Главная > МЕХАНИКА (A. Зоммерфельд)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Здесь мы имеем дело с одной степенью свободы – углом поворота $\varphi$. Назовем $\dot{\varphi}=\omega$ угловой скоростью, $\ddot{\varphi}=\dot{\omega}-$ угловым ускорением. Реакции в осевых опорах нас пока не интересуют.

Пусть на тело действуют произвольные внешние силы $\mathbf{F}$ произвольного направления. Виртуальная работа их определяется, согласно $\S 9$ [уравнение (9.7)], суммою их моментов относительно оси вращения:
\[
M_{a} \delta \varphi,
\]

где $M_{a}$ – сумма моментов сил $\mathbf{F}$ относительно оси вращения. Требуется определить работу сил инерции $\mathbf{F}^{*}$. Разделим тело на элементы массы $d m$. Перпендикулярной к оси слагающей силы инерции, действующей на $d m$, является, согласно (10.3), центробежная сила $d m \frac{v^{2}}{r}=$ $d m \omega v$. (При круговом движении радиус кривизны $\rho$ траектории, очевидно, равен расстоянию $r$ от оси вращения; скорость $v$ каждой материальной частицы равна $r \omega$, ускорение $\dot{v}$ вдоль траектории равно $r \dot{\omega}$.) Но центробежная сила не производит никакой работы. С другой стороны, слагающая силы инерции по направлению траектории равна
\[
-d m \dot{v}=-d m r \dot{\omega} .
\]

Таким образом, полная виртуальная работа всех сил инерции равна
\[
\sum(-d m \cdot \dot{v}) \delta s=\sum-d m \cdot r \cdot \dot{\omega} \cdot r \delta \varphi=-\delta \varphi \dot{\omega} \int r^{2} d m=-d \varphi \dot{\omega} \Theta .
\]

Величина
\[
\Theta=\int r^{2} d m
\]

называется моментом инерии. Размерность $\Theta$ в физической системе единиц равна $2 \cdot c^{2}$, в технической же системе единиц $к \cdot м \cdot c e \kappa^{2}$.

Согласно (11.1) и (11.2), принцип Даламбера требует, чтобы выполнялось равенство:
\[
\delta \varphi\left(M_{a}-\Theta \dot{\omega}\right)=0 .
\]

Отсюда получается основное уравнение вращательного движения:
\[
\Theta \dot{\omega}=M_{a} .
\]

Сравним это уравнение с основным уравнением для поступательного движения с одной степенью свободы, например, в направлении оси $x$ :
\[
m \ddot{x}=F_{x} .
\]

Мы видим, что при вращательном движении $\Theta$ играет роль $m$. Такую же роль $\Theta$ играет и в выражении кинетической энергии. При вращательном движении твердого тела эта энергия равна
\[
E_{\text {кин. }}=T=\int \frac{d m}{2} v^{2}=\int \frac{d m}{2} r^{2} \omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{2} \int r^{2} \cdot d m=\frac{\omega^{2}}{2} \Theta,
\]

что точно соответствует элементарному выражению кинетической энергии в механике точки
\[
E_{\text {кин. }}=T=\frac{\dot{x}^{2}}{2} m .
\]

Момент инерции $\Theta$ твердого тела при неподвижной оси вращения не зависит от времени, тогда как для шарнирных механизмов и живых существ $\Theta$ переменно. В $\S 13$ мы покажем, что все спортивные занятия, в особенности гимнастика, основаны на изменчивости момента инерции человеческого тела.

Зависимость момента инерции твердого тела от положения оси вращения мы рассмотрим в $\S 22$.

Укажем еще на связь кинетической энергии с основным уравнением движения. Подобно тому, как в механике точки из закона живых сил
\[
\frac{d T}{d t}=\frac{d A}{d t}, \quad \text { где } \quad d A=F_{x} d x,
\]

можно (при постоянной массе) получить уравнение движения $m \ddot{x}=F_{x}$, так и при вращательном движении можно с помощью уравнения (11.5) получить из
\[
\frac{d T}{d t}=\frac{d A}{d t},
\]

где $d A=M_{a} d \varphi$ [уравнение (9.7)], уравнение движения (11.4) (при постоянном $\Theta$ ).

Момент инерции входит также в выражение для момента количества движения или момента импульса вращающегося тела. Если мы обозначим этот момент через $N$, то, очевидно,
\[
N=\sum d m v r=\omega \sum d m r^{2}=\omega \Theta .
\]
2. Связь между вращательным и поступательным движениями

Представим себе подъемную клеть в руднике или лифт. Канат, несущий лифт, намотан на окружность барабана радиуса $r$ и приводится в движение силой $P$. Два виртуальных перемещения этой системы (рис. 13) связаны соотношением:
\[
\delta z=r \cdot \delta \varphi .
\]

Принцип Даламбера требует, чтобы
\[
(-Q-M \ddot{z}) \delta z+(r P-\Theta \dot{\omega}) \delta \varphi=0 .
\]

Удобно представить себе массу барабана сосредоточенной на его окружности, т.е. ввести понятие так наз. «приведенной массы» $M_{\text {прив. }}$, определяемое следующим равенством:
\[
\Theta=M_{\text {прив. }} \cdot r^{2} \text {. }
\]

Тогда, принимая во внимание (11.7), можно переписать уравнение (11.7a) в виде:
\[
\left(P-Q-M \ddot{z}-M_{\text {прив. }} . \dot{\omega}\right) \delta z=0 .
\]

Рис. 13. Связь между вращательным и поступательным движениями (лифт, подъемная клеть)

3. Качение шара по наклонной плоскости
Здесь также идет речь о связи поступательного движения (соскальзывание шара) с вращательным (вращение шара вокруг оси, перпендикулярной к плоскости рисунка и проходящей через его центр). Действующей компонентой силы тяжести будет $Z=M g \sin \alpha$; указанную на рисунке силу трения покоя $R$ при пользовании принципом Даламбера учитывать не нужно, так как эта сила $R$ приложена к точке касания шара с плоскос-

Рис. 14. Шар на наклонной плоскости. Трение покоя $R$ обусловливает чистое качение, однако не входит в принцип Даламбера тью, а эта точка в каждый данный момент покоится. Условие чистого качения гласит:
\[
\dot{z}=r \omega
\]

или, если его записать через виртуальные перемещения,
\[
\delta z=r \delta \varphi .
\]

По принципу Даламбера требуется, чтобы
\[
\delta z(M g \sin \alpha-M \ddot{z})+\delta \varphi(-\Theta \dot{\omega})=0 .
\]

Вычисление величины $\Theta$ является задачей интегрального исчисления. Не приводя доказательства, укажем, что для однородного эллипсоида с полуосями $a, b, c$ момент инерции относительно оси $c$ (и соответственно относительно других главных осей) равен:
\[
\Theta_{c}=\frac{M}{5}\left(a^{2}+b^{2}\right) .
\]

В частном случае шара эта формула принимает вид:
\[
\Theta=\frac{2}{5} M r^{2} .
\]

Если ввести по аналогии с (11.8) «приведенную к расстоянию $r$ массу» шара, то из (11.12a) следует:
\[
M_{\text {прив. }}=\frac{2}{5} M \text {. }
\]

Внося это выражение в (11.11) и учитывая при этом соотношение $(11.10 a)$, легко получаем:
\[
\ddot{z}=\frac{5}{7} g \sin \alpha .
\]

Коэффициент $\frac{5}{7}$ показывает, как замедляется падение по наклонной плоскости вследствие качения шара и обусловленного этим качением увеличения инерции.

В то время как в случае свободного падения мы нашли [ср. (3.13)], что конечная скорость равна $v=\sqrt{2 g h}$, где $h$ – высота падения, мы теперь получаем из (11.13) конечную скорость
\[
v=\sqrt{2 \cdot \frac{5}{7} g h} .
\]

Различие конечных скоростей объясняется тем, что потенциальная энергия тяжелого шара превращается теперь не только в энергию падения, но также и в энергию вращения катящегося шара.
4. Движение материальной точки по заданному пути
Если принять, что это движение происходит без трения, то принцип Даламбера, примененный у единственной имеющейся здесь степени свободы (смещение $\delta s$ в направлении траектории), приводит к соотношению:
\[
\delta s\left(F_{s}^{*}+F_{s}\right)=0,
\]
т. е., согласно (5.8),
\[
m \dot{v}_{s}=m \dot{v}=F_{s}
\]

при произвольном направлении внешней силы F. Перпендикулярная к движению слагающая $F_{n}$ (которую мы будем считать положительной, если она направлена центростремительно) должна в сумме с $p e$ акцией (положительное направление которой мы будем считать таким же) уравновешивать центробежную силу $Z$. Таким образом,
\[
R_{n}+F_{n}=Z=m \frac{v^{2}}{\rho} .
\]

Вообще говоря, особенно если направление осуществляется материальным желобом, совершенно необходимо учитывать также и касательную к траектории слагающую реакции $R_{s}$, т.е. трение. Если считать положительное направление силы трения противоположным приращению пути $d s$, то соответствующее обобщение уравнения (11.14) запишется так:
\[
m \dot{v}=F_{s}-R_{s} .
\]

Однако в то время, как $R_{s}$ определяется уравнением (11.15), слагающая реакции $R_{s}$ остается в уравнении (11.16) «статически и динамически неопределенной»; ее можно определить только экспериментальным, физическим путем. Как это нужно делать, мы рассмотрим в приложении к этой главе.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru