В конце $\S 33$ мы говорили о телеологическом характере принципа наименьшего действия. «Телеологический» значит «целесообразный» или «целенаправленный». «Из всех возможных движений природа выбирает то, при котором цель движения достигается с наименьшей затратой действия» – такова возможная формулировка принципа наименьшего действия, хотя и весьма неопределенная, но вполне соответствующая по своему смыслу идее ученого, открывшего этот принцип.

Мопертюи опубликовал свой принцип в 1747 г. Ему указали на письмо Лейбница, относящееся к 1707 г. (оригинал этого письма не сохранился), но он ревностно защищал свой приоритет, не останавливаясь даже перед использованием своей власти в качестве президента Берлинской академии. Однако более определенную математическую форму принципу наименьшего действия придали только Эйлер и, в особенности, Лагранж.

В приведенной формулировке принципа содержится двоякая неопределенность:
1) Что следует здесь понимать под словом «действие»? Очевидно, не то же самое, что понимается под этим словом в принципе Гамильтона, поскольку речь теперь идет о формулировке, хотя и близкой к гамильтоновской, но все же отличной от нее.
2) Что значит «все возможные движения»? Совершенно необходимо точно определить совокупность всех сравниваемых движений, чтобы из них можно было выбрать истинное движение как наиболее целесообразное или наивыгоднейшее.

К пункту 1. Лейбниц рассматривал в качестве элементарного действия произведение $2 T \cdot d t$. Мы также будем ниже терминами «интеграл действия» или «функция действия» обозначать величину ${ }^{1}$
\[
S=2 \int_{t_{3}}^{t_{1}} T d t .
\]

Мопертюи, который, как и Декарт, считал основной динамической величиной количество движения $m v$, рассматривал в качестве элементарного действия произведение $m v \cdot d s$. Ясно, однако, что оба эти определения – Лейбница и Мопертюи – для случая отдельной материальной точки совпадают, ибо имеет место соотношение
\[
2 T \cdot d t=m v \cdot v d t=m v \cdot d s .
\]

Но это совпадение обоих определений имеет место и для любых механических систем, если под действием понимать сумму элементов $m_{k} v_{k} d s_{k}$, взятую по всем материальным точкам.
${ }^{1}$ Множитель 2 , разумеется, не существенен для вопроса о минимуме $S$, но он оказывается удобным для последующих формулировок в § 43. Впрочем, у Лейбница была еще некоторая неопределенность в вопросе о том, назвать ли «Vis viva» («живая сила») $m v^{2}$ или, как это делаем мы, $\frac{1}{2} m v^{2}$.

К пункту 2. При рассмотрении принципа Гамильтона мы ограничивали совокупность подлежащих сравнению движений условиями (33.1) и (33.2). Условие (37.2) мы сохраним, условие же (37.1) изменим. А именно, вместо $\delta t=0$, мы потребуем, чтобы имело место
\[
\delta W=0 .
\]

Таким образом, мы сравниваем только траектории с такой же энергией, как энергия рассматриваемой траектории. Тем самым, разумеется, мы утверждаем, что рассматриваемый нами теперь принцип наименьшего действия справедлив только для движений, при которых выполняется закон сохранения энергии, т.е. для случая, когда силы имеют потенциал. Если мы обозначим этот потенциал через $V$ и, соответственно, для варьируемых траекторий – через $V+\delta V$, то, в силу условия (37.3), будем иметь:
\[
\begin{array}{c}
\delta T+\delta V=0, \\
\delta V=-\delta T, \\
\delta L=\delta T-\delta V=2 \delta T .
\end{array}
\]

Чтобы наглядно представить себе сущность изменений, внесенных условием ( 37.3 ), вспомним рис. 51. На этом рисунке две точки, связанные друг с другом вариацией $\delta q$, соответствуют одному и тому же моменту времени $t$. Теперь это не так: время в варьированной точке равно не $t$, a $t+\delta t$ (cp. рис. 54). Поэтому варьированная траектория достигает конечной точки $P$ не в момент $t=t_{1}$, а в данном случае, согласно рис. 54 , в более поздний момент времени. Точке $Q$ нашей варьированной траектории, относящейся к моменту времени $t=t_{1}$, на исходной траектории соответствует более ранний момент времени $t_{1}-\delta t_{1}$.

В соответствии с этим, проследим выкладки, содержащиеся в $\S 33$. Соотношения (37.3) и (37.4) и теперь остаются в силе, но соотношение (37.5) нужно изменить, так как оно, как мы уже подчеркивали, справедливо только при $\delta t=0$. Чтобы найти новое соотношение, заменяющее (33.5), образуем вариацию
\[
\delta \dot{x}=\frac{d(x+\delta x)}{d(t+\delta t)}-\frac{d x}{d t} .
\]

Перепишем первую производную правой части в виде
\[
\begin{aligned}
\frac{d(x+\delta x)}{d t} / \frac{d(t+\delta t)}{d t}=\left(\frac{d x}{d t}\right. & \left.+\frac{d}{d t} \delta x\right) /\left(1+\frac{d}{d t} \delta t\right)= \\
& =\frac{d x}{d t}+\frac{d}{d t}(\delta x)-\dot{x} \frac{d}{d t}(\delta t)+\ldots,
\end{aligned}
\]

причем опущенные члены являются малыми высшего порядка. Поэтому из равенства (37.5) следует:
\[
\delta \dot{x}=\frac{d}{d t}(\delta x)-\dot{x} \frac{d}{d t}(\delta t), \quad \text { т. е. } \quad \frac{d}{d t}(\delta x)=\delta \dot{x}+\dot{x} \frac{d}{d t}(\delta t) .
\]

Подставляя последнее выражение в равенство (33.4), находим для любого индекса $k$ :
\[
\ddot{x}_{k} \delta x_{k}=\frac{d}{d t}\left(\dot{x}_{k} \delta x_{k}\right)-\dot{x}_{k} \delta \dot{x}_{k}-\dot{x}_{k}^{2} \frac{d}{d t}(\delta t) .
\]

Поскольку соотношение (37.8) в такой же мере, как и для $x$, справедливо для координат $y$ и $z$, из уравнений (33.3) получаем вместо (33.8):
\[
\frac{d}{d t} \sum m_{k}\left(\dot{x}_{k} \delta x_{k}+\dot{y}_{k} \delta y_{k}+\dot{z}_{k} \delta z_{k}\right)=\delta T+2 T \frac{d}{d t}(\delta t)+\delta A .
\]

Принимая во внимание условие (37.4), положим
\[
\delta A=-\delta V=+\delta T .
\]

При этом в правой части равенства (37.9) получим:
\[
2 \delta T+2 T \frac{d \delta t}{d t} .
\]

Теперь проинтегрируем равенство (37.9) от $t_{0}$ до $t_{1}$. При этом, в силу условия (33.2), левая часть обращается в нуль; ввиду (37.10) получаем:
\[
2 \int_{t_{0}}^{t_{1}} \delta T d t+2 \int_{t_{0}}^{t_{1}} T d \delta t=0 .
\]

Но левая часть является не чем иным, как
\[
2 \delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} T d t
\]

или, на основании (37.1),
\[
\delta S=0 .
\]

Тем самым мы подробно обосновали принцип наименьшего действия в форме Мопертюи.

По поводу перехода от формулы (37.11) к (37.12) необходимо еще заметить следующее. В случае принципа Гамильтона можно было, ввиду $\delta t=0$, считать тождественными оба символа
\[
\delta \int T d t \quad \text { и } \quad \int \delta T d t,
\]

как это имело место, например, для равенств (33.10) и (33.11). Однако с нашей теперешней точки зрения они существенным образом отличаются друг от друга, в чем можно убедиться путем сравнения вышеприведенных выражений (37.11) и (37.12).

Если мы рассмотрим частный случай свободного движения, то для него из закона сохранения энергии $T=W$ и из (37.12), принимая во внимание условие (37.3), легко найти:
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} d t=\delta\left(t_{1}-t_{0}\right)=0 .
\]

Мы пришли к принципу кратчайшего времени прихода, сформулированному Ферма и примененному им к преломлению света, после того как еще в древности Герон соответствующим образом рассмотрел отражение света.

Для случая свободной материальной точки можно вместо $T=W$ взять $v=$ const и вместо (37.12) написать
\[
\delta \int v d t=\delta \int d s=0 .
\]

В этом состоит принцип кратчайшего пути, который определяет траекторию свободной материальной точки на кривой поверхности, а также (в общей теории относительности) на произвольно искривленном многообразии, как геодезическую линию. К этому мы вернемся в $\S 40$.

В своих знаменитых «Лекциях по динамике», читанных в 1842 г. в Кенигсберге ${ }^{1}$, Якоби обосновал необходимость полного исключения времени $t$ из выражения принципа наименьшего действия. Это возможно потому, что
\[
T=W-V=\frac{1}{2} \sum m_{k} v_{k}^{2}=\frac{1}{2} \frac{\sum m_{k} d s_{k}^{2}}{d t^{2}},
\]

откуда
\[
d t=\sqrt{\frac{\sum m_{k} d s_{k}^{2}}{2(W-V)}} .
\]

Таким образом, вместо условия (37.12) можно потребовать:
\[
\delta \int \sqrt{2(W-V)} \sqrt{\sum m_{k} d s_{k}^{2}}=0 .
\]

Здесь вариация при постоянном $W$ распространяется только на пространственные параметры траектории системы, в то время как о ее временном ходе вообще не говорится.

Возвращаясь снова к телеологической стороне этого принципа и принципа наименьшего действия Гамильтона, заметим, что «наименьшее действие» при известных обстоятельствах может оказаться и «наибольшим действием». Дело в том, что требование $\delta \ldots=0$ соответствует собственно не минимуму, а, вообще говоря, лишь экстремуму. Проще всего это можно показать на примере геодезических линий, на поверхности шара, которые являются дугами больших кругов. Если начальная точка $O$ и конечная точка $P$ траектории находятся в одном и том же полушарии, то дуга большого круга, непосредственно соединяющая эти две точки, будет, правда, короче всех круговых дуг, получающихся от пересечения сферы с плоскостями, проходящими через $O$ и $P$, но не через центр шара; однако и дополнительная дуга большого круга, которая при противоположном начальном направлении движения проходит от точки $O$ через все второе полушарие к точке $P$, представляет собой геодезическую линию, причем эта линия длиннее всех остальных круговых дуг, проходящих от $O$ к $P$ через второе полушарие. Отсюда
${ }^{1}$ К. Як об и, Лекции по динамике, оНТИ, 1936.

мы заключаем, что интегральные принципы отражают не «целенаправленность» природы, а лишь некоторое математически особенно выразительно сформулированное экстремальное свойство законов динамики.

Мопертюи считал свой принцип наиболее общим из всех законов природы. В настоящее время мы скорее склонны признать эту всеобщность за принципом наименьшего действия Гамильтона. Мы уже упоминали на стр. 246 о том, что Гельмгольц положил этот принцип в основу своих исследований по электродинамике. С тех пор интегральные принципы в форме Гамильтона нашли применение в самых различных областях физики.

Особое преимущество принципа Гамильтона обнаруживается в механике сплошных сред, поскольку этот принцип приводит не только к дифференциальным уравнениям задачи, но также и к краевым условиям, которым должны удовлетворять решения этих дифференциальных уравнений в частных производных. Во многих случаях необходимо вначале искать функцию Лагранжа $L$ (входящую в выражение вариационного принципа) в зависимости от характера задачи. Это имеет место, например, при движении электрона в магнитном поле, когда действующая сила не имеет потенциала $V$; далее – в теории относительности, когда $L$ нельзя выразить с помощью выведенного нами выражения (4.10) для кинетической энергии. Здесь роль «кинетической» части принципа наименьшего действия играет выражение
\[
-m_{0} c^{2} \int \sqrt{1-\beta^{2}} d t .
\]

Эйлерова производная этого выражения приводит прямо к релятивистскому импульсу $\mathbf{G}$ в форме (2.19), а, следовательно, также и к закону зависимости массы электрона от его скорости. Вообще говоря, нахождение функции Лагранжа $L$, приводящей через посредство вариационного принципа к заданным дифференциальным законам, является (в особенности вне пределов механики) трудной задачей, для решения которой не существует общих правил. Для указанного выше случая движения электрона в магнитном поле эта задача была весьма простым способом разрешена Лармором и Шварцшильдом. В этом случае разложение $L$ на кинетическую и потенциальную части по схеме $L=T-V$, вообще говоря, уже невозможно.

Следует особо подчеркнуть, что величина, стоящая в выражении (37.16) под знаком интеграла, является не чем иным, как элементом собственного времени (2.17), который был признан Минковским простейшим инвариантом специальной теории относительности и введен Эйнштейном в качестве элемента мировой линии в общую теорию относительности. Таким образом, принцип Гамильтона в формулировке (37.16) автоматически удовлетворяет требованию инвариантности теории относительности. В этом Планк ${ }^{1}$ видит «наиболее блестящий успех, достигнутый принципом наименьшего действия».
${ }^{1}$ См. поучительную статью в «Die Kultur der Gegenwart», Teil III, Abteilung III, 1 (Leipzig, 1915, B. G. Teubner, S. 701).