Как мы видели в начале $\S 7$, твердое тело имеет шесть степеней свободы: три степени свободы поступательного движения и три степени свободы вращательного движения.

Рассмотрим тело в двух различных положениях – в «начальном» и в «конечном». Выберем произвольную точку тела $O$ в качестве «начала отсчета» и вокруг этой точки опишем сферу (например, единичного радиуса). На поверхности сферы отметим две точки $A$ и $B$. Если перевести три точки $O, A$ и $B$ из их начального положения в конечное, то и все точки твердого тела перейдут из начального положения в конечное.

Сначала мы перенесем начало отсчета $O$ из начального положения $O_{1}$ в конечное положение $O_{2}$. Осуществим это путем параллельного переноса, при котором каждая точка тела испытывает прямолинейное перемещение на отрезок $O_{1} O_{2}$. Этим мы и определили три степени свободы поступательного движения.

Итак, мы совместили сферу $K_{1}$, описанную вокруг точки $O_{1}$, со сферой $K_{2}$, описанной вокруг точки $O_{2}$; но это, вообще говоря, отнюдь не означает совпадения начальных и конечных положений точек $A$ и $B$ ( $A_{1}$ и $B_{1}$ на поверхности сферы $K_{1}$ и, соответственно, $A_{2}$ и $B_{2}$ на поверхности $K_{2}$ ). Мы покажем, что эти точки могут быть переведены из положения $A_{1}, B_{1}$ в положение $A_{2}, B_{2}$ с помощью вполне определенного поворота вокруг точки $O_{1}=O_{2}$. Положение соответствующей оси вращения и угол поворота определяют три степени свободы вращательного движения.

Чтобы построить ось вращения, т. е. найти точку $\Omega$ пересечения ее с поверхностью сферы, соединим дугами больших кругов точки $A_{1}$ и $A_{2}$ и соответственно точки $B_{1}$ и $B_{2}$; точка пересечения дуг, проведенных через середины дуг $A_{1} A_{2}$ и $B_{1} B_{2}$ перпендикулярно к ним, и будет искомой точкой $\Omega$. Тогда угол поворота, который мы обозначим через $\Omega$, будет:
\[
\Omega=\varangle A_{1} \Omega A_{2}=\varangle B_{1} \Omega B_{2} .
\]

Равенство этих углов вытекает из равенства (по трем соответственным сторонам) двух заштрихованных на рис. 39 сферических треугольников $A_{1} \Omega B_{1}$ и $A_{2} \Omega B_{2}$. Поэтому равны между собой также и два угла, обозначенные на рис. 39 через $\gamma$. Вычитая из полного угла $A_{1} \Omega B_{2}$ поочередно эти углы $\gamma$, получим правую и левую части равенства (22.1). Это равенство показывает, что с помощью одного и того же поворота $\Omega$ не только точка $A_{1}$ приводится в положение $A_{2}$, но и точка $B_{1}-$ в положение $B_{2}$.

Ввиду произвольного выбора начала отсчета $O$, величина и направление поступательного перемещения могут изменяться в широких пределах ${ }^{1}$. Напротив, величина угла поворота и направление оси вращения не зависят от выбора начала отсчета. В самом деле: если мы выберем в качестве начала отсчета не точку $O$, а какую-либо другую точку $O^{\prime}$, то разность между поступательными перемещениями, соответствующими точкам $O$ и $O^{\prime}$, будет опять-таки поступательным перемещением. Последнее, однако, совершенно не изменяет положения точек $A$ и $B$ на сферах $K_{1}$ и $K_{2}$. Таким образом, построение, представ-
Рис. 39. Построение оси вращения и угла поворота $\Omega$ при сложении двух конечных вращений ленное на рис. 39 , остается неизмененным; угол поворота $\Omega$ сохраняет прежнюю величину, а новая ось вращения, проходящая теперь через новое начало отсчета $O^{\prime}$, параллельна прежней оси вращения.
${ }^{1}$ В добавлении к $\S 23$ мы увидим, в частности, что направление поступательного движения можно выбрать, параллельным оси вращения. В этом случае говорят о «винте».

Более важными, чем рассмотренные до сих пор конечные движения твердого тела, являются следующие друг за другом (фактически непрерывно) бесконечно малые движения твердого тела. Таким образом, мы предположим теперь, что поступательное перемещение $O_{1} O_{2}$ и угол поворота $\Omega$ как угодно малы, и разделим их на соответствующий малый промежуток времени $\Delta t$. Тогда в пределе при $\Delta t \rightarrow 0$ мы получим линейную скорость поступательного движения и и угловую скорость вращения $\boldsymbol{\omega}$ :
\[
\mathbf{u}=\frac{\overrightarrow{O_{1} O_{2}}}{\Delta t}, \quad \boldsymbol{\omega}=\frac{\vec{\Omega}}{\Delta t} .
\]
$\boldsymbol{\omega}$ также не зависит от выбора начала отсчета $O$, тогда как и существенно от него зависит. Мы рассматриваем угловую скорость как вектор, т.е. учитываем не только ее величину, но также и направление оси вращения, соответствующей этой угловой скорости.

Покажем, что угловая скорость $\boldsymbol{\omega}$ действительно имеет векторный характер. Рассматривая виртуальный поворот, мы [см. рис. 15 и уравнение (13.4)] вывели следующее соотношение:
\[
\delta \mathbf{s}=[\overrightarrow{\delta \varphi} \cdot \mathbf{r}] .
\]

Переходя от виртуального поворота $\overrightarrow{\delta \varphi}$ к угловой скорости вращения $\boldsymbol{\omega}=\frac{\overrightarrow{d \varphi}}{d t}$ и от вызванного этим поворотом виртуального перемещения $\delta \mathrm{s}$ к скорости $\mathbf{w}=\frac{d \mathrm{~s}}{d t}$, получаем из соотношения (22.3):
\[
\mathbf{w}=[\boldsymbol{\omega} \mathbf{r}] .
\]

Здесь, как и на рис. $15, \mathbf{r}$ – радиус-вектор, проведенный из расположенного на оси вращения начала отсчета $O$ в точку $P$, скорость которой $\mathbf{w}$ определяется этой формулой.

Рассмотрим одновременные или следующие непосредственно друг за другом воздействия двух вращений $\boldsymbol{\omega}_{1}$ и $\boldsymbol{\omega}_{2}$ на одну и ту же точку $P$ твердого тела (начало отсчета $O$ является общим для осей обоих вращений $\boldsymbol{\omega}_{1}$ и $\boldsymbol{\omega}_{2}$ ). Мы имеем:
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{w}_{1}=\left[\boldsymbol{\omega}_{1} \mathbf{r}\right], \quad \mathbf{w}_{2}=\left[\boldsymbol{\omega}_{2} \mathbf{r}\right], \\
\left.\mathbf{w}_{1}+\mathbf{w}_{2}=\boldsymbol{\omega}_{1}+\boldsymbol{\omega}_{2}, \mathbf{r}\right] .
\end{array}
\]

В последнем из этих уравнений слева стоит результирующая линейная скорость $\mathbf{w}_{r}=\mathbf{w}_{1}+\mathbf{w}_{2}$. Из сравнения с уравнением (22.4) видно, что
\[
\omega_{r}=\omega_{1}+\omega_{2}
\]

также является результирующей угловой скоростью такого вращения, действие которого на твердое тело эквивалентно действию обоих вращений $\boldsymbol{\omega}_{1}$ и $\boldsymbol{\omega}_{2}$. Таким образом, угловые скорости вращения складываются как векторы и при сложении их можно менять местами, т. е.
\[
\boldsymbol{\omega}_{1}+\boldsymbol{\omega}_{2}=\boldsymbol{\omega}_{2}+\boldsymbol{\omega}_{1} .
\]

Оба последних утверждения не имеют места для рассмотренных ранее конечных поворотов, сложение которых происходит не по простым правилам векторного исчисления, а по правилам введенного Гамильтоном исчисления кватернионов. Результат сложения двух конечных поворотов зависит от их последовательности, т. е. их нельзя менять местами.

Здесь будет уместно рассмотреть разницу между полярными и аксиальными векторами.

Полярными векторами являются, например, скорость, ускорение, сила, радиус-вектор и т.д. Они наглядно изображаются направленными отрезками со стрелкой на конце. Их прямоугольные слагающие преобразуются при вращении системы координат как сами координаты, т. е. по схеме ортогонального преобразования (определитель $=+1$ ). При инверсии координатной системы (замена $x, y, z$ на $-x,-y,-z$, определитель $=-1)$ слагающие изменяют свои знаки на противоположные.

Аксиальными векторами являются, например, угловая скорость, угловое ускорение, момент силы, момент импульса. Они изображаются при помощи соответствующей оси с указанием направления и величины вращения. Если же мы хотим изобразить их с помощью отложенной на этой оси стрелки соответствующей длины, то мы должны вполне произвольно условиться относительно направления стрелки, например, установить правило правого винта. Прямоугольные слагающие аксиального вектора преобразуются при чистом вращении системы координат так же, как и слагающие соответствующей стрелки, т. е. ортогонально ${ }^{1}$; однако при инверсии системы координат они не изменяют своих знаков.
${ }^{1} \mathrm{C}$ определителем преобразования $=+1$. (Прим. ред.)

В этом случае правило правого винта должно быть заменено правилом левого винта, и наоборот, – в соответствии с тем, что правая система координат переходит при инверсии в левую систему координат.

Векторное произведение двух полярных векторов будет аксиальным вектором (пример: момент силы). Векторное произведение аксиального и полярного векторов будет полярным вектором [пр имер: скорость $\mathbf{w}$ в уравнении (22.4)]. В этом можно легко убедиться, рассмотрев поведение этих векторных произведений при инверсии системы координат ${ }^{1}$.

После этого отступления вернемся к кинематике твердого тела. Движение каждой из его точек слагается из поступательного движения со скоростью $\mathbf{u}$ [уравнение (22.2)] и вращательного движения, которому соответствует линейная скорость $\mathbf{~ [ у р а в н е н и е ~ ( 2 2 . 4 ) ] . ~ Т а к и м ~ о б р а з о м , ~}$ скорость $\mathbf{v}$ произвольной точки твердого тела равна
\[
\mathbf{v}=\mathbf{u}+[\boldsymbol{\omega} \mathbf{r}] .
\]

При этом выбор начала отсчета $O$ совершенно произволен: для этой точки имеет место
\[
\mathbf{v}=\mathbf{u} .
\]

Часто, однако, бывает удобно, чтобы начало отсчета $O$ совпадало с центром тяжести $S$ тела. Выясним это на при мере вычисления ки-
${ }^{1}$ Все эти свойства векторного произведения непосредственно вытекают из его определения. По определению, компоненты векторного произведения $\mathbf{C}=[\mathbf{A B}]$ вдоль координатных осей прямоугольной системы координат даются следующими выражениями:
\[
\begin{array}{c}
C_{x}=A_{y} B_{z}-A_{z} B_{y} ; \quad C_{y}=A_{z} B_{x}-A_{x} B_{z} ; \\
C_{z}=A_{x} B_{y}-A_{y} B_{x},
\end{array}
\]

независимо от того, применяем ли мы правую или левую систему координат. При вращении системы координат, как легко убедиться, эти выражения преобразуются как компоненты вектора. Если векторы $\mathbf{A}$ и В полярные, то при инверсии системы координат их компоненты меняют знаки, а следовательно, величины $C_{x}, C_{y}, C_{z}$ остаются без изменения. Поэтому, если изображать векторное произведение стрелкой, то при инверсии координатной системы необходимо изменять направление этой стрелки на противоположное. Если вектор $\mathbf{A}$ полярный, а вектор В аксиальный, то инверсия системы координат ведет к изменению знаков $C_{x}, C_{y}, C_{z}$; в этом случае вектор $\mathbf{C}$ полярный. Напротив, если оба вектора $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ аксиальные, то их векторное произведение – также аксиальный вектор. (Прим. ред.)

нетической энергии тела
\[
T=\int \frac{d m}{2} \mathbf{v}^{2} .
\]

Возведем выражение (22.7) в квадрат
\[
v^{2}=u^{2}+[\boldsymbol{\omega} \mathbf{r}]^{2}+(\mathbf{u}[\boldsymbol{\omega} \mathbf{r}])
\]

и разобьем кинетическую энергию $T$ на три части, соответствующие трем членам формулы (22.8a):
\[
T=T_{\text {пост. }}+T_{\text {вращ. }}+T_{\omega},
\]

где $T_{\omega}$ – «смешанная энергия», определяемая одновременно поступательным и вращательным движениями.

Поскольку скорость поступательного движения одинакова для всех элементов массы $d m$, то, очевидно,
\[
T_{\text {пост. }}=\frac{u^{2}}{2} \int d m=\frac{m}{2} u^{2} .
\]

Чтобы вычислить часть $T_{\omega}$, преобразуем ее выражение следующим образом:
\[
T_{w}=\int[\mathbf{u}[\boldsymbol{\omega} \mathbf{r}]] d m=\left(\mathbf{u}\left[\boldsymbol{\omega} \int \mathbf{r} d m\right]\right)=m(\mathbf{u}[\boldsymbol{\omega} \mathbf{R}]) .
\]

Здесь $\mathbf{R}$ – радиус-вектор, проведенный из начала отсчета $O$ в центр тяжести тела $S$. Он равен
\[
\mathbf{R}=\frac{\int \mathbf{r} d m}{m},
\]

как и в определении (13.3б). Если же совместить точки $O$ и $S$, то $\mathbf{R}=0$ и, согласно формуле (22.11),
\[
T_{w}=0 .
\]

В этом случае – полная кинетическая энергия $T$ будет простой суммой $T_{\text {пост. }}$ и $T_{\text {вращ. }}$. Заметим, что если тело вращается вокруг неподвижной точки и мы примем ее за начало отсчета $O$, то в нуль обратится не только $T_{\omega}$, но и $T_{\text {пост. }}$ (поскольку $\mathbf{u}=0$ ); таким образом,
\[
T=T_{\text {вращ. }}
\]

Займемся теперь этой вращательной частью кинетической энергии. Возведя в квадрат слагающие вектора $[\boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{r}]$, получим из среднего члена правой части уравнения (22.8a):
\[
\begin{aligned}
2 T_{\text {вращ. }} & =\omega_{x}^{2} \int\left(y^{2}+z^{2}\right) d m+\omega_{y}^{2} \int\left(z^{2}+x^{2}\right) d m+ \\
& +\omega_{z}^{2} \int\left(x^{2}+y^{2}\right) d m-2 \omega_{y} \omega_{z} \int y z d m- \\
& -2 \omega_{z} \omega_{x} \int z x d m-2 \omega_{x} \omega_{y} \int x y d m .
\end{aligned}
\]

Если ввести обозначения
\[
\left.\begin{array}{rl}
\Theta_{x x} & =\int\left(y^{2}+z^{2}\right) d m \ldots, \\
\Theta_{x y} & =\int x y d m \ldots,
\end{array}\right\}
\]

то выражение (22.12) примет вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
2 T_{\text {вращ. }}= & \Theta_{x x} \omega_{x}^{2}+\Theta_{y y} \omega_{y}^{2}+\Theta_{z z} \omega_{z}^{2}-2 \Theta_{y z} \omega_{y} \omega_{z}- \\
& -2 \Theta_{z x} \omega_{z} \omega_{x}-2 \Theta_{x y} \omega_{x} \omega_{y} .
\end{array}\right\}
\]

Согласно определению (11.3), величина $Q_{x x}$ является моментом инерции тела относительно оси $x$; соответственно, $\Theta_{y y}$ и $\Theta_{z z}$ являются моментами инерции того же тела относительно осей $y$ и $z$. Величины $\Theta_{x y}, \Theta_{y z}, \Theta_{z x}$ называются центробежными моментами инерции; их обозначают также терминами «произведения инерции» «девиационные моменты». Вместо $\Theta_{x x} \ldots$ можно сокращенно писать $\Theta_{x} \ldots$

По аналогии с выражением (11.5), положим левую часть уравнения (22.12) равной $\Theta \omega^{2}$ и введем обозначения
\[
\frac{\omega_{x}}{\omega}=\alpha, \quad \frac{\omega_{y}}{\omega}=\beta, \quad \frac{\omega_{z}}{\omega}=\gamma .
\]

Тогда получим:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\Theta= & \Theta_{x x} \alpha^{2}+\Theta_{y y} \beta^{2}+\Theta_{z z} \gamma-2 \Theta_{y z} \beta \gamma- \\
& -2 \Theta_{z x} \gamma \alpha-2 \Theta_{x y} \alpha \beta .
\end{array}\right\}
\]

Величины $\alpha, \beta, \gamma$ являются, очевидно, направляющими косинусами оси вращения $\omega$, произвольно выбранной в твердом теле. Таким образом, согласно формуле (22.13a), момент инерции относительно любой оси полностью определяется заданием шести величин $\Theta_{i k}$.

Совокупность шести величин, аналогичных $\Theta_{i k}$, называется тензором или, точнее, симметричным тензором. Термин этот взят из теории упругости, в которой тензоры напряжений и деформаций играют центральную роль. Для записи тензора удобно пользоваться следующей квадратной схемой:
\[
\Theta_{i k}=\left(\begin{array}{lll}
\Theta_{x x} & \Theta_{x y} & \Theta_{x z} \\
\Theta_{y x} & \Theta_{y y} & \Theta_{y z} \\
\Theta_{z x} & \Theta_{z y} & \Theta_{z z}
\end{array}\right),
\]

причем в нашем случае $\Theta_{x y}=\Theta_{y x} \ldots$
Тензорное исчисление в отношении наглядности уступает векторному. В то время как вектор изображается отрезком, для геометрического представления тензора нужно пользоваться поверхностью второго порядка. В нашем случае к понятию такой «тензорной поверхности» можно прийти следующим образом: положим
\[
\alpha=\frac{\xi}{\rho}, \quad \beta=\frac{\eta}{\rho}, \quad \gamma=\frac{\zeta}{\rho},
\]

где $\xi, \eta, \zeta$ – декартовы координаты; величина $\rho=\sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}}$ будет, очевидно, радиусом-вектором, проведенным из точки $O$. Возьмем $\rho$ равным $\Theta^{-\frac{1}{2}}$, т.е. будем откладывать по каждой оси, проходящей через точку $O$, не просто соответствующую величину $\Theta$, а величину, обратную $\sqrt{\Theta}$ (иначе мы не получили бы поверхности «второго» порядка). Тогда формула (22.13a) принимает вид
\[
1=\Theta_{x x} \xi^{2}+\Theta_{y y} \eta^{2}+\Theta_{z z} \zeta^{2}-2 \Theta_{y z} \eta \zeta-2 \Theta_{z x} \zeta \xi-2 \Theta_{x y} \xi \eta .
\]

Это уравнение (отвлекаясь от случаев вырождения) является уравнением поверхности эллипсоида, так как при распределении масс на конечных расстояниях момент инерции $\Theta$, вообще говоря, отличен от нуля. Поверхность, изображаемую уравнением (22.15), мы называем эллипсоидом инерции.

Если преобразовать уравнение (22.15) к главным осям эллипсоида инерции, то оно примет вид
\[
1=\Theta_{1} \xi_{1}^{2}+\Theta_{2} \xi_{2}^{2}+\Theta_{3} \xi_{3}^{2} .
\]

Величины $\Theta_{1}, \Theta_{2}, \Theta_{3}$ называются главными моментами инериии. Центробежные моменты относительно главных осей обращаются в нуль, что можно рассматривать как определение главных осей инерции. Наша тензорная схема (22.13б) становится «диагональной», т. е. только ее диагональные элементы $\Theta_{1}, \Theta_{2}, \Theta_{3}$ будут отличны от нуля. Если же мы будем рассматривать тензор не в системе главных осей, а в какой-либо другой системе координат, то мы должны будем добавить три параметpa, определяющие направление главных осей, и таким образом опять получим шесть величин, характеризующих симметричный тензор.

Рис. 40. а – эллипсоид инерции волчка, б – эллипсоид инерции гироскопа, в – пример шарового волчка

Каждая плоскость симметрии относительно распределения масс является, конечно, и плоскостью симметрии эллипсоида инерции; нормаль к этой плоскости определяет одну из главных осей этого эллипсоида. Распределению масс с симметрией вращения соответствует эллипсоид инерции, являющийся эллипсоидом вращения, следовательно, это распределение масс наряду с главной осью, совпадающей с осью симметрии тела, имеет еще бесчисленное множество «экваториальных» главных осей инерции. Примерами могут служить обыкновенный игрушечный волчок и волчок в форме маховичка, которым обычно пользуются для демонстраций (рис. 40а и б). У первого волчка момент инерции относительно оси симметрии минимален; поэтому соответствующая главная ось (в силу соотношения $\rho=\Theta^{-\frac{1}{2}}$ ) длиннее экваториальных главных осей; эллипсоид инерции будет продолговатым. У второго волчка, напротив, момент инерции относительно оси симметрии максимален; поэтому (в силу того же соотношения) соответствующая главная ось короче экваториальных главных осей; эллипсоид инерции будет сплюснутым. В обоих случаях мы имеем дело с симметричными волчками.

Впрочем, эллипсоид инерции, обладающий симметрией вращения, встречается не только при распределении масс, обладающем симметрией вращения, а во всех тех случаях, когда через одну ось проходят больше, чем две плоскости симметрии; это имеет место, например, и случае квадратной или правильной шестигранной призмы.

В соответствии с этим, эллипсоид инерции принимает форму ша$p a$ не только при сферически-симметричном распределении масс, но также, например, при кубическом распределении масс, так как здесь имеется больше плоскостей симметрии, чем это было бы в случае эллипсоидальной формы тензорной поверхности. В этом случае говорят о шаровом волчке, у такого волчка любая центральная ось является главной осью инерции (рис. 40 в).