Допустим, что движение происходит по оси $x$. При таком движении проявляется действие только с.тагающих сил в направлении оси $x$, сумму которых мы обозначим через $X$.

В рассматриваемом случае $v=v_{x}=\frac{d x}{d t}$ и $G=G_{x}=m \frac{d x}{d t}$. Закон движения гласит:
\[
\dot{G}=X,
\]

а при постоянном $m$
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=X .
\]

Рассмотрим интегрирование этого уравнения движения в тех случаях, когда $X$ является функцией либо только времени $[X=X(t)]$, либо координаты $[X=X(x)]$, либо скорости $[X=X(v)]$.
a)
\[
X=X(t) .
\]

Непосредственное интегрирование дает:
\[
v-v_{0}=\frac{1}{m} \int_{t_{0}}^{t} X(t) d t=\frac{1}{m} Z(t) .
\]

Таким образом, интеграл силы по времени $Z(t)$ равен изменению импульса за время от $t_{0}$ до $t .^{1}$
Вторичное интегрирование дает уравнение пути:
\[
x-x_{0}=v_{0}\left(t-t_{0}\right)+\frac{1}{m} \int_{t_{0}}^{t} Z(t) d t .
\]
б)
\[
X=X(x) .
\]

Этот пример является типичным случаем силового поля, заданного в пространстве. Интегрирование производится с помощью закона сохранения энергии. Умножаем обе части уравнения (3.2) на $\frac{d x}{d t}$ :
\[
m \cdot \frac{d x}{d t} \cdot \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=X \frac{d x}{d t} .
\]

Теперь слева стоит полная производная
\[
\frac{d}{d t}\left\{\frac{m}{2}\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}\right\} .
\]

В соответствии с общим определением (1.4), пишем справа $d A=X d x$ и называем $d A$ работой, произведенной на пути $d x$. Получаемое таким образом уравнение гласит: изменение кинетической энергии равно произведенной работе.
Действительно, назовем по определению величину
\[
T=E_{\text {кин }}=\frac{m}{2} v^{2}
\]

кинетической энергией или энергией движения; более старый термин «живая сила» (Лейбниц) отражает многозначность термина «сила» (противоположение vis viva и vis motrix; еще Гельмгольц дал своему сочинению, написанному в 1847 г., название «0 сохранении силы»).
1 Часто термином «импульс» обозначают интеграл действующей силы по времени, а равную ему величину $m v-m v_{0}$ называют изменением количества движения. (Прим. ред.)

Наряду с кинетической энергией, определим потенциальную энергию $V$ как
\[
d V=-d A=-X d x, \quad V=E_{\text {потенц. }}=-\int^{x} X d x .
\]

В одномерной механике точки это определение достаточно; соответствующая же функция $V$ для двух- и трехмерных силовых полей существует только в том случае, если эти поля удовлетворяют определенным условиям (ср. добавление к $\S 18$ ). Согласно (3.7), V определено с точностью до аддитивной постоянной.

Воспользовавшись этими определениями, из проинтегрированного уравнения (3.5) получаем закон сохранения энергии:
\[
T+V=\text { const }=W,
\]

где $W$ – постоянная энергии или «полная энергия».
Закон сохранения энергии имеет не только выдающееся физическое значение, но обладает еще и замечательной математической силой. Он позволяет, как мы видели, не только произвести первое интегрирование, но непосредственно выполнить также и второе интегрирование, по крайней мере в рассматриваемом нами случае б). А именно, если мы запишем (3.8) в форме
\[
\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}=\frac{2}{m}[W-V(x)],
\]

то, разрешая это уравнение относительно $d t$, получим:
\[
d t=\sqrt{\frac{m}{2(W-V)}} d x
\]

и отсюда
\[
t-t_{0}=\sqrt{\frac{m}{2}} \int_{x_{0}}^{x} \frac{d x}{\sqrt{W-V}} .
\]

Таким образом, нам известно $t$ как функция $x$, а следовательно, и $x$ как функция $t$. В соответствии с этим уравнение (3.9) представляет собой полностью проинтегрированное уравнение движения.

в)
\[
X=X(v) .
\]

Теперь уравнение движения гласит:
\[
m \frac{d v}{d t}=X(v)
\]

Перепишем его в виде
\[
d t=\frac{m d v}{X},
\]

откуда получим
\[
t-t_{0}=m \int_{v_{0}}^{v} \frac{d v}{X}=F(v) .
\]

Этим уравнением определяется также $v$ как функция $t$ :
\[
v=f(t) .
\]

Итак, мы имеем
\[
\frac{d x}{d t}=f(t)
\]

откуда следует
\[
x-x_{0}=\int_{t_{0}}^{t} f(t) d t .
\]

Примеры
1. Свободное падение вблизи земной поверхности

Направим ось х вверх. Сила
\[
X=-m g
\]

постоянна, т. е. не зависит от $t$ и $v$. Следовательно, применимы все три способа интегрирования: а), б), в).

Мы проведем интегрирование способами а) и б) и при этом предположим, что «тяготеющая» масса и «инертная» масса равны друг другу:
\[
m_{\text {тяг. }}=m_{\text {ин. }} .
\]
$m_{\text {ин. }}$ – масса, определяемая второй аксиомой, $m_{\text {тяг. }}$ – масса, фигурирующая в законе тяготения, а потому также и в выражении силы тяжести (3.11).

Уже Бесселем была понята необходимость экспериментально проверить равенство (3.12) на опытах с маятником ${ }^{1}$.

Значительно более точное экспериментальное доказательство этого равенства дал Этвёш с помощью своих крутильных весов. Позднее соотношение (3.12) дало первый толчок к теории тяготения Эйнштейна.
a) $\ddot{x}=-g$. При соответствующем выборе постоянной интегрирования ( $v=0$ и $x=h$ при $t=0$ ) получаем:
\[
\dot{x}=-g t \quad x=h-\frac{g}{2} t^{2} .
\]
б) Из $d A=-m g d x$ получаем
\[
V=m g x \quad \text { и } \quad T+m g x=W .
\]

Если $v=0$ при $x=h$, то $W=m g h$; следовательно,
\[
\frac{m}{2} v^{2}+m g x=m g h .
\]

В частности, для $x=0$ получается $x^{2}=2 g h$,
\[
v=\sqrt{2 g h} .
\]

Обратив это уравнение, получим
\[
h=\frac{v^{2}}{2 g} .
\]

Эта величина называется «скоростным напором». Она определяет ту высоту $h$, до которой должна быть поднята (произвольная) масса, чтобы
${ }^{1}$ Отметим, что уже у Ньютона в начале его механики, а именно в пояснении к «Определению I», мы находим следующее интересное положение: «Определяется масса по весу тела, ибо она пропорциональна весу, что мною найдено опытами над маятниками, произведенными точнейшим образом».

приобрести при падении в поле тяжести с этой высоты заданную скорость $v$. Введение этого «скоростного напора» вместо скорости в особенности удобно при рассмотрении ряда технических вопросов, например, высоты подъема воды в трубках Пито, величины давления в центрифугах и т.д. Разница в высоте уровней воды в ньютоновском «опыте с ведром» также дается формулой (3.13a).
2. Свободное падение с большой высоты (метеор)
В этом случае сила притяжения не является уже постоянной, а определяется законом тяготения ( $m$ – масса метеора, $M$ – масса Земли, $G$ – постоянная тяготения):
\[
m \frac{d^{2} r}{d t^{2}}=-\frac{m M G}{r^{2}} .
\]

Здесь вместо координаты $x$ мы ввели расстояние $r$, отсчитываемое от центра Земли. Так как сила зависит от $r$, то теперь может быть применен только способ интегрирования б).

В частности, из (3.14) получается следующее выражение для силы тяжести на земной поверхности:
\[
m g=\frac{m M G}{a^{2}},
\]

где $a$ означает радиус Земли. Это соотношение позволяет исключить $m M G$ из (3.14):
\[
\frac{d^{2} r}{d t^{2}}=-g \frac{a^{2}}{r^{2}}
\]

Из (3.7) получаем:
\[
d V=-d A=m g a^{2} \frac{d r}{r^{2}} .
\]

Таким образом, для потенциальной энергии, если положить ее равной нулю на бесконечности, получим выражение:
\[
V(r)=-m g \frac{a^{2}}{r} .
\]

Поэтому из (3.8) следует:
\[
\frac{m}{2}\left(\frac{d r}{d t}\right)^{2}-\frac{m g a^{2}}{r}=W=-\frac{m g a^{2}}{R},
\]

где $R$ – гипотетическое начальное расстояние падающей массы от центра Земли, на котором она находилась в состоянии покоя. Таким образом, имеем:
\[
\frac{d r}{d t}=a \sqrt{2 g} \sqrt{\frac{1}{r}-\frac{1}{R}}
\]

и, соответственно уравнению (3.9),
\[
t=\frac{1}{a \sqrt{2 g}} \int \frac{d r}{\sqrt{\frac{1}{r}-\frac{1}{R}}} .
\]

Мы не станем вычислять значение входящего в (3.16a) интеграла, так как нас интересуют только два частных случая уравнения (3.16):
a)
\[
R=\infty, \quad r=a .
\]

Метеор достигает Земли со скоростью
\[
\frac{d r}{d t}=\sqrt{2 g a} .
\]

Стало быть, при свободном падении с бесконечной высоты в поле тяготения тело приобрело бы на поверхности Земли ту же скорость, как и при свободном падении с высоты $h=a$ при постоянном ускорении силы тяжести $g$ [см. уравнение (3.13)].
б)
\[
R=a+h, \quad h \ll a, \quad r=a .
\]

Здесь речь идет о первой поправке к определяемой формулой (3.13) скорости падения, обусловленной уменьшением ускорения силы тяжести при удалении от Земли; предполагается, что падение происходит с не слишком большой высоты. Из (3.16) следует:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d r}{d t}=\sqrt{2 g a} \sqrt{1-\frac{1}{1+\frac{h}{a}}}=\sqrt{2 g a}\left(\frac{h}{a}-\frac{h^{2}}{a^{2}}+\ldots\right)^{1 / 2}= \\
=\sqrt{2 g a} \sqrt{\frac{h}{a}}\left(1-\frac{1}{2} \frac{h}{a}+\ldots\right)=\sqrt{2 g h}\left(1-\frac{1}{2} \frac{h}{a}+\ldots\right) .
\end{array}
\]

3. Свободное падение при учете сопротивления воздуха

Примем, что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. Это допущение, восходящее еще к Ньютону, достаточно хорошо согласуется с данными наблюдений в тех случаях, когда падающее тело не слишком мало и когда его скорость мала по сравнению со скоростью звука, но при этом не исчезающе мала. При таком допущении полная действующая сила равна
\[
X(v)=-m g+a v^{2} .
\]

Знак последнего члена соответствует тому, что сопротивление воздуха противодействует силе тяжести [ср. выше случай в)]. Уравнение движения будет иметь вид
\[
\frac{d v}{d t}=-g+\frac{a}{m} v^{2} .
\]

Если положить $\frac{a}{m g}=b^{2}$, то оно переходит в
\[
\frac{d v}{d t}=-g\left(1-b^{2} v^{2}\right)
\]

Отсюда, как и при выводе уравнения (3.10), положив $t_{0}=0$, получаем:
\[
-g d t=\frac{d v}{2}\left(\frac{1}{1-b v}+\frac{1}{1+b v}\right), \quad-g t=\frac{1}{2 b} \lg \frac{1+b v}{1-b v} .
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{c}
\frac{1+b v}{1-b v}=e^{-2 b g t}, \\
b v=\frac{e^{-2 b g t}-1}{e^{-2 b g t}+1}=-\frac{\operatorname{sh}(b g t)}{\operatorname{ch}(b g t)}=-\operatorname{th}(b g t) .
\end{array}
\]

Здесь sh, ch, th означают гиперболические функции. Таким образом, $b v$ все время увеличивается от 0 и при $t=\infty$ приближается к единице. Предел, к которому стремится само $v$, равен
\[
|v|=\frac{1}{b}=\sqrt{\frac{m g}{a}} .
\]

Этот результат можно прямо получить из уравнения (3.17), так как при таком предельном значении скорости производная $\frac{d v}{d t}$ обращается в нуль.

Воспользуемся уравнением (3.18), чтобы получить первую поправку на сопротивление воздуха к формуле, выведенной для безвоздушного пространства. Из разложения в ряд
\[
\operatorname{th} a=\frac{\operatorname{sh} a}{\operatorname{ch} a}=\frac{a+\frac{a^{3}}{6}}{1+\frac{a^{2}}{2}}=a\left(1-\frac{a^{2}}{3}\right),
\]

полагая на основании (3.18) $a=b g t$, получим:
\[
v=-g t\left(1-\frac{(b g t)^{2}}{3}\right) .
\]
4. Гармонические колебания

Гармонические колебания возникают при действии на материальную точку $m$ силы $X$, направленной к положению равновесия и пропорциональной отклонению $x$ от этого положения. Если мы обозначим коэффициент пропорциональности через $k$, то
\[
X=-k x,
\]

и уравнение движения при постоянном $m$ будет
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-k x .
\]

Так как сила задана как функция координаты [случай б), стр. 30], то, согласно общему правилу для этого случая, при интегрировании мы применим закон сохранения энергии. Для этого нам необходимо прежде всего определить потенциальную энергию гармонической связи. Имеем
\[
d A=X d x=-\frac{k}{2} d\left(x^{2}\right)
\]

и, следовательно, согласно (3.7), при соответствующем выборе нулевого значения $V$,
\[
V=-\int_{0}^{x} d A=\frac{k}{2} x^{2} .
\]

Поэтому закон сохранения энергии в нашем случае гласит:
\[
m v^{2}+k x^{2}=2 W .
\]

В качестве начальных условий полагаем, например,
\[
\text { при } t=0 \quad\left\{\begin{array}{l}
x=a \\
v=\dot{x}=0 .
\end{array}\right.
\]

Тогда $2 W$ оказывается равным $k a^{2}$ и
\[
\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}=\frac{k}{m}\left(a^{2}-x^{2}\right), \quad \sqrt{\frac{k}{m}} d t=\frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} .
\]

Следовательно, принимая во внимание начальные условия (3.19a),
\[
\omega t=\arcsin \frac{x}{a}-\frac{\pi}{2}, \quad \text { где } \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} .
\]

Разрешая это уравнение относительно $x$, получим:
\[
x=a \sin \left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)=a \cos \omega t .
\]

Теперь становится ясным физический смысл введенной нами величины $\omega$. Она означает «круговую частоту», т. е. число колебаний в $2 \pi$ единиц времени. Если $\tau$ означает период колебания, а $
u$ – число колебаний в единицу времени ${ }^{1}$, то
\[
\omega=\frac{2 \pi}{\tau}=2 \pi
u .
\]

Пользуясь этим обозначением, можно вместо (3.19) написать также:
\[
\ddot{x}+\omega^{2} x=0 .
\]
${ }^{1}$ В отличие от $\omega$, буквой $
u$ обозначают число колебаний за одну единицу времени (секунду). Вместо «число колебаний» часто говорят просто «частота».

Закон сохранения энергии имеет то преимущество, что он всегда приводит к цели, каким бы образом сила $X$ ни зависела от $x$. Для нашего же случая, в котором $X$ линейно зависит от $x$, существует другой, значительно более изящный, способ решения уравнения движения. Он основывается на непосредственно очевидном положении, что однородное линейное дифференциальное уравнение любого порядка с постоянным коэффициентами ( $x$ – искомая функции, $t$ – независимая переменная) всегда имеет решение вида:
\[
x=C e^{\lambda t},
\]

если только в качестве $\lambda$ выбрать корень некоторого алгебраического уравнения, получающегося из данного дифференциального уравнения. Выражение (3.24) является частным решением дифференциального уравнения; общее же его решение получается путем суперпозиции всех таких частных решений:
\[
x=\sum C_{j} e^{\lambda} j^{t} .
\]

В случае нашего уравнения (3.23) а.лгебраическое уравнение для $\lambda$ оказывается квадратным:
\[
\lambda^{2}+\omega^{2}=0 ; \quad \text { корни его } \lambda= \pm i \omega .
\]

Поэтому общее решение имеет вид:
\[
x=C_{1} e^{i \omega t}+C_{2} e^{-i \omega t} .
\]

Постоянные $C_{1}, C_{2}$ определяются из начальных условий (3.19a):
\[
\begin{array}{lll}
\dot{x}=0 & \text { дает: } & C_{1} i \omega-C_{2} i \omega=0 ; \quad C_{1}=C_{2} . \\
x=a & \text { дает: } \quad a=C_{1}+C_{2}=2 C_{1} ; \quad C_{1}=\frac{a}{2} .
\end{array}
\]

Итак, в согласии с (3.21), окончательное решение задачи гласит:
\[
x=a \cos \omega t .
\]

В дальнейшем (гл. III, §19) мы будем часто пользоваться этим методом для рассмотрения затухающих, вынужденных, связанных и других колебаний, поскольку эти колебания могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями. Заглавие «гармонические колебания», которое мы дали этому параграфу, указывает на линейный закон упругой силы, из которого следует, что движение может быть охарактеризовано одной определенной частотой $\omega$. Для «ангармонической», т.е. нелинейной связи, этот метод непригоден; в таких случаях приходится пользоваться менее изящным методом, основанным на применении закона сохранения энергии.
5. Соударение двух материальных точек
Допустим, что перед ударом (рис. 1) материальные точки $m$ и $M$ имеют скорости $v_{0}$ и $V_{0}$; скорости после удара будут $v$ и $V$.
Как бы ни происходил удар в каждом отдельном случае – упруго или неупруго, – аксиома Ньютона: действие равно противодействию, всегда будет справедлива для сил взаимодейст-

Рис. 1. Соударение двух масс $M$ и $m$; скорости до удара $V_{0}, v_{0}$; после удара $V, v$ вия между $m$ и $M$, а стало быть, и для интеграла этих сил по времени. Поэтому, согласно уравнению (3.3),
\[
m\left(v-v_{0}\right)=Z=-M\left(V-V_{0}\right)
\]

и, следовательно,
\[
m v+M V=m v_{0}+M V_{0} .
\]

Это уравнение выражает сохранение общего импульса системы.
Если ввести координату центра тяжести
\[
\xi=\frac{m x+M X}{m+M},
\]

то уравнение (3.25a) можно написать в виде:
\[
\dot{\xi}=\dot{\xi}_{0} \text {. }
\]

Таким образом, этот закон движения центра тяжести утверждает, что удар не оказывает никакого влияния на скорость движения центра тяжести.

Например, центр тяжести вылетевшей из ствола орудия гранаты продолжает беспрепятственно описывать (в безвоздушном пространстве) параболическую траекторию брошенного тела даже в том случае, если граната в какой-либо точке траектории разорвалась на осколки, траектории которых кажутся независимыми друг от друга.

Для полного решения проблемы удара надо сделать еще один шаг, так как для определения двух неизвестных $v$ и $V$ мы имеем лишь одно уравнение (3.25a). «Упругий удар» мы определяем как такое взаимодействие, при котором сохраняется не только импульс, но и кинетическая энергия системы. Таким образом, мы требуем, чтобы
\[
\frac{m}{2} v^{2}+\frac{M}{2} V^{2}=\frac{m}{2}{v_{0}}^{2}+\frac{M}{2} V_{0}{ }^{2} .
\]

Следовательно,
\[
m\left(v^{2}-v_{0}^{2}\right)=M\left(V_{0}{ }^{2}-V^{2}\right) .
\]

С другой стороны, согласно (3.25),
\[
m\left(v-v_{0}\right)=M\left(V_{0}-V\right) .
\]

Путем почленного деления последних двух уравнений получим:
\[
v+v_{0}=V_{0}+V ;
\]

следовательно,
\[
V-v=-\left(V_{0}-v_{0}\right) .
\]

Это уравнение гласит, что относительные скорости обеих масс после удара и до удара равны между собою, но противоположны по направлению.
Путем сопоставления уравнений (3.25a) и (3.26a) получаем
\[
\begin{aligned}
m v+M V & =m v_{0}+M V_{0}, \\
v-V & =-v_{0}+V_{0} .
\end{aligned}
\]

Отсюда однозначно определяются скорости после удара. Именно,
\[
\left.\begin{array}{rl}
v & =\frac{m-M}{m+M} v_{0}+\frac{2 M}{m+M} V_{0}, \\
V & =\frac{M-m}{m+M} V_{0}+\frac{2 m}{m+M} v_{0} .
\end{array}\right\}
\]

Следует заметить, что определитель $\Delta$ этого «преобразования» от начальных значений $v_{0}, V_{0}$ к конечным значениям $v, V$ по абсолютной величине равен 1. Действительно,
\[
\Delta=\left|\begin{array}{c}
\frac{m-M}{m+M} \frac{2 M}{m+M} \\
\frac{2 M}{m+M} \frac{M-m}{m+M}
\end{array}\right|=-\left(\frac{M-m}{m+M}\right)^{2}-\frac{4 m M}{(m+M)^{2}}=-1 .
\]

Рис. 2а. Области изменения скоростей до и после удара. Преобразование не искажает площадей
Рис. 2б. При равных массах $m=M$ преобразование не искажает ни площадей, ни углов

В применении к какому-либо интервалу значений скоростей это означает, что преобразованный элемент (на плоскости $v, V$ ) равновелик начальному элементу (на плоскости $v_{0}, V_{0}$ ). Другими словами, рассматриваемое преобразование не изменяет площадей (рис. 2a). Это положение играет важную роль при рассмотрении процессов соударения в кинетической теории газов и тесно связано с теоремой Лиувилля ${ }^{1}$.
${ }^{1}$ у читателя, знакомого с теоремой Лиувилля, может возникнуть вопрос: почему в рассматриваемом случае преобразования от $v_{0}, V_{0} \kappa v, V$ якобиан $\Delta$ равен минус единице?

Если бы вычислить якобиан преобразования импульсов $p_{0}, P_{0}$ к $p, P$, то он оказался бы равным также минус единице. Между тем, по теореме Лиувилля якобиан преобразования равен плюс единице. Между этими утверждениями нет противоречия, так как в теореме Лиувилля речь идет о преобразовании не только импульсов, но и координат. В применении к случаю удара упругих шаров теорема Лиувилля

Для двух равных масс $m=M$, например, для двух бильярдных шаров, уравнения (3.27) переходят в
\[
v=V_{0}, \quad V=v_{0} .
\]

В этом случае преобразование не искажает ни площадей, ни углов (рис. 2б), так как преобразованный прямоугольник получается из исходного путем перестановки сторон. В частности, если при игре на бильярде один из шаров находится в состоянии покоя, то другой шар при центральном ударе передает первому шару всю свою скорость и приходит сам в состояние покоя [см. (3.27a) при $V_{0}=0$ ].

С другой стороны, если одна масса значительно больше другой $M \gg m$, то большая масса при соударении сохраняет почти неизменной свою первоначальную скорость, тогда как малая масса следует за большой со скоростью, отличающейся от скорости последней на величину первоначальной относительной скорости обеих масс. Действительно, при $m \ll M$ уравнения (3.27) упрощаются и принимают вид:
\[
v=-v_{0}+2 V_{0}=V_{0}-\left(v_{0}-V_{0}\right), \quad V=V_{0} .
\]

гласит:
\[
\frac{D(x, X, g, G)}{D\left(x_{0}, X_{0}, g_{0}, G_{0}\right)}=+1,
\]

где $x_{0}, X_{0}, g_{0}, G_{0}$ – координаты и импульсы шаров в момент времени $t_{0}$, a $x, X, g, G$ в момент времени $t$. Если исключить из рассмотрения время удара, когда шары взаимодействуют между собой, то импульсы $g, G$ не будут зависеть от $x_{0}, X_{0}$, так что:
\[
\frac{D(x, X, g, G)}{D\left(x_{0}, X_{0}, g_{0}, G_{0}\right)}=\frac{D(x, X)}{D\left(x_{0}, X_{0}\right)} \cdot \frac{D(g, G)}{D\left(g_{0}, G_{0}\right)}=+1 .
\]

Если между моментами времени $t_{0}$ и $t$ не было столкновения, то $g=g_{0}, G=G_{0}$. Поэтому
\[
\frac{D(g, G)}{D\left(g_{0}, G_{0}\right)}=+1 ; \quad \frac{D(x, X)}{D\left(x_{0}, X_{0}\right)}=+1 .
\]

Если же было столкновение, то, как легко проверить,
\[
\frac{D(g, G)}{D\left(g_{0}, G_{0}\right)}=-1 ; \quad \frac{D(x, X)}{D\left(x_{0}, X_{0}\right)}=-1 .
\]

В обоих случаях равенство (а) остается справедливым. (Прим. ред.)

В виде дополнения к вопросу об упругом ударе скажем несколько слов о неупругих ударах. В атомной физике исследуются неупругие удары, так наз. «удары второго рода», при которых ударяющая частица (например, электрон) затрачивает часть своей энергии на то, чтобы возбудить «ударяемый атом», т. е. «поднять» его из его основного состояния на более высокий энергетический уровень. Так как при этом энергия движения после удара меньше начальной энергии, то это движение нельзя рассчитывать по формулам упругого удара (ср. задачи I. 1-I. 4).

Мы ограничиваемся случаем «совершенно неупругого удара», который часто рассматривается в технических проблемах. Такой удар по определению характеризуется тем, что после удара обе массы $m$ и $M$ движутся вместе, так что
\[
v=V \text {. }
\]

Закон сохранения импульса, который, как мы уже подчеркивали, остается справедливым во всех случаях, в данном случае гласит:
\[
(m+M) v=m v_{0}+M V_{0} .
\]

Он достаточен для определения теперь уже единственной неизвестной $v$. Рассмотрим потерю энергии при неупругом ударе:
\[
\frac{m}{2} v_{0}^{2}+\frac{M}{2} V_{0}^{2}-\frac{m+M}{2} v^{2} .
\]

С помощью (3.28) эту величину можно привести к виду
\[
\frac{\mu}{2}\left(v_{0}-V_{0}\right)^{2} .
\]

Следовательно, она равна кинетической энергии некоторой «приведенной» массы $\mu$, движущейся с первоначальной относительной скоростью соударяюшихся тел. При этом $\mu$ определяется условием
\[
\frac{1}{\mu}=\frac{1}{m}+\frac{1}{M} ; \quad \text { таким образом, } \quad \mu=\frac{m M}{m+M} .
\]

Закон, содержащийся в уравнениях (3.28a, б), был установлен генералом Лазарем Карно (математик и организатор всеобщей воинской повинности во время Французской революции, дядя Сади Карно, имя которого останется бессмертным в термодинамике).