В то время как в уравнениях Лагранжа независимыми переменными являлись обобщенные координаты $q_{k}$ и обобщенные скорости $\dot{q}_{k}$ в уравнениях Гамильтона, которые мы теперь выведем двумя различными способами, независимыми переменными являются обобщенные координаты $q_{k}$ и обобщенные импульсы $p_{k}$, причем последние определяются выражением (36.9a). Далее, в то время как в уравнениях Лагранжа характеристической функцией была «свободная энергия» $T-V$, рассматриваемая как функция $q_{k}$ и $\dot{q}_{k}$, в уравнениях Гамильтона роль такой характеристической функции играет «полная энергия» $T+V$, рассматриваемая как функция $q_{k}$ и $p_{k}$. Назовем ее функцией Гамильтона и обозначим через $H(q, p)$, подобно тому, как мы называли свободную энергию функцией Лагранжа и обозначали ее через $L(q, \dot{q})$. Функции $H$ и $L$ связаны соотношением (34.16), которое, учитывая определение $p_{k}$, можно переписать в виде
\[
H=\sum p_{k} \dot{q}_{k}-L .
\]

Однако мы тотчас же расширим основу теории (ср. конец $\S 37$ ), а именно, откажемся от предположения, что $L$ может быть разложено на кинетическую и потенциальную составные части, и допустим также явную зависимость $L$ от $t$. Согласно изложенному на стр. 254, такая зависимость может возникнуть в том случае, если условия связи, наложенные на механическую систему, или уравнения, служащие для определения ее координат, содержат время. Таким образом, мы напишем функцию Лагранжа в более общей форме:
\[
L=L(t, q, \dot{q}) .
\]

Уравнение (41.1) мы будем рассматривать как определение соответствующей функции Гамильтона, не обращая внимания на ее первоначальный физический смысл как полной энергии системы:
\[
H=H(t, q, p) .
\]

Здесь, как и прежде, импульсы $p$ определяются соотношением
\[
p_{k}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} .
\]

Положив в основу принцип Гамильтона
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} L d t=0,
\]

получим [считая функцию $L$ определенной выражением (41.1a)] точно так же, как в $\S 37$, уравнения Лагранжа; для последующего рассмотрения эти уравнения мы запишем в форме:
\[
\dot{p}_{k}=\frac{\partial L}{\partial q_{k}} .
\]
а) Вывод уравнений Гамильтона из уравнений Лагранжа. Напишем полные дифференциалы функций $H$ и $L$ :
\[
\begin{aligned}
d H & =\frac{\partial H}{\partial t} d t+\sum \frac{\partial H}{\partial q_{k}} d q_{k}+\sum \frac{\partial H}{\partial p_{k}} d p_{k} \\
d L & =\frac{\partial L}{\partial t} d t+\sum \frac{\partial L}{\partial q_{k}} d q_{k}+\sum \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} d \dot{q}_{k}
\end{aligned}
\]

Пользуясь уравнениями Лагранжа (41.1д) и определением (41.1в) импульсов $p_{k}$, преобразуем $d L$ к виду
\[
d L=\frac{\partial L}{\partial t} d t+\sum \dot{p}_{k} d q_{k}+\sum p_{k} d \dot{q}_{k} .
\]

С другой стороны, пользуясь уравнением (41.2б), образуем дифференциал от выражения (41.1):
\[
d H=\sum \dot{q}_{k} d p_{k}+\sum p_{k} d \dot{q}_{k}-\frac{\partial L}{\partial t} d t-\sum \dot{p}_{k} d q_{k}-\sum p_{k} d \dot{q}_{k} .
\]

Так как второй и последний члены взаимно уничтожаются, то
\[
d H=-\frac{\partial L}{\partial t} d t-\sum \dot{p}_{k} d q_{k}+\sum \dot{q}_{k} d p_{k} .
\]

Это выражение $d H$ должно быть тождественно с выражением (41.2). Приравнивая множители при $d t$, получаем:
\[
\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t} .
\]

С другой стороны, сравнение множителей при $d q_{k}$ и $d p_{k}$ дает:
\[
\dot{p}_{k}=-\frac{\partial H}{\partial q_{k}}, \quad \dot{q}_{k}=\frac{\partial H}{\partial p_{k}} .
\]

Эти замечательно симметричные соотношения и называются обыкновенными дифференциальными уравнениями Гамильтона.

Нужно, впрочем, заметить, что уравнения типа (41.4) встречались уже значительно ранее у Лагранжа в его «Аналитической механике» ${ }^{1}$, но там они выведены и применены лишь для частного случая малых возмущений.
б) Вывод уравнений Гамильтона из принципа Гамильтона
Если с помощью соотношения (41.1) написать принцип Гамильтона в виде
\[
\begin{aligned}
\delta \int L d t & =\delta \int\left[H(t, q, p)-\sum p_{k} \dot{q}_{k}\right] d t= \\
& =\sum_{k} \int\left(\frac{\partial H}{\partial q_{k}} \delta q_{k}+\frac{\partial H}{\partial p_{k}} \delta p_{k}-\dot{q}_{k} \delta p_{k}-p_{k} \delta \dot{q}_{k}\right) d t=0,
\end{aligned}
\]

то последний член в скобках может быть преобразован интегрированием по частям:
\[
-\int_{t_{0}}^{t_{1}} p_{k} \delta \dot{q}_{k} d t=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \dot{p}_{k} \delta q_{k} d t-\left.p_{k} \delta q_{k}\right|_{t_{2}} ^{t_{1}},
\]
${ }^{1}$ Лагранж, Аналитическая механика, том первый, стр. 246 , пункт 14 , М.-Л., 1937.

причем член, не содержащий интеграла, обращается в нуль (в силу условий варьирования в принципе Гамильтона). Подставляя выражение (41.6) в уравнение (41.5) и группируя слагаемые с $\delta q$ и $\delta p$, получим:
\[
\sum_{k} \int\left(\left\{\frac{\partial H}{\partial q_{k}}+\dot{p}_{k}\right\} \delta q_{k}+\left\{\frac{\partial H}{\partial p_{k}}-\dot{q}_{k}\right\} \delta p_{k}\right) d t=0 .
\]

Если бы мы были вправе рассматривать величины $\delta q_{k}$ и $\delta p_{k}$ как независимые вариации, то непосредственно получили бы уравнения Гамильтона (41.4), приравняв нулю порознь множители при $\delta q_{k}$ и $\delta p_{k}$. Это, однако, недопустимо: хотя $q_{k}$ и $p_{k}$ и входят в $H$ как независимые переменные, но при вычислении интеграла действия они связаны между собой временной зависимостью, точно так же, как $q_{k}$ и $\dot{q}_{k}$ в равенстве (41.6), вследствие чего мы и должны были проделать интегрирование по частям. Однако если мы возьмем частную производную по $p$ от выражения (41.1) (при фиксированных $q$ ), то убедимся, что выражение во вторых фигурных скобках формулы (41.7) тождественно обращается в нуль ${ }^{1}$; отсюда мы вполне строго заключаем, что и выражение в первых фигурных скобках формулы (41.7) должно быть равно нулю.

Мы привели здесь второй вывод уравнений Гамильтона для того, чтобы сделать в связи с ним одно важное замечание.

Мы знаем, что уравнения Лагранжа инвариантны относительно любых «точечных преобразований», т. е. они сохраняют свою форму, если мы вместо $q_{k}$ вводим любые другие координаты $Q_{k}$, связанные с $q_{k}$ соотношениями:
\[
Q_{k}=f_{k}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{f}\right) .
\]
${ }^{1}$ Рассматривая $L$ как функцию $q_{k}, \dot{q}_{k}$ и $t$, из формулы (41.1) находим:
\[
d H=\sum p_{k} d \dot{q}_{k}+\sum \dot{q}_{k} d p_{k}-\sum \frac{\partial L}{\partial q_{k}} d q_{k}-\sum \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} d \dot{q}_{k}-\frac{\partial L}{\partial t} d t
\]

или, на основании определения (41.1в),
\[
d H=\sum \dot{q}_{k} d p_{k}-\sum \frac{\partial L}{\partial q_{k}} d q_{k}-\frac{\partial L}{\partial t} d t .
\]

Отсюда
\[
\frac{\partial H}{\partial p_{k}}=\dot{q}_{k},
\]

причем частная производная берется в предположении постоянства $q$ и $t$. (Iрим. ред.)

Тогда соответствующие $P_{k}$ выражаются в виде
\[
P_{k}=\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}_{k}}=\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \frac{\partial \dot{q}_{i}}{\partial \dot{Q}_{k}}=\sum_{i} p_{i} a_{i k},
\]
т. е. они являются линейными функциями от $p_{i}$; коэффициенты $a_{i k}$, как и в формуле (3.3), являются функциями координат $q_{k}$.

В противоположность этому, мы покажем, что уравнения Гамильтона инвариантны относительно гораздо более общих преобразований
\[
\begin{aligned}
Q_{k} & =f_{k}(q, p), \\
P_{k} & =g_{k}(q, p),
\end{aligned}
\]

при которых, следовательно, $f_{k}$ и $g_{k}$ являются произвольными функциями обоих рядов переменных $q_{k}$ и $p_{k}$ (с некоторым ограничением, которое будет тотчас же указано); в частности, $q_{k}$ может и не быть линейной функцией относительно $p_{k}$.

Для этой цели выразим $q, p$ через $Q, P$ с помощью соотношений (41.9) [разумеется, соотношения (41.9) должны допускать такую возможность] и подставим результат в выражение $H(q, p)$. Преобразованную таким образом функцию Гамильтона обозначим через $\bar{H}$, таким образом,
\[
H(q, p)=\bar{H}(Q, P) .
\]

Сравним, далее, величину $\sum p_{k} \dot{q}_{k}$, входящую в равенство (41.5), с $\sum P_{k} \dot{Q}_{k}$. При преобразовании (41.8), (41.8a) обе эти величины, как легко убедиться, были бы равны друг другу ${ }^{1}$. Потребуем теперь, чтобы равенство этих величина сохранялось и при общем преобразовании (41.9) с точностью до слагаемого, являющегося полной производной по времени некоторой функции $F$ от $q$ и $p$ или, иначе, функцией от $q$
${ }^{1}$ Дифференцируя выражение (41.8) по времени, получаем:
\[
\dot{Q}_{k}=\sum_{i} \frac{\partial Q_{k}}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i} .
\]

Отсюда после дифференцирования по $\dot{q}_{i}$ находим:
\[
\frac{\partial \dot{Q}_{k}}{\partial \dot{q}_{i}}=\frac{\partial Q_{k}}{\partial q_{i}} .
\]

и $Q^{1}$. Таким образом, полагаем:
\[
\sum p_{k} \dot{q}_{k}=\sum P_{k} \dot{Q}_{k}+\frac{d}{d t} F(q, Q),
\]

где функция $F$ может быть выбрана произвольно. В этом и заключается упомянутое выше ограничение, накладываемое на преобразование (41.9).

Если мы теперь подставим выражения (41.10) и (41.11) в уравнение (41.5), то при интегрировании и последующем варьировании слагаемое с $\frac{d F}{d t}$ выпадает, так как на пределах интеграла вариации $\delta q$ и $\delta Q$ обращаются в нуль. Таким образом, уравнение (41.5) сохраняет свою прежнюю форму и может быть переписано следующим образом:
\[
\delta \int\left(\bar{H}(Q, P)-\sum P_{k} \dot{Q}_{k}\right) d t=0 .
\]

Так как ничто не изменяется и в прежних преобразованиях (41.6) и (41.7), то мы здесь приходим к заключению о справедливости уравнений Гамильтона. В соответствии с уравнениями (41.4), они имеют вид:
\[
\dot{P}_{k}=-\frac{\partial \bar{H}}{\partial Q_{k}}, \quad \dot{Q}_{k}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial P_{k}} \cdot{ }^{2}
\]

Далее, принимая во внимание (41.8a), имеем:
\[
\begin{array}{c}
\sum_{k} P_{k} \dot{Q}_{k}=\sum_{i} \sum_{j} \sum_{k} \frac{\partial \dot{q}_{i}}{\partial \dot{Q}_{k}} \frac{\partial Q_{k}}{\partial q_{j}} p_{j} \dot{q}_{j}, \\
\sum_{k} \frac{\partial \dot{q}_{i}}{\partial \dot{Q}_{k}} \frac{\partial Q_{k}}{\partial q_{j}}=\sum_{k} \frac{\partial q_{i}}{\partial Q_{k}} \frac{\partial Q_{k}}{\partial q_{j}}=\frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}}=\delta_{i j},
\end{array}
\]

где $\delta_{i j}=1$, если $i=j$ и $\delta_{i j}=0$, если $i
eq j$. Следовательно,
\[
\sum P_{k} \dot{Q}_{k}=\sum_{i} \sum_{j} \delta_{i j} p_{i} \dot{q}_{j}=\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i},
\]

что и требовалось доказать. (Прим. ред.)
${ }^{1} \mathrm{~B}$ самом деле, если $F$ первоначально задана как функция $q$ и $p$, то $p$ можно выразить из первого уравнения (41.9) и подставить в $F$, благодаря чему получается новая функция $F$ от $q$ и $Q$. (Прим. ред.)
${ }^{2}$ Против приведенного доказательства можно выставить два возражения.
Во-первых, в принципе Гамильтона накладывается требование, чтобы вариации $\delta q$

Преобразования (41.9) в том частном случае, когда они ограничены условием (41.11), носят название касательных преобразований.

Так как при столь общих преобразованиях, как (41.9), величины $P_{k}$ утрачивают свое первоначальное значение обобщенных импульсов, то величины $P_{k}, Q_{k}$ лучше назвать «каноническими переменными»; в этом случае говорят, что $P_{k}$ и $Q_{k}$ являются «канонически сопряженными». Уравнения Гамильтона, вследствие их инвариантности относительно этих преобразований, называются также «каноническими дифференциальными уравнениями».

Именно в силу этой инвариантности относительно канонических преобразований, уравнения Гамильтона имеют особое значение в астрономической теории возмущений. Равным образом, уравнения Гамильтона играют важную роль и в общей статистике Гиббса.

Мы закончим наше рассмотрение уравнений Гамильтона замечанием, относящимся к закону сохранения энергии.
В соответствии с равенством (41.2), в общем случае имеет место:
\[
\frac{d H}{d t}=\frac{\partial H}{\partial t}+\sum_{k}\left(\frac{\partial H}{\partial q_{k}} \dot{q}_{k}+\frac{\partial H}{\partial p_{k}} \dot{p}_{k}\right) .
\]

обращались в нуль на пределах интеграла. Однако вариации $\delta p$ в общем случае на пределах интеграла отличны от нуля. Следовательно, и $\delta Q$ на этих пределах, вообще говоря, также отличны от нуля. Можно было бы не делая никаких предположений относительно обращения в нуль вариации $\delta Q$ на пределах интеграла, показать, что имеет место соотношение:
\[
\sum_{k} \int\left(\left\{\frac{\partial \bar{H}}{\partial Q_{k}}+\dot{P}_{k}\right\} \delta Q_{k}+\left\{\frac{\partial \bar{H}}{\partial P_{k}}-\dot{Q}_{k}\right\} \delta P_{k}\right) d t=0 .
\]
(См., например, дe-Бройль, Введение в волновую механику. Харьков – Киев, 1934.) Это соотношение отличается от (41.7) только тем, что в нем вместо $q$ и $p$ стоят $Q$ и $P$.

Во-вторых, в силу уравнений (41.9), временная зависимость между $\delta q$ и $\delta p$ переносится также на $\delta Q$ и $\delta P$. Поэтому пока нет оснований приравнивать нулю выражения в фигурных скобках, входящие в уравнение (41.7a). Метод, с помощью которого были выведены уравнения Гамильтона из уравнения (41.7) к уравнению (41.7a) непосредственно неприменим, поскольку теперь мы не можем рассматривать $P_{k}$ как частную производную по $\dot{Q}_{k}$ от «функции Лагранжа», определяемой выражением $\sum P_{k} \dot{Q}_{k}-\bar{H}$.

Можно, однако, оправдать приведенное доказательство следующим образом. Будем рассматривать $p$ и $q$ как независимые переменные функции $H$. Будем при этом считать, что соотношение $p_{k}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}$ имеет место лишь для истинного движения, но не обязательно должно выполняться для варьированного движения. Образуем

Здесь, согласно уравнению (41.4), выражение в скобках обращается в нуль для каждого $k$. Таким образом, в общем случае справедливо равенство:
\[
\frac{d H}{d t}=\frac{\partial H}{\partial t} .
\]

В частности, если $H$ не зависит явно от $t$, то отсюда получается закон сохранения:
\[
\frac{d H}{d t}=0, \quad H=\text { const. }
\]

Этот закон является более общим, чем закон сохранении энергии, так как он, согласно соотношениям (41.1) и (41.1в), в случае любой, но не зависящей от времени функции Лагранжа $L$ гласит:
\[
\sum \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} \dot{q}_{k}-L=\text { const. }
\]

Мы уже упоминали об этом законе сохранения в примечании на стр. 253. Он переходит в закон сохранения энергии в том частном случае, когда функцию Лагранжа $L$ можно разложить на кинетическую вариацию интеграла
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(\sum p_{k} \dot{q}_{k}-H\right) d t
\]

в предположении, что пределы интеграции $t_{0}$ и $t_{1}$ постоянны и что на этих пределах вариации $\delta q_{k}$ и $\delta p_{k}$ обращаются в нуль. Вариация этого интеграла, как легко видеть, равна
\[
\sum \int\left\{\left(\dot{q}_{k}-\frac{\partial H}{\partial p_{k}}\right) \delta p_{k}-\left(\dot{p}_{k}+\frac{\partial H}{\partial q_{k}}\right) \delta q_{k}\right\} d t .
\]

Для истинного движения, в силу уравнений Гамильтона (40.4) она обращается в нуль, т.е.
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(\sum p_{k} \dot{q}_{k}-H\right) d t=0 .
\]

Это уравнение только по форме совпадает с вариационным принципом Гамильтона. Содержание его иное, поскольку в нем предполагается другой способ варьирования. В частности вариации $\delta q$ и $\delta p$ теперь могут рассматриваться как независимые. Поэтому из уравнения (41.5a) без привлечения каких-либо добавочных соотношений непосредственно вытекают уравнения Гамильтона (41.4). Теперь ясно, что приведенное выше доказательство формул (41.12) может быть сохранено, если исходить из уравнения (41.5а), ибо из требования $\delta q=\delta p=0$ следует, что $\delta Q=\delta P=0$. (Прим. ред.)

часть, являющуюся однородной квадратичной функцией скоростей $\dot{q}_{k}$, и потенциальную часть, не зависящую от $\dot{q}_{k}$.