В рассматриваемом случае по-прежнему справедливы уравнения (30.5), но с тем дополнительным условием, что материальная точка должна находиться на постоянном расстоянии $l$ от точки подвеса маятника. Запишем это условие совершенно так же, как и в случае сферического маятника [уравнение (18.1)]:
\[
F=\frac{m}{2}\left(\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}-l^{2}\right)=0 .
\]

Вводя соответствующий параметр Лагранжа $\lambda$ получим вместо прежних уравнений (30.5):
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}=2 \omega \sin \varphi \frac{d \eta}{d t}+\lambda \xi \\
\frac{d^{2} \eta}{d t^{2}}=-2 \omega \sin \varphi \frac{d \xi}{d t}-2 \omega \cos \varphi \frac{d \zeta}{d t}+\lambda \eta \\
\frac{d^{2} \zeta}{d t^{2}}+g=2 \omega \cos \varphi \frac{d \eta}{d t}+\lambda \zeta .
\end{array}\right\}
\]

Мы ограничимся, разумеется, малыми колебаниями маятника. Таким образом, мы будем считать $\frac{\xi}{l}$ и $\frac{\eta}{l}$ величинами первого порядка малости; тогда из условия (31.1) следует, что $\frac{\zeta^{2}}{l^{2}}$ равно единице с точностью до величин второго порядка малости. Именно, вблизи положения равновесия имеет место
\[
\zeta=-l(1+\text { величина второго порядка малости }),
\]

так как за положительное направление оси $\zeta$ принято направление вверх. В соответствии с этим третье уравнение (31.2) показывает, что с точностью до величин первого порядка малости справедливо равенство:
\[
g=-\lambda l, \text { откуда } \lambda=-\frac{g}{l} \text {. }
\]

Перепишем теперь первые два уравнения (31.2), пренебрегая членом с $\frac{d \zeta}{d t}$ (так как он является величиной второго порядка малости) и вводя обозначение
\[
u=\omega \sin \varphi .
\]

Тогда эти уравнения примут следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}-2 u \frac{d \eta}{d t}+\frac{g}{l} \xi=0, \\
\frac{d^{2} \eta}{d t^{2}}+2 u \frac{d \xi}{d t}+\frac{g}{l} \eta=0 .
\end{array}\right\}
\]

Удобно объединить оба эти уравнения (умножив второе из них на $i$ и сложив с первым), вводя, как и в уравнении (26.10) на стр. 189 , комплексную переменную
\[
s=\xi+i \eta .
\]

В соответствии с этим, получим уравнение
\[
\frac{d^{2} s}{d t^{2}}+2 i u \frac{d s}{d t}+\frac{g}{l} s=0,
\]

являющееся однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Заметим, что объединение двух уравнений (31.5) в комплексной форме оказалось возможным благодаря «гироскопическому» характеру средних членов этих уравнений. Ищем решение уравнения (31.7) в виде
\[
s=A e^{i \alpha t} .
\]

Подставляя это выражение в уравнение (31.7), получим квадратное уравнение для определения $\alpha$ :
\[
\alpha^{2}+2 u \alpha-\frac{g}{l}=0 .
\]

Его корни суть
\[
\alpha_{1}=-u+\sqrt{u^{2}+\frac{g}{l}} \quad \text { и } \quad \alpha_{2}=-u-\sqrt{u^{2}+\frac{g}{l}} .
\]

Общее решение уравнения (31.7) имеет вид;
\[
s=A_{1} e^{i \alpha_{1} t}+A_{2} e^{i \alpha_{2} t} .
\]

Постоянные $A_{1}$ и $A_{2}$ определяются из начальных условий. В соответствии с постановкой опыта, в качестве таковых выберем следующие:
\[
\xi=a, \quad \eta=0, \quad \frac{d \xi}{d t}=\frac{d \eta}{d t}=0 \quad \text { при } t=0 .
\]

Иными словами, мы предполагаем, что маятник в начальный момент отклонен от вертикального положения на отрезок $a$ в положительном направлении оси $\xi$, т.е. вдоль меридиана к югу (рис. 50), и отпущен без толчка. Из условий (31.10) получим начальные значения для нашей комплексной переменной $s$ :
\[
s=a, \quad \frac{d s}{d t}=0 \quad \text { при } t=0 .
\]

Тогда из равенства (31.9) найдем:
\[
\begin{array}{c}
A_{1}+A_{2}=a, \\
A_{1} \alpha_{1}+A_{2} \alpha_{2}=0, \\
A_{1}=\frac{a}{2}\left(1+\frac{u}{\sqrt{u^{2}+\frac{g}{l}}}\right), \quad A_{2}=\frac{a}{2}\left(1-\frac{u}{\sqrt{u^{2}+\frac{g}{l}}}\right) .
\end{array}
\]

В соответствии с этим, получим выражение для $\frac{d s}{d t}$ (являющееся несколько более интересным, чем выражение для $s$ ). Принимая во внимание условие (31.11a), можем написать:
\[
\frac{d s}{d t}=i \alpha_{1} A_{1} e^{-i u t}\left(e^{i \sqrt{u^{2}+\frac{g}{l}} t}-e^{-i \sqrt{u^{2}+\frac{g}{l}} t}\right),
\]

откуда следует [после подстановки выражений (31.8) и (31.11б)]:
\[
\frac{d s}{d t}=-a \frac{\frac{g}{l}}{\sqrt{u^{2}+\frac{g}{l}}} e^{-i u t} \sin \sqrt{u^{2}+\frac{g}{l}} t .
\]

Отсюда мы заключаем, что в те моменты времени, когда синус обращается в нуль, всегда имеет место
\[
\frac{d s}{d t}=0 \quad \text { и, следовательно, также } \frac{d \xi}{d t}=\frac{d \eta}{d t}=0 .
\]

Это означает появление острия (точки возврата) на траектории маятника. Согласно нашим начальным условиям (31.10), такую точку возврата мы впервые имеем при $t=0$. Полагая
\[
\tau=\frac{2 \pi}{\sqrt{u^{2}+\frac{g}{l}}},
\]

мы видим, что следующие точки возврата соответствуют моментам времени:
\[
t=\frac{\tau}{2}, \quad t=\tau, \quad t=\frac{3 \tau}{2}, \ldots
\]

Промежуток времени $t=\tau$ является периодом полного колебания маятника (туда и обратно). Как и следовало ожидать, он совпадает с периодом колебаний математического маятника при отсутствии вращения Земли, если положить в формуле (31.13)
\[
u=0, \text { т.е. } \omega=0 .
\]

Воспользуемся формулами (31.9), (31.11) и (31.13) для определения положения нашего маятника спустя время $t=\tau$ от начала опыта (учитывая вращение Земли). Эти формулы дают:
\[
\begin{aligned}
s_{t=\tau} & =A_{1} e^{-i u \tau+2 \pi i}+A_{2} e^{-i u \tau-2 \pi i}= \\
& =\left(A_{1}+A_{2}\right) e^{-i u \tau}=\alpha e^{-i u \tau} .
\end{aligned}
\]

Рис. 50. Маятник Фуко. Вид траектории сверху. Начальное положение – к югу от точки равновесия; отклонение к западу за времн полного колебания взад и вперед
Таким образом, маятник в момент $t=\tau$ находится на том же расстоянии $a$ от своего положения равновесия, что и при $t=0$, но азимут его качания лежит уже не в меридиональной плоскости, как в начале опыта, а отклонен от нее к западу на угол
\[
u \tau=2 \pi \frac{u}{\sqrt{u^{2}+\frac{g}{l}}} \sim 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \omega \sin \varphi
\]
(рис. 50). Мы можем сказать, что траектория качания маятника, которая в случае отсутствия вращения Земли неизменно лежала бы в одной и той же меридиональной плоскости испытывает отклонение под действием кориолисовой силы (вследствие «давления на правый берег»), а именно: при качании с юга на север – отклонение к востоку на угол $\frac{u \tau}{2}$ и при обратном движении – отклонение к западу на тот же угол; таким образом, общий угол отклонения равен $u \tau$.

Опыты, произведенные Фуко в 1851 г., а также опыты его многочисленных последователей, дали только качественные результаты; количественное же исследование всех источников погрешностей дал в своей диссертации в 1879 г. Камерлинг-Оннес (имя которого впоследствии приобрело широкую известность благодаря работам в области низких температур и открытию явления сверхпроводимости).