Инерцию тел можно понимать как сопротивление изменениям движения, или, короче, как силу инерции. Соответственно этому, определение силы инериии материальной точки будет
\[
\mathbf{F}^{*}=-\dot{\mathbf{G}},
\]

и основной закон движения $\dot{\mathbf{G}}=\mathbf{F}$ принимает вид:
\[
\mathbf{F}^{*}+\mathrm{F}=0 .
\]

Этот закон гласит: сила инерции векторно уравновешивает внешнюю силу.

В то время как $\mathbf{F}$ означает силу, определяемую физическими условиями, сила $\mathbf{F}^{*}$ является фиктивной силой. Мы вводим ее для того, чтобы свести вопросы движения к вопросам равновесия, что часто оказывается очень удобным.

Силы инерции хорошо известны нам из повседневной жизни. Приводя в движение тяжелую вертящуюся дверь, мы преодолеваем не силу тяжести или трение, а инерцию двери.

Самой известной формой силы инерции является центробежная сила, проявляющаяся при всяком криволинейном движении. Она также является фиктивной силой. Центробежная сила соответствует нормальному ускорению $\dot{v}_{n}$ криволинейного движения, которое направлено центростремительно (по направлению к центру кривизны). На основании уравнения (5.9) центробежная сила равна:
\[
Z=-m \dot{v}_{n}=-m \frac{v^{2}}{\rho},
\]

причем знак минус означает, что эта сила направлена наружу.
К силам инерции относятся также сила Кориолиса, или поворотная центробежная сила (см. §28), и гироскопические силы (см. §27).

Впрочем, «фиктивная» центробежная сила проявляется весьма реально, например, в железнодорожном движении. Превышение наружного рельса над внутренним на криволинейном участке пути подбирается всегда так, чтобы при средней скорости поезда равнодействующая силы тяжести и центробежной силы проходила как раз посредине между обоими рельсами. Этим устраняется не только опасность опрокидывания, но также и вредная односторонняя нагрузка одного из рельсов.

Удивительно, что Генрих Герц в прекрасном введении к своей «Механике» возражает против пользования понятием центробежной силы (Ges. Werke, Bd. III, S. 6):
«Мы вращаем по кругу камень на веревке; при этом мы ощутимо воздействуем на камень с некоторой силой. Эта сила непрерывно отклоняет камень от прямого пути; если мы изменяем эту силу, массу камня и длину веревки, то обнаруживаем, что движение камня действительно происходит в согласии со вторым законом Ньютона. Однако третий закон требует наличия силы, противодействующей той силе, которая передается нашей рукой камню. Ответ на вопрос об этой силе противодействия общеизвестен: говорят, что камень производит обратное действие на руку вследствие центробежной силы и что эта центробежная сила действительно точно равна, но противоположна по направлению силе нашего воздействия. Допустим ли этот способ выражения? Будет ли то, что мы теперь называем центробежной силой, чем-либо иным, чем инерция камня?».

На этот вопрос мы должны категорически ответить «нет»: согласно нашему определению (10.3), центробежная сила действительно есть то же самое, что и инерция камня. Но силой, противодействующей силе, с которой мы действуем на камень, или, точнее говоря, на веревку, является тянущее усилие, которое оказывает веревка на нашу руку.

Далее Герц пишет: «Нам не остается ничего иного, как заявить: центробежная сила не является силой в собственном смысле этого слова; этот термин так же, как термин «живая сила», имеет историческое происхождение, и сохранение его можно скорее извинить соображениями полезности, чем оправдать». По поводу этого замечания Герца мы хотели бы сказать, что термин «центробежная сила» не нуждается ни в каком оправдании, так как он так же, как и более общий термин «сила инерции», основан на ясном определении.

Впрочем, как раз эта мнимая неясность понятия силы побудила Герца построить его «Механику», освобожденную от этого понятия (см. §1), которая хотя и очень интересна, но мало плодотворна.

Переходим теперь к научному наследию Даламбера (математик, философ, астроном, физик, энциклопедист; его «Трактат по динамике» опубликован в 1758 г.).

Если материальная точка $k$, к которой приложена внешняя сила $F_{k}$, входит в состав произвольной механической системы, то к ней применимо не уравнение (10.2), а уравнение
\[
\mathbf{F}_{k}^{*}+\mathbf{F}_{k}+\sum_{l} \mathbf{R}_{i k}=0 .
\]

Здесь $\mathbf{R}_{i k}$ есть сила реакции, с которой действует на точку $k$ связанная с нею материальная точка $i$. Однако, как мы постулировали на стр. 73 , реакции $\mathbf{R}_{i k}$ в своей совокупности не производят никакой работы, как бы мы виртуально (т.е. без нарушения внутренних связей) ни перемещали систему. Поэтому и виртуальная работа всех сил $\left(\mathbf{F}^{*}+\mathbf{F}\right.$ ) тоже равна нулю:
\[
\sum_{k}\left(\mathbf{F}_{k}^{*}+\mathbf{F}_{k}, \delta \mathbf{s}_{k}\right)=0 .
\]

Принимая во внимание принцип виртуальной работы, можно сформулировать уравнение (10.5) в следующих словах: силы инериии находятся в равновесии со «сторонними» силами физического происхождения; при этом нам не нужно знать реакций.

Это и есть принци Даламбера в его наиболее естественной и простой формулировке. Чтобы придти к другой интересной формулировке этого принципа, рассмотрим величину
\[
\mathbf{F}_{k}+\mathbf{F}_{k}^{*}=\mathbf{F}_{k}-\dot{\mathbf{G}}_{k} .
\]

Она является той частью силы $\mathbf{F}_{k}$, которая не затрачивается на движение точки $k$. Мы назовем ее «потерянной силой» и сформулируем уравнение (10.5) следующим образом:

Совокупность действующих на систему потерянных сил находится в равновесии.

В учебниках очень распространена формулировка принципа Даламбера в прямоугольных координатах. Обозначим через $X_{k}, Y_{k}, Z_{k}$ слагающие силы $\mathbf{F}_{k}$, а слагающие $\delta \mathbf{s}_{k}$ через $\delta x_{k}, \delta y_{k}, \delta z_{k}$. Если, кроме того, вести расчет для постоянных масс $m_{k}$, то для системы, состоящей из $n$ материальных точек, можно написать вместо (10.5):
\[
\sum_{k=1}^{n}\left\{\left(X_{k}-m_{k} \ddot{x}_{k}\right) \delta x_{k}+\left(Y_{k}-m_{k} \ddot{y}_{k}\right) \delta y_{k}+\left(Z_{k}-m_{k} \ddot{z}_{k}\right) \delta z_{k}\right\}=0 .
\]

Но при этом необходимо подчинить $\delta x_{k}, \delta y_{k}, \delta z_{k}$ наложенным на систему связям. В общем случае неголономных связей нужно потребовать, в соответствии с уравнением (7.4), в котором мы заменяем обобщенные координаты $q$ прямоугольными, чтобы выполнялись соотношения:
\[
\sum_{\mu=1}^{n}\left[F_{\mu}\left(x_{1} \ldots z_{n}\right) \delta x_{\mu}+G_{\mu}\left(x_{1} \ldots z_{n}\right) \delta y_{\mu}+H_{\mu}\left(x_{1} \ldots z_{n}\right) \delta z_{\mu}\right]=0 .
\]

Таких условий для $\delta x, \delta y, \delta z$ имеется $3 n-f$, где $f$ есть число степеней свободы при бесконечно малом движении (ср. стр. 71). В случае голономных связей $F_{\mu}, G_{\mu}, H_{\mu}$ являются частными производными по $x_{\mu}, y_{\mu}, z_{\mu}$ одной и той же функции координат.

Мы хотели бы, однако, обратить особое внимание на то, что не следует усматривать в тяжеловесной формулировке (10.6), (10.6a) подлинное содержание принципа Даламбера. Значительно более удобно и, ввиду его инвариантной формы, более естественно уравнение (10.5) или эквивалентное ему условие равновесия.