Статика твердого тела является теоретической основой расчета всех строительных конструкций (мостов, ферм, куполов и т. д.) и поэтому весьма подробно излагается (аналитически и графически) в учебниках прикладной механики. Здесь мы можем ограничиться изложением лишь основных черт этой части механики.
1. Условия равновесия
Основным принципом, на котором основано рассмотрение условий равновесия твердого тела так же, как и всех других вопросов теории равновесия, является принцип виртуальной работы. Он является частным случаем принципа Даламбера, из которого его можно получить, отбрасывая силы инерции. В связи с этим рассуждения, приводимые в настоящем параграфе, являются непосредственным следствием закона движения центра тяжести и закона площадей, разобранных в $\S 13$. Следует также отметить, что рассмотренные там виртуальные перемещения (параллельный перенос и поворот), очевидно, не противоречат неизменяемости формы твердого тела и соответствуют рассмотренным в предыдущем параграфе поступательному движению и вращению двум составным частям произвольного движения твердого тела.

Таким образом, отбрасывая силы инерции, мы получаем из (13.3) и (13.9) общие условия равновесия твердого тела:
\[
\sum \mathbf{F}_{k}=0, \quad \sum \mathbf{M}_{k}=0 .
\]

Здесь $\mathbf{F}_{k}$ – внешние силы, приложенные к каким-либо точкам $P_{k}$ твердого тела. Для интерпретации первого уравнения (23.1) построим силовой многоугольник из векторов сил, не учитывая их точек приложения $P_{k}$ и располагая эти векторы в любой последовательности. Согласно первому уравнению (23.1), этот многоугольник в случае равновесия должен быть замкнутым.

Величины $\mathbf{M}_{k}$ – моменты сил $\mathbf{F}_{k}$ относительно одной и той же для всех сил, но в остальном совершенно произвольной «точки отсчета» $O$. В соответствии со вторым уравнением (23.1), заменяем эти моменты сил $\mathbf{M}_{k}$ их векторными изображениями (ср. стр. 56) и строим из них многоугольник моментов. Согласно второму уравнению (23.1), многоугольник моментов в случае равновесия должен быть также замкнутым.

По аналогии с уравнениями (13.12) и (13.13) мы можем перейти от двух векторных уравнений к следующим шести скалярным уравнениям для слагающих векторов $\mathbf{F}_{k}$ и $\mathbf{M}_{k}$.
\[
\left.\begin{array}{c}
\sum X_{k}=\sum Y_{k}=\sum Z_{k}=0, \\
\sum\left(y_{k} Z_{k}-z_{k} Y_{k}\right)=\sum\left(z_{k} X_{k}-x_{k} Z_{k}\right)= \\
=\sum\left(x_{k} Y_{k}-y_{k} X_{k}\right)=0 .
\end{array}\right\}
\]

Эти уравнения получаются при проектировании векторных уравнений (23.1) на оси координат; $x_{k}, y_{k}, z_{k}$ – координаты точек приложения сил, причем за начало координат взята «точка отсчета» $O$.
2. Эквивалентность сил и моментов. Приведение системы сил
Если силы (моменты) не находятся в равновесии, то можно задать вопрос: существует ли одна сила (один момент), обладающая тем свойством, что она вызывает точно такое же движение твердого тела, как и вся заданная система сил (моментов)?

Такая постановка вопроса, между прочим, полезна (хотя и недостаточна) при определении сил реакций, которые испытывает твердое тело со стороны своих точек опоры, если к нему приложена система сил, не находящихся в равновесии друг с другом.

Ответ на этот вопрос мы получим, если проведем отрезок, замыкающий ломаную линию (по предположению, незамкнутую), составленную из векторов сил $\mathbf{F}_{1}, \mathbf{F}_{2}, \ldots, \mathbf{F}_{n}$, входящих в нашу систему. Этот замыкающий отрезок мы проведем дважды: как в направлении обхода силового многоугольника (сила $\mathbf{F}_{n+1}$ на рис. 41), так и в противоположном направлении (равнодействующая сила $\mathbf{F}_{r}$ ), причем, очевидно, прибавление этих двух равных и противоположно направленных сил никак не изменит действия заданной системы сил. Мы получим замкнутый силовой многоугольник $\mathbf{F}_{1}, \ldots, \mathbf{F}_{n+1}$ и одиночную силу $\mathbf{F}_{r}$, которые вместе взятые эквивалентны первоначальному многоугольнику $\mathbf{F}_{1}, \ldots, \mathbf{F}_{n}$. Но так как силы $\mathbf{F}_{1}, \ldots, \mathbf{F}_{n+1}$ образуют систему уравновешивающих друг друга сил и потому могут быть отброшены, то уже одна сила $\mathbf{F}_{r}$ вполне эквивалентна всей заданной системе сил $\mathbf{F}_{1}, \ldots, \mathbf{F}_{n}$. Таким образом,
\[
\mathbf{F}_{r}=\sum_{k=1}^{n} \mathbf{F}_{k} .
\]

Точно такое же рассуждение можно привести и в отношении незамкнутого многоугольника моментов. Тогда получим равнодействующий момент $\mathbf{M}_{r}$, эквивалентный всей заданной системе моментов $\mathbf{M}_{1}, \mathbf{M}_{2}, \ldots, \mathbf{M}_{n}$ :
\[
\mathbf{M}_{r}=\sum_{k=1}^{n} \mathbf{M}_{k} .
\]

Заметим, что ничто не препятствует нам приложить равнодействующую силу $\mathbf{F}_{r}$, как это показано на рис. 41 , к точке $O$, относительно которой берутся моменты $\mathbf{M}_{r}{ }^{1}$.
${ }^{1}$ Эту точку $O$ часто называют центром приведения системы сил. Очевидно, ее можно выбрать вполне произвольно. (Прим. ред.)

3. Изменение точки отсчета

Уравнение (23.3) непосредственно показывает, что равнодействующая сила $\mathbf{F}_{r}$ не зависит от выбора точки отсчета $O$. Если $\mathbf{F}_{r}^{\prime}$ означает равнодействующую силу, соответствующую выбору другой точки отсчета $O^{\prime}$, то
\[
\mathbf{F}_{r}^{\prime}=\mathbf{F}_{r} .
\]

С другой стороны, по аналогии с уравнением (23.4), имеем ( $\mathbf{M}_{r}^{\prime}$ – равнодействующий момент относительно точки $O^{\prime}$ ):
\[
\mathbf{M}_{r}^{\prime}=\sum \mathbf{M}_{k}^{\prime}, \quad \text { где } \quad \mathbf{M}_{k}^{\prime}=\left[\mathbf{r}_{k}^{\prime} \mathbf{F}_{k}\right] .
\]

Здесь $\mathbf{r}_{k}^{\prime}$ – радиус-вектор, проведенный из точки $O^{\prime}$ в точку приложения $P_{k}$ силы $\mathbf{F}_{k}$. Если обозначить через а вектор, проведенный от точки $O^{\prime}$ к точке $O$, то
\[
\mathbf{r}_{k}^{\prime}=\mathbf{a}+\mathbf{r}_{k}, \quad \mathbf{M}_{k}^{\prime}=\left[\mathbf{a F}_{k}\right]+\left[\mathbf{r}_{k} \mathbf{F}_{k}\right]=\left[\mathbf{a F}_{k}\right]+\mathbf{M}_{k} .
\]

Следовательно,
\[
\mathbf{M}_{r}^{\prime}=\sum\left[\mathbf{a} \mathbf{F}_{k}\right]+\sum \mathbf{M}_{k}=\left[\mathbf{a} \sum \mathbf{F}_{k}\right]+\mathbf{M}_{r} .
\]

Согласно уравнению (23.3), имеем:
\[
\left[\mathbf{a} \sum \mathbf{F}_{k}\right]=\left[\mathbf{a F}{ }_{r}\right] .
\]

Таким образом, искомое соотношение имеет вид
\[
\mathbf{M}_{r}^{\prime}=\mathbf{M}_{r}+\left[\mathbf{a F}_{r}\right] .
\]
4. Сравнение кинематики со статикой

Как уже отмечалось в связи с уравнением (22.2), в кинематике угловая скорость вращения $\boldsymbol{\omega}$ не зависит, а скорость поступательного движения и зависит от выбора начала отсчета. Имеем:
\[
\boldsymbol{\omega}^{\prime}=\boldsymbol{\omega}
\]

и, согласно формуле (22.7), полагая $\mathbf{v}=\mathbf{u}^{\prime}$ и $\mathbf{r}=\mathbf{a}$,
\[
\mathbf{u}^{\prime}=\mathbf{u}+[\boldsymbol{\omega} \mathbf{a}] .
\]

Эта формула имеет такой же вид, как и предшествующее уравнение (23.7) (с точностью до порядка сомножителей в соответствующих векторных произведениях). Таким образом, принимая во внимание также соотношения (23.5) и (23.8), приходим к удивительной обратимости уравнений статики и кинематики; ее можно выразить приводимой ниже схемой. Эта «перекрестная» обратимость сохраняет силу также и для понятий «пара сил» и «пара угловых скоростей».

Пара сил является основным понятием элементарной статики. Как известно, под парой сил понимают две параллельные противоположно направленные силы $\pm \mathbf{F}$, линии действия которых находятся на конечном расстоянии $l$ друг от друга. Приведение такой пары сил, наполненное по правилу раздела 2 настоящего параграфа, дает:
\[
\mathbf{F}_{r}=0, \quad \mathbf{M}_{r}=\mathbf{M}, \quad|\mathbf{M}|=|\mathbf{F}| l,
\]

причем вектор момента $\mathbf{M}$ направлен по перпендикуляру к плоскости пары сил. Но в то время как прежний равнодействующий момент $\mathbf{M}_{r}$ был «привязан» к точке отсчета $O$, теперь момент $\mathbf{M}$ не зависит от положения точки отсчета и может совершенно свободно перемещаться в пространстве параллельно самому себе. Таким образом, любые две пары сил складываются путем векторного сложения их моментов и дают при этом третью пару сил; две пары сил с равными, но противоположными по направлению моментами, действующие в параллельных плоскостях, взаимно уравновешиваются и т. д.

Следуя «перекрестной» обратимости, выражаемой нашей схемой, мы понимаем под парой угловых скоростей две равные, но противоположно направленные угловые скорости вращения $\pm \omega$, причем соответствующие оси вращения расположены параллельно на расстоянии $l$ друг от друга. Приведение такой нары угловых скоростей по правилу сложения (22.5) дает результирующую угловую скорость вращения $\omega_{r}=0$. Таким образом, наша пара угловых скоростей сообщает телу чистое поступательное движение по перпендикуляру к плоскости, проходящей через обе оси вращения. Скорость этого поступательного движения можно легко определить, а именно: $|\mathbf{u}|=\omega l$. Таким образом, здесь имеется полная аналогия с формулами (23.10) в смысле соблюдения нашей «перекрестной» схемы обращения. Но в то время как прежняя скорость $\mathbf{u}$ зависела от выбора начала отсчета $O$, скорость $\mathbf{u}$, эквивалентная паре угловых скоростей, совершенно не зависит от выбора точки $O$ и может произвольно перемещаться в пространстве параллельно самой себе. Из этого далее следует: две произвольно расположенные пары угловых скоростей складываются векторно, как и скорости и соответствующих им поступательных движений; две пары угловых скоростей с равными, но противоположно направленными моментами $\pm \omega l$, расположенные в параллельных плоскостях, взаимно уравновешиваются и т.д.
ДОБАВЛЕНИЕ: О ДИНАМАХ И ВИНТАХ
Так как, согласно формуле (23.7), $\mathbf{M}_{r}$ зависит от выбора точки отсчета, относительно которой этот момент рассматривается, то целесообразно выбрать эту точку $\left(O^{\prime}\right)$ так, чтобы векторы $\mathbf{M}_{r}$ и $\mathbf{F}_{r}$ были параллельны друг другу. В этом случае говорят, что система сил приведена к динаме, т.е. к совокупности равнодействующей силы и действующего «вокруг» этой силы момента (этот момент эквивалентен паре сил, плоскость которой перпендикулярна к равнодействующей силе). Исходя из произвольной точки отсчета $O$, находим положение точки $O^{\prime}$, необходимое для приведения системы к динаме, следующим образом: в уравнении (23.7) разложим момент $\mathbf{M}_{r}$ на две слагающие: $\mathbf{M}_{p}$, параллельную $\mathbf{F}_{r}$, и $\mathbf{M}_{n}$, перпендикулярную $\mathbf{F}_{r}$; далее, определяем $\mathbf{a}$ из условия
\[
\mathbf{M}_{n}=-\left[\mathbf{a F}_{r}\right] .
\]

Тогда для точки отсчета $O^{\prime}$, согласно соотношениям (23.5) и (23.7), получим:
\[
\mathbf{F}_{r}^{\prime}=\mathbf{F}_{r}, \quad \mathbf{M}_{r}^{\prime}=\mathbf{M}_{p} \| \mathbf{F}_{r},
\]

как и должно быть в случае динамы. Из условия (23.11) следует, что для получения динамы нужно передвинуть точку отсчета $O$ перпендикулярно к векторам $\mathbf{F}_{r}$ и $\mathbf{M}_{n}$ на отрезок
\[
a=-\frac{\left|\mathbf{M}_{n}\right|}{\left|\mathbf{F}_{r}\right|} .
\]

Совершенно аналогичное рассуждение, в полном согласии с нашей схемой обращения, приводит нас к понятию винта. Исходя из уравнения (23.9), разложим скорость $\mathbf{u}$ на две слагающие: $\mathbf{u}_{p}$, параллельную вектору $\boldsymbol{\omega}$, и $\mathbf{u}_{n}$, перпендикулярную к $\boldsymbol{\omega}$. Определяем необходимое смещение а начала отсчета $O$ из условия
\[
\mathbf{u}_{n}=-[\boldsymbol{\omega} \mathbf{a}]
\]

и, согласно формулам (23.8) и (23.9), получаем для нового начала отсчета $O$ :
\[
\boldsymbol{\omega}^{\prime}=\boldsymbol{\omega}, \quad \mathbf{u}^{\prime}=\mathbf{u}_{p} \| \boldsymbol{\omega},
\]

что действительно соответствует винту. Из уравнения (23.12) следует, что для приведения движения к винту нужно передвинуть начало отсчета $O$ перпендикулярно к $\boldsymbol{\omega}$ и $\mathbf{u}_{n}$ на определенный отрезок $\mathbf{a}$.

Как ни привлекательно представление системы сил и движений с помощью динамы и винта, все же оно не имеет большого практического значения при изучении специальных вопросов вращательного движения; поэтому мы и упоминаем об этих понятиях ёлишь в виде добавления.