В начале прошлого столетия наиболее актуальным вопросом теоретической физики была «дилемма» правильности волновой или корпускулярной теории света. Основы волновой теории были заложены Гюйгенсом. В рассматриваемый период она получила подтверждение благодаря открытию Томасом Юнгом явления интерференции; корпускулярная же теория опиралась на авторитет Ньютона.

Гамильтон – астроном и математик – изучал ход лучей в оптических приборах. Публикация его работ, относящихся к этому вопросу $^{1}$, началась в 1827 г., т.е. после смерти двух величайших создателей волновой оптики – Фраунгофера и Френеля ${ }^{2}$. Работы Гамильтона в области общей динамики, результаты которых мы здесь вкратце изложим, относятся к более позднему времени, но тесно связаны с его работами по лучевой оптике ${ }^{3}$.

Необходимо заметить, что развитие современной физики после открытия Планком элементарного кванта действия $h$ в корне изменило самую постановку вопроса; она не гласит более: «Волновая или корпускулярная теория?», но: «и волновая, и корпускулярная теория!». Как увязать друг с другом, не впадая в противоречия, эти два, казалось бы, противоположных (а в действительности – взаимно дополняющих друг друга) толкования оптики (а в дальнейшем – и динамики)? Ответ на этот вопрос заключается, как показал Шредингер, в дальнейшем последовательном развитии хода мыслей Гамильтона, которое приводит к волновой или квантовой механике.

Лучевая оптика является механикой световых частиц; их траектории (в оптически неоднородных средах они ни в коем случае не будут прямолинейными) определяются обыкновенными дифференциальными уравнениями Гамильтона или эквивалентным им принципом наименьшего действия. Напротив, с точки зрения волновой теории световые лучи получаются как ортогональные ${ }^{4}$ траектории системы волновых поверхностей. Последние, согласно принципу Гюйгенса, являются пaраллельными поверхностями. Гамильтон описывал семейство волновых поверхностей с помощью дифференциального уравнения (по необходимости – в частных производных) и распространил этот метод на мно-
${ }^{1}$ Trans. Irish Academy, $1827,1830,1832$. Работы по динамике вышли в издании «Trans. Roy. Soc.» London 1834 and 1835.
${ }^{2}$ Огюстен Жан Френель родился 10 мая 1788 г., умер 14 июля 1827 г.; Иосиф Фраунгофер родился 6 марта 1787 г., умер 7 июня 1826 г.
${ }^{3}$ В изложении Якоби эта связь утрачивается. Лишь в 1891 г. она была вновь выявлена Ф. Клейном (Naturforscher-Gesellschaft in Halle; Ges. Abhandl., S. 601 and 603 ).
${ }^{4}$ Это справедливо для оптически изотропных сред. В анизотропных средах (кристаллах) ортогональность луча и волновой поверхности является не обычной евклидовой, а «тензорно» обобщенной неевклидовой ортогональностью.

гомерное пространство координат $q_{k}$ произвольной механической системы. Тогда, как мы увидим, семейство волновых поверхностей определяется условием $S=$ const, где $S$ есть функция действия в форме (37.1), а ортогональные к этому семейству траектории определяются уравнением:
\[
p_{k}=\frac{\partial S}{\partial q_{k}} .
\]
a) Консервативная система. Вначале мы рассмотрим механическую систему, для которой справедлив закон сохранения энергии, причем энергию можно разложить на кинетическую $T$ и потенциальную $V$, В этом случае $T, V$ и $H$ не зависят явно от $t$.

Будем исходить из соотношения (37.9) и заменим в нем справа $\delta A$ через
\[
-\delta V=\delta(T-W)=\delta T-\delta W .
\]

Тогда правая часть соотношения (37.9) принимает вид:
\[
2 \delta T+2 T \frac{d}{d t} \delta t=\delta W .
\]

Левую часть того же соотношения переписываем в обобщенных координатах $q, p$ :
\[
\frac{d}{d t} \sum p_{k} \delta q_{k}
\]

и, приравняв ее выражению (43.2), получим:
\[
2 \delta T+2 T \frac{d}{d t} \delta t-\delta W=\frac{d}{d t} \sum p_{k} \delta q_{k} .
\]

Отсюда путем интегрирования по $t$ в пределах от 0 до $t$ [аналогично формулам (37.11)-(37.12a)] получим:
\[
\delta S-t \delta W=\sum p \delta q-\sum p_{0} \delta q_{0} .
\]

Здесь $p_{0}$ и $\delta q_{0}$ относятся к нижнему пределу интегрирования $t=0$, а $p$ и $\delta q$ – к верхнему пределу $t$.

Уравнение (43.5) показывает, что мы будем рассматривать интеграл действия $S$ как функцию начального положения $q_{0}$, конечного положения $q$ и энергии $W$, а следовательно, вместо времени $t$ будем пользоваться в качестве переменной произвольно задаваемой энергией $W$ :
\[
S=S\left(q, q_{0}, W\right) .
\]

Тогда из (43.5) при фиксированных $q_{0}$ и $q$ получим следующее уравнение, определяющее временной ход движения:
\[
t=\frac{\partial S}{\partial W} .
\]

В то же время, фиксируя в уравнении (43.5) энергию $W$ и варьируя лишь одну из координат $q$ или $q_{0}$, получим:
\[
p=\frac{\partial S}{\partial q}, \quad p_{0}=-\frac{\partial S}{\partial q_{0}} .
\]

Первое из этих соотношений совпадает с нашим утверждением (43.1), второе же соотношение мы вскоре приведем к более удобному виду.

Казалось бы, полученные соотношения дают мало нового для описания движения, пока не известно действие $S$ в форме (43.6). Вспомним, однако, закон сохранения энергии:
\[
H(q, p)=W .
\]

Заменяя здесь $p$, согласно уравнению (43.8), получим:
\[
H\left(q, \frac{\partial S}{\partial q}\right)=W
\]

Это уравнение мы рассматриваем как уравнение для определения $S$. Поскольку $T$ является квадратичной функцией импульсов $p$ ( $V$ можно считать не зависящей от $p$ ), то дифференииальное уравнение Гамильтона в частных производных (43.9) является уравнением второй степени и первого порядка.

Допустим, что мы нашли полный интеграл этого уравнения, т.е. интеграл, содержащий столько произвольных постоянных, сколько степеней свободы имеет рассматриваемая система. Обозначим эти произвольные постоянные через
\[
\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{f} .
\]

Так как само $S$ не входит в уравнение (43.9), то $S$ может быть определено из него только с точностью до аддитивной постоянной. Следовательно, одна из перечисленных постоянных интегрирования, скажем, $\alpha_{1}$, является излишней и заменяется аддитивной постоянной, остающейся неопределенной. Вводя вместо $\alpha_{1}$ параметр энергии $W$, запишем наш полный интеграл в следующей форме:
\[
S=S\left(q, W, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{f}\right)+\text { const. }
\]

Классическим (хотя и не всегда применимым) методом получения подобного полного интеграла является метод разделения переменных, на котором мы остановимся в § 45 . В §44 мы покажем, как можно определить движение системы, если найден полный интеграл (43.10).
б) Неконсервативная система. Рассмотрим теперь общий случай, когда функция Лагранжа $L$, а следовательно, и функция Гамильтона $H$, зависит от $t$. В этом случае разложение $L$ и $H$ на $T$ и $V$, вообще говоря, невозможно; в частности, если бы существовала потенциальная энергия $V$, то она зависела бы от времени. Этот случай важен для теории возмущений в астрономии и квантовой механике. Здесь не имеет места сохранение энергии, т. е. отсутствует и постоянная энергия $W$. Вследствие этого, мы не можем применить принцип наименьшего действия в форме Мопертюи, а должны обратиться к его гамильтоновой форме. Определим функцию действия $S^{*}$ с помощью интеграла входящего в принцип Гамильтона:
\[
S^{*}=\int_{t_{0}}^{t_{1}} L d t .
\]

Будем рассматривать $S^{*}$ как функцию начального и конечного положений и времени движения $t$ :
\[
S^{*}=S^{*}\left(q, q_{0}, t\right),
\]

в противоположность формуле (43.6), в которой место $t$ занимала не существующая теперь константа энергии $W$.
Образуем теперь, согласно (43.11),
\[
\frac{d S^{*}}{d t}=L
\]

с другой стороны, согласно (43.12):
\[
\frac{d S^{*}}{d t}=\sum \frac{\partial S^{*}}{\partial q_{k}} \dot{q}_{k}+\frac{\partial S^{*}}{\partial t}=\sum p_{k} \dot{q}_{k}+\frac{\partial S^{*}}{\partial t} .
\]

В справедливости использованного здесь, аналогичного (43.8) соотношения
\[
p_{k}=\frac{\partial S^{*}}{\partial q_{k}}
\]

можно убедиться с помощью формулы (43.11), если продифференцировать ее по $q_{k}$ и использовать соотношение (41.1д).

Сравнивая выражения (43.13) и (43.14), в силу общего определения (41.1) функции $H$, получаем:
\[
\frac{\partial S^{*}}{\partial t}+H=0 .
\]

Таким образом, используя зависимость (43.15), имеем:
\[
\frac{\partial S^{*}}{\partial t}+H\left(q, \frac{\partial S^{*}}{\partial q}, t\right)=0 .
\]

Это и есть общий вид дифференциального уравнения Гамильтона. Оно заключает в себе прежнее уравнение (43.9) как частный случай. А именно, если принять, как в случае а), что $H$ не зависит от $t$, то из уравнения (43.17) следует, что $S^{*}$ линейно относительно $t$. Поэтому полагаем
\[
S^{*}=a t+b
\]

и заключаем из (43.16), что $-a=H$, т.е. равно существующей теперь константе энергии $W$. Величина $b$ оказывается тождественной нашей прежней функции действия $S$. Следовательно, общее уравнение (43.17) действительно переходит в более специальное уравнение (43.9).

Все сказанное нами в п. а) относительно интегрирования уравнения (43.9) относится и к более общему уравнению (43.17). Полный интеграл уравнения (43.17) теперь содержит $f+1$ постоянную, из которых одна по-прежнему является аддитивной. Теперь мы будем вместо (43.10) писать:
\[
S=S\left(q, t, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{f}\right)+\text { const. }
\]