Подвесим маятник таким образом, чтобы материальная точка $m$ могла свободно двигаться по поверхности шара радиуса $l$ ( $l$ называется длиной маятника). В этом случае на маятник будет наложена связь, выражаемая уравнением:
\[
F=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-l^{2}\right)=0
\]
(множитель $\frac{1}{2}$ – введен ради удобства).
В соответствии с этим, уравнения Лагранжа первого рода (12.9) ( $r$, т.е. число условий связи, здесь равно 1 ; кроме того, $X_{1}=X_{2}=0$; $X_{3}=-m g$ ) принимают вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
m \ddot{x}=\lambda x, \\
m \ddot{y}=\lambda y, \\
m \ddot{z}=-m g+\lambda z .
\end{array}\right\}
\]

Исключение $\lambda$ из первых двух уравнений (18.2) дает, в согласии с уравнениями (13.13) и (13.13a), постоянство момента импульса относительно оси $z$ или, что то же самое, неизменность секториальной скорости
\[
x \frac{d y}{d t}-y \frac{d x}{d t}=2 \frac{d S}{d t}=C .
\]

Рис. 28. Сферический маятник как материальная точка $m$, движущаяся под влиянием силы тяжести по шаровой поверхности радиуса $l$
С другой стороны, если мы умножим уравнения Лагранжа (18.2) соответственно на $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$, то мы должны получить закон сохранения энергии, так как условие связи (18.1) не зависит от $t$ (см. стр. 92). Сперва получаем:
\[
\begin{array}{c}
m(\dot{x} \ddot{x}+\dot{y} \ddot{y}+\dot{z} \ddot{z})= \\
=-m g \dot{z}+\lambda(x \dot{x}+y \dot{y}+z \dot{z}) .
\end{array}
\]

Но, согласно условию (18.1), имеет место
\[
\frac{d F}{d t}=x \dot{x}+y \dot{y}+z \dot{z}=0 .
\]

С другой стороны,
С другой стороны,
\[
\dot{x} \ddot{x}+\dot{y} \ddot{y}+\dot{z} \ddot{z}=\frac{1}{2} \frac{d}{d t}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)=\frac{1}{2} \frac{d v^{2}}{d t} .
\]

Следовательно, путем интегрирования по $t$ уравнения (18.4) получим:
\[
\frac{m}{2} v^{2}=-m g z+\text { const, }
\]

что мы запишем в виде:
\[
T+V=W, \quad \text { где } V=m g z .
\]

Общие соображения по поводу понятия потенциальной энергии $V$ мы приведем в добавлении к этому параграфу.

Если мы, наконец, умножим уравнения Лагранжа соответственно на $x, y, z$, то, используя условие (18.1), мы сможем вычислить $\lambda$ :
\[
\lambda l^{2}-m g z=m(x \ddot{x}+y \ddot{y}+z \ddot{z})
\]

или
\[
\lambda l=m g \frac{z}{l}+m\left(\frac{x}{l} \ddot{x}+\frac{y}{l} \ddot{y}+\frac{z}{l} \ddot{z}\right) .
\]

Но так как нормаль к шаровой поверхности в точке с координатами $x, y, z$ имеет направляющие косинусы $\frac{x}{l}, \frac{y}{l}, \frac{z}{l}$, то второй член справа
с точностью до знака равен силе инерции $F_{n}^{*}$, нормальной к шаровой поверхности; первый же член справа, также с точностью до знака, равен слагающей силы тяжести $F_{n}$ в том же направлении. По принципу Даламбера, сумма обеих этих сил должна уравновешиваться реакцией $R_{n}$ на шаровой поверхности (с точки зрения физической, натяжением нити маятника). Таким образом, смысл уравнения (18.6) можно кратко выразить формулой
\[
\lambda l=-\left(F_{n}+F_{n}^{*}\right)=R_{n} .
\]

Отсюда видно, что, с точностью до множителя $l$, $\lambda$ означает силу реакции, развиваемую связью (18.1) и действующую нормально к направлению движения. Аналогично обстоит дело и в более общих случаях, когда имеется несколько условий связи и соответственное число лагранжевых множителей $\lambda$.

Чтобы продолжить интегрирование, введем сферические координаты:
\[
\begin{array}{l}
x=l \cos \varphi \sin \vartheta, \\
y=l \sin \varphi \sin \vartheta, \\
z=l \cos \vartheta .
\end{array}
\]

Дифференцируя, получим:
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=l \cos \varphi \cos \vartheta \cdot \dot{\vartheta}-l \sin \varphi \sin \vartheta \cdot \dot{\varphi}, \\
\dot{y}=l \sin \varphi \cos \vartheta \cdot \dot{\vartheta}+l \cos \varphi \sin \vartheta \cdot \dot{\varphi}, \\
\dot{z}=-l \sin \vartheta \cdot \dot{\vartheta} .
\end{array}
\]

Тогда закон площадей (18.3) примет следующий вид:
\[
2 \frac{d S}{d t}=x \dot{y}-y \dot{x}=l^{2} \sin ^{2} \vartheta \dot{\varphi}=C .
\]

Закон сохранения энергии (18.5a) перепишется в виде:
\[
\frac{m l^{2}}{2}\left(\dot{\vartheta}^{2}+\sin ^{2} \vartheta \cdot \dot{\varphi}^{2}\right)+m g l \cos \vartheta=W .
\]

Вводя обозначения
\[
u=\cos \vartheta, \quad \dot{\vartheta}=-\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} \cdot \frac{d u}{d t},
\]

получаем из уравнения (18.8):
\[
\dot{\varphi}=\frac{C}{l^{2}\left(1-u^{2}\right)}
\]

и из уравнения (18.9):
\[
\left(\frac{d u}{d t}\right)^{2}=U(u)=\frac{2}{m l^{2}}(W-m g l u)\left(1-u^{2}\right)-\frac{C^{2}}{l^{4}} .
\]

Из этого соотношения между $t$ и $u$ можно определить $t$ как функцию от $u$ :
\[
t=\int \frac{d u}{\sqrt{U}} .
\]

Теперь можно проинтегрировать также и уравнение (18.10). Действительно, так как, согласно уравнениям (18.10) и (18.11), имеет место
\[
\frac{d \varphi}{d u}=\dot{\varphi} \frac{d t}{d u}=\frac{C}{l^{2}\left(1-u^{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sqrt{U}},
\]

то получаем
\[
\varphi=\frac{C}{l^{2}} \int \frac{d u}{1-u^{2}} \frac{1}{\sqrt{U}} .
\]
$U$ есть функция третьей степени от $u=\cos \vartheta$. Величина $\sqrt{U}$ действительна только в том случае, если $U>0$. Если решение уравнения должно соответствовать действительной физической задаче, то в интервале $-1<u<+1$ должны существовать такие два значения $u=u_{2}$ и $u=u_{1}>u_{2}$, между которыми $U$ положительно (рис. 29).

Значения $u_{1}=\cos \vartheta_{1}$ и $u_{2}=\cos \vartheta_{2}$ суть две параллели, между которыми качается материальная точка. Когда интегрирование в формулах (18.12) или (18.13) достигнет одного из этих пределов, направление его должно быть изменено на противоположное, чтобы результат оставался действительным. Последовательные моменты, в которые происходит изменение направления движения, отделены друг от друга промежутком времени:
\[
\frac{\tau}{2}=\int_{u_{2}}^{u_{1}} \frac{d u}{\sqrt{U}} .
\]

Однако теперь колебание не является периодическим в пространстве, как в случае плоского маятника, а сопровождается медленной прецессией. «Угол прецессии» $\Delta \varphi$ за время полного периода колебания $\tau$ выражается, на основании формулы (18.13), следующим образом:
\[
2 k \pi+\Delta \varphi=\frac{2 C}{l^{2}} \int_{u_{2}}^{u_{1}} \frac{d u}{\left(1-u^{2}\right) \sqrt{U}}
\]
(см. рис. 30, на которой изображен угол прецессии $\Delta \varphi$ для $k=1$ ).

Рис. 29. Кривая третьего порядка $U(u)$ и ее точки пересечения с осью абсцисс $u=u_{1}$ и $u=u_{2}$
Рис. 30. Вид траектории сферического маятника сверху. Угол прецессии $\Delta$
Интеграл (18.13) так же, как и интеграл (15.8) в случае математического маятника, является «эллиптическим интегралом первого рода». Вообще, так называются все интегралы, содержащие в знаменателе подынтегрального выражения квадратный корень из многочлена третьей или четвертой степени относительно переменнойинтегрирования.

Это имеет место и для интеграла (15.8), если в качестве переменной интегрирования взять $u=\sin \frac{\varphi}{2}$, благодаря чему этот интеграл принимает вид:
\[
\int \frac{d u}{\sqrt{\left(a^{2}-u^{2}\right)\left(1-u^{2}\right)}}, \text { где } a=\sin \frac{\alpha}{2} \text {. }
\]

В частности, выражение (18.14) для $\tau$ так же, как и выражение (15.12), является «полным интегралом первого рода». Напротив, интеграл (18.13), содержащий в знаменателе, кроме $\sqrt{U}$, еще оба сомножителя ( $1 \pm u$ ), называют «эллиптическим интегралом третьего рода»; выражение (18.15) есть «полный интеграл третьего рода».

Задача III. 1 показывает, что при бесконечно малом качании сферического маятника эти интегралы могут быть сведены к элементарным функциям, а угол прецессии $\Delta \varphi \rightarrow 0$.
ДОБАВЛЕНИЕ: КОГДА МОЖНО ГОВОРИТЬ
о ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ В ПОЛЕ СИЛ?
В то время как для одномерного движения всегда можно, исходя из силы $X$, ввести потенциальную энергию $V$, определяемую соотношением (3.7), для двух- или трехмерного движения, как мы уже указывали, это возможно только при определенных условиях. Если через $X, Y, Z$ обозначить прямоугольные слагающие силы $\mathbf{F}$, то определение потенциальной энергии, аналогичное определению (3.7), должно иметь следующий вид:
\[
V=-\int^{x y z}(X d x+Y d y+Z d z) .
\]

Если эта формула должна выражать величину, не зависящую от пути, а зависящую лишь от конечной точки интегрирования (выбор начальной точки интегрирования скажется только на величине аддитивной постоянной, которая и без того произвольна), то сумма
\[
X d x+Y d y+Z d z
\]

должна быть полным дифференциалом, т.е. $X, Y, Z$ должны быть частными производными (соответственно, по $x, y, z$ ) некоторой функции координат (в данном случае производными функции – $V$ ). Как известно, условием этого является выполнение равенств
\[
\frac{\partial Y}{\partial x}=\frac{\partial X}{\partial y}, \quad \frac{\partial Z}{\partial y}=\frac{\partial Y}{\partial z}, \quad \frac{\partial X}{\partial z}=\frac{\partial Z}{\partial x} .
\]

Только при выполнении этих условий можно сопоставить точкам пространства $(x, y, z)$ некоторую функцию координат $V(x, y, z)$ и назвать ее «потенциальной энергией» или «потенциалом».

В двухмерном случае, когда $Z=0$, а $X, Y$ не зависят от $z$, три уравнения (18.17) сводятся, очевидно, к первому из них.

В «векторном анализе», который широко применяется в последующих разделах теоретической физики ${ }^{1}$, доказывается, что условия (18.17) носят инвариантный характер, т. е. выполнение их не зависит от выбора системы координат. Все три условия в векторном анализе объединены в одном векторном уравнении $\operatorname{rot} \mathbf{F}=\mathbf{0}$.

Не представляет труда привести пример слагающих $X, Y, Z$ как функций $x, y, z$, чтобы условия (18.17) не выполнялись. С другой стороны, мы видим, что в поле тяжести, т.е при
\[
X=Y=0, \quad Z=-m g
\]

эти условия выполняются и приводят к следующему выражению для потенциальной энергии:
\[
V=m g z .
\]

Это же относится и к полям тяготения (подчиняющимся, как известно, закону Ньютона) в общем случае, а равно и к кулоновым полям электростатики и магнитостатики, которые по своему характеру вполне аналогичны гравитационным полям. Вообще безвихревые поля (называемые также потенциальными полями) занимают исключительное место в природе. В общей теории, излагаемой в гл. VI и VIII, они будут играть особую роль.

Механическая система, в которой действуют только потенциальные силы, называется консервативной системой, потому что для нее справедлив закон сохранения (conservatio) энергии. В противоположность этому говорят о неконсервативных или диссипативных системах.
${ }^{1}$ В данной книге мы можем ограничиться «векторной алгеброй».