Геодезические линии на произвольной кривой поверхности мы определим здесь как траектории свободной (а значит, движущейся также и без трения) материальной точки, связанной с поверхностью. Пусть масса точки будет равна единице, уравнение поверхности пусть будет $F(x, y, z)=0$.

Согласно принципу Мопертюи, эти геодезические линии одновременно являются и кратчайшими линиями или, говоря в более общем смысле (ср. стр. 276), линиями экстремальной длины. В силу применимости закона сохранения энергии, скорость движения по траектории постоянна. Путем соответствующего выбора нормировки энергии можно скорость сделать равной единице и, в соответствии с этим, заменить $\frac{d}{d t}$ на $\frac{d}{d s}$.

Можно прийти к элементарному определению геодезических линий, если описывать траектории с помощью уравнений Лагранжа первого рода. В сокращенной векторной записи эти уравнения в нашем случае будут иметь следующий вид:
\[
\dot{\mathbf{v}}=\lambda \operatorname{grad} F .
\]

Вектор $\dot{\mathbf{v}}$ направлен по главной нормали, к нашей траектории, если, как в данном случае, $v=$ const, т. е. $\dot{v}=0$ (ср. в $\S 5$ начало раздела 3 ); таким образом, $\dot{\mathbf{v}}$ лежит в соприкасающейся плоскости (ср. там же). С другой стороны, вектор $\operatorname{grad} F$ направлен по нормали к поверхности, так как для всех направлений поступательного движения $d x, d y, d z$ на поверхности имеет место
\[
\frac{\partial F}{\partial x} d x+\frac{\partial F}{\partial y} d y+\frac{\partial F}{\partial z} d z=0,
\]

так что направление
\[
\frac{\partial F}{\partial x}: \frac{\partial F}{\partial y}: \frac{\partial F}{\partial z}
\]

действительно нормально к этим направлениям поступательного движения. Таким образом, формула (40.1) содержит элементарное определение геодезических линий: их главная нормаль совпадает по направлению с нормалью к поверхности, или их соприкасающаяся плоскость проходит через нормаль к поверхности.

Теперь воспользуемся принципом прямейшего пути. Согласно этому принципу, геодезическая линия имеет меньшую кривизну, чем соседние траектории; при этом, по условию (38.3), сравниваемые соседние траектории ограничены тем, что они должны проходить через ту же точку и с той же касательной, как и геодезическая линия в рассматриваемой точке. Совокупность этих соседних траекторий мы получим, если, кроме плоскости, проходящей через нормаль к поверхности и дающей в сечении с последней геодезическую линию, проведем через соответствующую касательную все возможные наклонные плоскости и определим линии их пересечения с поверхностью. Согласно принципу Герца, эти косые сечения имеют бо́льшую кривизну (а следовательно, и меньший радиус кривизны), чем нормальные сечения.

Этому соответствует теорема Менье теории поверхностей, которая гласит: радиус кривизны косого сечения равен проекции радиуса кривизны нормального сечения на плоскость косого сечения. Таким образом, теорема Менье может рассматриваться как количественная «специализация» общего принципа прямейшего пути.

В заключение применим к нашим геодезическим траекториям уравнения Лагранжа второго рода. Тем самым мы вступаем в круг идей большого труда Гаусса, написанного им в 1827 г. («Disquisitiones generales circa superficies curvas»); в четырехмерном обобщении этот круг идей характерен для общей теории относительности.

Подобно тому, как Лагранж вводит произвольные криволинейные координаты $q$, Гаусс в качестве координат на поверхности пользуется двумя произвольными семействами кривых, двояко покрывающих эту поверхность. Обозначим их общепринятым образом:
\[
u=\text { const }, \quad v=\text { const. }
\]

В этих координатах Гаусс выражает элемент длины $d s$ в следующей форме:
\[
d s^{2}=E d u^{2}+2 F d u d v+G d v^{2} .
\]
«Первые дифференциальные параметры» $E, F G$, рассматриваемые как функции от $u$ и $v$, связаны с прямоугольными координатами $x, y, z$ точек поверхности формулами:
\[
\begin{array}{l}
E=\left(\frac{\partial x}{\partial u}\right)^{2}+\left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)^{2}, \\
G=\left(\frac{\partial x}{\partial v}\right)^{2}+\left(\frac{\partial y}{\partial v}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)^{2}, \\
F=\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial v} .
\end{array}
\]

Квадрат элемента длины, деленный на $2 d t^{2}$, выражает кинетическую энергию $T$ нашей движущейся по поверхности материальной точки.

Таким образом, мы можем выразить уравнения Лагранжа второго рода в обозначениях Гаусса, образуя
\[
\begin{array}{c}
p_{u}=\frac{\partial T}{\partial \dot{u}}=E \dot{u}+F \dot{v} \\
2 \frac{\partial T}{\partial u}=\frac{\partial E}{\partial u} \dot{u}^{2}+2 \frac{\partial F}{\partial u} \dot{u} \dot{v}+\frac{\partial G}{\partial v} \dot{v}^{2} .
\end{array}
\]

Следовательно, по схеме уравнений Лагранжа (если мы еще заменим $\frac{d}{d t}$ на $\frac{d}{d s}$ ) дифференциальное уравнение геодезических линий для координаты $u$ запишется в виде:
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d s}\left(E \frac{d u}{d s}+F \frac{d v}{d s}\right) & \\
= & \frac{1}{2}\left\{\frac{\partial E}{\partial u}\left(\frac{d u}{d s}\right)^{2}+2 \frac{\partial F}{\partial u} \frac{d u}{d s} \frac{d v}{d s}+\frac{\partial G}{\partial u}\left(\frac{d v}{d s}\right)^{2}\right\}
\end{aligned}
\]

Нет необходимости выписывать соответствующее дифференциальное уравнение для координаты $v$, так как оно, в силу закона сохранения энергии (в нашем случае $\frac{d s}{d t}=1$ ), должно быть идентичным с уравнением (40.4).

В своей названной работе (в статье 18) Гаусс выводит уравнение (40.4) из принципа кратчайшего пути. Здесь нам хотелось лишь указать на то, что гауссов метод криволинейных координат на поверхности (40.2) совпадает с лагранжевым методом механики системы. Оба метода инвариантны по отношению к любому преобразованию координат и зависят только от «внутренних» свойств поверхностей или, соответственно, механических систем.