1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Здесь мы имеем дело с одной степенью свободы – углом поворота $\varphi$. Назовем $\dot{\varphi}=\omega$ угловой скоростью, $\ddot{\varphi}=\dot{\omega}-$ угловым ускорением. Реакции в осевых опорах нас пока не интересуют.

Пусть на тело действуют произвольные внешние силы $\mathbf{F}$ произвольного направления. Виртуальная работа их определяется, согласно $\S 9$ [уравнение (9.7)], суммою их моментов относительно оси вращения:
\[
M_{a} \delta \varphi,
\]

где $M_{a}$ – сумма моментов сил $\mathbf{F}$ относительно оси вращения. Требуется определить работу сил инерции $\mathbf{F}^{*}$. Разделим тело на элементы массы $d m$. Перпендикулярной к оси слагающей силы инерции, действующей на $d m$, является, согласно (10.3), центробежная сила $d m \frac{v^{2}}{r}=$ $d m \omega v$. (При круговом движении радиус кривизны $\rho$ траектории, очевидно, равен расстоянию $r$ от оси вращения; скорость $v$ каждой материальной частицы равна $r \omega$, ускорение $\dot{v}$ вдоль траектории равно $r \dot{\omega}$.) Но центробежная сила не производит никакой работы. С другой стороны, слагающая силы инерции по направлению траектории равна
\[
-d m \dot{v}=-d m r \dot{\omega} .
\]

Таким образом, полная виртуальная работа всех сил инерции равна
\[
\sum(-d m \cdot \dot{v}) \delta s=\sum-d m \cdot r \cdot \dot{\omega} \cdot r \delta \varphi=-\delta \varphi \dot{\omega} \int r^{2} d m=-d \varphi \dot{\omega} \Theta .
\]

Величина
\[
\Theta=\int r^{2} d m
\]

называется моментом инерии. Размерность $\Theta$ в физической системе единиц равна $2 \cdot c^{2}$, в технической же системе единиц $к \cdot м \cdot c e \kappa^{2}$.

Согласно (11.1) и (11.2), принцип Даламбера требует, чтобы выполнялось равенство:
\[
\delta \varphi\left(M_{a}-\Theta \dot{\omega}\right)=0 .
\]

Отсюда получается основное уравнение вращательного движения:
\[
\Theta \dot{\omega}=M_{a} .
\]

Сравним это уравнение с основным уравнением для поступательного движения с одной степенью свободы, например, в направлении оси $x$ :
\[
m \ddot{x}=F_{x} .
\]

Мы видим, что при вращательном движении $\Theta$ играет роль $m$. Такую же роль $\Theta$ играет и в выражении кинетической энергии. При вращательном движении твердого тела эта энергия равна
\[
E_{\text {кин. }}=T=\int \frac{d m}{2} v^{2}=\int \frac{d m}{2} r^{2} \omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{2} \int r^{2} \cdot d m=\frac{\omega^{2}}{2} \Theta,
\]

что точно соответствует элементарному выражению кинетической энергии в механике точки
\[
E_{\text {кин. }}=T=\frac{\dot{x}^{2}}{2} m .
\]

Момент инерции $\Theta$ твердого тела при неподвижной оси вращения не зависит от времени, тогда как для шарнирных механизмов и живых существ $\Theta$ переменно. В $\S 13$ мы покажем, что все спортивные занятия, в особенности гимнастика, основаны на изменчивости момента инерции человеческого тела.

Зависимость момента инерции твердого тела от положения оси вращения мы рассмотрим в $\S 22$.

Укажем еще на связь кинетической энергии с основным уравнением движения. Подобно тому, как в механике точки из закона живых сил
\[
\frac{d T}{d t}=\frac{d A}{d t}, \quad \text { где } \quad d A=F_{x} d x,
\]

можно (при постоянной массе) получить уравнение движения $m \ddot{x}=F_{x}$, так и при вращательном движении можно с помощью уравнения (11.5) получить из
\[
\frac{d T}{d t}=\frac{d A}{d t},
\]

где $d A=M_{a} d \varphi$ [уравнение (9.7)], уравнение движения (11.4) (при постоянном $\Theta$ ).

Момент инерции входит также в выражение для момента количества движения или момента импульса вращающегося тела. Если мы обозначим этот момент через $N$, то, очевидно,
\[
N=\sum d m v r=\omega \sum d m r^{2}=\omega \Theta .
\]
2. Связь между вращательным и поступательным движениями

Представим себе подъемную клеть в руднике или лифт. Канат, несущий лифт, намотан на окружность барабана радиуса $r$ и приводится в движение силой $P$. Два виртуальных перемещения этой системы (рис. 13) связаны соотношением:
\[
\delta z=r \cdot \delta \varphi .
\]

Принцип Даламбера требует, чтобы
\[
(-Q-M \ddot{z}) \delta z+(r P-\Theta \dot{\omega}) \delta \varphi=0 .
\]

Удобно представить себе массу барабана сосредоточенной на его окружности, т.е. ввести понятие так наз. «приведенной массы» $M_{\text {прив. }}$, определяемое следующим равенством:
\[
\Theta=M_{\text {прив. }} \cdot r^{2} \text {. }
\]

Тогда, принимая во внимание (11.7), можно переписать уравнение (11.7a) в виде:
\[
\left(P-Q-M \ddot{z}-M_{\text {прив. }} . \dot{\omega}\right) \delta z=0 .
\]

Рис. 13. Связь между вращательным и поступательным движениями (лифт, подъемная клеть)

3. Качение шара по наклонной плоскости
Здесь также идет речь о связи поступательного движения (соскальзывание шара) с вращательным (вращение шара вокруг оси, перпендикулярной к плоскости рисунка и проходящей через его центр). Действующей компонентой силы тяжести будет $Z=M g \sin \alpha$; указанную на рисунке силу трения покоя $R$ при пользовании принципом Даламбера учитывать не нужно, так как эта сила $R$ приложена к точке касания шара с плоскос-

Рис. 14. Шар на наклонной плоскости. Трение покоя $R$ обусловливает чистое качение, однако не входит в принцип Даламбера тью, а эта точка в каждый данный момент покоится. Условие чистого качения гласит:
\[
\dot{z}=r \omega
\]

или, если его записать через виртуальные перемещения,
\[
\delta z=r \delta \varphi .
\]

По принципу Даламбера требуется, чтобы
\[
\delta z(M g \sin \alpha-M \ddot{z})+\delta \varphi(-\Theta \dot{\omega})=0 .
\]

Вычисление величины $\Theta$ является задачей интегрального исчисления. Не приводя доказательства, укажем, что для однородного эллипсоида с полуосями $a, b, c$ момент инерции относительно оси $c$ (и соответственно относительно других главных осей) равен:
\[
\Theta_{c}=\frac{M}{5}\left(a^{2}+b^{2}\right) .
\]

В частном случае шара эта формула принимает вид:
\[
\Theta=\frac{2}{5} M r^{2} .
\]

Если ввести по аналогии с (11.8) «приведенную к расстоянию $r$ массу» шара, то из (11.12a) следует:
\[
M_{\text {прив. }}=\frac{2}{5} M \text {. }
\]

Внося это выражение в (11.11) и учитывая при этом соотношение $(11.10 a)$, легко получаем:
\[
\ddot{z}=\frac{5}{7} g \sin \alpha .
\]

Коэффициент $\frac{5}{7}$ показывает, как замедляется падение по наклонной плоскости вследствие качения шара и обусловленного этим качением увеличения инерции.

В то время как в случае свободного падения мы нашли [ср. (3.13)], что конечная скорость равна $v=\sqrt{2 g h}$, где $h$ – высота падения, мы теперь получаем из (11.13) конечную скорость
\[
v=\sqrt{2 \cdot \frac{5}{7} g h} .
\]

Различие конечных скоростей объясняется тем, что потенциальная энергия тяжелого шара превращается теперь не только в энергию падения, но также и в энергию вращения катящегося шара.
4. Движение материальной точки по заданному пути
Если принять, что это движение происходит без трения, то принцип Даламбера, примененный у единственной имеющейся здесь степени свободы (смещение $\delta s$ в направлении траектории), приводит к соотношению:
\[
\delta s\left(F_{s}^{*}+F_{s}\right)=0,
\]
т. е., согласно (5.8),
\[
m \dot{v}_{s}=m \dot{v}=F_{s}
\]

при произвольном направлении внешней силы F. Перпендикулярная к движению слагающая $F_{n}$ (которую мы будем считать положительной, если она направлена центростремительно) должна в сумме с $p e$ акцией (положительное направление которой мы будем считать таким же) уравновешивать центробежную силу $Z$. Таким образом,
\[
R_{n}+F_{n}=Z=m \frac{v^{2}}{\rho} .
\]

Вообще говоря, особенно если направление осуществляется материальным желобом, совершенно необходимо учитывать также и касательную к траектории слагающую реакции $R_{s}$, т.е. трение. Если считать положительное направление силы трения противоположным приращению пути $d s$, то соответствующее обобщение уравнения (11.14) запишется так:
\[
m \dot{v}=F_{s}-R_{s} .
\]

Однако в то время, как $R_{s}$ определяется уравнением (11.15), слагающая реакции $R_{s}$ остается в уравнении (11.16) «статически и динамически неопределенной»; ее можно определить только экспериментальным, физическим путем. Как это нужно делать, мы рассмотрим в приложении к этой главе.