Эта задача отличается от задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, уже рассмотренной нами в § 11 (раздел 1), только

Рис. 25. Физический маятник. Точка подвеса $O$, центр тяжести $S$ и центр качаний $P$. Радиус инерции $a$ как среднее геометрическое между длиной маятника $l$ и расстоянием $s$ центра тяжести от точки подвеса тем, что здесь под внешними силами подразумеваются специально силы тяжести. Обозначим через $s$ расстояние между центром тяжести $S$ и неподвижной осью (здесь термин «центр тяжести» следует понимать в собственном смысле слова как «центр сил тяжести», тогда как обычно этим термином обозначают, строго говоря, «центр инерции»); через $\varphi$ – угол, образованный осью $O S$ с вертикалью (мы можем считать массу тела распределенной приблизительно симметрично относительно оси $O S$ ). Тогда полный момент (относительно оси $O$ ) сил тяжести, приложенных к отдельным элементам массы $d m$ (сумма которых равна массе маятника $m$ ), будет, очевидно, равен:
\[
M=-m g s \sin \varphi,
\]

и уравнение движения, согласно формуле (11.4), примет вид:
\[
\Theta \ddot{\varphi}=-m g s \sin \varphi .
\]

Из сравнения этого уравнения с уравнением движения (15.1) математического маятника получаем длину $l$ эквивалентного математического маятника, т.е. математического маятника, имеющего тот же период, что и данный физический маятник:
\[
l=\frac{\Theta}{m s} .
\]

Величина $l$ называется также «приведенной длиной» физического маятника.

Введем еще вместо $\Theta$ так называемый «радиус инерции» $a$, определяемый соотношением
\[
\Theta=m a^{2} .
\]

Таким образом, радиус инерции означает то расстояние от точки подвеса маятника $O$, на котором нужно сконцентрировать всю его массу $m$, чтобы получить тот же момент инерции $\Theta$, как и при истинном распределении масс. При этом следует обратить внимание на следующее противопоставление. При введении с помощью формулы (11.8) понятия «приведенной массы» задается радиус $r$, на котором должна быть помещена искомая масса $m_{\text {прив }}$; напротив, при нашем теперешнем определении «радиуса инерции» [уравнение (16.4)] задается масса $m$ и требуется найти расстояние $a$, на котором нужно поместить эту массу.

Из сравнения равенств (16.3) и (16.4) видно, что длина $a$ является средним геометрическим длин $s$ и $l$ :
\[
a^{2}=l \cdot s \text {. }
\]

Отложим из точки $O$ по оси маятника $O S$ приведенную длину маятника $l$. Полученная таким образом точка $P$ называется (по Гюйгенсу) центром качаний. На рис. 25 показано относительное расположение точек $O, S$ и $P$, а также отрезков $s, a$ и $l$.

Мы утверждаем далее, что точки $O$ и $P$ «взаимозаменяемы» (или, как часто говорят, $O$ и $P$ – «взаимно сопряженные точки»). До сих пор точка $O$ была точкой подвеса, а $P$ – центром качаний. Теперь сделаем $P$ точкой подвеса и покажем, что тогда точка $O$ станет центром качаний. В этом заключается идея оборотного маятника.

В приводимой таблице сопоставлены применявшиеся нами до сих пор обозначения:

Наше утверждение состоит в следующем:
\[
l_{P}=l \text {, т.е. точки } O^{\prime} \text { и } O \text { совпадают. }
\]

Для доказательства выразим $l_{P}$ с помощью надлежащим образом переписанных уравнений (16.3) и (16.4):
\[
l_{P}=\frac{\Theta_{P}}{m(l-s)}=\frac{a_{P}^{2}}{l-s} .
\]

Но, согласно уравнению (16.10), приведенному в добавлении,
\[
a_{P}^{2}=l(l-s) .
\]

Следовательно, правая часть равенства (16.6) действительно равна $l$.
Маятник является прибором для определения ускорения силы тяжести $g$ в различных точках земной поверхности или в недрах Земли. Так как практически мы не располагаем математическим маятником и так как для физического маятника невозможно точно вычислить момент инерции $\Theta$ (не только ввиду сложной формы маятника, но также ввиду возможной неоднородности его плотности), мы принуждены удовлетвориться экспериментальным определением его приведенной длины по методу оборотного маятника. Представьте себе на рис. 25 опорную призму (выступающую вперед из плоскости рисунка) не только у точки $O$, но также и у точки $P$ (ребром кверху); опора у точки $P$ может перемещаться с помощью микрометрического винта. Так как число колебаний за продолжительное время можно сосчитать чрезвычайно точно, то равенство и неравенство периодов колебаний маятника при точках опоры $O$ или $P$ можно установить точнейшим образом и, в случае необходимости, внести соответствующую поправку при помощи микрометрического винта.

Теорема об оборотном маятнике является первым примером весьма общих соотношений взаимности, справедливых во всех областях физики; вполне аналогична, например, взаимозаменяемость («сопряженность») точек «истока» инаблюдения» в акустике и электродинамике.
ДОБАВЛЕНИЕ: ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ ИНЕРЦИИ
Речь идет о теореме Штейнера; момент инерции тела относительно оси, проходящей через произвольную точку $O$, равен моменту инерции этого тела относительно параллельной оси, проходящей через его центр тяжести $S$, увеличенному на $m s^{2}$, где $s$ означает расстояние $O S$.

Если $y$ – рассматриваемое направление оси, а $x$ – направление от точки $O$ к $S$, то для некоторого элемента массы $d m$ имеем:
\[
r^{2}=x^{2}+z^{2} .
\]

При этом $x$ отсчитывается от точки $O$. Если же $x$ отсчитывать от точки $S$ и положить $O S=s$, как на рис. 25 , то
\[
r^{2}=(x+s)^{2}+z^{2}=x^{2}+z^{2}+2 x s+s^{2} .
\]

Отсюда, после суммирования по всем $d m$, следует:
\[
\Theta=\Theta_{S}+2 s \int x d m+m s^{2} .
\]

Средний член обращается в нуль [ср., например, уравнение (13.36)], если плоскость $x=0$ проходит через центр тяжести. Таким образом,
\[
\Theta=\Theta_{S}+m s^{2} \text {. }
\]

что и требовалось доказать.
Аналогично, принимая во внимание рис. 25, имеем:
\[
\Theta_{P}=\Theta_{S}+m(l-s)^{2} .
\]

Из соотношений (16.8) и (16.8a) следует:
\[
\Theta_{P}-\Theta=m l^{2}-2 m l s .
\]

Вместо этого на основании (16.4) можно написать:
\[
a_{P}^{2}-a^{2}=l^{2}-2 l s,
\]

и, подставляя $a^{2}$ из условия (16.5), окончательно получим
\[
a_{P}^{2}=l^{2}-l_{S}=l(l-s) .
\]

Это уравнение мы уже использовали выше [уравнение (16.6a)].