Мы знакомы уже с одним из вариационных принципов механики — принципом Даламбера. Этот принцип исходит из произвольно выбранного мгновенного состояния системы, которое сравнивается со смежным ее состоянием, возникающим из предыдущего в результате виртуального перемещения (ср. §7). Напротив, те вариационные принципы механики, к изучению которых мы сейчас перейдем, являются интегральными принципами: они позволяют рассматривать ряд последовательных состояний системы за конечный промежуток времени или, что то же самое, на конечном отрезке траектории и сравнивать их с соседними виртуальными состояниями, находящимися с ними в определенном соответствии.

Характером этого соответствия и отличаются друг от друга различные и носящие различные названия интегральные принципы. Общим для них является то, что варьируемая величина имеет размерность действия. Поэтому их объединяют под общим названием — принципы наименьшего действия ${}^1$.

В то время как мощностью, как известно, называют величину энергия : время, действием называют величину с размерностью энер-
${}^1$ К сожалению, этот термин выбран не совсем удачно. Когда мы говорим о причине и действии, мы под действием понимаем следствие или результат. С точки же зрения принципа наименьшего действия природа достигает своей цели прямейшим путем, следовательно, с наименьшей затратой средств. Поэтому более удачен был бы термин «принцип наименьшей затраты средств при наибольшем действии». Но после того, как термин «действие» санкционирован Гельмгольцем и Планком, всякая замена его другим термином была бы бесперспективной.

гия $\times$ время. Примером может служить элементарный квант действия Планка, с которым мы встретимся в $\mathrm{\S }45$, именно — величина
$$h=6,624\cdot {10}^{-27}\text{ эрг }\cdot \text{ сек. }$$

Вначале мы остановимся на принцие наименьшего действия Гамильтона, а рассмотрение исторически более раннего принципа Мопертюи отложим до $\mathrm{\S }37$. Принцип Гамильтона отличается от принципа Мопертюи тем, что в нем не должно варьироваться время. Это значит, что система проходит одновременно как через точку действительной траектории (с координатами $x_k$ ), так и через соответствующую ей точку траектории, получаемой в результате варьирования (пусть координаты этой точки будут $x_k+\delta x_k$ ). Таким образом, для принципа Гамильтона имеет место
$$\delta t=0.$$

При этом мы должны отметить, что, говоря о «траектории системы», мы подразумеваем не траекторию отдельной точки системы в трехмерном пространстве, а многомерную характеристику движения всей системы в целом. Если рассматриваемая система имеет $f$ степеней свободы, то траектория ее движения расположена в $f$-мерном пространстве обобщенных координат $q_1,\dots ,q_f$ (ср. 70).

Кроме условия (33.1), мы при рассмотрении принципа Гамильтона накладываем на вариации еще одно добавочное ограничение: положение начальной точки $O$ и конечной точки $P$ рассматриваемого участка траектории не должно варьироваться. Таким образом, для каждой координаты $x$ должно выполняться условие
$$\delta x=0\text{ при }t=t_0\text{ и }t=t_1.$$

Рис. 51 дает символическое трехмерное представление взаимного положения истинной траектории системы (сплошная кривая) и ее виртуальной траектории (пунктирная кривая): слагающееся из совокупности всех $\delta x$ смещение $\delta q$ должно быть вполне произвольным вдоль всей траектории, за исключением начальной и конечной точек, и должно представлять собой непрерывную и дифференцируемую функцию от $t$, причем каждые две соответственные точки действительной и варьированной траектории, связанные между собой вариацией $\delta q$, относятся к одному и тому же моменту времени $t$.

Перейдем теперь к выводу принципа Гамильтона. Мы будем исходить при этом из принципа Даламбера в форме (10.6):
$$\sum _{k=1}^n\{\left(m_k{\ddot{x}}_k\right)\delta x_k+(m_k{\ddot{y}}_k-Y_k)\delta y_k+(m_k{\ddot{z}}_k-Z_k)\delta z_k\}=0.$$

Таким образом, мы рассматриваем систему из $n$ дискретных материальных точек, которые, однако, могут быть связаны друг с другом посредством каких-
Рис. 51. Вариация траектории в принципе Гамильтона. Время не варьируется либо связей. Вариации $\delta x_k,\delta y_k$ и $\delta z_k$, которые также соответствуют этим связям, не независимы друг от друга. При $f$ степенях свободы только $f$ из них могут быть выбраны произвольно.
Произведем в уравнении (33.3) пока что формальное преобразование:
$${\ddot{x}}_k\delta x_k=\frac{d}{dt}\left({\dot{x}}_k\delta x_k\right)-{\dot{x}}_k\frac{d}{dt}\left(\delta x_k\right).$$

Но сейчас же зададим себе вопрос: что следует понимать здесь под $\frac{d}{dt}\left(\delta x_k\right)$ ? Чтобы ответить на этот вопрос, мы сравним между собой не только истинную траекторию (состоящую из точек $x_k$ ) с виртуальной траекторией (состоящей из точек $x_k+\delta x_k$ ), но также и скорость ${\dot{x}}_k$ вдоль истинной траектории со скоростью ${\dot{x}}_k+\delta {\dot{x}}_k$ вдоль виртуальной траектории в один и тот же момент времени $t$. Скорость ${\dot{x}}_k+\delta {\dot{x}}_k$, вдоль виртуальной траектории, по определению, равна
$$\frac{d}{dt}(x_k+\delta x_k)={\dot{x}}_k+\frac{d}{dt}\left(\delta x_k\right).$$

Приравнивая друг другу оба выражения виртуальной скорости, мы получим:
$$\frac{d}{dt}\left(\delta x_k\right)=\delta {\dot{x}}_k.$$

Подставив это в выражение (33.4), будем иметь:
$${\ddot{x}}_k\delta x_k=\frac{d}{dt}\left({\dot{x}}_k\delta x_k\right)-{\dot{x}}_k\delta {\dot{x}}_k=\frac{d}{dt}\left({\dot{x}}_k\delta x_k\right)-\frac{1}{2}\delta \left({\dot{x}}_k^2\right).$$

Аналогичные выражения мы получим, разумеется, и для координат $y_k$ и $z_k$, следовательно, уравнение (33.3) можно переписать следующим образом:
$$\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\sum m_k({\dot{x}}_k\delta x_k+{\dot{y}}_k\delta y_k+{\dot{z}}_k\delta z_k)=\\ =\sum \frac{m_k}{2}\delta ({\dot{x}}_k^2+{\dot{y}}_k^2+{\dot{z}}_k^2)+\sum (X_k\delta x_k+\\ +Y_k\delta y_k+Z_k\delta z_k).\end{array}$$

Второй член правой части этого уравнения есть не что иное, как виртуальная работа $\delta A$, т. е. работа внешних сил на рассматриваемом виртуальном перемещении. Первый же член правой части является вариацией кинетической энергии $T$ системы:
$$T=\sum \frac{m_k}{2}({\dot{x}}_k^2+{\dot{y}}_k^2+{\dot{z}}_k^2)$$

при переходе от истинной к виртуальной траектории. Поэтому уравнение (33.7) можно упростить следующим образом:
$$\frac{d}{dt}\sum m_k({\dot{x}}_k\delta x_k+{\dot{y}}_k\delta y_k+{\dot{z}}_k\delta z_k)=\delta T+\delta A.$$

Прежде чем делать дальнейшие выводы, нужно сказать несколько слов по поводу соотношения (33.5). Перепишем его в следующей форме:
$$\frac{d}{dt}\delta x=\delta \frac{dx}{dt}.$$

Принимая во внимание, что $t$ не варьируется и что из $\delta t=0$ следует также $\delta dt=0$, мы можем соотношение (33.9) переписать в виде:
$$\frac{d\delta x}{dt}=\frac{\delta dx}{dt}\text{ или }d\delta x=\delta dx.$$

Главным образом, в этой последней форме « $d\delta =\delta d»$ соотношение (33.9a) играло плодотворную, хотя и несколько «мистическую» роль в старом вариационном исчислении времен Эйлера. Мы видим, что соотношение (33.9a) является лишь видоизменением довольно тривиального соотношении (33.5) между производной по времени от виртуального перемещения и виртуальным изменением скорости, если ввести дополнительное предположение о том, что время не варьирется и что виртуальное перемещение непрерывно.

Теперь вернемся к уравнению (33.8) и проинтегрируем его по $t$ в пределах от $t_0$ до $t_1$. При этом, согласно уравнению (33.2), левая часть уравнения обратится в нуль, и мы получим
$${\int }_{t_0}^{t_1}(\delta T+\delta A)dt=0.$$

Применяя наш способ варьирования, можем также написать:
$$\delta {\int }_{t_0}^{t_1}Tdt+{\int }_{t_0}^{t_1}\delta Adt=0.$$

Однако было бы неправильно заменить последний интеграл выражением $\delta \int Adt$, так как вполне определенный смысл имеют лишь виртуальная работа $\delta A$ и элементарная работа $dA$, но не сама работа $A$. Работа $A$ не является, вообще говоря, «функцией состояния». Она является «функцией состояния» лишь в том случае, когда $dA$ представляет собой «полный дифференциал», т. е. когда внешние силы удовлетворяют условиям существования потенциальной энергии $V$ (ср. добавление к §18). В этом случае мы можем в уравнении (33.11) заменить
$$\int \delta Adt\text{ через }-\int \delta Vdt=-\delta \int Vdt.$$

Благодаря этому уравнение (33.11) принимает классически простую форму:
$$\delta {\int }_{t_0}^{t_1}(T-V)dt=0.$$

Эту форму и подразумевают обычно, когда говорят о принципе Гамильтона; она справедлива (см. стр. 135) для консервативных систем. Напротив, формулу (33.11) мы называем «принципом Гамильтона, обобщенным для случая неконсервативных систем».

Мы утверждаем, что в формуле (33.12) или в формуле (33.11) (так же, как в принципе Даламбера) заключена вся механика. Этим подчеркивается особое значение энергетической величины $T-V$. В механике эта величина называется функцией Лагранжа, и формула (33.12) записывается также в виде
$$\delta {\int }_{t_0}^{t_1}Ldt=0,L=T-V.$$

Гельмгольц, который в своих последних работах использовал преимущественно принцип наименьшего действия в форме Гамильтона, назвал $L$ «кинетическим потенциалом». По аналогии с термодинамикой можно было бы назвать $L$ «свободной энергией», в противоположность термину «полная энергия» для $T+V$.

Принцип Гамильтона особенно ценен в том отношении, что он совершенно не зависит от выбора системы координат. Действительно $T$ и $V$ (как и $\delta A$ ) являются величинами, имеющими непосредственный физический смысл; они могут быть выражены в любых координатах. Мы воспользуемся этим в следующем параграфе.

Принцип Гамильтона, так же как и остальные принципы наименьшего действия, кажущимся образом противоречит нашему представлению о причинности, поскольку, согласно этому принципу, протекание процесса во времени определяется не состоянием системы в настоящий момент, а выводится с учетом в равной мере прошедшего и будущего системы. Интегральные принципы являются, казалось бы, не каузальными, а телеологическими. К этому вопросу мы вернемся в § 37, когда будем рассматривать историческое происхождение принципов наименьшего действия. Там же мы коснемся вопроса о распространении принципа Гамильтона на другие области физики.