Гаусс был не только «принцем математиков», но также, как астроном и геодезист, страстным вычислителем. В трех больших трудах он все больше совершенствовал свой «метод наименьших квадратов», и когда ему однажды пришлось (вопреки его желанию) читать лекцию в Геттингенском университете, он избрал в качестве темы наиболее любимый им «метод наименьших квадратов».

Свою короткую статью «0 новом общем начале механики», написанную в 1829 г., он заключает следующей характерной фразой: «Весьма замечательно, что свободные движения, когда они при имеющихся условиях не могут осуществляться, видоизменяются природой как раз таким же образом, как это делает математик, выравнивающий по методу наименьших квадратов результаты наблюдений, относящиеся к величинам, связанным между собой необходимыми зависимостями».

Гаусс называет свой новый основной закон «принципом наименьшего принуждения». Меру принуждения он определяет как «сумму произведений отклонения каждой точки от своего свободного движения на ее массу». Если мы снова (ср. стр. 90) пронумеруем материальные точки и их прямоугольные координаты, то получим в качестве меры принуждения для системы из $n$ материальных точек выражение
\[
Z=\sum_{k=1}^{3 n} m_{k}\left(\ddot{x}_{k}-\frac{X_{k}}{m_{k}}\right)^{2} .
\]
«Свободное движение», которое имело бы место при отсутствии внутренних связей, определяется уравнением
\[
\ddot{x}_{k}=\frac{X_{k}}{m_{k}} .
\]

Таким образом, величина, стоящая в скобках в формуле (38.1), действительно является для $k$-й материальной точки «отклонением от свободного движения», вызванным принуждением. Эту величину можно было бы также называть «потерянной силой», деленной на массу (ср. стр. 83); таким образом, вместо определения (38.1) можно написать:
\[
\left.Z=\sum \frac{1}{m_{k}} \text { (потерянная сила }\right)^{2} .
\]

Таким образом, потерянные силы и обратные массы играют здесь такую же роль, как погрешности и статистические веса в теории ошибок.

Теперь мы должны определить, однако, что́ нужно понимать под термином «наименьшее принуждение». Для этого нужно указать, какие величины должны сохраняться неизменными и какие должны варьироваться при вычислении $\delta Z=0$.
Должны сохраняться неизменными:
a) Состояние системы в каждый данный момент, т.е. положения и скорости всех материальных точек. Следовательно, мы должны положить:
\[
\delta x_{k}=0, \quad \delta \dot{x}_{k}=0 .
\]
б) Условия связи, наложенные на систему. Если мы будем считать их голономными связями вида $F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right)=0$, то при варьировании мы должны принять во внимание дополнительные условия
\[
\sum_{k=1}^{3 n} \frac{\partial F_{i}}{\partial x_{k}} \delta x_{k}=0, \quad i=1,2, \ldots, r .
\]

где $r$ означает число условий связи, а, следовательно, $3 n-r=f$ число степеней свободы системы. Продифференцируем равенства (38.4) дважды по $t$; при этом появляются члены с $\delta x, \delta \dot{x}$ и $\delta \ddot{x}$. В силу условий $(38.3)$, нам надо из их числа выписать только члены с $\delta \ddot{x}$, т.е.
\[
\sum_{k=1}^{3 n} \frac{\partial F_{i}}{\partial x_{k}} \delta \ddot{x}_{k}=0 .
\]
в) Силы, действующие на систему, и, конечно, массы; таким образом, имеем:
\[
\delta X_{k}=0, \quad \delta m_{k}=0 .
\]

Итак, варьировать нужно только $\ddot{x}_{k}$.

В соответствии с этим, учтя дополнительные условия (38.4а) по методу лагранжевых множителей, мы получим из формулы (38.1):
\[
\delta Z=2 \sum_{k=1}^{3 n}\left\{m_{k} \ddot{x}_{k}-X_{k}-\sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} \frac{\partial F_{i}}{\partial x_{k}}\right\} \delta \ddot{x}_{k}=0 .
\]

Из величин $\delta \ddot{x}$ только $f=3 n-r$ являются здесь независимыми друг от друга. Однако с помощью соответственного выбора множителей $\lambda_{i}$ (как на стр. 91) можно обратить в нуль $r$ из выражений в фигурных скобках, так что в сумме (38.6) останутся только $f$ членов с $\delta \ddot{x}_{k}$, которые теперь могут рассматриваться как независимые. Поэтому должны обращаться в нуль также все остальные $f$ выражений в фигурных скобках. Таким образом, мы получаем в точности уравнения Лагранжа первого рода в форме (12.9).

Очевидно, что это доказательство можно без изменения распространить также и на случай неголономных связей. Итак, мы действительно имеем дело с «новым обшим началом механики», как гласит заглавие статьи Гаусса. Это начало механики равноценно принципу Даламбера и, подобно последнему, представляет собой дифференциальный принцип, потому что оно трактует о поведении системы только в настоящий (но не в будущий или прошедший) момент времени. В соответствии с этим, здесь нет необходимости применять правила вариационного исчисления, а можно обойтись правилами обычного дифференциального исчисления для определения максимумов и минимумов.