Мы приведем законы движения в аксиоматической форме, рассматривая их как обобщение и уточнение всей совокупности опытных фактов.

Аксиома первая. Каждое тело пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действующие на него силы не заставят его изменить это состояние.

Не останавливаясь пока на разъяснении употребленного выше понятия силы, отметим, что этой аксиомой утверждается равноправие состояний покоя и равномерного прямолинейного движения, которые рассматриваются как естественные состояния тела. Закон постулирует способность тел пребывать в этих естественных состояниях. Эту способность называют также инертностью или инерцией тела. Первую аксиому Ньютона называют иногда «законом инерции Галилея». При этом нужно заметить, что хотя Галилей и пришел к этому закону раньше Ньютона, но сформулировал его только как следствие из проведенных им опытов по падению тел по наклонной плоскости для предельного случая исчезающего наклона (т. е. горизонтальной плоскости), тогда как Ньютон поставил этот закон во главу всей своей системы. Вместо ньютоновского термина «тело» мы в дальнейшем будем пользоваться термином «точечное тело» или «материальная точка».

Чтобы дать закону математическую формулировку, воспользуемся теми определениями 1 и 2 , которые у Ньютона предшествуют этому закону. Определение 2 гласит:

Количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропориионально скорости и количеству материи.

Таким образом, «количество движения» является произведением двух сомножителей: скорости, являющейся геометрически наглядной величиной ${ }^{1}$, и «количества материи», которое является понятием, требующим физического определения. Ньютон пытался дать его в своем определении 1, в котором он говорит: «Количество материи есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объему ее». Это определение, очевидно, является бессодержательным, так как плотность в свою очередь может быть определена только как количество материи в единице объема. В этом же определении Ньютон указывает, что в дальнейшем он будет употреблять термин «масса» вместо термина «количество материи». Мы также будем пользоваться этим термином, но одновременно заметим, что мы должны будем вернуться к физическому определению массы (как и к физическому определению силы).

В дальнейшем под количеством движения мы будем понимать произведение массы на скорость. Оно, так же как и скорость, является направленной величиной – «вектором». Обозначая количество движения через $\mathbf{G},{ }^{2}$ массу через $m$, скорость через $\mathbf{v}$, мы можем написать:
\[
\mathbf{G}=m \mathbf{v}
\]

и окончательно сформулировать первый закон движения следующим образом:
\[
\mathbf{G}=\text { const «при отсутствии сил». }
\]

Уточненный таким образом закон инерции, который мы ставим во главу угла нашей механики, является в действительности плодом многовекового развития науки. Насколько этот закон не тривиален, видно из следующего факта. В своем сочинении «Об истинном определении живых сил» 1747 г., т. е. много позже Ньютона, молодой Кант говорит: «Существуют движения двоякого рода: такие, которые прекращаются после определенного времени, и такие, которые продолжаются». Движения, которые, по мнению Канта, прекращаются сами по себе, являются по нашим теперешним (и по ньютоновским) воззрениям такими движениями, которые замедляются силами трения и в конце концов прекращаются.
${ }^{1}$ Поскольку фиксирована система отсчета, в которой должна измеряться скорость (ср. §2).
${ }^{2}$ Мы предполагаем, что читатель знаком с элементами векторного исчисления. Но так как возникновение векторного исчисления теснейшим образом связано с механикой (включая механику жидкостей), то одновременно с механическими понятиями мы будем объяснять и векторные понятия.

Для обозначения векторов мы будем пользоваться, где это удобно, прямым жирным шрифтом. Наравне с этим мы будем пользоваться также и обозначениями стрелкой, например, бесконечно малый поворот будем обозначать через $\overrightarrow{\delta \varphi}$ в тех случаях, когда он рассматривается как (аксиальный) вектор.

Термин «количество движения» неудачен, так как он не учитывает векторного характера этой величины. Такой величине лучше соответствует термин «импульс», все больше и больше входящий в употребление в последние десятилетия. В его основе лежит представление, что произведение $m \mathbf{v}$ по направлению и величине означает тот «толчок» который может перевести тело из состояния покоя в данное состояние движения. Поэтому мы будем, как правило (в последних главах этой книги даже исключительно), употреблять вместо термина «количество движения» термин «импульс», сохраняя для него обозначение G. В соответствии с этим, мы можем вместо «закон инерции» или «первый закон движения Ньютона» говорить «закон сохранения импульса».

Переходим ко второй аксиоме, которая, в сущности, является законом движения Ньютона:

Аксиома вторая. Изменение движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Под «изменением движения», без сомнения, понимается изменение определенного выше количества движения $\mathbf{G}$, т.е. величина $\dot{\mathbf{G}}$ (точка сверху является ньютоновским обозначением «флюкции» $\dot{\mathbf{G}}=\frac{d \mathbf{G}}{d t}$ ). Если силу обозначить через $\mathbf{F}$ (от латинского слова fors), то второй закон можно записать в виде:
\[
\dot{\mathbf{G}}=\mathbf{F} .
\]

Так как $\mathbf{G}$ – импульс, то это уравнение выражает закон изменения импульса или просто закон импульса.

К сожалению, вместо этого наименования обычно употребляется, особенно в математической литературе, наименование: закон ускорения Ньютона. Конечно, если $m$ считать постоянной, то (1.3) и (1.1) эквивалентны уравнению
\[
m \dot{\mathbf{v}}=\mathbf{F}: \text { «масса } \times \text { ускорение }=\text { силе». }
\]

Но масса не всегда постоянна; например, она не постоянна в теории относительности, в которой ньютоновская формулировка закона [уравнение (1.3)] оправдалась прямо-таки пророчески. В §4 мы рассмотрим ряд примеров движения с изменяющейся массой, причем подробно разберем соотношения между формулировками (1.3) и (1.3a). Однако уже уравнение движения вращающегося твердого тела, являющегося простейшей механической системой после материальной точки, должно быть сформулировано в смысле уравнения (1.3): «изменение момента импульса равно моменту силы»; попытка же сформулировать этот закон с помощью понятия углового ускорения в смысле уравнения (1.3a) ни к чему не привела бы. Причина этого, как и в теории относительности, заключается в том, что момент инерции, играющий при вращении роль массы, может изменяться при изменении положения оси вращения в теле.

Попытаемся внести ясность в столь часто дискутировавшееся понятие силы. Кирхго $\Phi^{1}$ хотел низвести это понятие в ранг простого определения, согласно которому сила есть произведение массы на ускорение. Также и Герц ${ }^{2}$ в своем посмертном труде стремился исключить понятие силы и заменить его связью между рассматриваемой системой и другими, вообще говоря, скрытыми, системами, находящимися с ней во взаимодействии. Герц провел эту программу с мастерской последовательностью. Но его метод едва ли дал плодотворные результаты; в частности, для начинающих он совершенно не пригоден.

Мы полагаем, что наши мускульные ощущения дают нам непосредственное, по крайней мере качественное, представление о понятии силы. Сверх того, всюду на Земле в нашем распоряжении имеется в качестве мерила сила тяжести, при помощи которой мы можем количественно измерять все другие силы. Для этого нужно только уравновесить действие данной силы соответствующим весом (при помощи ролика и нитки мы можем перевести вертикальное направление силы тяжести в направление, противоположное направлению данной силы). Изготовив, сверх того, определенное количество одинаковых тел – «набор разновесов», – мы можем использовать их в качестве временной шкалы для количественного измерения сил.

О понятии силы мы можем сказать то же самое, что и о всех физических понятиях и наименованиях: словесные определения бессодержательны, истинные же определения даются указанием способа измерения, которое, вообще говоря, может быть осуществимо только теоретически и не обязательно практически.

После того как мы таким путем придали правой части нашего закона импульса (1.3) конкретный смысл, этот закон стал действительно
${ }^{1}$ Gustav Kirchhoff, Vorlesungen über mathematische Physik, Bd. I, S. 22.
${ }^{2}$ Heinrich Hertz, Gesammelte Werke, Bd. III. – Principien der Mechanik.

физическим утверждением. Однако в его левую часть входит еще масса $m$, которой до сих пор не было дано определения. Не надо думать, что определение массы $m$ является единственным содержанием закона импульса. Напротив, этим законом подчеркивается, что силой определяется именно $\dot{\mathbf{G}}$, а не сам импульс $\mathbf{G}$ или $\ddot{\mathbf{G}}$. В $\S 4$ на примере релятивистской массы мы увидим, как нужно определить понятие массы в случае ее непостоянства.

Аксиома третья. Действие всегда равно противодействию, или иначе – действия двух тел друг на друга всегда равны и противоположно направлены.

Для каждого давления существует противодавление. В природе силы встречаются всегда попарно. Падающий камень притягивает Землю точно с такой же силой, как и Зем.яя притягивает камень. Этот закон делает возможным переход от механики отдельной материальной точки к механике сложных систем; в частности, он лежит в основе всей статики строительных сооружений.

В качестве аксиомы четвертой, которая, впрочем, у Ньютона встречается только как добавление к законам движения (как королларий), мы будем рассматривать правило параллелограмма сил. Согласно этой аксиоме, две силы, приложенные к одной и той же точке, складываются по направлению диагонали образованного ими параллелограмма. Силы складываются векторно.

Это становится само собою понятным после того, как во втором законе мы отождествили силу $\mathbf{F}$ с вектором $\dot{\mathbf{G}}$. В этом законе, как подчеркивает Max, действительно заключается аксиома, что каждая сила производит соответствующее ей изменение движения материальной точки, независимо от того, действуют ли на эту точку одновременно и другие силы. Таким образом, эта независимость действия сил друг от друга, или, если сформулировать в более общем смысле, принцип суперпозиции действия сил, аксиоматически устанавливается законом параллелограмма сил. Конечно, этот закон, как и предшествующие законы движения, является идеализацией и обобщением всего опытного материала.

Введем уже здесь, наряду с понятием силы, понятие работы с помощью определения:
\[
d A=(\mathbf{F} d \mathbf{s})=F \cdot d s \cdot \cos (\mathbf{F}, d \mathbf{s}) .
\]

Следовательно, работа есть не «сила $\times$ путь», как часто говорят, а «слагающая силы $\times$ путь» или «сила $\times$ слагающую пути».

Тогда из закона: «Силы складываются векторно» непосредственно вытекает дополняющая его теорема: «Работы складываются алгебраически». Действительно, из уравнения
\[
\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2}+\ldots=\mathbf{F}
\]
( $\mathbf{F}=$ равнодействующей силе) после умножения его скалярно на путь $d \mathrm{~s}$ следует:
\[
\left(\mathbf{F}_{1} d \mathbf{s}\right)+\left(\mathbf{F}_{2} d \mathbf{s}\right)+\ldots=(\mathbf{F} d \mathbf{s}) .
\]

Поскольку мы определили скалярное умножение с помощью формулы (1.4), само собою разумеется, что, например, и первое произведение входит только слагающая пути $d \mathbf{s}$, пройденная в направлении силы $\mathbf{F}_{1}$. Итак, вместо (1.5) можно также писать
\[
d A_{1}+d A_{2}+\ldots=d A,
\]

что и требовалось доказать.
С понятием работы связано понятие мощности: мощность есть $\mathrm{pa}$ бота за единицу времени.

Чтобы покончить с этими вводными пояснениями, договоримся относительно точного измерения механических величин. Существуют две соперничающие системы единиц измерения этих величин: физическая и техническая. Различие между ними заключается в том, что в физической системе единиц 2 (или кг) служит единицей массы, тогда как в технической системе кг (или г) означает единицу силы. В последнем случае мы говорим о кг-весе, причем
\[
1 \kappa г-в е с=g \cdot \kappa г-м а с с а,
\]

где $g$ – ускорение силы тяжести. Но так как это ускорение зависит от местоположения на земном шаре (на полюсе оно больше, чем на экваторе, из-за меньшего расстояния от центра Земли и меньшего центробежного действия), то значение кг-вес зависит от места. Поэтому техническая система единиц не пригодна для точных измерений; напротив, физическая система получила почетное название «абсолютной системы единиц измерения». Насколько глубоко укоренилась техническая система единиц в нашем научном языке, видно из того факта, что во многих случаях, когда надо было бы употребить термин «масса», говорят «вес». Мы говорим об удельном весе в тех случаях, когда следовало бы говорить об удельной массе или плотности; мы говорим об атомных и молекулярных весах, которые, конечно, не имеют никакого отношения к земному тяготению.

Гаусс, родоначальник абсолютных измерений, остановился после некоторых колебаний на «физической» системе единиц. Вначале он был склонен ввести силу в качестве основной единицы, так как в его измерениях земного магнетизма она играла более непосредственную роль, чем масса. Но так как, с другой стороны, магнитные измерения должны были охватить весь земной шар, то он был вынужден принять единицу, не зависящую от места.

Сравним обе системы друг с другом и введем при этом производные единицы: дину, эрг, джоуль, ватт, лошадиную силу.
Физическая система единиц (CGS) Техническая система единиц
см, г-масса, сек.
$1 \kappa г-в е с=9,81 \cdot 10^{5} \frac{2 \cdot с \mathcal{M}}{\text { сек }^{2}}=$ $=9,81 \cdot 10^{5}$ дин
1 эрг $=1$ дина 1 см
1 джоуль $=10^{7}$ эрг
$1 \boldsymbol{\mu} \cdot \kappa г-в е с=1000 \cdot g \cdot 100$ эрг $=$ $=9,81 \cdot 10^{7}$ эрг $=$ $=9,81$ жоуля
1 ватт $=1$ жоуль $\cdot$ сек $^{-1}$
1 киловатт $=1000$ джоу-
лей $\cdot$ сек $^{-1}=\frac{1 \text { лош. сила }}{0,736}=$ $=1,36$ лош. силь.
м, кг-вес, сек.
1 г-масcа $=\frac{1 \kappa 2 \cdot 1 \text { ceк }^{2}}{1000 \mathrm{~g} \cdot \mu}$
Единица работы $=1 \kappa 2 \cdot 1$ м
Единица мощности $=$ $=1 \kappa 2 \cdot 1 \mu \cdot$ сек $^{-1}$
1 лош. сила $=75 \frac{\kappa 2 \cdot \mu}{\text { сек }}=$ $=75 \cdot 1000 \cdot 100 \times$
$\times 981 \frac{э р 2}{\text { сек. }}=$
$=75 \cdot 9,81$ ватта $=$
$=0,736$ киловатта.
Здесь уместно заметить, что, согласно решению соответствующих международных комиссий, система CGS должна, начиная с 1940 г., быть заменена системой MKS; вместо см вводится $м$, вместо г вводится кг в качестве единицы массы, а единицей времени остается сек.

Это соответствует предложению, сделанному Джорджи, основное содержание которого, впрочем, заключается во введении четвертой независимой электрической единицы измерения. В механике предложенное изменение имеет то преимущество, что в определении джоуля и ватта отпадают докучливые множители (степени десяти). В новых больших единицах М и К единицей работы и мощности становится
\[
\begin{array}{l}
1 \mathrm{M}^{2} \mathrm{KS}^{-2}=10^{7} \text { см }^{2} \cdot 2 \cdot \text { сек }^{-2}=1 \text { джоуль, } \\
1 \mathrm{M}^{2} \mathrm{KS}^{-3}=10^{7} \text { см }^{2} \cdot 2 \cdot \text { сек }^{-3}=1 \text { ватт. } .
\end{array}
\]

Следовательно, в новой системе единицей силы, которую мы назовем «Дина» (с большой буквы), будет:
\[
1 \text { Дина }=1 \mathrm{MKS}^{-2}=10^{5} \mathrm{cм} \cdot 2 \cdot \text { сек }^{-2}=10^{5} \text { дин. }
\]

Одним из преимуществ системы Джорджи является сближение новой единицы силы с удобной технической единицей силы кг-весом, тогда как прежняя единица силы «дина» по своей малости неудобна для практического употребления.