1. Эйлеровы дифференциальные уравнения движения
Будем различать систему отсчета $x, y, z$, неподвижную в пространстве, и систему отсчета $X, Y, Z$, неподвижно связанную с телом. При свободном движении тела положение вектора момента импульса относительно системы $x, y, z$ остается неизменным: $\mathbf{N}=$ const [уравнение (25.3)]; по отношению же к телу его положение непрерывно изменяется. Найдем закон, по которому происходит это изменение.

Для этого рассмотрим неподвижную относительно тела точку $\mathrm{P}$ и неподвижную в пространстве точку $Q$, которые в данный момент совпадают друг с другом. Обозначим скорость точки $P$ в пространстве через $\mathbf{v}$, а скорость точки $Q$ относительно тела – через V. Согласно кинематическому уравнению (22.4), $\mathbf{v}=[\boldsymbol{\omega} \mathbf{r}]$. Скорость точки $Q$ по отношению к телу равна по величине скорости точки $P$ в пространстве, но противоположна ей по направлению:
\[
\mathbf{V}=-[\boldsymbol{\omega} \mathrm{r}]=[\mathbf{r} \boldsymbol{\omega}] .
\]

Сведя эти скорости в таблицу, получим:

В качестве точки $Q$ выберем неподвижный в пространстве конец вектора $\mathbf{N}$ и поэтому можем написать:
\[
\mathbf{r}=\mathbf{N}, \quad \mathbf{V}=\frac{d \mathbf{N}}{d t} .
\]

Следовательно, под $\frac{d \mathrm{~N}}{d t}$ мы понимаем «скорость изменения вектора $\mathbf{N}$ по отношению к телу» (скорость изменения вектора $\mathbf{N}$ в пространстве, равную в данном случае нулю, мы обозначали через $\mathbf{\mathbf { N }}$ ).
Используя вторую строку нашей таблицы, получим:
\[
\frac{d \mathbf{N}}{d t}=[\mathbf{N} \boldsymbol{\omega}]
\]

Тем самым мы получили векторную форму дифференциальных уравнений Эйлера ${ }^{1}$ для случая отсутствия внешних сил (свободного движения твердого тела).

Перепишем это векторное уравнение в проекциях на оси $X, Y, Z$. Будем обозначать, по Эйлеру, компоненты вектора $\boldsymbol{\omega}$ через $p, q, r$, а компоненты вектора $\mathbf{N}$ – через $L, M, N$. Тогда из уравнения (25.1) найдем:
\[
\frac{d L}{d t}=M r-N q, \quad \frac{d M}{d t}=N p-L r, \quad \frac{d N}{d t}=L q-M p .
\]

При этом выбор осей $X, Y, Z$ пока что совершенно произволен. Но если мы выберем в качестве осей $X, Y, Z$ главные оси инерции тела [см. уравнение (22.15a)] и обозначим (также по Эйлеру) соответствующие главные моменты инерции через $A, B, C$, то, согласно общему соотношению (24.9) между компонентами векторов $\mathbf{N}$ и $\boldsymbol{\omega}$, получим:
\[
L=A p, \quad M=B q, N=C r .
\]
${ }^{1}$ Леонард Эйлер (1707-1783) — один из крупнейших математиков XVIII в. Швейцарец по происхождению, значительную часть своей жизни провел в России. Научная деятельность Эйлера протекала главным образом в стенах Российской Академии Наук, членом которой он состоял. (Прим. ред.)

Тогда уравнения (26.2) примут следующий простой вид:
\[
\left.\begin{array}{c}
A \frac{d p}{d t}=(B-C) q r, \\
B \frac{d q}{d t}=(C-A) r p \\
C \frac{d r}{d t}=(A-B) p q .
\end{array}\right\}
\]

Эти необыкновенно изящные и симметричные формулы называются обычно «эйлеровыми дифференшиальными уравнениями» вращения твердого тела.

Прежде всего мы обобщим их для случая, когда на тело действует момент внешней силы, который мы обозначим через М. Тогда конец вектора $\mathbf{N}$ не будет более неподвижным, а согласно уравнению (25.2), будет двигаться в пространстве со скоростью $\mathbf{v}=\mathbf{M}$.

Вышеупомянутая точка $Q$ движется по отношению к телу со скоростью, которая складывается из скоростей $\mathbf{v}=\mathbf{M}$ и $\mathbf{V}[\mathbf{r} \boldsymbol{\omega}]$. В связи с этим уравнение (26.1) видоизменяется следующим образом:
\[
\frac{d \mathbf{N}}{d t}=[\mathbf{N} \boldsymbol{\omega}]+\mathbf{M},
\]

и в правых частях уравнений (26.3) и (26.4) появляются новые слагаемые проекции вектора $\mathrm{M}$ на оси $X, Y$, и $Z$.

Разберем это более подробно только для случая тяжелого симметричного волчка, когда момент $\mathbf{M}$ направлен по линии узлов и, согласно уравнению (25.4), абсолютная величина его равна
\[
|\mathbf{M}|=m g s \sin \vartheta .
\]

Во избежание возможной двойственности в понятиях: «вертикаль», «ось фигуры», «линия узлов», установим следующее правило знаков: положительное направление неподвижной в пространстве оси идет вверх и определяет «полупрямую (луч) вертикали». Положительное направление оси $Z$ проходит через центр тяжести тела и определяет «полупрямую (луч) оси фигуры». С вертикалью положительное направление оси $Z$ образует угол $\vartheta$. Линия узлов представляет собою перпендикулярную к осям $z$ и $Z$ полупрямую, образующую с направлением возрастания угла $\vartheta$ правовинтовую систему. Величина $s$ положительна. Далее, обозначим угол, образуемый линией узлов с положительным направлением оси $X$, через $\varphi$. Тогда проекции момента $\mathbf{M}$ на оси $X, Y, Z$ будут равны соответственно
\[
m g s \sin \vartheta \cos \varphi, \quad-m g s \sin \vartheta \sin \varphi, \quad 0,
\]

и при $B=A$ уравнения Эйлера (26.4) примут следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{rl}
A \frac{d p}{d t} & =(A-C) q r+m g s \sin \vartheta \cos \varphi, \\
A \frac{d q}{d t} & =(C-A) r p-m g s \sin \vartheta \cos \varphi, \\
C \frac{d r}{d t} & =0 .
\end{array}\right\}
\]

Последнее уравнение показывает, что для случая тяжелого (и тем более свободного) симметричного волчка справедливо уже знакомое нам равенство
\[
C r=N=\text { const. }
\]

Но в то же время мы видим, что уравнения Эйлера не пригодны для дальнейшего интегрирования в случае тяжелого волчка, так как нам неизвестна (или пока еще неизвестна) связь между слагающими $p, q$ и углами $\vartheta, \varphi$.

Что касается слагающих угловой скорости $p, q, r$, то необходимо еще раз подчеркнуть, что они не являются скоростями в обычном смысле, т.е. производными по времени от каких-либо пространственных координат. Мы можем по аналогии с выражением, употребленным на стр. 71, назвать их «неголономными слагающими скорости».

Перепишем уравнение (26.5) в несколько иной форме, заменив М, в соответствии с уравнением (25.2), на N. Полученное таким образом равенство
\[
\dot{\mathbf{N}}=\frac{d \mathbf{N}}{d t}+[\boldsymbol{\omega} \mathbf{N}]
\]

справедливо для всякого (аксиального или полярного) вектора. В применении к вектору угловой скорости $\omega$ это равенство дает:
\[
\dot{\boldsymbol{\omega}}=\frac{d \omega}{d t}
\]

для вектора угловой скорости $\boldsymbol{\omega}$, и только для него, скорость изменения его в пространстве равна скорости изменения в системе отсчета, связанной с телом. На эту теорему мы уже указывали в примечании на стр. 181.
2. Регулярная прецессия свободного симметричного волчка и эйлерова теорин колебаний полюса
На случае шарового волчка мы останавливаться не будем. Его движение представляет собой в общем случае чистое вращение вокруг оси, неподвижно связанной с телом, что непосредственно вытекает из уравнений (26.4), если и них положить $A=B=C$. Эта неподвижная в теле ось, как мы знаем (ср. §25, раздел 1 ), неподвижна также и в пространстве и совпадает с направлением вектора момента импульса.

Перейдем к рассмотрению симметричного волчка, у которого $B=$ $=A
eq C$. Из третьего уравнения (26.4) найдем
\[
r=\text { const },
\]

что видно также из уравнения (26.7). Первые два уравнения (26.4) запишутся так:
\[
\left.\begin{array}{l}
A \frac{d p}{d t}=(A-C) q r, \\
A \frac{d q}{d t}=(C-A) p r .
\end{array}\right\}
\]

Удобно объединить их в одно уравнение в комплексной форме. Умножая второе уравнение на $i$ и складывая его с первым, получим:
\[
A \frac{d s}{d t}=i(C-A) r s, \quad \text { где } \quad s=p+i q .
\]

Для сокращения записи введем обозначение
\[
\alpha=\frac{C-A}{A} r
\]

и, интегрируя уравнение (26.10), найдем:
\[
s=s_{0} e^{i \alpha t},
\]

где $s_{0}$ – постоянная интегрирования.

Здесь $s$ – проекция угловой скорости $\omega$ на экваториальную плоскость волчка, если ею пользоваться в качестве гауссовой плоскости для изображения $s^{1}$. Из уравнения (26.12) видно, что эта проекция описывает круг радиуса $s_{0}$ постоянной угловой скоростью $\alpha$. Вместе с этим вектор угловой скорости $\boldsymbol{\omega}$ описывает круговой конус вокруг оси фигуры; угол раствора этого конуса $\beta$ определяется уравнением
\[
\operatorname{tg} \beta=\frac{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}{r}=\frac{\left|s_{0}\right|}{r} .
\]

В таком виде представляется регулярная прецессия наблюдателю, связанному с волчком (конечно, с точки зрения неподвижного в пространстве наблюдателя ось фигуры волчка в каждый данный момент вращается вокруг мгновенной оси вращения, которая, как мы знаем, в свою очередь описывает круговой конус вокруг неподвижного вектора момента импульса N). В применении к вращению Земли, которое мы будем рассматривать, наиболее удобна как раз точка зрения связанного с «волчком» наблюдателя – обитателя Земли.

Земля представляет собой сплюснутый волчок. Назовем геометрическим северным полюсом точку пересечения оси фигуры Земли с ее поверхностью; он, вообе говоря, не совпадает с кинематическим северным полюсом – точкой пересечения вектора угловой скорости вращения Земли с ее поверхностью. По теории Эйлера, изложенной в настоящем параграфе, кинематический северный полюс описывает окружность вокруг геометрического северного полюса – так называемый круг Эйлера. Поскольку последний является траекторией полюса вращения, он называется также полодией.

Удобной мерой сплюснутости Земли является так называемая эллиптичность:
\[
\frac{C-A}{A} \sim \frac{1}{300} .
\]

Угловая скорость вращения Земли определяется из продолжительности суток, а именно:
\[
r \sim \omega=\frac{2 \pi}{\text { сутки }} .
\]
${ }^{1}$ Под гауссовой плоскостью автор понимает здесь плоскость комплексной переменной $s$. (Прим. ред.).

Отсюда, согласно обозначению (26.11), следует:
\[
\alpha=\frac{C-A}{A} r=\frac{2 \pi}{300}(\text { сутки })^{-1} .
\]

Таким образом, Эйлеров период прецессии составляет
\[
\frac{2 \pi}{\alpha}=300 \text { суток }=10 \text { месяцев. }
\]

Мы привыкли считать ось вращения Земли неподвижно расположенной в теле нашей планеты и проходящей через ее геометрические полюсы. Но, строго говоря, это не соответствует действительности. Всякое перемещение масс на Земле в направлении меридиана должно вызывать смещение ее оси вращения ${ }^{1}$, равно как всякое перемещение масс в направлении параллели должно изменять угловую скорость вращения Земли, а следовательно, продолжительность суток; оба эти явления представляют собой следствия закона сохранения момента импульса. Когда подобное перемещение прекратится и кинематический полюс Земли окажется отклоненным, он снова начнет совершать свое движение по кругу Эйлера вокруг геометрического полюса.

Сравним теперь с этими выводами из теории Эйлера результаты наблюдений колебаний полюса учеными различных стран. Для периода $1895-1900$ гг. получается полодия, представленная на рис. 44.

Согласно этим наблюдениям, среднее угловое отклонение кинематического полюса (т. е. средний угловой радиус круга Эйлера) составляло в названные годы приблизительно $1 / 8$ \”, что соответствует линейному отклонению по земной поверхности, равному приблизительно 4 м. Но вместо периода полного оборота в 10 месяцев мы имеем, как показано на рис. 44 , за 4 года ( $1893-1900$ г) $3 \frac{1}{2}$ оборота, что соответствует одному обороту в 14 месяцев.

Период в 14 месяцев называется в честь открывшего его ученого периодом Чандлера. Величину этого периода объясняют упругими деформациями Земли вследствие вызванного смещением полюсов изменения центробежных воздействий. Модуль упругости Земли приблизительно равен модулю упругости стали.
${ }^{1}$ Наибольшие перемещения масс на Земле связаны с ежегодными смещениями максимума воздушного давления, происходящими между азиатским континентом и Тихим океаном.

Рис. 44. Изменения положения полюса за время с 1895 по 1900 г., иллюстрирующие период Чандлера

Наблюдаемую полодию, представленную на рис. 44, можно понимать как наложение: 1) колебаний, происходящих с периодом Чандлеpa, 2) годичных колебаний, очевидно метеорологического происхождения, и 3) нерегулярных отклонений указывающих, по-видимому, на какие-то единовременные перемещения масс. По поводу десятимесячного периода Эйлера, который был получен как результат идеализированного представления о Земле, как о твердом теле, у нас никаких дополнительных замечаний нет.

В соответствии с принятой в теории волчка терминологией, мы назвали движение земной оси, исс.тедованное впервые Эйлером, «свободной прецессией». Однако это противоречит терминологии, установившейся в астрономии. Как известно, термином «астрономическая прецессия» обозначают медленное вращение земной оси вокруг нормали к плоскости эклиптики, следствием которого является непрерывное смещение точек равноденствия в направлении, противоположном движению Земли по орбите, составляющее немного более $50^{\prime \prime}$ в год. Этой величине «опережения» соответствует период полного обращения земной оси вокруг нормали к плоскости эклиптики, равный $\frac{300^{\circ}}{50^{\prime \prime}}=26000$

лет. Вместо предварения (опережения) точек равноденствия можно говорить также о «предварении линии узлов» (линии пересечения плоскости эклиптики с экваториальной плоскостью Земли); как мы отмечали выше, термин «линия узлов» заимствован из астрономии.

Астрономическая прецессия не является свободным движением Земли-волчка; это движение вынужденное, возникающее как результат одновременного притяжения Земли Солнцем и Луной. Уясним себе действие этого притяжения с помощью рис. 45 , причем нам придется качественно предвосхитить теорию тяжелого симметричного волчка.
Рис. 45. Астрономическая прецессия земной оси
На фигуре представлена плоскость эклиптики и в этой плоскости – круг, по всей площади которого следует мысленно равномерно распределить массы Солнца $\odot$ и Луны ) (собственно говоря, два круга — «круг Солнца» и «круг Луны ${ }^{1}$, которые мы здесь слили в одно целое). Это равномерное распределение масс равносильно усреднению по времени мгновенных положений Солнца и Луны за период их относительного обращения вокруг Земли (в смысле метода теории возмущений Гаусса). Это усреднение по времени может быть оправдано тем, что времена относительного обращения Солнца и Луны вокруг Земли очень малы по сравнению с вышеупомянутым периодом прецессии, так что прецессия ни в коем случае не может зависеть от положения Солн-
${ }^{1}$ Воздействие Луны, ввиду ее меньшей удаленности от Земли, даже превосходит действие Солнца приблизительно и два раза.

ца и Луны в каждый данный момент времени. В центре круга $\odot+D$ мы видим в разрезе Землю с ее двумя вздутьями у экватора. Только эти вздутия и играют роль для рассматриваемого воздействия, а именно: притяжение кольца $\odot+\downarrow$ стремится установить их в плоскости эклиптики, что непосредственно очевидно. Таким образом, мы имеем дело с вращающим моментом относительно линии узлов; направление этого момента указано стрелкой. Это – вращающий момент того же рода, что и вращающий момент силы тяжести, действующий на волчок, центр тяжести которого находится ниже точки опоры. Поэтому и результат таков же, как для волчка: вместо того, чтобы поддаться «непосредственному» воздействию вращающего момента, ось фигуры Земли-волчка отклоняется в сторону и описывает конус прецессии вокруг вертикали (нормали к эклиптике).

Правда, регулярная прецессия представляет собой лишь частный случай движения тяжелого волчка (ср. стр. 183); наиболее же общим видом движения, которого следует ожидать в данном случае, является упомянутая там же псевдорегулярная прецессия, которая представляет собой результат наложения регулярной прецессии и малых «нутаций». Эти нутации являются, однако, не чем иным, как свободными «коническими» качаниями оси фигуры, т. е. в нашем случае колебаниями полюса с периодом, равным периоду Эйлера (точнее, если учесть деформацию Земли, периоду Чандлера). Таким образом, ожидаемая псевдорегулярная прецессия действительно получается в результате наложения этих свободных нутаций на астрономическую прецессию.

Здесь нам снова приходится столкнуться с двояким значением термина. В астрономии под нутацией понимают не свободное, а вынужденное движением Луны колебание земной оси. Орбита Луны не лежит в плоскости эклиптики, как это допускалось на рис. 45 , а наклонена к ней под углом в $5^{\circ}$. Под действием совместного притяжения Солнца и Земли нормаль к лунной орбите описывает конус прецессии вокруг нормали к эклиптике. Эта прецессия означает обратное движение лунных узлов (точек пересечения орбиты Луны с плоскостью эклиптики), которое, однако, происходит гораздо скорее, чем прямое движение земных узлов, а именно в течение $18 \frac{2}{3}$ лет. Понятно, что и земная ось, со своей стороны, испытывает влияние этих возмущений: обратное движение лунных узлов вызывая астрономическую нутацию земной оси, происходящую с тем же периодом.

3. Движение трехосного волчка. Исследование устойчивости неизменных вращений его вокруг главных осей инерции
Перейдем к интегрированию уравнений Эйлера (26.4) для случая $A
eq B
eq C$. Умножая их соответственно на $p, q, r$ и складывая, получаем:
\[
A p \frac{d p}{d t}+B q \frac{d q}{d t}+C r \frac{d r}{d t}=0 .
\]

Интегрирование дает:
\[
\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right)=\text { const }=W .
\]

Здесь $W$ – постоянная энергии, а левая часть уравнения выражает кинетическую энергию [в соответствии с уравнением (22.12б), преобразованным к главным осям инершии]. Уравнения (26.4) можно далее умножить соответственно на $A p, B q, C r$; при последующем их сложении в правой части опять получается нуль. Интегрируя, получим:
\[
(A p)^{2}+(B q)^{2}+(C r)^{2}=\text { const }=|\mathbf{N}|^{2} .
\]

Слева стоит сумма квадратов компонент момента импульса. Она, как известно, остается постоянной в случае свободного движения волчка, в то время как сами эти компоненты при движении изменяются.

Уравнения (26.17) и (26.18) – линейные однородные уравнения относительно $p^{2}, q^{2}$ и $r^{2}$, из них мы можем выразить, например, $q^{2}$ и $r^{2}$ через $p^{2}$ :
\[
\left.\begin{array}{lll}
q^{2}=\beta_{1}-\beta_{2} p^{2}, & \beta_{1}=\frac{2 W C-|\mathbf{N}|^{2}}{B(C-B)}, & \beta_{2}=\frac{A(C-A)}{B(C-B)}, \\
r^{2}=\gamma_{1}-\gamma_{2} p^{2}, & \gamma_{1}=\frac{2 W B-|\mathbf{N}|^{2}}{C(B-C)}, & \gamma_{2}=\frac{A(B-A)}{C(B-C)} .
\end{array}\right\}
\]

Подставляя эти значения $q$ и $r$ в первое из уравнений (26.4), получим
\[
\frac{d p}{\sqrt{\left(\beta_{1}-\beta_{2} p^{2}\right)\left(\gamma_{1}-\gamma_{2} p^{2}\right)}}=\frac{B-C}{A} d t .
\]

Таким образом, $t$ является эллиптическим интегралом первого рода от $p$ (ср. стр. 133); отсюда следует, что (как доказывается в теории функций) р есть эллиптическая функция времени. То же самое, разумеется, относится и к слагающим $q$ и $r$.

Кроме того, из уравнений (26.17) и (26.18) следует, что конус полодии является не круговым конусом, как в случае симметричного волчка, а конусом четвертого порядка.

Теперь рассмотрим вращения несимметричного волчка вокруг каждой из его главных осей; эти вращения, как мы знаем (ср. §25, конец раздела 3), являются неизменными вращениями. Предположим, например, что
\[
A>B>C .
\]

Покажем, что вращения вокруг главных осей, соответствующих наибольшему и наименьшему главным моментам инерции, являются устойчивыми, а вращение вокруг главной оси, соответствующей среднему из главных моментов инерции, – неустойчивым. Мы будем исходить из преобразованных уравнений (26.17) и (26.18), введя в них компоненты момента импульса $L, M, N$, что весьма удобно для последующего графического представления:
\[
\begin{array}{c}
\frac{L^{2}}{A}+\frac{M^{2}}{B}+\frac{N^{2}}{C}=\mathrm{const}, \\
L^{2}+M^{2}+N^{2}=\mathrm{const}=|\mathbf{N}|^{2} .
\end{array}
\]

Уравнение (26.21a) представляет сферу радиуса $|\mathbf{N}|$, а уравнение (26.21б) – трехосный эллипсоид.

Случай А.Вращение вокруг наибольшей оси эллипсоида, выражаемого уравнением (26.21a). В случае чистого вращения сфера касается эллипсоида снаружи в точке $A$ рис. 46а. Легкий толчок, вообще говоря, немного изменяет как сферу, так и эллипсоид. Вместо точки касания $A$ сферы с эллипсоидом получается небольшая кривая пересечения, проходящая в непосредственной близости от точки $A$, образуется узкий конус полодии. Первоначальное вращение оказывается устойчивым.

Вполне идентичен и случай В, когда вращение происходит вокруг наименьшей оси эллипсоида (26.21a). В этом случае сфера касается эллипсоида изнутри. При легком толчке точка касания $A$ сферы с эллипсоидом переходит в небольшую кривую, проходящую опять-таки

Рис. 46а. Устойчивое вращение трехосного волчка вокруг наибольшей оси эллипсоида инерции
Рис. 46б. Неустойчивое вращение трехосного волчка вокруг средней оси эллипсоида инерции

вблизи точки $A$. И в этом случае первоначальное вращение является устойчивым.

Случай Б. Вращение вокруг средней оси эллипсоида. В этом случае сфера пересекает эллипсоид по кривой четвертого порядка; двойная точка последней $B$ (передняя точка на рис. 46б) изображает первоначальное вращение. При легком толчке кривая пересечения распадается на две ветви. По одной из этих ветвей движется ось вращения, все больше отдаляясь от своего начального положения в теле ${ }^{1}$. Вращение является неустойчивым.

Поучительно доказать то же самое аналитическим путем, исходя из дифференциальных уравнений (26.4). Можно показать (см. задачу IV.2), что боковые слагающие угловой скорости вращения (появление которых вызвано небольшим возмущением) удовлетворяют системе двух линейных дифференциальных уравнений, имеющих в случаях $A$ и $B$ решения тригонометрического вида, а в случае $\mathrm{B}$ – решение экспоненциального вида (метод малых колебаний в качестве критерия устойчивости).

Проделаем следующий опыт с полной спичечной коробкой. Возьмем коробку большим и указательным пальцами за короткие ребра и, придав ей вращение вокруг оси, параллельной этим ребрам, отбросим ее от себя. Двигаясь по воздуху, коробка будет все время повернута эти-

1 Утверждение автора неточно. На самом деле по одной из упомянутых ветвей движется относительно тела не сама ось вращения, а вектор момента количества движения. (Прим. ред.)

кеткой в одну и ту же сторону. Подобное же явление, хотя и менее отчетливо, будет наблюдаться при вращении отброшенной коробки вокруг длинного ребра (с той разницей, что сохранять положение будет наименьшая грань). Если же отбросить коробку, придав ей вращение вокруг среднего ребра, то наблюдается чередование различных граней, что и говорит о неустойчивости вращения.