Мы знакомы уже с одним из вариационных принципов механики — принципом Даламбера. Этот принцип исходит из произвольно выбранного мгновенного состояния системы, которое сравнивается со смежным ее состоянием, возникающим из предыдущего в результате виртуального перемещения (ср. §7). Напротив, те вариационные принципы механики, к изучению которых мы сейчас перейдем, являются интегральными принципами: они позволяют рассматривать ряд последовательных состояний системы за конечный промежуток времени или, что то же самое, на конечном отрезке траектории и сравнивать их с соседними виртуальными состояниями, находящимися с ними в определенном соответствии.

Характером этого соответствия и отличаются друг от друга различные и носящие различные названия интегральные принципы. Общим для них является то, что варьируемая величина имеет размерность действия. Поэтому их объединяют под общим названием — принципы наименьшего действия ${ }^{1}$.

В то время как мощностью, как известно, называют величину энергия : время, действием называют величину с размерностью энер-
${ }^{1}$ К сожалению, этот термин выбран не совсем удачно. Когда мы говорим о причине и действии, мы под действием понимаем следствие или результат. С точки же зрения принципа наименьшего действия природа достигает своей цели прямейшим путем, следовательно, с наименьшей затратой средств. Поэтому более удачен был бы термин «принцип наименьшей затраты средств при наибольшем действии». Но после того, как термин «действие» санкционирован Гельмгольцем и Планком, всякая замена его другим термином была бы бесперспективной.

гия $\times$ время. Примером может служить элементарный квант действия Планка, с которым мы встретимся в $\S 45$, именно — величина
\[
h=6,624 \cdot 10^{-27} \text { эрг } \cdot \text { сек. }
\]

Вначале мы остановимся на принцие наименьшего действия Гамильтона, а рассмотрение исторически более раннего принципа Мопертюи отложим до $\S 37$. Принцип Гамильтона отличается от принципа Мопертюи тем, что в нем не должно варьироваться время. Это значит, что система проходит одновременно как через точку действительной траектории (с координатами $x_{k}$ ), так и через соответствующую ей точку траектории, получаемой в результате варьирования (пусть координаты этой точки будут $x_{k}+\delta x_{k}$ ). Таким образом, для принципа Гамильтона имеет место
\[
\delta t=0 .
\]

При этом мы должны отметить, что, говоря о «траектории системы», мы подразумеваем не траекторию отдельной точки системы в трехмерном пространстве, а многомерную характеристику движения всей системы в целом. Если рассматриваемая система имеет $f$ степеней свободы, то траектория ее движения расположена в $f$-мерном пространстве обобщенных координат $q_{1}, \ldots, q_{f}$ (ср. 70).

Кроме условия (33.1), мы при рассмотрении принципа Гамильтона накладываем на вариации еще одно добавочное ограничение: положение начальной точки $O$ и конечной точки $P$ рассматриваемого участка траектории не должно варьироваться. Таким образом, для каждой координаты $x$ должно выполняться условие
\[
\delta x=0 \quad \text { при } \quad t=t_{0} \quad \text { и } \quad t=t_{1} .
\]

Рис. 51 дает символическое трехмерное представление взаимного положения истинной траектории системы (сплошная кривая) и ее виртуальной траектории (пунктирная кривая): слагающееся из совокупности всех $\delta x$ смещение $\delta q$ должно быть вполне произвольным вдоль всей траектории, за исключением начальной и конечной точек, и должно представлять собой непрерывную и дифференцируемую функцию от $t$, причем каждые две соответственные точки действительной и варьированной траектории, связанные между собой вариацией $\delta q$, относятся к одному и тому же моменту времени $t$.

Перейдем теперь к выводу принципа Гамильтона. Мы будем исходить при этом из принципа Даламбера в форме (10.6):
\[
\sum_{k=1}^{n}\left\{\left(m_{k} \ddot{x}_{k}\right) \delta x_{k}+\left(m_{k} \ddot{y}_{k}-Y_{k}\right) \delta y_{k}+\left(m_{k} \ddot{z}_{k}-Z_{k}\right) \delta z_{k}\right\}=0 .
\]

Таким образом, мы рассматриваем систему из $n$ дискретных материальных точек, которые, однако, могут быть связаны друг с другом посредством каких-
Рис. 51. Вариация траектории в принципе Гамильтона. Время не варьируется либо связей. Вариации $\delta x_{k}, \delta y_{k}$ и $\delta z_{k}$, которые также соответствуют этим связям, не независимы друг от друга. При $f$ степенях свободы только $f$ из них могут быть выбраны произвольно.
Произведем в уравнении (33.3) пока что формальное преобразование:
\[
\ddot{x}_{k} \delta x_{k}=\frac{d}{d t}\left(\dot{x}_{k} \delta x_{k}\right)-\dot{x}_{k} \frac{d}{d t}\left(\delta x_{k}\right) .
\]

Но сейчас же зададим себе вопрос: что следует понимать здесь под $\frac{d}{d t}\left(\delta x_{k}\right)$ ? Чтобы ответить на этот вопрос, мы сравним между собой не только истинную траекторию (состоящую из точек $x_{k}$ ) с виртуальной траекторией (состоящей из точек $x_{k}+\delta x_{k}$ ), но также и скорость $\dot{x}_{k}$ вдоль истинной траектории со скоростью $\dot{x}_{k}+\delta \dot{x}_{k}$ вдоль виртуальной траектории в один и тот же момент времени $t$. Скорость $\dot{x}_{k}+\delta \dot{x}_{k}$, вдоль виртуальной траектории, по определению, равна
\[
\frac{d}{d t}\left(x_{k}+\delta x_{k}\right)=\dot{x}_{k}+\frac{d}{d t}\left(\delta x_{k}\right) .
\]

Приравнивая друг другу оба выражения виртуальной скорости, мы получим:
\[
\frac{d}{d t}\left(\delta x_{k}\right)=\delta \dot{x}_{k} .
\]

Подставив это в выражение (33.4), будем иметь:
\[
\ddot{x}_{k} \delta x_{k}=\frac{d}{d t}\left(\dot{x}_{k} \delta x_{k}\right)-\dot{x}_{k} \delta \dot{x}_{k}=\frac{d}{d t}\left(\dot{x}_{k} \delta x_{k}\right)-\frac{1}{2} \delta\left(\dot{x}_{k}^{2}\right) .
\]

Аналогичные выражения мы получим, разумеется, и для координат $y_{k}$ и $z_{k}$, следовательно, уравнение (33.3) можно переписать следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \sum m_{k}\left(\dot{x}_{k} \delta x_{k}+\dot{y}_{k} \delta y_{k}+\dot{z}_{k} \delta z_{k}\right)= \\
=\sum \frac{m_{k}}{2} \delta\left(\dot{x}_{k}^{2}+\dot{y}_{k}^{2}+\dot{z}_{k}^{2}\right)+\sum( X_{k} \delta x_{k}+ \\
\left.+Y_{k} \delta y_{k}+Z_{k} \delta z_{k}\right) .
\end{array}
\]

Второй член правой части этого уравнения есть не что иное, как виртуальная работа $\delta A$, т. е. работа внешних сил на рассматриваемом виртуальном перемещении. Первый же член правой части является вариацией кинетической энергии $T$ системы:
\[
T=\sum \frac{m_{k}}{2}\left(\dot{x}_{k}^{2}+\dot{y}_{k}^{2}+\dot{z}_{k}^{2}\right)
\]

при переходе от истинной к виртуальной траектории. Поэтому уравнение (33.7) можно упростить следующим образом:
\[
\frac{d}{d t} \sum m_{k}\left(\dot{x}_{k} \delta x_{k}+\dot{y}_{k} \delta y_{k}+\dot{z}_{k} \delta z_{k}\right)=\delta T+\delta A .
\]

Прежде чем делать дальнейшие выводы, нужно сказать несколько слов по поводу соотношения (33.5). Перепишем его в следующей форме:
\[
\frac{d}{d t} \delta x=\delta \frac{d x}{d t} .
\]

Принимая во внимание, что $t$ не варьируется и что из $\delta t=0$ следует также $\delta d t=0$, мы можем соотношение (33.9) переписать в виде:
\[
\frac{d \delta x}{d t}=\frac{\delta d x}{d t} \quad \text { или } \quad d \delta x=\delta d x .
\]

Главным образом, в этой последней форме « $d \delta=\delta d »$ соотношение (33.9a) играло плодотворную, хотя и несколько «мистическую» роль в старом вариационном исчислении времен Эйлера. Мы видим, что соотношение (33.9a) является лишь видоизменением довольно тривиального соотношении (33.5) между производной по времени от виртуального перемещения и виртуальным изменением скорости, если ввести дополнительное предположение о том, что время не варьирется и что виртуальное перемещение непрерывно.

Теперь вернемся к уравнению (33.8) и проинтегрируем его по $t$ в пределах от $t_{0}$ до $t_{1}$. При этом, согласно уравнению (33.2), левая часть уравнения обратится в нуль, и мы получим
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}}(\delta T+\delta A) d t=0 .
\]

Применяя наш способ варьирования, можем также написать:
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} T d t+\int_{t_{0}}^{t_{1}} \delta A d t=0 .
\]

Однако было бы неправильно заменить последний интеграл выражением $\delta \int A d t$, так как вполне определенный смысл имеют лишь виртуальная работа $\delta A$ и элементарная работа $d A$, но не сама работа $A$. Работа $A$ не является, вообще говоря, «функцией состояния». Она является «функцией состояния» лишь в том случае, когда $d A$ представляет собой «полный дифференциал», т. е. когда внешние силы удовлетворяют условиям существования потенциальной энергии $V$ (ср. добавление к §18). В этом случае мы можем в уравнении (33.11) заменить
\[
\int \delta A d t \quad \text { через } \quad-\int \delta V d t=-\delta \int V d t .
\]

Благодаря этому уравнение (33.11) принимает классически простую форму:
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}(T-V) d t=0 .
\]

Эту форму и подразумевают обычно, когда говорят о принципе Гамильтона; она справедлива (см. стр. 135) для консервативных систем. Напротив, формулу (33.11) мы называем «принципом Гамильтона, обобщенным для случая неконсервативных систем».

Мы утверждаем, что в формуле (33.12) или в формуле (33.11) (так же, как в принципе Даламбера) заключена вся механика. Этим подчеркивается особое значение энергетической величины $T-V$. В механике эта величина называется функцией Лагранжа, и формула (33.12) записывается также в виде
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} L d t=0, \quad L=T-V .
\]

Гельмгольц, который в своих последних работах использовал преимущественно принцип наименьшего действия в форме Гамильтона, назвал $L$ «кинетическим потенциалом». По аналогии с термодинамикой можно было бы назвать $L$ «свободной энергией», в противоположность термину «полная энергия» для $T+V$.

Принцип Гамильтона особенно ценен в том отношении, что он совершенно не зависит от выбора системы координат. Действительно $T$ и $V$ (как и $\delta A$ ) являются величинами, имеющими непосредственный физический смысл; они могут быть выражены в любых координатах. Мы воспользуемся этим в следующем параграфе.

Принцип Гамильтона, так же как и остальные принципы наименьшего действия, кажущимся образом противоречит нашему представлению о причинности, поскольку, согласно этому принципу, протекание процесса во времени определяется не состоянием системы в настоящий момент, а выводится с учетом в равной мере прошедшего и будущего системы. Интегральные принципы являются, казалось бы, не каузальными, а телеологическими. К этому вопросу мы вернемся в § 37, когда будем рассматривать историческое происхождение принципов наименьшего действия. Там же мы коснемся вопроса о распространении принципа Гамильтона на другие области физики.