Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике В начале прошлого столетия наиболее актуальным вопросом теоретической физики была «дилемма» правильности волновой или корпускулярной теории света. Основы волновой теории были заложены Гюйгенсом. В рассматриваемый период она получила подтверждение благодаря открытию Томасом Юнгом явления интерференции; корпускулярная же теория опиралась на авторитет Ньютона. Гамильтон – астроном и математик – изучал ход лучей в оптических приборах. Публикация его работ, относящихся к этому вопросу $^{1}$, началась в 1827 г., т.е. после смерти двух величайших создателей волновой оптики – Фраунгофера и Френеля ${ }^{2}$. Работы Гамильтона в области общей динамики, результаты которых мы здесь вкратце изложим, относятся к более позднему времени, но тесно связаны с его работами по лучевой оптике ${ }^{3}$. Необходимо заметить, что развитие современной физики после открытия Планком элементарного кванта действия $h$ в корне изменило самую постановку вопроса; она не гласит более: «Волновая или корпускулярная теория?», но: «и волновая, и корпускулярная теория!». Как увязать друг с другом, не впадая в противоречия, эти два, казалось бы, противоположных (а в действительности – взаимно дополняющих друг друга) толкования оптики (а в дальнейшем – и динамики)? Ответ на этот вопрос заключается, как показал Шредингер, в дальнейшем последовательном развитии хода мыслей Гамильтона, которое приводит к волновой или квантовой механике. Лучевая оптика является механикой световых частиц; их траектории (в оптически неоднородных средах они ни в коем случае не будут прямолинейными) определяются обыкновенными дифференциальными уравнениями Гамильтона или эквивалентным им принципом наименьшего действия. Напротив, с точки зрения волновой теории световые лучи получаются как ортогональные ${ }^{4}$ траектории системы волновых поверхностей. Последние, согласно принципу Гюйгенса, являются пaраллельными поверхностями. Гамильтон описывал семейство волновых поверхностей с помощью дифференциального уравнения (по необходимости – в частных производных) и распространил этот метод на мно- гомерное пространство координат $q_{k}$ произвольной механической системы. Тогда, как мы увидим, семейство волновых поверхностей определяется условием $S=$ const, где $S$ есть функция действия в форме (37.1), а ортогональные к этому семейству траектории определяются уравнением: Будем исходить из соотношения (37.9) и заменим в нем справа $\delta A$ через Тогда правая часть соотношения (37.9) принимает вид: Левую часть того же соотношения переписываем в обобщенных координатах $q, p$ : и, приравняв ее выражению (43.2), получим: Отсюда путем интегрирования по $t$ в пределах от 0 до $t$ [аналогично формулам (37.11)-(37.12a)] получим: Здесь $p_{0}$ и $\delta q_{0}$ относятся к нижнему пределу интегрирования $t=0$, а $p$ и $\delta q$ – к верхнему пределу $t$. Уравнение (43.5) показывает, что мы будем рассматривать интеграл действия $S$ как функцию начального положения $q_{0}$, конечного положения $q$ и энергии $W$, а следовательно, вместо времени $t$ будем пользоваться в качестве переменной произвольно задаваемой энергией $W$ : Тогда из (43.5) при фиксированных $q_{0}$ и $q$ получим следующее уравнение, определяющее временной ход движения: В то же время, фиксируя в уравнении (43.5) энергию $W$ и варьируя лишь одну из координат $q$ или $q_{0}$, получим: Первое из этих соотношений совпадает с нашим утверждением (43.1), второе же соотношение мы вскоре приведем к более удобному виду. Казалось бы, полученные соотношения дают мало нового для описания движения, пока не известно действие $S$ в форме (43.6). Вспомним, однако, закон сохранения энергии: Заменяя здесь $p$, согласно уравнению (43.8), получим: Это уравнение мы рассматриваем как уравнение для определения $S$. Поскольку $T$ является квадратичной функцией импульсов $p$ ( $V$ можно считать не зависящей от $p$ ), то дифференииальное уравнение Гамильтона в частных производных (43.9) является уравнением второй степени и первого порядка. Допустим, что мы нашли полный интеграл этого уравнения, т.е. интеграл, содержащий столько произвольных постоянных, сколько степеней свободы имеет рассматриваемая система. Обозначим эти произвольные постоянные через Так как само $S$ не входит в уравнение (43.9), то $S$ может быть определено из него только с точностью до аддитивной постоянной. Следовательно, одна из перечисленных постоянных интегрирования, скажем, $\alpha_{1}$, является излишней и заменяется аддитивной постоянной, остающейся неопределенной. Вводя вместо $\alpha_{1}$ параметр энергии $W$, запишем наш полный интеграл в следующей форме: Классическим (хотя и не всегда применимым) методом получения подобного полного интеграла является метод разделения переменных, на котором мы остановимся в § 45 . В §44 мы покажем, как можно определить движение системы, если найден полный интеграл (43.10). Будем рассматривать $S^{*}$ как функцию начального и конечного положений и времени движения $t$ : в противоположность формуле (43.6), в которой место $t$ занимала не существующая теперь константа энергии $W$. с другой стороны, согласно (43.12): В справедливости использованного здесь, аналогичного (43.8) соотношения можно убедиться с помощью формулы (43.11), если продифференцировать ее по $q_{k}$ и использовать соотношение (41.1д). Сравнивая выражения (43.13) и (43.14), в силу общего определения (41.1) функции $H$, получаем: Таким образом, используя зависимость (43.15), имеем: Это и есть общий вид дифференциального уравнения Гамильтона. Оно заключает в себе прежнее уравнение (43.9) как частный случай. А именно, если принять, как в случае а), что $H$ не зависит от $t$, то из уравнения (43.17) следует, что $S^{*}$ линейно относительно $t$. Поэтому полагаем и заключаем из (43.16), что $-a=H$, т.е. равно существующей теперь константе энергии $W$. Величина $b$ оказывается тождественной нашей прежней функции действия $S$. Следовательно, общее уравнение (43.17) действительно переходит в более специальное уравнение (43.9). Все сказанное нами в п. а) относительно интегрирования уравнения (43.9) относится и к более общему уравнению (43.17). Полный интеграл уравнения (43.17) теперь содержит $f+1$ постоянную, из которых одна по-прежнему является аддитивной. Теперь мы будем вместо (43.10) писать:
|
1 |
Оглавление
|