Рассмотрим механическую систему, которая, несмотря на воздействие внешних сил, находится в равновесии. Силы могут быть приложены к различным частям системы и действовать в любых направлениях; нет необходимости предполагать, что эти силы такие, какие они должны были бы быть для поддержания равновесия лишь одного твердого тела. Находятся ли силы, приложенные к рассматриваемой системе, в равновесии или нет, зависит в такой же степени от самой системы, как и от сил.

В духе элементарной механики точки мы должны были бы поставить вопрос о реакциях, вызванных внешними силами и действующих между отдельными частями системы. Так поступают, например, в технической механике при рассмотрении кривошипно-шатунного механизма (см. рис. 9). Давление пара, действующее на поршень, передается поршневым штоком на крейцкопф $K$ и от него на шатун (посредством нормального давления, исходящего от направляющих). Шатун действует на цапфу кривошипа $Z$ с силой, направленной вдоль шатуна. Но только перпендикулярная к кривошипу (т.е. касательная к окружности кривошипа) слагающая $U$ этой силы должна в случае равновесия уравновешиваться внешним противодействием. Слагающая же силы в направлении кривошипа уравновешивается сопротивлением подшипника кривошипа $O$; она только нагружает подшипник кривошипа, но не имеет значения для вопроса о равновесии.

Таким образом, равновесие создается реакциями внутри системы. Хотя в простейших случаях и можно проследить действие каждой из этих реакций в отдельности, но, вообще говоря, это очень кропотливо. Не зная каждой из реакций в отдельности, можно утверждать, что они не совершают над системой никакой работы. В нашем случае давление в направляющих направлено перпендикулярно движению крейцкопфа, а сила, переданная на кривошип через его цапфу $Z$, проходит через неподвижную точку $O$ подшипника кривошипа. $B$ общем случае производят пробные виртуальные смещения системы из ее положения равновесия. Совершаемая при этом силами реакций «виртуальная работа» равна нулю.

Проверим это утверждение на примере твердого тела, в отношении которого мы должны представить себе, что каждая его точка $i$ связана с любой другой его точкой $k$ реакциями $\mathbf{R}_{i k}$ и $\mathbf{R}_{k i}$, приложенными соответственно в точках $i$ и $k$. Рассматривая две такие точки обособленно от остальных, получим упомянутую в начале $\S 7$ систему двух материальных точек, соединенных между собой невесомым жестким стержнем. Действующие в этом стержне реакции удовлетворяют третьему закону Ньютона:
\[
\mathbf{R}_{i k}=-\mathbf{R}_{k i} .
\]

Подобно тому, как мы это делали в § 7 при подсчете степеней свободы, разложим виртуальное перемещение на общее для обеих точек поступательное перемещение $\delta \mathbf{s}_{i}$ и на вращение точки $k$ вокруг смещенного положения точки $i$, происходящее перпендикулярно соединяющему их стержню, перемещение точки и, соответствующее этому вращению, обозначим через $\delta \mathbf{s}_{n}$. Таким образом, мы полагаем
\[
\delta \mathbf{s}_{k}=\delta \mathbf{s}_{i}+\delta \mathbf{s}_{n} .
\]

Для виртуальной работы поступательного перемещения, ввиду (8.1), получим:
\[
\delta A_{\text {пост. }}=\left(\mathbf{R}_{i k} \delta \mathbf{s}_{i}\right)+\left(\mathbf{R}_{k i} \delta \mathbf{s}_{i}\right)=0 ;
\]

для виртуальной работы вращения, при котором точка $i$ неподвижна, а точка $k$ смещается перпендикулярно к стержню, имеем:
\[
\delta A_{\text {вр. }}=\left(\mathbf{R}_{k i} \delta \mathbf{s}_{n}\right)=0 .
\]

Из этого примера нужно заключить, что ньютоновский закон равенства действия и противодействия имеет решающее значение при переходе от механики точки к механике системы.

Мы обобщим теперь полученные нами в предыдущих примерах результаты в следующий общий постулат: для каждой механической системы виртуальная работа реакций равна нулю. Мы не собираемся доказывать этот постулат в общем виде ${ }^{1}$; напротив, мы рассматриваем его скорее как определение понятия «механическая система».

Нам остается теперь сделать лишь один небольшой шаг до общей формулировки принципа виртуальной работы. Мы рассуждаем следующим образом: каждая внешняя сила находится в равновесии с реакциями, вызванными ею в ее точке приложения; поэтому сумма работ внешней силы и этих реакций при каждом виртуальном перемещении точки приложения силы равна нулю. Это относится и к сумме всех внешних сил, и к сумме всех вызванных ими реакций. Но реакции, взятые в отдельности, не производят никакой виртуальной работы. Поэтому $и$ виртуальная работа взятых в отдельности внешних сил равна нулю, если система, к которой они приложены, находится в равновесии. Этот принцип делает излишним кропотливое определение реакций.

В немецкой литературе употребителен термин «принцип виртуальных перемещений» или «смещений» ${ }^{2}$. Мы приняли итальянское наименование – «принцип виртуальной работы», так как оно, по нашему мнению, лучше всего выражает сущность дела. Термин «принцип виртуальных скоростей», введенный Иоганном Бернулли и часто употребляемый в математической литературе, кажется нам неподходящим.

Исторически этот принцип был намечен уже Галилеем и развит дальше Стевином, Яковом и Иоганном Бернулли, а также Даламбером. Однако доминирующее положение наиболее общего принципа равновесия он получил только в «Аналитической механике» Лагранжа.
${ }^{1}$ В первом отделе своей «Аналитической механики» Лагранж пытается доказать этот постулат с помощью надлежащим образом построенной системы полиспастов. См. Лагранж, Аналитическая механика, т. I, ГОНТИ, 1938, стр. 24-26.
${ }^{2}$ В русской литературе также наиболее распространен термин «принцип виртуальных (возможных) перемещений». (Iрим. ред.)

Для применения принципа виртуальной работы не имеет большого значения, являются ли наложенные на систему связи голономными или неголономными. В самом деле, принимая во внимание какое-либо из условий связи вида (7.3), можно исключить одно из $\delta q$ из выражения виртуальной работы, вне зависимости от того, интегрируемо это условие или нет.

Вместо термина «силы реакции» можно пользоваться более ясным выражением «силы геометрического происхождения». Они задаются геометрическими связями, существующими между различными частями системы, или, как в случае твердого тела, между отдельными материальными точками. «Силам реакции» мы противопоставляем то, что мы называли «внешними силами». Вместо этого можно пользоваться более ясным термином «силы физического происхождения» или же «сторонние силы, приложенные извне». Причина их лежит в физических воздействиях; таковы, например, сила тяжести, давление пара, напряжение каната, действующее на систему извне, и т. д. Физическое происхождение этих сил проявляется в том, что в их математическом выражении содержатся особые, поддающиеся лишь опытному определению константы (постоянная тяготения, отсчитываемые по манометру или барометру деления шкалы и т. п.). Трение, о котором мы будем говорить в $\S 14$, нужно отнести частично к силам реакции, частично к «сторонним» силам; к первым – если оно является трением покоя, к последним – если оно является трением движения (в частности, трением скольжения). Трение покоя автоматически исключается принципом виртуальной работы, трение же скольжения нужно причислить к «сторонним» силам. Внешне это проявляется в том, что в закон трения скольжения [уравнение (14.4)] входит определяемый экспериментально коэффициент трения $f$.