Отклонения тяжелого и легкого маятников (обозначим их соответственно $X$ и $x$ ) рассматриваются как малые величины, так что по-прежнему можно пренебрегать различием между дугой окружности и касательной. В соответствии с этим, также и углы отклонения $\varphi$ и $\psi$ (на рис. $38 \psi$ соответствует относительному отклонению $x-X$ ) должны считаться малыми. Таким образом, мы можем принять:
\[
\left.\begin{array}{c}
\sin \varphi=\varphi=\frac{X}{L}, \sin \psi=\psi=\frac{x-X}{l} \\
\sin (\psi-\varphi)=\psi-\varphi=\frac{x-X}{l}-\frac{X}{L}, \\
\cos \varphi=\cos \psi=\cos (\varphi-\psi)=1 .
\end{array}\right\}
\]

На верхний маятник действует, кроме его веса, сила натяжения нити нижнего маятника ${ }^{1}$
\[
S \cong m g \cos \psi
\]

которая дает слагающую силы по направлению движения тяжелого маятника, равную $-m g \cos \psi \sin (\varphi-\psi)$. Поэтому уравнения движения примут следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{c}
M \ddot{X}=-M \frac{g}{L} X+m g\left(\frac{x-X}{l}-\frac{X}{L}\right), \\
m \ddot{x}=-m \frac{g}{l}(x-X)
\end{array}\right\}
\]

или, если их переписать в более удобной форме,
\[
\begin{array}{c}
\ddot{X}+\left(\frac{g}{L}+\mu \frac{g}{l}+\mu \frac{g}{L}\right) X=\mu \frac{g}{l} x, \\
\ddot{x}+\frac{g}{l} x=\frac{g}{l} X .
\end{array}
\]

С этого момента мы примем $L=l$ и введем обозначение
\[
\omega_{0}^{2}=\frac{g}{l} .
\]
${ }^{1} \mathrm{~B}$ приводимом здесь элементарном изложении натяжение $S$ является наглядной вспомогательной величиной; когда мы позднее будем рассматривать ту же самую проблему по общему методу Лагранжа, введение $S$ станет излишним. Приведенное в тексте значение $S$ получено на основе следующих соображений: сила натяжения нити легкого маятника находится в равновесии с его весом и силой инерции, одной из слагающих которой является центробежная сила. Однако центробежной силой, как величиной второго порядка малости, можно пренебречь. Поэтому $S=m g \cos \psi$, как и указано выше.

При этом уравнения движения (21.3) примут вид:
\[
\left.\begin{array}{c}
\ddot{X}+\omega_{0}^{2}(1+2 \mu) X=\mu \omega_{0}^{2} x \\
\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=\omega_{0}^{2} X .
\end{array}\right\}
\]

Из этих уравнений движения видно, что верхний маятник связан с нижним в $\frac{1}{\mu}$ раз слабее, чем нижний маятник с верхним.

Чтобы проинтегрировать уравнение (21.5), мы должны по аналогии с (20.11) положить
\[
x=A e^{i \lambda t} ; \quad X=B e^{i \lambda t} .
\]

Подставляя эти выражения в уравнения (21.5) и сокращая, получим:
\[
\left.\begin{array}{c}
A\left(\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}\right)=B \omega_{0}^{2}, \\
B\left[\omega_{0}^{2}(1+2 \mu)-\lambda^{2}\right]=A \mu \omega_{0}^{2} .
\end{array}\right\}
\]

В каждом из этих уравнений выразим $\frac{B}{A}$ через остальные величины. Приравнивая друг другу найденные выражения, получим квадратное уравнение относительно $\lambda^{2}$ :
\[
\left(\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}\right)^{2}+2 \mu \omega_{0}^{2}\left(\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}\right)=\mu \omega_{0}^{4} .
\]

Обозначим корни этого уравнения через $\lambda^{2}=\omega^{2}$ и $\lambda^{2}={\omega^{\prime}}^{2}$. Пренебрегая более высокими степенями малой величины $\mu$, легко найдем:
\[
\left.\begin{array}{c}
\omega \\
\omega^{\prime}
\end{array}\right\}=\omega_{0}\left(1 \pm \frac{1}{2} \sqrt{\mu}\right) .
\]

Следовательно, общее решение уравнений (21.5), написанное в действительной форме, имеет следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{c}
x=a \cos \omega t+b \sin \omega t+a^{\prime} \cos \omega^{\prime} t+b^{\prime} \sin \omega^{\prime} t, \\
X=\gamma a \cos \omega t+\gamma b \sin \omega t+\gamma^{\prime} a^{\prime} \cos \omega^{\prime} t+\gamma^{\prime} b^{\prime} \sin \omega^{\prime} t .
\end{array}\right\}
\]

Здесь, как и в $\S 20, \gamma$ и $\gamma^{\prime}$ являются значениями отношения $\frac{B}{A}$, которые получаются из уравнений (21.7) при подстановке в них соответственно $\lambda^{2}=\omega^{2}$ и $\lambda^{2}={\omega^{\prime}}^{2}$, а именно:
\[
\gamma=-\sqrt{\mu}, \quad \gamma^{\prime}=+\sqrt{\mu},
\]

откуда
\[
\gamma^{\prime}-\gamma=2 \sqrt{\mu} .
\]

Пусть в момент $t=0$ возбуждение характеризуется условиями
\[
x=0, \quad \dot{x}=0, \quad X=0, \quad \ddot{X}=C .
\]
(Эти равенства являются начальными условиями.) Отсюда следует:
\[
\begin{array}{l}
\left.\begin{array}{c}
a+a^{\prime}=0 \\
\gamma a+\gamma^{\prime} a^{\prime}=0
\end{array}\right\} a=a^{\prime}=0 \\
\left.\begin{array}{c}
\omega b+\omega^{\prime} b^{\prime}=0 \\
\gamma \omega b+\gamma^{\prime} \omega^{\prime} b^{\prime}=C
\end{array}\right\} b=\frac{C}{\omega\left(\gamma-\gamma^{\prime}\right)} ; b^{\prime}=\frac{C}{\omega^{\prime}\left(\gamma^{\prime}-\gamma\right)} . \\
\end{array}
\]

Таким образом, окончательные решения принимают вид:
\[
\left.\begin{array}{c}
x=\frac{C}{\gamma-\gamma^{\prime}}\left(\frac{\sin \omega t}{\omega}-\frac{\sin \omega^{\prime} t}{\omega^{\prime}}\right), \\
X=\frac{C}{\gamma-\gamma^{\prime}}\left(\frac{\gamma}{\omega} \sin \omega t-\frac{\gamma^{\prime}}{\omega^{\prime}} \sin \omega^{\prime} t\right) \cdot
\end{array}\right\}
\]

Переходя к скоростям $\dot{x}$ и $\dot{X}$ и заменяя $\gamma$ и $\gamma^{\prime}$ их выражениями (21.11), получим:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{x} & =\frac{C}{2 \sqrt{\mu}}\left(\cos \omega^{\prime} t-\cos \omega t\right), \\
\dot{X} & =\frac{C}{2}\left(\cos \omega^{\prime} t+\cos \omega t\right) .
\end{array}\right\}
\]

Итак, скорости тяжелого верхнего маятника будут (при одинаковых фазах) в $\sqrt{\frac{1}{\mu}}$ раз меньше скоростей легкого нижнего маятника; в то же время мы видим, что выражения (21.14) удовлетворяют начальным условиям возбуждения (21.12). Это же относится и к самим отклонениям. Как отклонения, так и скорости имеют, ввиду близости значений $\omega$ и $\omega^{\prime}$, характер биений, что можно было бы выразить и формально, приведя решение к виду, аналогичному формулам (20.9).

Остановимся еще на одной задаче, которая, собственно говоря, тоже относится к классу задач на связанные колебания и приводит к типам колебаний, вполне аналогичным рассмотренным выше. Однако мы изберем более простую в математическом отношении трактовку задачи, а именно, будем рассматривать ее по образцу вынужденных ${ }^{1}$ незатухающих колебаний (ср. § 19); таким образом, мы будем иметь дело не с системой дифференциальных уравнений, а с интегрированием одного единственного дифференциального уравнения

Повесьте карманные часы с балансом на гладкий гвоздь таким образом, чтобы они могли свободно, по возможности без трения, качаться. Легким прикосновением пальца или платка приведите часы в состояние полного покоя; это их состояние мы примем за начальное. Часы немедленно придут в движение и будут совершать колебания с возрастающей амплитудой около вертикального положения равновесия. Однако амплитуда этих колебаний возрастает лишь до известного максимума, после чего она вновь убывает до нуля, и весь процесс повторяется снова.

Очевидно, что при возбуждении колебаний часов мы имеем дело с их движением, направленным в сторону, противоположную качанию баланса, а следовательно, с действием закона момента количества движения (закона площадей); при последующем же затухании амплитуды колебаний мы имеем дело с интерференцией свободных колебаний часов как маятника в поле тяжести и вынужденных колебаний их под действием баланса.

Воспользуемся обозначениями, принятыми в $\S 13$, Б. Итак, обозначим полный момент количества движения системы через N. Разложим его на две компоненты: одну, соответствующую качанию часов как маятника, и другую, соответствующую колебаниям баланса:
\[
\mathbf{N}=\mathbf{N}_{\text {маят. }}+\mathbf{N}_{\text {бал. }},
\]

причем оба момента берутся относительно точки подвеса $O$ (гвоздя). Обозначим частоту колебаний баланса через $\omega$; она определяется силой его спиральной пружины. Частоту собственных колебаний (не нарушенных воздействием баланса) колебаний «маятника» обозначим через $\omega_{0}$. В соответствии с формулами (11.6) и (16.4), положим
\[
N_{\text {маят. }}=\Theta \dot{\varphi}, \quad \Theta=M a^{2} .
\]
${ }^{1}$ В общем можно сказать следующее: возбудить колебание внешней силой означает установить связь данной системы с другой системой, на которую первая система не оказывает обратного воздействия. В случае, который мы сейчас рассмотрим, обратное воздействие колебания маятника на баланс действительно является исчезающе малым.

Здесь $M$ – полная качающаяся масса, $a$ – ее радиус инерции, измеренный от точки $O$. Мы предполагаем, что колебания баланса имеют синусоидальную форму, т.е. описываются уравнением
\[
\varphi_{\text {бал. }}=\alpha \sin \omega t .
\]

Согласно формулам (11.6) и (16.4), момент количества движения баланса равен
\[
N_{\text {бал. }}=m \omega b^{2} \alpha \cos \omega t .
\]

Здесь $m$ – масса баланса, $b$ – его радиус инерции, измеренный от точки $O ;$ с помощью теоремы Штейнера (16.8) его можно было бы выразить через радиус инерции, измеренный от центра тяжести баланса.

Если предположить, что угол $\varphi$ достаточно мал, то момент внешней силы, как и для физического маятника [ср. уравнение (16.1)], равен
\[
-M g s \varphi,
\]

где $s$ означает расстояние между центром тяжести часов и точкой подвеса $O$. Уравнение движения нашей системы, согласно формуле (13.9) с учетом соотношений $(21.15),(21.16),(21.17),(21.18)$, принимает, таким образом, следующий вид:
\[
\ddot{\varphi}+\frac{g s}{a^{2}} \varphi=\frac{m}{M}\left(\frac{b}{a}\right)^{2} \alpha \omega^{2} \sin \omega t .
\]

Полученное уравнение является уравнением незатухающих вынужденных колебаний, рассмотренных нами в $\S 19$. В соответствии со смыслом величины $\omega_{0}$ (собственная частота колебаний маятника при отсутствии внешнего возбуждения), положим
\[
\frac{g s}{a^{2}}=\omega_{0}^{2} .
\]

Обозначим далее ради краткости
\[
c=\frac{m}{M}\left(\frac{b}{a}\right)^{2} \alpha \omega^{2} \ll 1 .
\]

В этих обозначениях уравнение (21.19) запишется:
\[
\ddot{\varphi}+\omega_{0}^{2} \varphi=c \sin \omega t .
\]

Решение этого уравнения, которое при $t=0$ одновременно удовлетворяет начальным условиям $\varphi=0$ и $\dot{\varphi}=0$, таково:
\[
\varphi=\frac{c}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\left(\sin \omega t-\frac{\omega}{\omega_{0}} \sin \omega_{0} t\right) .
\]

Вследствие малости величины $c$ (множитель $\frac{m}{M}$ ), колебание, представленное этим уравнением, будет иметь заметную величину только при $\omega_{0}=\omega$, т.е. при наличии приблизительного резонанса между «внешним» колебанием часов как маятника и «внутренним» колебанием баланса. В карманных часах не слишком малых размеров этот резонанс более или менее хорошо выражен (дамские же часы для этой цели не годятся).

Согласно формуле (21.21), в случае приближенного равенства $\omega$ и $\omega_{0}$ резонансу сопутствует также и явление биений. Период биений $T$ определяется требованием
\[
\omega T=\omega_{0} T \pm 2 \pi
\]

и, следовательно, равен
\[
T=\frac{2 \pi}{\left|\omega-\omega_{0}\right|} .
\]

Его можно очень точно определить путем отсчета числа колебаний маятника между двумя узлами биений и, таким образом, получить удобный и точный критерий для суждения о том, насколько близко достигнут резонанс. Особенность рис. 32 , которая наглядно представляет решение дифференциального уравнения, идентичного уравнению (21.20), заключается только в том, что на ней изображен случай полного резонанса, которому соответствует $T=\infty$.

Если мы продолжительное время не будем прикасаться к часам, то заметим, что биения их прекратились. Причиной этого является, очевидно, трение (в подвесе и в воздухе), которым мы до сих пор пренебрегали. Трение вызывает затухание колебаний маятника, что же касается колебаний баланса, то трение, как мы уже знаем (ср., например, рис. 33), лишь несколько уменьшает их амплитуду. Мы можем рассуждать следующим образом: в начальном состоянии вынужденное колебание возбуждено до своей полной величины, а свободное колебание маятника – до такой величины, что оно в момент времени $t=0$ как раз компенсирует вынужденное колебание, в соответствии с начальными условиями $\varphi=\dot{\varphi}=0$. В действительности же, когда мы в начальный момент придерживаем часы, мы по существу сообщаем системе импульс, направленный в сторону, противоположную колебанию баланса. С течением времени трение поглощает этот импульс, так что остается только вынужденное колебание баланса.

В литературе наш пример с часами был впервые рассмотрен в «Electrotechn. Zeitchrift» за 1904 г. в связи с актуальной в то время проблемой «колебаний синхронных машин». Два синхронных генератора переменного тока, включенные параллельно и работающие на одну и ту же цепь тока, испытывают в случае резонанса нежелательные колебания числа оборотов и тока. Эти колебания являются по существу увеличенным отображением колебаний наших часов, а также и рассмотренных здесь явлений связи и резонанса симпатических маятников.

Прежде, как и в начале предыдущего параграфа, опишем явления, приводящие нас к рассматриваемой задаче.

Рис. 38. Схема устройства двойного маятника
К тяжелому маятнику (например, к люстре) подвешен легкий маятник с приблизительно одинаковым периодом колебания. Если сообщить тяжелому маятнику короткий толчок, то легкий маятник приходит в быстрое движение, которое, однако, внезапно прекращается на короткое время. В тот же самый момент мы замечаем, что тяжелый маятник, который до этого находился в покое, начинает совершать заметные колебания. Однако непосредственно вслед за этим он вновь приходит в состояние покоя и, со своей стороны, приводит легкий маятник в быстрое движение, после чего вся картина повторяется.
Как было указано, массы обоих маятников (обозначим их через $M$ и $m$ ) должны сильно отличаться друг от друга, но приведенные длины маятников (обозначим их через $L$ и $l$ ) должны быть приблизительно равны. Положим
\[
\frac{m}{M}=\mu \ll 1 .
\]