Кинематика изучает геометрию движений, не касаясь условий их физической реализации. Статика ${}^1$ есть учение о силах, их сложении и эквивалентности, не касающееся вызываемых ими движений.
${}^1$ Собственно говоря, термин «статика» неудачен, так как он односторонне указывает на вопросы равновесия, тогда как вопросы статики имеют отношение как

1. Кинематика на плоскости

Прежде всего приведем формулы для разложения и сложения скоростей и ускорений в прямоугольных координатах.
Скорость:
$$\begin{array}{c}\mathbf{v}=({\mathbf{v}}_x,{\mathbf{v}}_y)=(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})=(\dot{x},\dot{y}),\\ |\mathbf{v}|=\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}=v.\end{array}$$

Ускорение:
$$\begin{array}{l}\dot{\mathbf{v}}=({\dot{\mathbf{v}}}_x,{\dot{\mathbf{v}}}_y)=(\frac{d^{2}x}{d{t}^2},\frac{d^{2}y}{d{t}^2})=(\ddot{x},\ddot{y}),\\ |\dot{\mathbf{v}}|=\sqrt{{\ddot{x}}^2+{\ddot{y}}^2}.\end{array}$$

Вместо того, чтобы разлагать скорость и ускорение по прямоугольным координатам, мы можем разлагать их также по «естественным координатам» кривой, описываемой нашей материальной точкой. Пусть $s$ будет длина дуги и пусть индекс $s$ означает изменяющееся вдоль кривой направление траектории, а индекс $n$ — нормаль к ней. Тогда
$$v_s=\pm v,v_n=0.$$

Это тривиально. Существенным же является разложение $\dot{\mathbf{v}}$ на ${\dot{\mathbf{v}}}_s$ и ${\dot{\mathbf{v}}}_n{}^1$.

Если $\alpha$ — угол между касательной к траектории и направлением оси $x$, то прежде всего получаем следующее выражение для касательного ускорения:
$${\dot{v}}_s={\dot{v}}_x\cos \alpha +{\dot{v}}_y\sin \alpha$$

к проблемам движения, так и к проблемам равновесия. Более правильный термин «динамика» неприменим, так как он исторически установлен для движений, вызываемых силами.
${}^1$ Под ${\dot{v}}_n$ Зоммерфельд понимает не производную проекции $v_n$, как это принято, а проекцию производной вектора $\mathbf{v}$ по времени на направление нормали $n$. Иными словами, сначала следует продифференцировать вектор $\mathbf{v}$, а затем взять его проекцию. Результат не зависит от порядка выполнения этих операций только тогда, когда направление прямой $n$, на которую производится проектирование, не изменяется по мере движения точки вдоль траектории. (Прим. ред.)

и для нормального ускорения:
$${\dot{v}}_n=-{\dot{v}}_x\sin \alpha +{\dot{v}}_y\cos \alpha .$$

Далее,
$$\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{dx}{ds}=\frac{\dot{x}}{\dot{s}}=\frac{v_x}{v},\\ \sin \alpha =\frac{dy}{ds}=\frac{\dot{y}}{\dot{s}}=\frac{v_y}{v}.\end{array}$$

Следовательно,
$${\dot{v}}_s=\frac{1}{v}(v_x{\dot{v}}_x+v_y{\dot{v}}_y)=\frac{1}{2v}\frac{d}{dt}(v_x{}^2+v_y{}^2)=\frac{1}{2v}\frac{d}{dt}{v}^2=\frac{dv}{dt}=\dot{v}.$$

Рис. 3. Разложение вектора скорости при движении на плоскости; естественные координаты $s$ и $n$
Эта формула гласит: касательное ускорение есть изменение величины скорости; изменение направления не имеет для него значения.
С другой стороны, согласно (5.7),
$$\begin{array}{rl}{\dot{v}}_n& =\frac{1}{v}(v_x{\dot{v}}_y-v_y{\dot{v}}_x)=\\ & =\frac{1}{v}(\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x})=\\ & =v^2\frac{\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}}{{({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)}^{3/2}}=\frac{v^2}{\rho },\end{array}$$

где $\frac{1}{\rho }$ — кривизна траектории.
Таким образом, нормальное ускорение зависит не от изменения величины скорости, а только от самой скорости и от формы траектории.
Если, в частности, $\frac{dv}{dt}=0$, то ускорение перпендикулярно к скорости, а, следовательно, и к траектории.

Дадим еще прямой дифференциально-геометрический вывод этих же соотношений с помощью введенного Гамильтоном годографа ${}^1$.
${}^1$ Термин «годограф» («записыватель пути») неточен, правильнее было бы применить термин «записыватель скорости» или еще лучше — «полярная диаграмма скорости».

Рис. 4а. Годограф движения на плоскости. Скорости ${\mathbf{v}}_1$ и ${\mathbf{v}}_2$ откладываются в полярной диаграмме от полюса $O$
Рис. 4б. Траектория движения на плоскости и ее радиус кривизны

Что надо понимать под годографом, видно из сравнения рис. 4 а с рис. 4б. Рис. 4б представляет траекторию в плоскости $xy$. В двух соседних точках этой траектории, находящихся друг от друга на расстоянии $\mathrm{\Delta }s$, начерчены скорости по касательным к траектории; угол между ними равен $\mathrm{\Delta }\epsilon$. На рис. 4б угол $\mathrm{\Delta }\epsilon$ отмечен также из центра кривизны $M$; если под $\rho$ понимать радиус кривизны, то
$$\mathrm{\Delta }s=\rho \mathrm{\Delta }\epsilon .$$

С другой стороны, на рис. 4а обе эти скорости перенесены параллельно самим себе в полюс $O$. Рассмотрим два соседних вектора $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$; они образуют друг с другом угол $\mathrm{\Delta }\epsilon$. Проектируя точку $A$ на прямую $OB$, получим точку $C;\mathrm{\Delta }\mathrm{v}=\overrightarrow{AB}$ разлагается на $\mathrm{\Delta }{\mathbf{v}}_s=\overrightarrow{CB}$ и $\mathrm{\Delta }{\mathbf{v}}_n=\overrightarrow{AC}$. Соответственно этому, получаем в подтверждение равенств (5.8) и (5.9):
$$\begin{array}{l}{\dot{v}}_s=\frac{CB}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{v_2-v_1}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{dv}{dt}\\ {\dot{v}}_n=\frac{AC}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{\Delta }\epsilon \cdot v}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{\Delta }\epsilon }{\mathrm{\Delta }s}{v}^2=\frac{v^2}{\rho }.\end{array}$$

В последнем уравнении мы воспользовались соотношением (5.10) [см. задачу I. 9].

2. Понятие момента в статике и кинематике на плоскости

Момент вектора $\mathbf{V}$ относительно данной точки $O$ определяется как векторное произведение радиус-вектора $\mathbf{r}$, проведенного из $O$ в точку приложения $P$ вектора, и самого вектора:
$$\mathbf{M}=[\mathbf{r}\mathbf{V}].$$

Следовательно, M равно площади параллелограмма, образованного $\mathbf{r}$ и V. Направление M соответствует кратчайшему повороту, приводящему $\mathbf{r}$ в совпадение с $\mathbf{V}$ (если $\mathbf{r}$ и $\mathbf{V}$ отложены из одной и той же точки); на рис. 5 это направление поворота отмечено стрелкой. Если ввести «плечо рычага» $l$, то по абсолютной величине
$$|\mathbf{M}|=l|\mathbf{V}|=r|\mathbf{V}|\sin \alpha .$$

Если положить $\mathbf{V}$ равным силе $\mathbf{F}$, то получим «момент силы»
$$\mathbf{M}=[\mathbf{r}\mathbf{F}].$$

Момент силы является одним из основных понятий статики, введенным еще Архимедом. Если мы обозначим проекции $\mathbf{F}$ на оси координат через $X$ и $Y$, то по правилам элементарного векторного исчисления получим
$$M=xY-yX.$$

Понятие момента важно также для кинематики и кинетики. Ограничиваясь сначала плоской задачей, введем:
момент скорости $=[\mathbf{r}\mathbf{v}]$,
момент ускорения $=[\mathbf{r}\dot{\mathbf{v}}]$.
Момент количества движения $=$ моменту импульса $=[\mathbf{r}\mathbf{G}]=$ $=m[\mathbf{r}\mathbf{v}]$.

По образцу уравнения (5.12a), получаем в прямоугольных координатах
$$\begin{array}{l}|[\mathbf{r}\mathbf{v}]|=|x\dot{y}-y\dot{x}|\\ |[\mathbf{r}\dot{\mathbf{v}}]|=|x\ddot{y}-y\ddot{x}|.\end{array}$$

Между моментом скорости и моментом ускорения существует следующее соотношение:
$$[\mathbf{r}\dot{\mathbf{v}}]=\frac{d}{dt}[\mathbf{r}\mathbf{v}].$$

Приняв во внимание, что $\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{v}$ и $[\mathbf{v}\mathbf{v}]=0$, его можно доказать путем следующего простого вычисления:
$$\frac{d}{dt}[\mathbf{r}\mathbf{v}]=\left[\mathbf{r}\frac{d\mathbf{v}}{dt}\right]+[\mathbf{v}\mathbf{v}]=[\mathbf{r}\dot{\mathbf{v}}].$$

Обычное доказательство, использующее координатную форму записи, проводится совершенно аналогично:
$$\frac{d}{dt}(x\dot{y}-y\dot{x})=x\ddot{y}+\dot{x}\dot{y}-y\ddot{x}-\dot{y}\dot{x}=x\ddot{y}-y\ddot{x}.$$

Если отождествить произвольный вектор $\mathbf{V}$ (рис. 5) со скоростью $\mathbf{v}$ точки $P$, описывающей произвольную траекторию, то можно получить еще одно простое соотношение между моментом импульса и так называемой секториальной скоростью. А именно, описанный радиусом-вектором из $O$ бесконечно малый элемент площади $d\mathbf{S}$ равен половине параллелограма $[\mathbf{r}d\mathbf{s}]$; следовательно, секториальная скорость равна
$$\frac{d\mathbf{S}}{dt}=\frac{1}{2}[\mathbf{r}\mathbf{v}].$$

Отсюда для момента импульса следует соотношение
$$[\mathbf{r}\mathbf{G}]=2m\frac{d\mathbf{S}}{dt}.$$

Рис. 5. Момент произвольного вектора $\mathbf{V}$ относительно произвольной точки $O$
3. Кинематика в пространстве

Если разложить скорость и ускорение по направлениям $\mathbf{s}$ (касательная), $\mathbf{n}$ (главная нормаль) и b (бинормаль) пространственной траектории, то получим следующие слагающие:
$$\begin{array}{l}\mathbf{v}=(v,0,0),\\ \dot{\mathbf{v}}=(\dot{v},\frac{v^2}{\rho },0),\end{array}$$

где $\rho$ есть введенный в (5.9) или (5.10) радиус кривизны, построение которого теперь надо производить в соприкасающейся плоскости траектории.

Момент скорости и момент ускорения в пространстве определяются, как и на плоскости, через векторные произведения $[\mathbf{r}\mathbf{v}],[\mathbf{r}\dot{\mathbf{v}}]$. Отметим, однако, что рис. 5 теперь надо понимать как пространственную. Изображенный на рис. 5 параллелограмм характеризуется, помимо величины и направления вращения, еще и положением в пространстве. Для наглядности это положение обычно характеризуется нормалью к плоскости параллелограмма. При этом по общей договоренности выбирают то направление нормали, которое образует с направлением момента вращения правовинтовую систему. Тогда векторным изображением момента будет направленная по этой нормали стрелка, длина которой равна величине момента. В гл. IV, $\mathrm{\S }23$, мы подробно остановимся на таком способе изображения и на различии между аксиальными и полярными векторами.

Здесь мы рассмотрели момент относительно (произвольно выбираемой) точки $O$. В следующем разделе мы разъясним, что мы будем понимать под моментом относительно заданной оси.
4. Статика в пространстве. Момент силы относительно точки и относительно оси
Момент силы $\mathbf{F}$ относительно заданной точки $O$ полностью определяется выражением:
$$\mathbf{M}=[\mathbf{r}\mathbf{F}],$$

где $\mathbf{r}$ — радиус-вектор, проведенный из точки $O$ в точку приложения $P$ силы $\mathbf{F}$, т.е.
$$\mathbf{r}=(x,y,z),$$

если мы примем $O$ за начало координат. Согласно только что приведенному правилу (правило правого винта, стрелка длиною $|\mathbf{M}|$ ), $\mathbf{M}$ можно изобразить вектором момента. Требуется найти слагающие $\mathbf{M}$ по осям координат. Мы можем их определить как проекции вектора момента на эти оси, например:
$$M_z=|\mathbf{M}|\cos (\mathbf{M},z).$$

Но так как $|\mathbf{M}|$ есть площадь параллелограмма, построенного на $\mathbf{r}$ и $\mathbf{M}$, то правая часть уравнения (5.17) означает в то же время площадь параллелограмма, спроектированную на площадь $xy$. Эта площадь имеет стороны
$${\mathbf{r}}_{\text{пр. }}=x,y;{\mathbf{F}}_{\text{пр. }}=X,Y.$$

Поэтому из (5.17) в согласии с (5.12a) следует
$$M_z=xY-yX,$$

а также
$$M_x=yZ-zY,M_y=zX-xZ.$$

Эти слагающие $M_x,M_y,M_z$ называют также моментами силы $\mathbf{F}$ относительно осей $x,y,z$ (см. задачу I.10).

Все сказанное здесь относительно осей координат применимо также и к любой оси $a$. Стало быть, в соответствии с уравнением (5.17), момент силы $\mathbf{F}$ относительно оси а определяется следующим образом: надо образовать момент относительно какой-либо точки $O$, лежащей на оси $a$, и спроектировать вектор этого момента на ось $a$. Можно также, в соответствии с уравнениями $(5.17\mathrm{a}$, б), спроектировать площадь, соответствующую моменту относительно точки $O$, на плоскость, перпендикулярную оси $a$. Третий способ состоит в следующем: мы определяем кратчайшее расстояние точки приложения силы от оси $a$, которое называем плечом силы $l$, и разлагаем силу $\mathbf{F}$ на три слагающие: ${\mathbf{F}}_a$ параллельно оси $a,{\mathbf{F}}_l$ в направлении $l$ и ${\mathbf{F}}_{\mathbf{n}}$ в направлении, перпендикулярном к $a$ и $l$. Тогда
$$M_a(\mathbf{F})=M_a\left({\mathbf{F}}_a\right)+M_a\left({\mathbf{F}}_l\right)+M_a\left({\mathbf{F}}_n\right).$$

Два первых члена справа равны нулю: сила, параллельная оси а, и сила, пересекающая эту ось, не дают момента относительно оси а.

Таким образом, в уравнении (5.18) остается только третий член, происходящий от силы, перпендикулярной оси $a$, плечо которой равно $l$. Таким образом, уравнение (5.18) сводится к
$$M_a(\mathbf{F})=M_a\left({\mathbf{F}}_n\right)=F_{n}l.$$

Здесь уместно сказать несколько слов относительно различных обозначений произведений двух векторов. Помещаемая ниже таблица показывает, что по историческим и национальным обстоятельствам эти обозначения, к сожалению, очень различны ${}^1$.
${}^1$ В русской литературе приняты обозначения, соответствующие первому столбцу таблицы; иногда употребляются также обозначения Гиббса. (Прим. ред.)

Для пояснения. Великий термодинамик Виллард Гиббс составил для своих студентов краткий очерк векторного анализа, в то время еще мало известного. Обозначения, введенные в этом очерке, применяются большинством американцев и англичан. Введенное Хивисайдом обозначение векторного произведения, в котором $\bigvee$ означает начальную букву слова «вектор», было после этого вообще оставлено. Итальянская схема обозначений ведет свое начало от Марколонго. Герман Грассман установил в своем «Учении о притяжении» (1844 г. и 1862 г.) последовательную систему исчисления отрезков и точек. Простейшим сочетанием двух отрезков $a$ и $b$ он считает «площадь», т.е. построенный на $a$ и $b$ параллелограмм; поэтому он обозначает его через $ab$ (иногда также через $[ab]$ ). Вертикальная черта означает у Грассмана «дополнение», т. е. переход к вектору, перпендикулярному к площади параллелограмма.