V.1. Относительное движение на плоскости. Допустим, что плоскость вращается с переменной угловой скоростью $\omega$ вокруг неподвижной точки $O$ (ось вращения – нормаль к плоскости в точке $O$ ).

Какие добавочные силы, помимо центробежной силы, нужно приложить к материальной точке, чтобы уравнения движения ее во вращающейся плоскости приняли ту же форму, что и в инерциальной системе неподвижной плоскости? Целесообразно ввести комплексные переменные $x+i y$ в неподвижной плоскости и $\xi+i \eta$ во вращающейся плоскости.
V.2. Движение вращающейся материальной точки по вращающейся прямой. Материальная точка движется (без трения) в вертикальной плоскости по прямой, которая в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг неподвижной горизонтальной оси. Выразить движение материальной точки по вращающейся прямой в функции времени $[r=r(t)-$ расстояние от оси вращения]. Показать, что реакция связи (давление на направляющую) и взятая вдоль нее компонента земного притяжения как раз уравновешиваются кориолисовой силой.
V.3. Сани как простейший пример неголономной системы. [По Каратеодори: Z. angew. Math. Mech., 13, 71 (1933).] Сани рассматриваются как жесткая плоская система с тремя степенями свободы в конечной области и с одной степенью свободы в бесконечно малой окрестности (cp. задачу II.1.: катящееся колесо обладало пятью степенями свободы в конечной области и тремя в бесконечно малой).

Трение скольжения по снегу можно не принимать во внимание (или, например, можно представить себе, что оно постоянно уравновешивается силой тяги лошади). Однако нужно учесть трение $R$, которое оказывает снежная колея на полозья в перпендикулярном к ним направлении; эта сила трения препятствует всякому боковому движению полозьев. Сосредоточим эту (распределенную) силу трения в какой-либо одной точке.

Неподвижно свяжем с санями систему координат $\xi, \eta$. Пусть ось $\xi$ проходит по средней линии полозьев через центр тяжести саней $S$ (его координаты $\xi=a, \eta=0$ ), а ось $\eta$ – через точку приложения силы трения $R$. Пусть горизонтальная поверхность снега является плоскостью $x, y$. Введем обозначения: $\varphi$ – угол между осями $\xi$ и $x, \omega=\dot{\varphi}-$ мгновенная угловая скорость вращения саней вокруг вертикали; $M$ – масса, $\Theta$ – момент инерции саней относительно вертикали, проходящей через центр тяжести; $u, v-$ компоненты скорости точки $O(\xi=\eta=0)$ по осям $\xi$ и $\eta$.
a) Вывести по методу комплексной переменной (см. задачу V.1) систему трех дифференциальных уравнений для величин $u, v, \omega$, беря $R$ за внешнюю силу.
б) Упростив эти уравнения путем введения неголономной связи $v=0$, определить из них $R$.
в) Проинтегрировать эти уравнения, введя вместо угла поворота $\varphi$ пропорциональный ему вспомогательный угол.
г) Убедиться в том, что кинетическая энергия саней остается постоянной (сила $R$ действует «безваттно», т.е. не производит работы).
д) Показать, что при надлежащем выборе начала отсчета времени траектория точки $O$ в плоскости $x y$ имеет при $t=0$ острие, а при $t \rightarrow \pm \infty$ стремится к асимптотам, как это показано на рис. 57 , заимствованной у Каратеодори.
Рис. 57. Траектория саней по Каратеодори при различных значениях $k$