Опишем прежде всего хорошо известное устройство карданова подвеса, при помощи которого можно произвести особенно наглядные опыты для иллюстрации теории волчка.

Рис. 47. Волчок в кардановом подвесе. Ось вращения внешнего кольца вертикальна, Ось вращения внутреннего кольца горизонтальна и направлена спереди назад, Ось вращения маховичка горизонтальна и направлена слева направо
Подвес состоит из двух колец – внешнего и внутреннего. Внешнее кольцо может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, укрепленной в стойке, а внутреннее кольцо
– вокруг горизонтальной оси, укрепленной во внешнем кольце. Во внутреннем кольце вращается маховичок на цапфах, ось которых перпендикулярна к оси вращения внутреннего кольца. На рис. 47 ось маховичка направлена перпендикулярно к плоскости внешнего кольца, вследствие чего плоскость внутреннего кольца расположена горизонтально. Назовем эту начальную установку прибора его нормальным положением.
На оси маховичка находится приспособление, позволяющее сообщить маховичку в его нормальном положении, при покоящихся внешнем и внутреннем кольцах, столь значительный момент вращения, что все явления, в основном, определяются именно этим моментом, в то время как массами внешнего и внутреннего колец можно пренебречь.

Во всех описываемых ниже опытах предполагается наличие значительного момента вращения маховичка и нормальное положение его в начале опыта.
1. Нажмем слегка на внутреннее кольцо в направления сверху вниз. Это кольцо не будет опускаться, но внешнее кольцо начинает вращаться так, что ось фигуры маховичка отклоняется вперед или назад (в горизонтальной плоскости), в зависимости от положения точки, в которой мы произвели давление. Вместо того, чтобы оказывать давление на внутреннее кольцо, можно односторонне нагрузить его небольшим грузом. Тогда волчок будет совершать регулярную прецессию до тех пор, пока его момент импульса будет достаточно велик, причем ось фигуры во время прецессии волчка будет оставаться горизонтальной.
2. Нажмем теперь на внешнее кольцо. Это кольцо остается неподвижным, внутреннее же кольцо начинает вращаться и отклоняется от своего горизонтального положения вверх или вниз, в зависимости от того, в каком направлении было произведено давление на внешнее кольцо. Даже сильный удар, сообщенный внешнему кольцу, не оказывает на него заметного действия. Мы увидим в этом случае лишь быстрое «коническое» маятникообразное движение оси фигуры вокруг оси, проходящей вблизи нормального положения. Прибор сделан настолько хорошо, что он может выдержать даже сильные удары кулаком.
3. Если давление на внешнее кольцо сохраняется и ось фигуры волчка при дальнейшем вращении внутреннего кольца приближается к вертикали, то «сопротивляемость» внешнего кольца непрерывно уменьшается. Теперь внешнее кольцо без труда может быть приведено в быстрое вращение, но только в направлении, соответствующем направлению первоначально произведенного давления. При попытке вызвать вращение внешнего кольца в противоположном направлении маховичок «переворачивается»: его ось фигуры стремится внезапно принять противоположное направление, причем внутреннее кольцо, очевидно, поворачивается на $180^{\circ}$. Хотя теперь мы можем беспрепятственно вызвать вращение внешнего кольца в новом (противоположном начальному) направлении, но попытка вынудить вращение этого кольца в первоначальном направлении снова вызовет «переворачивание» оси волчка.
4. В этих опытах проявляется обнаруженная Фуко тенденция к гомологичному, или одинаково направленному, параллелизму осей вращения. Вертикальное положение оси фигуры волчка устойчиво до тех пор, пока направление его вращения совпадает с направлением вращения внешнего кольца. В случае противоположного направления этих двух вращений вертикальное положение оси фигуры волчка в высшей степени неустойчиво, и эта ось стабилизируется лишь тогда, когда она примет противоположное направление, при котором имеет место гомологичный параллелизм обеих осей вращения. С помощью соответствующего ритмичного чередования давлений на внешнее кольцо можно вызвать беспрерывное «перекидывание» маховичка вокруг оси внутреннего кольца.
5. Если жестко скрепить внутреннее кольцо с внешним, т.е. лишить его подвижности, то «сопротивляемость» волчка исчезнет. Волчок будет без сопротивления поддаваться всякому давлению, произведенному на внешнее кольцо, как будто он вовсе не обладает моментом вращения. Типичные гироскопические эффекты наблюдаются только у волчка с тремя степенями свободы и отсутствуют у волчка с двумя степенями свободы. Можно, однако, возместить недостающую степень свободы, укрепив волчок на вращающемся диске, описанном на стр. 101, таким образом, чтобы ось внешнего кольца (прежде вертикальная) образовала с вертикальной осью вращающегося диска не слишком малый угол. В этом случае ось волчка с двумя степенями свободы устремится в направлении оси вращения диска (подобно тому, как стрелка компаса поворачивается в направлении Северного полюса), и притом так, чтобы угловые скорости вращения диска и волчка были параллельны и одинаково направлены ${ }^{1}$; направления движения обоих концов оси фигуры волчка при этом переходе в устойчивое положение определяются, очевидно, направлением вращения диска.
Все описанные явления – следствия основного закона (25.5):
\[
d \mathbf{N}=\mathbf{M} d t .
\]
1. При давлении на внутреннее кольцо момент $\mathbf{M}$ направлен горизонтально параллельно оси вращения внутреннего кольца. Момент импульса $\mathbf{N}$ на рис. 47 направлен вправо или влево, так что момент $\mathbf{M}$ отклоняет его в боковом направлении. Таким образом, если мы вправе
${ }^{1}$ Точнее, ось волчка установится в плоскости, проходящей через ось вращения диска и ось вращения внешнего кольца. Она установилась бы параллельно оси вращения диска, если бы, не скрепляя между собой внешнее и внутреннее кольца, закрепить внешнее кольцо на диске так, чтобы ось вращения внутреннего кольца была горизонтальна. (При.м. ред.)

допустить, что ось фигуры, первоначально совпадавшая с направлением момента импульса, непрерывно следует за ним, то боковое отклонение этой оси, а следовательно, и вращение внешнего кольца, получает весьма простое объяснение. Справедливость этого допущения при достаточно быстром вращении волчка будет нами обоснована, впрочем, только в $\S 35$ (см. приведенное там изложение теории псевдорегулярной прецессии).
2. При давлении на внешнее кольцо момент $\mathbf{M}$ направлен вертикально. Момент импульса, первоначально направленный горизонтально (вправо или влево), отклоняется, таким образом, вверх или вниз. Тем самым объяснено (при том же допущении, что и в п.1) вращение внутреннего кольца. При очень сильном ударе по внешнему кольцу наше допущение относительно того, что ось фигуры волчка следует за направлением вектора момента импульса, оказывается лишь приближенно правильным; в этом случае и возникает упомянутое выше «коническое» маятникообразное движение, которое характеризуется небольшим расхождением между осью фигуры и вектором момента импульса волчка.
3 и 4. Если момент импульса направлен почти вертикально, то вращение внешнего кольца в направлении, совпадающем с вращением маховичка, приводит к еще большему приближению оси вращения последнего к вертикали. В этом случае оба кольца и маховичок вращаются, как одно целое, вокруг вертикали. «Сопротивляемость» внешнего кольца исчезает. Напротив, при вращении внешнего кольца в противоположном направлении достаточно лишь незначительного отклонения оси вращения маховичка от вертикали, чтобы вызвать дальнейшее резкое удаление от нее; почти вертикальное положение оси маховичка оказывается неустойчивым по отношению к этому (негомологичному) вращению внешнего кольца.
5. При жестком скреплении внутреннего кольца с внешним ось вращения маховичка лишена возможности перемещаться в вертикальной плоскости под действием направленного по вертикали момента $\mathbf{M}$, вызванного вращением внешнего кольца. Поэтому вращение внешнего кольца передается всей системе. Это возможно потому, что усилия, возникающие при соответствующем горизонтальном перемещении оси вращения маховичка, благодаря жесткому соединению обоих колец, воспринимаются подшипниками внешнего кольца. Иначе обстоит дело при наличии вращающегося диска; здесь ось вращения маховичка может, по крайней мере отчасти, «следовать» за внешним моментом М, вследствие чего она устанавливается параллельно оси вращения диска.

Теперь остановимся на некоторых технических применениях теории гироскопа (волчка) ${ }^{1}$.
1. Прибор для стабилизации торпеды
По внешнему виду торпеда напоминает большую рыбу. В головной части торпеды помещается разрывной заряд, а за ним расположена камера со сжатым воздухом (пневматическая камера), служащая источником энергии для двигателей гироскопа и приборов бокового и глубинного управления, Затем следует машинное отделение для моторов, обеспечивающих с помощью винтов поступательное движение торпеды. В хвостовой части торпеды, непосредственно перед винтами, помещается представляющий для нас наибольший интерес прибор для стабилизации торпеды, изображенный на рис. 47. Он изобретен австрийским инженером Обри и служит для бокового (горизонтального) управления торпедой.

Прежде всего скажем несколько слов о сравнительно простом управлении по глубине. Торпеда должна двигаться в воде на определенной заранее установленной глубине. Для этого служит поршень, находящийся под действием давления воды. Если установленная глубина превышена, то давление воды переместит поршень назад, если же эта, глубина не достигнута, то поршень передвинется вперед. В обоих случаях поршень при помощи сжатого воздуха приводит в действие рули глубины, отклоняющие торпеду вверх или, соответственно, вниз. Ввиду этого, траектория торпеды в вертикальной плоскости представляет собой волнообразную линию, «вьющуюся» около горизонтали, проведенной на желаемой глубине.

Более трудным делом является боковое управление: несмотря на наличие водяных течений, торпеда должна сохранять начальное направление, полученное при выстреле. Для этого необходим прибор, способный независимо ориентироваться в пространстве. Этой способностью обладает гироскоп. В момент выстрела маховичок прибора Обри приводится в быстрое вращение. Благодаря этому внешнее кольцо оказывается фиксированным в пространстве, как это имело место в опы-
${ }^{1}$ Прекрасное элементарное изложение технических применений гироскопа можно найти в книге Е. Л. Николаи. Гироскоп, Гостехиздат, 1947. (Прим. ред.)

те 2 ; оно сохраняет свою ориентацию также и при боковом отклонении торпеды. В последнем случае корпус торпеды поворачивается относительно неподвижной плоскости внешнего кольца. Штифт, укрепленный на внешнем кольце (виден на рис. 47 слева вверху), приходит в соприкосновение с клапаном, укрепленным на корпусе торпеды; штифт открывает клапан и таким образом дает возможность сжатому воздуху привести в действие боковой руль, который и выправляет торпеду в боковом направлении. Таким образом, и в горизонтальной плоскости траектория торпеды имеет вид волнообразной линии, вьющейся около линии выстрела.

Заметим, что гироскоп действует здесь по отношению к боковому рулю в качестве прибора управления, а не в качестве непосредственного двигателя. Для последней цели, учитывая массивность торпеды, его мощность оказалась бы недостаточной.
2. Успокоитель качки корабля и аналогичные приборы
Бессемер (имя которого широко известно металлургам) около 1870 г. построил особую салон-каюту для судоходства на Ламанше. Эта каюта подвешивалась так, что могла свободно качаться вокруг продольной оси судна, и должна была стабилизироваться вращением маховика против боковой качки. Однако ось маховика жестко закреплялась в каюте, вследствие чего ему не хватало необходимой третьей степени свободы (ср. выше, опыт 5). Поэтому конструкция оказалась неудачной, и вскоре от нее пришлось отказаться.

Эта проблема, как и проблема уравновешивания масс (стр. 103), была успешно разрешена О.Шликом. Маховик (имеющий окружную скорость 150 м/сек, вес 5100 кг и диаметр 1,6 м) укрепляется в раме, которая, подобно маятнику, может качаться вокруг оси, расположенной поперек судна; при этом ось фигуры маховика колеблется в вертикальной плоскости продольного сечения судна. Эта рама соответствует внутреннему кольцу, а сам корпус судна – внешнему кольцу нашего демонстрационного волчка. Роль прежней (см. рис. 47) вертикали теперь играет продольная ось судна; прежним поворотам вокруг вертикали теперь соответствует боковая качка судна. Таким образом, необходимые три степени свободы представлены здесь боковой качкой, колебаниями рамы и собственным вращением маховика. При боковой качке ось фигуры маховика (расположенная в нормальном положении
вертикально) отклоняется вместе с рамой попеременно то вперед, то назад, причем энергия боковой качки судна превращается в кинетическую и потенциальную энергию рамы. Боковая качка судна и колебания рамы связаны друг с другом. В частном случае, когда оба соответствующих собственных колебания находятся в резонансе, имеют место соотношения, аналогичные соотношениям для симпатических маятников. Впрочем, этого еще недостаточно для «гашения» колебаний судна. Однако оказывается возможным поглотить энергию качаний рамы и, тем самым, энергию боковой качки корабля с помощью тормозов, действующих в опорных цапфах рамы подобно тому, как с помощью колесных тормозов уменьшают скорость вагона. При этом торможение рамы не должно быть настолько сильным, чтобы вообще ликвидировать отклонение оси гироскопа, ибо в этом случае мы снова имели бы дело с неэффективным волчком с двумя степенями свободы. Заснятые диаграммы боковой качки показывают, что действительно существует оптимальное среднее торможение: при включении гироскопа амплитуды колебания судна почти мгновенно уменьшались до $\frac{1}{10}-\frac{1}{20}$ первоначальной амплитуды, причем отклонения рамы составляли $30-40^{\circ}$.

Причина, почему этот успокоитель качки все же не нашел широкого применения, заключается отчасти в небезопасности конструкции (быстро вращающийся массивный маховик является опасным «пассажиром»), отчасти же в том, что нашелся еще более сильный «конкурент», именно успокоительная цистерна Фрама, действие которой основано на совершенно ином принципе.

С изложенной выше проблемой связана проблема стабилизации с помощью гироскопических эффектов установленной на корабле вращающейся платформы, например, для корабельных орудий. Мы не знаем, в какой мере разрешена эта проблема практически; работы в этой области проводятся, разумеется, уже давно и во всех странах.
3. Гирокомпас
Гирокомпас является весьма тонко и прекрасно разработанной конструкцией гироскопа. Идея гирокомпаса принадлежит Фуко. Доказав своими опытами с маятником вращение Земли (гл. V, §31), он решил добиться того же самого с помощью опытов с волчком. Из различных методов, примененных им для этой цели, упомянем замену магнитного компаса волчком с двумя степенями свободы, укрепленным в горизонтальной плоскости; вместо того, чтобы указывать на магнитный Северный полюс, этот волчок прямо указывает на полюс вращения Земли собственно кинематический Северный полюс. Это устройство мы по существу описали в п. 5 наших демонстрационных опытов, рассматривая помещенный на вращающемся диске волчок с закрепленным внутренним кольцом. Теперь вращающемуся диску соответствует вращающаяся Земля. Различие заключается только в том, что вращающемуся диску мы могли сообщить угловую скорость любой величины и поэтому получали резко выраженный эффект «установки» (ориентации) оси волчка, тогда как угловая скорость вращения Земли весьма мала, и поэтому установка «гироскопа Фуко» происходит крайне медленно. При описании опытов с волчком на вращающемся диске мы отмечали, что ось вращения внешнего кольца должна образовать с осью вращения диска не слишком малый угол. При рассмотрении вращения Земли этому углу соответствует дополнительный угол географической широты места наблюдения. На Северном и Южном полюсах Земли, где этот угол равен нулю, прекращается и «ориентирующее» действие волчка. Вообще, «ориентирующее» действие волчка пропорционально угловой скорости вращения Земли, моменту импульса волчка и синусу названного угла.

Опыты Фуко лишь указали на существование описанного эффекта. Полное же доказательство этого эффекта дал Герман Аншютц-Кемпф, пользовавшийся все более и более совершенными конструкциями гироскопа. Его первоначальной целью было достижение Северного полюса на подводной лодке под дрейфующим льдом. Ввиду того, что показания магнитного компаса вблизи Северного полюса становятся очень неточными, а внутри подводной лодки этот компас вовсе не пригоден, Аншютц решил воспользоваться волчком в качестве указателя направления. Правда, ему не удалось достичь Северного полюса, но в результате проводившихся им в продолжение многих лет опытов был создан весьма совершенный прибор, необходимый в судоходстве как в военное, так и в мирное время.

В отличие от гироскопа Фуко, волчок Аншютца не укреплен в горизонтальной плоскости, а приводитсн в эту плоскость действием собственного веса (подобно маятнику). В первоначальной конструкции прибора волчок плавал в сосуде с ртутью. Более поздние конструкции состояли из двух или трех волчков, действия которых взаимно усиливались и корригировались. Постоянство момента импульса волчка обеспечивается с помощью электрического привода. В последней конструкции Аншютца вся система заключена в шар, «плавающий» в другом шаре с малым зазором и почти без трения. Так как к прибору нельзя прикасаться в течение нескольких месяцев плавания, то необходимо было обеспечить наиболее целесообразную автоматическую смазку его осевых подшипников.

Особое значение имеют меры для устранения вредных влияний собственного движения судна. Когда судно идет по кривой или изменяет свою скорость, его гирокомпас, «связанный» (наподобие маятника) с горизонтальной плоскостью, подвергается действию возникающих сил инерции. Силы инерции оказывают давление на ось фигуры волчка и отклоняют ее в сторону, что должно вызвать ложные показания прибора. Можно показать, что собственное движение судна становится в этом отношении «безвредным», если период свободных колебаний стрелки компаса около меридиана совпадает с периодом качаний математического маятника с длиной, равной радиусу Земли
\[
R=\frac{2}{\pi} \cdot 10^{7} \mathcal{M},
\]

а именно:
\[
\tau=2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}=\sqrt{8 \pi} \cdot 10^{3} \text { сек. }=84,4 \text { мин. }
\]
(закон Шулера, обобщенный Глитчером) ${ }^{1}$. Интересным применением компаса Аншютца в мирных условиях является автоматическое гироскопическое управление океанских пароходов. Для того, чтобы судно могло следовать по своему курсу при наличии волн и морских течений, необходимо непрерывное внимание штурмана и соответствующее противодействие рулевой машины. Однако противодействие, оказываемое рулевой машиной морскому течению, всегда несколько запаздывает, вследствие чего судно вынуждено проходить излишние участки пути. Напротив, гирокомпас (ср. описание прибора для стабилизации торпеды) является весьма чувствительным прибором управления, воспринимающим внешние влияния значительно точнее и быстрее, чем человек, и притом прибором, срабатывающим мгновенно. Благодаря этим контрмерам, путь судна становится почти прямолинейным (строго говоря,
${ }^{1}$ Cм. «Wissensch. Vrröffentl. aus den Simenswerken», Bd.19,57 (1940).

проходящим по локсодромии), что означает значительную экономию энергии. Поэтому каждый более или менее крупный пассажирский пароход оборудуется теперь этим автоматическим рулевым устройством.

Дирижабли также оборудованы гирокомпасами, а самолеты «волчками-горизонтами».
4. Гироскопические эффекты у колес железнодорожных вагонов и велосипедов
Катящийся колесный стан железнодорожного вагона представляет собой гироскоп, момент импульса которого при быстром движении поезда может стать весьма значительным. Для того, чтобы при прохождении поезда по криволинейному пути отклонять упомянутый момент в положение, отвечающее нормали к кривой, необходим, согласно уравнению (27.1), вращающий момент $\mathbf{M}$, направленный в сторону движения поезда. Так как такого момента $\mathbf{M}$ нет, то в качестве «гироскопического эффекта» возникает противоположный момент, прижимающий колесный стан к наружному рельсу и отрывающий его от внутреннего рельса. Этот момент складывается с моментом центробежной силы относительно направления движения поезда (для уменьшения влияния центробежного момента придают наружному рельсу при укладке пути некоторое превышение над внутренним). Оба момента пропорциональны $m v \omega$, где $v$ – скорость движения поезда, $\omega$ – угловая скорость на кривой; величина $m$ в нашем случае является массой колесного стана, приведенной к окружностям колес, а в выражении центробежной силы – общей массой вагона, приходящейся на колесный стан. Таким образом, рассматриваемый гироскопический момент очень мал по сравнению с моментом центробежной силы; его можно было бы учесть незначительным дополнительным превышением наружного рельса над внутренним.

Бо́льшую опасность представ.ляют различные неравномерности в вертикальной укладке пути – «выбоины пути» (сюда относится также возрастающее и убывающее превышение наружного рельса в начале и в конце криволинейного участка пути).

Подобные неравномерности вызывают отклонение момента импульса в вертикальном направлении и, следовательно, противоположный момент относительно вертикали, стремящийся оторвать колесный стан от рельсов и в пределах зазора между ними прижимающий реборды колес попеременно то к одному, то к другому рельсу. Это явление действительно наблюдалось при пробных рейсах скоростных электропоездов. Для непрерывного контроля точности укладки рельсового пути пользуются испытательными вагонами, снабженными гироскопическими устройствами.

Велосипед представляет собой дважды неголономную систему, поскольку при пяти степенях свободы ${ }^{1}$ в конечной области он имеет только три степени свободы в бесконечно малой области (если не учитывать степеней свободы велосипедиста). Этими тремя степенями свободы являются: вращение заднего колеса в его мгновенной плоскости (с которым вращение переднего колеса связано условием его качения), вращение вокруг руля и совместное вращение обоих колес вокруг прямой, соединяющей их точки опоры. Как известно, устойчивость этой системы при достаточно большой скорости езды основана на том, что поворотом руля или непроизвольными движениями тела велосипедист вызывает соответствующие центробежные воздействия. Сама конструкция колес показывает, что их гироскопическое действие очень мало по сравнению с центробежным; для усиления гироскопического действия колеса нужно было бы снабдить его массивным ободом (а не делать его, как обычно, возможно более легким). Тем не менее, можно показать ${ }^{2}$, что даже эти слабые гироскопические эффекты колес способствуют повышению устойчивости велосипеда. Дело в том, что гироскопические силы, как и при автоматическом гироскопическом управлении судна, быстрее реагируют на понижение центра тяжести системы, чем центробежные силы: при малых колебаниях, которые нужно рассматривать при оценке устойчивости, гироскопические воздействия сдвинуты по фазе лишь на четверть периода, в то время как центробежные воздействия сдвинуты на половину периода по сравнению с колебаниями центра тяжести.
${ }^{1}$ Как колесо в задаче II.1.
${ }^{2}$ F. Klein и A. Sommerfeld, Theorie des Kreisels, H. IV, S. 880 и ff.
Конечно, для рассмотрения устойчивости велосипеда необходимо выключить оказываемое на него воздействие велосипедиста. Велосипедист должен ехать, не двигая ни руками, ни телом; его влияние на велосипед должно сказаться только весом его тела. В этом труде можно найти подробный материал также и о других применениях и о математическом обосновании теории волчка.

5. Деривация (отклонение вправо) снарядов

Из всех гироскопических проблем, возникающих в технике, баллистическая проблема ранее других подверглась математическому и экспериментальному исследованию (Даламбер, Эйлер, Пуассон, Магнус); однако и поныне ее решение остается, пожалуй, наименее полным. Дело в том, что она представляет собой не чисто динамическую, а динамически-гидродинамическую проблему. Действительно, решающую для баллистики величину силы сопротивления воздуха можно определить, строго говоря, только в связи и одновременно с движением снаряда, пользуясь основными уравнениями гидродинамики.

Существенным для траектории снаряда является получаемый им при выстреле момент вращения. Этот момент вращения является причиной того, что ось снаряда все время приблизительно следует за касательной к его траектории. Если бы момент вращения был слишком велик, то снаряд летел бы параллельно самому себе, т. е. направление его оси оставалось бы неизменным; если бы момент вращения был слишком мал, то снаряд повернулся бы своей осью перпендикулярно к траектории. В обоих случаях снаряд, если бы он даже и попал в цель, ударился бы не головной частью, а дном и потому не разорвался бы.

Перемещение вектора момента импульса снаряда вдоль касательной к траектории может происходить, согласно уравнению (27.1), только под действием момента $\mathbf{M}$, направленного преимущественно вертикально. Этот момент $\mathbf{M}$ может быть только моментом горизонтальной компоненты силы сопротивления воздуха, перпендикулярной к плоскости траектории ${ }^{1}$; эту компоненту мы обозначим через $W$. При этом, если пока не принимать во внимание знака, получим:
\[
M=W l,
\]

где $l$ – расстояние центра тяжести снаряда от точки приложения компоненты $W$. У снарядов обычной формы эта точка приложения силы $W$ расположена перед центром тяжести, т. е. между центром тяжести и головным заострением снаряда. Отсюда следует, что при правом вращении снаряда (когда вектор момента импульса направлен от донной
${ }^{1}$ Конечно, сила сопротивления воздуха по главной оси лежит в плоскости траектории и в основном имеет направление, противоположное направлению скорости полета. Таким образом, здесь речь идет о добавочном эффекте, вызванном не поступай тельным, а вращательным движением снаряда.

к головной части снаряда) сила $W$, если смотреть со стороны орудия, должна действовать слева направо; очевидно, что при таком направлении сила $W$ даст момент, вектор которого направлен сверху вниз, что и обеспечит понижение касательной к траектории, а значит, и следующего за ней вектора момента импульса снаряда. (При левом вращении снаряда как вектор момента импульса, так и векторы момента М и силы $W$ изменяют направления на противоположные.)

Однако действие этой компоненты $W$ сопротивления воздуха не исчерпывается тем, что она дает момент $\mathbf{M}$, влияющий на момент импульса снаряда (согласно закону момента импульса или закону площадей); эта сила оказывает и непосредственное влияние на форму траектории снаряда (в соответствии с законом импульса или законом движения центра тяжести). Отсюда (принимая во внимание направление силы $W$ ) мы делаем следующее заключение: правое вращение снаряда приводит к отклонению его траектории вправо (так называемая деривация), а левое вращение – ктклонению траектории влево. Назовем «вертикальной проекцией» проекцию траектории на вертикальную плоскость, проходящую через начальное направление полета снаряда, а «горизонтальной проекцией» траектории – проекцию на горизонтальную плоскость.

Запишем выражения закона площадей и закона движения центра тяжести для нашего случая (в приближенной форме); первое из этих уравнений относится к вертикальной проекции траектории, а второе к ее горизонтальной проекции.
\[
\begin{array}{c}
\left.N \frac{d \varepsilon}{d t}=W l \quad \text { (закон площадей }\right), \\
\left.m \frac{d^{2} s}{d t^{2}}=W \quad \text { (закон движения центра тяжести }\right) .
\end{array}
\]

В уравнении (27.3) $d \varepsilon$ означает мгновенное изменение направления касательной к траектории в вертикальной проекции; $N d \varepsilon$ – приближенная величина мгновенного приращения момента импульса [которое, собственно говоря, и должно входить в закон момента импульса; ср. уравнение (27.1)]. Таким образом, при написании уравнения (27.3) мы сделаем допущение, что момент импульса снаряда сохраняет свое значение $|\mathbf{N}| \sim N$ неизменным вдоль траектории, меняя только свое направление. В уравнении (27.4) $m$ – масса снаряда и $s$ – боковое отклонение его центра тяжести в горизонтальной проекции. Далее примем во внимание, что
\[
\frac{d \varepsilon}{d t}=\frac{d \varepsilon}{d s} \cdot \frac{d s}{d t}=\frac{d \varepsilon}{d s} v=\frac{v}{\rho},
\]

где $\rho$, согласно уравнению (5.10), означает радиус кривизны вертикальной проекции траектории в рассматриваемой точке. Поэтому уравнение (27.3) принимает вид
\[
W l=N \frac{v}{\rho} .
\]

Умножая уравнение (27.4) на $l$ и подставляя в него $W$ из уравнения (27.5), получим:
\[
\frac{d^{2} s}{d t^{2}}=\frac{N}{m l} \frac{v}{\rho} .
\]

Мы можем принять, что закон изменения скорости $v=v(t)$ вдоль траектории известен (получен с помощью измерений); действительно, весьма подробные данные о скорости полета снаряда можно найти в таблицах стрельбы, составленных для снарядов всех типов. Далее, разобьем вертикальную проекцию траектории на отдельные малые участки и для каждого из них мысленно построим соприкасающуюся параболу, соответствующую идеальной параболе (траектории брошенного тела в безвоздушном пространстве) для каждой скорости $v(t)$. Для такой параболы ускорение направлено вертикально вниз и равно $g$; при этом имеет место
\[
g=\frac{v^{2}}{\rho}, \quad \text { т.е. } \quad \frac{v}{\rho}=\frac{g}{v} .
\]

Это же значение $\frac{v}{\rho}$ мы приписываем и рассматриваемому участку вертикальной проекции действительной траектории снаряда; тогда из уравнения (27.6) окончательно получим для горизонтальной проекции траектории:
\[
\frac{d^{2} s}{d t^{2}}=\frac{N}{m l} \cdot \frac{g}{v(t)} .
\]

Отсюда с помощью таблиц стрельбы для $v(t)$ можно определить боковое отклонение траектории снаряда, например, путем графического интегрирования; при этом величина момента импульса $N$ определяется по длине хода нарезов в канале ствола и по начальной скорости снаряда. Для случая стрельбы на большие дистанции интегрирование уравнения (27.7) дает весьма значительные величины бокового отклонения траектории – до нескольких сот метров, что вполне согласуется с опытными данными.
ДОБАВЛЕНИЕ: МЕХАНИКА ИГРЫ НА БИЛЬЯРДЕ
Игра на бильярде представляет широкое поле для применения законов динамики твердого тела. Исследование этой игры связано с именем Кориолиса, одного из крупнейших ученых в области механики ${ }^{1}$.

Последующее изложение имеет своей главной целью пояснение некоторых задач, приводимых в конце книги. Эти задачи связаны не только с динамикой катящегося и скользящего шара, но также и с теорией трения на бильярдном сукне.
1. Высокие и низкие удары
Опытный игрок в бильярд почти всегда сообщает шару боковой удар – «эффе» (effet). Однако вначале мы рассмотрим удары без эффе, при которых кий ударяет по шару в его меридиональной плоскости и притом в горизонтальном направлении. Различают высокие и низкие удары.

Высокий удар имеет место, когда точка удара кия по шару находится от плоскости бильярдного сукна на расстоянии большем, чем $\frac{7}{5} a$ ( $a$ – радиус бильярдного шара); о низком же ударе говорят тогда, когда удар по шару приходится на расстоянии меньшем, чем $\frac{7}{5} a$ (cp. задачу IV. 3). Только в том случае, когда удар приходится в точности на высоте $\frac{7}{5}$ а от сукна, с самого начала имеет место частое качение шара. Дело в том, что при таком ударе (в соответствии с приведенной на стр. 88 величиной момента инерции шара) сообщаемое шару вращение как раз таково, что соответствующая ему окружная скорость в точке опоры шара в точности равна и противоположна по направлению скорости поступательного движения его центра тяжести, что и означает [ср. уравнение (11.10)] выполнение условия чистого качения.

При высоких ударах окружная скорость точки соприкосновения шара с сукном, обусловленная его вращением, направлена противоположно
${ }^{1}$ G.Coriolis, Theórie mathematique des effets du jeu de billard. Paris, 1835.

скорости центра тяжести шара и превышает последнюю по величине. Сила трения шара о сукно направлена, разумеется, в сторону, противоположную этому избытку скорости (окружная скорость минус скорость поступательного движения), а следовательно, увеличивает первоначальную скорость центра тяжести. При высоких ударах трение действует в направлении удара. Конечная скорость чистого качения, которая установится, когда излишек скорости будет поглощен трением, будет больше начальной скорости. Шары, которым сообщены высокие удары, катятся долго; высокие удары обычно свидетельствуют об опытности игрока.

При низких ударах окружная скорость в точке соприкосновения шара с сукном направлена либо назад (но тогда она меньше скорости поступательного движения), либо (при еще более низких ударах) вперед. В обоих случаях направление силы трения противоположно первоначальному направлению удара. Конечная скорость чистого качения меньше начальной скорости.

Что касается «силы удара» $S$ (измеряемой в динах-сек), то ее, конечно, следует понимать как интеграл по времени от весьма большой силы, действующей в направлении кия в продолжение очень короткого промежутка времени $\tau$ :
\[
S=\int_{0}^{\tau} F d t .
\]

В соответствии с этим момент силы удара относительно центра шара выражается формулой:
\[
S l=\int_{0}^{\tau} F l d t,
\]

где $l$ – расстояние от центра шара до оси кия; вектор этого момента перпендикулярен плоскости, проведенной через отрезок $l$ и ось кия. В случае рассматривавшихся до сих пор ударов без эффе этот вектор направлен горизонтально перпендикулярно к меридиональной плоскости шара.
2. Удар с накатом и удар с оттяжкой
Если шар, которому сообщен высокий удар ударяется центрально о другой шар, то, вследствие равенства масс, он передает этому второму шару всю скорость своего поступательного движения [ср. формулы (3.27a)]; при этом, однако, он сохраняет свое вращательное движение (если пренебречь трением обоих шаров за короткое время их соприкосновения). Таким образом, непосредственно после удара центр ударяющего шара мгновенно находится в состоянии покоя, в то время как его наинизшая точка скользит по бильярдному сукну. Возникающая при этом (постоянная во времени) сила трения действует в направлении первоначального поступательного движения; в то же время момент этой шли трения относительно центра шара замедляет сохранившееся у него вращение. Таким образом, шар выводится из состояния покоя, постепенно ускоряясь в своем поступательном движении, в то время как его вращение постепенно замедляется. Ускорение прекратится, когда окружная скорость точки касания шара с сукном сравняется со скоростью поступательного движения; после этого наступает чистое качение. Шар продолжает катиться с постоянной конечной скоростью (мы не принимаем во внимание весьма медленно действующего трения качения). Мы изложили теорию удара с накатом.

Равным образом, и шар, которому сообщен низкий удар, передает всю свою скорость движения (скорость центра тяжести) ударяемому шару и на мгновение остается в состоянии покоя. Примем, что удар по шару был очень низким и пришелся во всяком случае ниже его центра, так что окружная скорость в точке касания с сукном, остающаяся у шара после соударения, направлена вперед. В этом случае сила трения направлена назад. Шар начинает двигаться назад с постоянным ускорением, одновременно его вращение замедляется до тех пор, пока не наступит чистое качение. В этом состоит теория удара с оттяжкой.

Так как сила трения скольжения не зависит от скорости, то как скорость движения центра тяжести шара $v$, так и его окружная скорость $u=a \omega$ будут линейно изменяться во времени. Поэтому задачи, рассмотренные нами до сих пор, удобнее анализировать не с помощью формул, а графическим путем – с помощью диаграммы, на которой по оси абсцисс отложено время $t$, а по оси ординат – величины скоростей $v$ и $u$ в соответствующие моменты времени (см. задачу IV.3).
3. Удар с эффе в горизонтальном направлении (режущий удар)
Если шару сообщен удар не в средней вертикальной плоскости, а сбоку (справа или слева), то при горизонтальном направлении этого удара траектория шара будет по-прежнему прямой линией, совпадающей с направлением начального удара.

При ударе сбоку – справа или слева – плоскость момента силы удара наклонена вправо или влево по отношению к продольной меридиональной плоскости (назовем ее $F$ ), однако так, что нормаль к ней лежит в поперечной меридиональной плоскости, перпендикулярной к плоскости $F$. По этой нормали и направлен вектор момента удара. Этот вектор момента можно разложить на две слагающие: вертикальную и поперечную, горизонтальную. Первая из них вызывает вращение шара относительно вертикального диаметра и обусловливает слабое «сверлящее» трение о сукно; однако это трение не оказывает влияния на траекторию шара. С другой стороны, поперечная слагающая момента удара оказывает на шар такое же действие, как при ударах, рассмотренных в пп. 1 и 2 настоящего добавления, так что соответствующие результаты можно целиком распространить и на рассматриваемые здесь удары сбоку. В частности, траектория и теперь остается прямолинейной.

Однако вращение шара относительно вертикального диаметра проявляется при соударении шара с бортом бильярда или с другим шаром. В первом случае возникает трение о борт бильярда, отклоняющее шар вправо (если смотреть со стороны игрока) при боковом ударе справа, и влево – при ударе слева. Вследствие этого угол отражения (который в случае прямого удара равен углу падения) изменяется и притом так, что траектория отраженного шара оказывается повернутой относительно «нормальной» траектории (в направлении бокового вращения шара). Это явление знакомо всякому игроку в бильярд. Одновременно с силой трения возникает момент трения относительно вертикали, замедляющий вращение шара вокруг вертикального диаметра. Таким образом, по мере увеличения числа соударений шара его первоначальное боковое вращение все более и более замедляется, что также знакомо всякому игроку.

При соударении двух шаров боковое вращение оказывает такое же действие (и в том же направлении), как при ударе шара о борт бильярда.
4. Параболическая траектория при ударах с вертикальной слагающей

При наличии у силы удара вертикальной слагающей плоскость момента силы удара наклонена (относительно продольной меридиональной плоскости) не только вбок, как и п. 3 , но и вперед (если смотреть со стороны игрока). Поэтому соответствующий вектор момента силы удара имеет, кроме поперечной и вертикальной слагающих, еще и слагающую в направлении удара, которой отвечает добавочная скорость скольжения точки опоры, перпендикулярная к направлению первоначального движения. Поэтому сила трения, направление которой противоположно результирующей скорости скольжения точки опоры шара, образует некоторый угол с направлением начального движения. Выяснив (ср. задачу IV.4), что этот угол при движении шара остается постоянным, и принимая во внимание, что величина силы трения также постоянна, мы приходим к заключению: траектория шара должна быть лежащей в горизонтальной плоскости параболой, поскольку движение его происходит под действием одной единственной силы, постоянной по величине и направлению (теорема И. А. Эйлера, сына великого Леонарда Эйлера).

Траектории подобного рода вызывают крайнее недоумение у игрока, не имеющего полного представления о законах трения и векторном разложении момента импульса на составляющие. Такими ударами пользуются в особенности тогда, когда оба шара, которые должны столкнуться, находятся на разных концах короткой стороны бильярда. При этом вертикальная слагающая силы удара должна быть весьма значительной, т.е. кий должен быть расположен под малым углом к вертикали.