II.1. Неголономные связи при качении колеса. Колесо с острыми краями (радиуса $a$ ) катится без скольжения по шероховатому плоскому основанию (например, обруч на гладкой мостовой). Положение колеса в каждый данный момент времени определнется заданием следующих величин:
1) координат $x, y$ точки касания колеса с основанием в прямоугольной системе координат $x, y, z$, плоскость $x y$ которой совпадает с плоскостью основания,
2) угла $\vartheta$ между осью колеса и осью $z$,
3) угла $\psi$, образованного касательной (линией пересечения плоскости колеса с плоскостью основания) и осью $x$,
4) угла $\varphi$ между радиусом колеса, проведенным в мгновенную точку касания, и произвольным, но фиксированным радиусом; этот угол можно отсчитывать, например, в направлении вращения.

Таким образом, катящееся колесо имеет пять степеней свободы в конечной области. Эта подвижность колеса, однако, ограничивается условием чистого качения (без скольжения), вызванного трением сцепления между колесом и основанием; действительно, при качении колеса в мгновенном направлении путь, пройденный вдоль касательной, должен быть равен $\delta s=a \delta \varphi$. Проектируя на оси, получим следующие условия связи для перемещений $\delta x$, $\delta y$ и $\delta \varphi$ :
\[
\delta x=a \cos \psi \delta \varphi, \quad \delta y=a \sin \psi \delta \varphi .
\]

Следовательно, в бесконечно малой области катящееся колесо имеет только три степени свободы.

Показать, что условия (1) не могут быть сведены к уравнениям, связывающим координаты. Для этого нужно доказать, что существование соотношений $f(x, y, \varphi, \psi)$ [ведь $\vartheta$ не входит в (1)] одновременно с условиями (1) ведет к противоречию.
II.2. Приближенный расчет маховика одноцилиндровой пориневой паровой машины двойного действия (см. также §9).
(«Двойное действие» означает, что пар попеременно подается по обе стороны поршня, так что работа производится как при прямом, так и при обратном ходе поршня.)

Если мы для простоты примем, что давление пара во время каждого хода поршня остается неизмененным (паровая машина без расширения), а длину шатуна положим бесконечной, то за время половины оборота (от переднего до заднего мертвого положения кривошипа, т. е. между моментами нахождения поршня у соответственных оснований цилиндра) крутящий момент $M$, передаваемый поршнем на вал, меняется в зависимости от угла поворота
кривошипа $\varphi$ согласно формуле
\[
M=M_{0} \sin \varphi
\]
[ср. формулу (9.5)]. Здесь $M_{0}$ – постоянная; угол $\varphi$ отсчитывается от заднего мертвого положения в направлении вращения. Во время второй половины хода (от переднего до заднего мертвого положения) крутящий момент при сделанных выше допущениях (именно: 1) машина двойного действия, 2) отсутствие расширения, 3) шатун бесконечной длины) изменяется по тому же самому закону; при этом угол $\varphi$ нужно отсчитывать от переднего мертвого положения в направлении вращения.

Пусть нагрузка машины задача постоянным моментом $W$, соответствующим мощности $N$ лош. сил при $n$ оборотах в минуту. Вследствие непостоянства вращающего момента $M$ при неизменном моменте нагрузки $W$ угловая скорость вращения вала колеблется между наибольшим значением $\omega_{\max }$ и наименьшим значением $\omega_{\min }$ около среднего значения $\omega_{m}$, которое приближенно положим равным
\[
\omega_{m}=\frac{\omega_{\max }+\omega_{\min }}{2} .
\]

Назначение маховика состоит в том, чтобы не допускать роста относительного колебания числа оборотов, так называемой «степени неравномерности»
\[
\delta=\frac{\omega_{\max }+\omega_{\min }}{\omega_{m}},
\]

выше установленного предела. Каков должен быть момент инерции требуемого маховика, если пренебречь инерционными воздействиями остальных движущихся масс (поршня с поршневым штоком и крейцкопфом, шатуна, кривошипа)?
II.3. Центробежная сила при увеличенной скорости вращения Земли. С какой скоростью должна вращаться Земля для того, чтобы на экваторе сила тяжести и центробежная сила взаимно уничтожались? Какова была бы при этом продолжительность суток?
II.4. Опыт Поггендорфа с весами. На одной стороне коромысла весов укреплен (без трения) невесомый ролик; через ролик перекинута нить $F$, несущая на одном конце груз $P$, а другом, как в машине Атвуда для исследования законов падения, груз $P+p$ ( $p-$ малый довесок). Вначале груз $p$ прикреплен нитью $F$ к оси ролика. На другой стороне весов грузы уравновешиваются. Вслед за этим нить $F$ пережигается. Требуется определить:
a) С каким ускорением поднимаются или опускаются грузы $P$ и $P+p$ ?
б) Отклоняется ли при этом коромысло весов?
в) Какое натяжение действует в нити $F$ ?

II.5. Ускоренно движущаяся наклонная плоскость. Наклонная плоскость движется в вертикальном направлении, согласно заданной зависимости от времени. По этой наклонной плоскости скользит без трения тело массы $m$. Исследовать движение этого тела, в частности, для случая движения наклонной плоскости с постоянным ускорением $\pm g$.
II.6. Центробежные моменты при равномерном вращении нессимметричного тела вокруг оси. Несимметричное тело равномерно вращается вокруг оси, концы которой $A$ и $B$ находятся в подшипниках. Какие реакции $A$ и $B$ возникают в подшипниках? Определить эти реакции по принципу Даламбера показать, что они обусловлены приложенной в центре тяжести равнодействующей центробежной силы и результирующим моментом центробежных сил отдельных элементов массы.

Реакции, обусловленные только весом тела, известны (стр. 77) и поэтому их можно здесь не рассматривать.
II.7. Теория игрушки йо-йо ${ }^{1}$. На дискообразном теле (масса $M$, момент инерции $\Theta$ ) сделан глубокий, симметричный относительно его средней плоскости, паз (имеется в виду средняя плоскость, перпендикулярная к оси диска) Через этот паз на ось диска (радиуса $r$ ) намотана нить, верхний конец которо) придерживается. Натянув нить, отпускают тело. Опускаясь, тело в то же время ускоренно вращается до тех пор, пока не размотается вся нить. В то время, как нить вновь наматывается в обратном направлении, тело поднимается, замедляясь в своем вращении, и т. д. Определить натяжение нити: a) при опускание тела, б) при подъеме тела.

Радиус $r$ считаем столь малым по сравнению с расстоянием оси от верхнего конца нити, что нить можно все время рассматривать как вертикальную.
II.8. Отрыв материальной точки от шаровой поверхности, по которой она движется. По верхнему полушарию движется материальная точка; ее начальное положение $z_{0}$ и начальная скорость $v_{0}$ произвольны; однако начальная скорость $v_{0}$ направлена по касательной к поверхности шара. Движение происходит без трения под действием силы тяжести. На какой высоте произойдет отрыв материальной точки от поверхности шара?