Циклоидальный маятник был изобретен Христианом Гюйгенсом ${ }^{1}$, крупным ученым XVII столетия и гениальнейшим часовым мастером всех времен. Этот маятник свободен от недостатка, присущего обычному математическому маятнику неполного изохронизма, благодаря тому, что в этом случае материальная точка движется не по дуге окружности, а по дуге циклоиды. Позже мы увидим, как это можно осуществить практически.

Рис. 26. Качение колеса образует обыкновенную циклоиду. Определение угла качения $\varphi$
Параметрическое представление обычной циклоиды имеет вид:

Рис. 27. Циклоидальный маятник Гюйгенса для осуществления изохронизма
\[
\left.\begin{array}{l}
x=a(\varphi-\sin \varphi), \\
y=a(1-\cos \varphi) .
\end{array}\right\}
\]

Параметр $\varphi$ означает угол, на который повернулось от своего исходного положения колесо радиуса $a$, катящееся по горизонтальной оси $x$. В случае обычной циклоиды точка, описывающая циклоиду, находится на окружности колеса.

Но для нашего маятника нам нужна циклоида, острия (точки возврата) которой обращены не вниз, а вверх (рис. 27) и которая образуется при качении колеса по нижней стороне оси $x$. Ее абсцисса $x$ выражается по-прежнему уравне-
${ }^{1}$ Horologium Oscillatorium, Paris, 1673 г. — Ges. Werke, Bd. 18, Haag, 1934.

нием (17.1), тогда как ордината $y$ получается вычитанием выражения (17.1) из $2 a$ :
\[
\left.\begin{array}{l}
x=a(\varphi-\sin \varphi), \\
y=a(1+\cos \varphi) .
\end{array}\right\}
\]

Слагающая силы тяжести $m g$ в направлении касательной к кривой (в данном случае к циклоиде) равна
\[
F_{s}=-m g \cos (y, s)=-m g \frac{d y}{d s} .
\]

Следовательно, из общего уравнения (11.14) получаем
\[
m v=-m g \frac{d y}{d s},
\]

причем, как и в случае «кругового» маятника, масса $m$ сокращается. Дифференцируя уравнения (17.2), получаем далее:
\[
\begin{array}{c}
d x=a(1-\cos \varphi) d \varphi, \quad d y=-a \sin \varphi d \varphi . \\
d s^{2}=a^{2}(2-2 \cos \varphi) d \varphi^{2}, \quad d s=2 a \sin \frac{\varphi}{2} d \varphi .
\end{array}
\]

Поэтому в нашем случае имеем
\[
v=\frac{d s}{d t}=2 a \sin \frac{\varphi}{2} \frac{d \varphi}{d t}=-4 a \frac{d}{d t} \cos \frac{\varphi}{2}
\]

и
\[
\frac{d y}{d s}=-\frac{1}{2} \frac{\sin \varphi}{\sin \frac{\varphi}{2}}=-\cos \frac{\varphi}{2} .
\]

Подставив выражения (17.4) и (17.5) в уравнение движения (17.3), найдем:
\[
\frac{d^{2}}{d t^{2}} \cos \frac{\varphi}{2}=-\frac{g}{4 a} \cos \frac{\varphi}{2} .
\]

Это уравнение отличается от уравнения (15.3) математического маятника только тем, что теперь функцией является не $\varphi$, а $\cos \frac{\varphi}{2}$. Для интегрирования это, разумеется, безразлично. Поэтому остается полностью справедливым прежнее уравнение (15.4), а именно:
\[
\tau=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}, \quad \text { где } \quad l=4 a,
\]

так как в нашем теперешнем уравнении (17.6) вместо прежнего $l$ стоит $4 a$.

Но в то время как прежнее уравнение (15.3) описывало только малые колебания математического маятника и получалось лишь приближенно из точного уравнения (15.1), наше теперешнее уравнение (17.6) и, следовательно, полученная из него путем интегрирования формула (17.7) точно справедливы для любых амплитуд. Таким образом, циклоидальный маятник строго изохронен, т.е. его период колебания вообще не зависит от величины амплитуды 1 .

С методической точки зрения отметим, что в уравнении (17.6) мы представили движение материальной точки отнюдь не с помощью ее прямоугольных координат или какой-либо иной величины, непосредственно измеряемой на циклоиде, а с помощью половины угла поворота $\varphi$, фигурирующего при построении циклоиды. Этот параметр, лишь косвенно связанный с циклоидой, дает возможность, как мы убедились, рассмотреть задачу наиболее простым образом. Введение этого параметра уже здесь могло бы подвести нас к общему методу Лагранжа, который будет изложен в гл. VI и даст нам возможность вводить в уравнения движения любые параметры в качестве независимых переменных.

Столь же изумительным, как и открытие Гюйгенсом изохронизма циклоидального маятника, является и его способ реализации движения без трения по циклоиде. Этот способ основан на теореме: «Эволюта циклоиды является также циклоидой, тождественной с исходной». Таким образом, если в точке $O$ (рис. 27), в которой соприкасаются две изображенные там верхние дуги циклоиды, закрепить нить длиною $l=4 a$ и натянуть ее так, чтобы она частично легла на правую (или при отклонении влево – на левую) ветвь циклоиды, то конечная точка $P$ нити
${ }^{1}$ Циклоида называется поэтому таутохроной (колебания по ней совершаются «сами собой изохронно»); она называется также брахистохроной (при одинаковых начальном и конечном положениях тело при скольжении по циклоиде затрачивает кратчайшее время по сравнению с временем, которое оно затратило бы при скольжении по наклонной плоскости или какой-либо другой кривой). Задача о брахистохроне особенно замечательна тем, что с нее началось развитие вариационного исчисления.

опишет нижнюю дугу циклоиды. Полученное таким образом движение материальной точки по нижней дуге циклоиды будет (приближенно) происходить без трения так же, как и движение по дуге окружности в случае обычного математического маятника.

Впрочем, на практике в конструкциях маятниковых часов идея Гюйгенса не используется; если прикрепить к верхнему концу маятника пружину (обычно короткую упругую пластинку), то, согласно исследованиям Бесселя и других, при соответствующем выборе длины этой пружины и массы маятника будет обеспечен достаточный изохронизм.