Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Геодезические линии на произвольной кривой поверхности мы определим здесь как траектории свободной (а значит, движущейся также и без трения) материальной точки, связанной с поверхностью. Пусть масса точки будет равна единице, уравнение поверхности пусть будет $F(x, y, z)=0$. Согласно принципу Мопертюи, эти геодезические линии одновременно являются и кратчайшими линиями или, говоря в более общем смысле (ср. стр. 276), линиями экстремальной длины. В силу применимости закона сохранения энергии, скорость движения по траектории постоянна. Путем соответствующего выбора нормировки энергии можно скорость сделать равной единице и, в соответствии с этим, заменить $\frac{d}{d t}$ на $\frac{d}{d s}$. Можно прийти к элементарному определению геодезических линий, если описывать траектории с помощью уравнений Лагранжа первого рода. В сокращенной векторной записи эти уравнения в нашем случае будут иметь следующий вид: Вектор $\dot{\mathbf{v}}$ направлен по главной нормали, к нашей траектории, если, как в данном случае, $v=$ const, т. е. $\dot{v}=0$ (ср. в $\S 5$ начало раздела 3 ); таким образом, $\dot{\mathbf{v}}$ лежит в соприкасающейся плоскости (ср. там же). С другой стороны, вектор $\operatorname{grad} F$ направлен по нормали к поверхности, так как для всех направлений поступательного движения $d x, d y, d z$ на поверхности имеет место так что направление действительно нормально к этим направлениям поступательного движения. Таким образом, формула (40.1) содержит элементарное определение геодезических линий: их главная нормаль совпадает по направлению с нормалью к поверхности, или их соприкасающаяся плоскость проходит через нормаль к поверхности. Теперь воспользуемся принципом прямейшего пути. Согласно этому принципу, геодезическая линия имеет меньшую кривизну, чем соседние траектории; при этом, по условию (38.3), сравниваемые соседние траектории ограничены тем, что они должны проходить через ту же точку и с той же касательной, как и геодезическая линия в рассматриваемой точке. Совокупность этих соседних траекторий мы получим, если, кроме плоскости, проходящей через нормаль к поверхности и дающей в сечении с последней геодезическую линию, проведем через соответствующую касательную все возможные наклонные плоскости и определим линии их пересечения с поверхностью. Согласно принципу Герца, эти косые сечения имеют бо́льшую кривизну (а следовательно, и меньший радиус кривизны), чем нормальные сечения. Этому соответствует теорема Менье теории поверхностей, которая гласит: радиус кривизны косого сечения равен проекции радиуса кривизны нормального сечения на плоскость косого сечения. Таким образом, теорема Менье может рассматриваться как количественная «специализация» общего принципа прямейшего пути. В заключение применим к нашим геодезическим траекториям уравнения Лагранжа второго рода. Тем самым мы вступаем в круг идей большого труда Гаусса, написанного им в 1827 г. («Disquisitiones generales circa superficies curvas»); в четырехмерном обобщении этот круг идей характерен для общей теории относительности. Подобно тому, как Лагранж вводит произвольные криволинейные координаты $q$, Гаусс в качестве координат на поверхности пользуется двумя произвольными семействами кривых, двояко покрывающих эту поверхность. Обозначим их общепринятым образом: В этих координатах Гаусс выражает элемент длины $d s$ в следующей форме: Квадрат элемента длины, деленный на $2 d t^{2}$, выражает кинетическую энергию $T$ нашей движущейся по поверхности материальной точки. Таким образом, мы можем выразить уравнения Лагранжа второго рода в обозначениях Гаусса, образуя Следовательно, по схеме уравнений Лагранжа (если мы еще заменим $\frac{d}{d t}$ на $\frac{d}{d s}$ ) дифференциальное уравнение геодезических линий для координаты $u$ запишется в виде: Нет необходимости выписывать соответствующее дифференциальное уравнение для координаты $v$, так как оно, в силу закона сохранения энергии (в нашем случае $\frac{d s}{d t}=1$ ), должно быть идентичным с уравнением (40.4). В своей названной работе (в статье 18) Гаусс выводит уравнение (40.4) из принципа кратчайшего пути. Здесь нам хотелось лишь указать на то, что гауссов метод криволинейных координат на поверхности (40.2) совпадает с лагранжевым методом механики системы. Оба метода инвариантны по отношению к любому преобразованию координат и зависят только от «внутренних» свойств поверхностей или, соответственно, механических систем.
|
1 |
Оглавление
|