и на плоскости, через векторные произведения $[\mathbf{r v}],[\mathbf{r \dot { v }}]$. Отметим, однако, что рис. 5 теперь надо понимать как пространственную. Изображенный на рис. 5 параллелограмм характеризуется, помимо величины и направления вращения, еще и положением в пространстве. Для наглядности это положение обычно характеризуется нормалью к плоскости параллелограмма. При этом по общей договоренности выбирают то направление нормали, которое образует с направлением момента вращения правовинтовую систему. Тогда векторным изображением момента будет направленная по этой нормали стрелка, длина которой равна величине момента. В гл. IV, $\S 23$, мы подробно остановимся на таком способе изображения и на различии между аксиальными и полярными векторами. Здесь мы рассмотрели момент относительно (произвольно выбираемой) точки $O$. В следующем разделе мы разъясним, что мы будем понимать под моментом относительно заданной оси. где $\mathbf{r}$ — радиус-вектор, проведенный из точки $O$ в точку приложения $P$ силы $\mathbf{F}$, т.е. если мы примем $O$ за начало координат. Согласно только что приведенному правилу (правило правого винта, стрелка длиною $|\mathbf{M}|$ ), $\mathbf{M}$ можно изобразить вектором момента. Требуется найти слагающие $\mathbf{M}$ по осям координат. Мы можем их определить как проекции вектора момента на эти оси, например: Но так как $|\mathbf{M}|$ есть площадь параллелограмма, построенного на $\mathbf{r}$ и $\mathbf{M}$, то правая часть уравнения (5.17) означает в то же время площадь параллелограмма, спроектированную на площадь $x y$. Эта площадь имеет стороны Поэтому из (5.17) в согласии с (5.12a) следует а также Эти слагающие $M_{x}, M_{y}, M_{z}$ называют также моментами силы $\mathbf{F}$ относительно осей $x, y, z$ (см. задачу I.10). Все сказанное здесь относительно осей координат применимо также и к любой оси $a$. Стало быть, в соответствии с уравнением (5.17), момент силы $\mathbf{F}$ относительно оси а определяется следующим образом: надо образовать момент относительно какой-либо точки $O$, лежащей на оси $a$, и спроектировать вектор этого момента на ось $a$. Можно также, в соответствии с уравнениями $(5.17 \mathrm{a}$, б), спроектировать площадь, соответствующую моменту относительно точки $O$, на плоскость, перпендикулярную оси $a$. Третий способ состоит в следующем: мы определяем кратчайшее расстояние точки приложения силы от оси $a$, которое называем плечом силы $l$, и разлагаем силу $\mathbf{F}$ на три слагающие: $\mathbf{F}_{a}$ параллельно оси $a, \mathbf{F}_{l}$ в направлении $l$ и $\mathbf{F}_{\mathbf{n}}$ в направлении, перпендикулярном к $a$ и $l$. Тогда Два первых члена справа равны нулю: сила, параллельная оси а, и сила, пересекающая эту ось, не дают момента относительно оси а. Таким образом, в уравнении (5.18) остается только третий член, происходящий от силы, перпендикулярной оси $a$, плечо которой равно $l$. Таким образом, уравнение (5.18) сводится к Здесь уместно сказать несколько слов относительно различных обозначений произведений двух векторов. Помещаемая ниже таблица показывает, что по историческим и национальным обстоятельствам эти обозначения, к сожалению, очень различны ${ }^{1}$. Для пояснения. Великий термодинамик Виллард Гиббс составил для своих студентов краткий очерк векторного анализа, в то время еще мало известного. Обозначения, введенные в этом очерке, применяются большинством американцев и англичан. Введенное Хивисайдом обозначение векторного произведения, в котором $\bigvee$ означает начальную букву слова «вектор», было после этого вообще оставлено. Итальянская схема обозначений ведет свое начало от Марколонго. Герман Грассман установил в своем «Учении о притяжении» (1844 г. и 1862 г.) последовательную систему исчисления отрезков и точек. Простейшим сочетанием двух отрезков $a$ и $b$ он считает «площадь», т.е. построенный на $a$ и $b$ параллелограмм; поэтому он обозначает его через $a b$ (иногда также через $[a b]$ ). Вертикальная черта означает у Грассмана «дополнение», т. е. переход к вектору, перпендикулярному к площади параллелограмма.
|
1 |
Оглавление
|