Пусть материальная точка движется по меридиану земного шара (радиус которого равен $a$ ) с постоянной угловой скоростью $\mu$ (относительно центра Земли), причем Земля одновременно вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью $\omega$. Если, как обычно, обозначить через $\vartheta$ и $\varphi$ соответственно дополнительный угол географической широты и географическую долготу, то движение нашей материальной точки, с точностью до произвольных начальных значений, описывается уравнениями
\[
\vartheta=\mu t, \quad \varphi=\omega t .
\]

Переходя от сферических координат к прямоугольным
\[
\left.\begin{array}{l}
x=a \sin \vartheta \cos \varphi \\
y=a \sin \vartheta \sin \varphi \\
z=a \cos \vartheta
\end{array}\right\}
\]

и дифференцируя дважды по $t$, получаем:
\[
\left.\begin{array}{c}
\dot{x}=a \mu \cos \vartheta \cos \varphi-a \omega \sin \vartheta \sin \varphi, \\
\dot{y}=a \mu \cos \vartheta \sin \varphi+a \omega \sin \vartheta \cos \varphi, \\
\dot{z}=-a \mu \sin \vartheta
\end{array}\right\}
\]

В последних трех уравнениях первые члены справа представляют собой обычное центростремительное ускорение, соответствующее движению по меридиану (который при этом считается покоящимся); вторые члены представляют собой обычное центростремительное ускорение, соответствующее движению точки по параллели; однако третьи члены представляют собой нечто новое, а именно кинематическое взаимодействие обоих движений. Умножив уравнения (28.4) на $-m$, получим силу инерции $\mathbf{F}^{*}$, действующую на нашу материальную точку при ее сложном вращательном движении; выразим ее в векторной форме:
\[
\mathbf{F}^{*}=\mathbf{Z}_{1}+\mathbf{Z}_{2}+\mathbf{C} \text {. }
\]

Как и в формуле (10.3), через $\mathbf{Z}_{1}$ и $\mathbf{Z}_{2}$ обозначены «обыкновенные центробежные силы». Сила $\mathbf{Z}_{1}$ направлена от центра Земли по радиусу, а по величине равна
\[
\left|\mathbf{Z}_{1}\right|=m a \mu^{2}=m \frac{v_{1}^{2}}{a}, \quad v_{1}=a \mu .
\]

Сила $\mathbf{Z}_{2}$ направлена по перпендику.ıяру к земной оси наружу, а по величине равна
\[
\left|\mathbf{Z}_{2}\right|=m a \omega^{2} \sin \vartheta=m \frac{v_{2}^{2}}{a \sin \vartheta}, \quad v_{2}=a \omega \sin \vartheta .
\]

Третье слагаемое $\mathbf{C}$ в выражении силы инерции мы называем «составной центробежной силой» или «кориолисовой силой». Ее полное векторное представление [см. формулу (29.4a)] имеет вид:
\[
\mathbf{C}=2 m\left[\mathbf{v}_{\text {отн. }} \boldsymbol{\omega}\right] .
\]

Мы обозначили здесь вектор скорости не через $\mathbf{v}_{1}$, а через $\mathbf{v}_{\text {отн. }}$. для того, чтобы указать, что, вообще говоря, речь идет об относительной скорости (по отношению к вращающейся системе координат).
Согласно формуле (28.6), абсолютная величина $\mathbf{C}$ равна
\[
|\mathbf{C}|=2 m v_{\text {отн }}, \omega \sin \left(\mathbf{v}_{\text {отн. }}, \boldsymbol{\omega}\right),
\]
т. е. в нашем случае
\[
|\mathbf{C}|=2 m v_{\text {отн. }} \omega \cos \vartheta .
\]

Здесь можно, очевидно, заменить $\cos \vartheta$ «синусом географической широты» (как обычно и поступают). Кориолисова сила $\mathbf{C}$ перпендикулярна как к $\mathbf{v}_{\text {отн. }}$, так и к $\boldsymbol{\omega}$ (а также, как легко убедиться, и к силам $\mathbf{Z}_{1}$, и $\mathbf{Z}_{2}$ ) и направлена так, что образует с векторами $\mathbf{v}_{\text {отн. }}$. и $\boldsymbol{\omega}$ правовинтовую систему. Это представлено на рис. 48 для случая движения материальной точки с юга на север (как в северном, так и в южном полушариях). В соответствии с правилом правого винта, легко убедиться, что кориолисова сила действует в северном полушарии с запада на восток, а в южном – с востока на запад.

Вместо отдельной материальной точки мы можем рассматривать и непрерывную совокупность (континуум) материальных точек, т.е. поток их вдоль земного меридиана (например, реку). Тогда из рис. 48 видно, что кориолисова сила инерции текущей воды давит (при течении с юга на север) в северном полушарии на правый берег, а в южном – на левый берег реки; очевидно, эта «перемена знака» силы давления связана с синусом географической широты, входящим Рис. 48. Вывод силы Кориолиса для частного случая: по меридиану вращающегося земного шара движется материальная точка с постоянной скоростью $\boldsymbol{v}_{\text {отн. }}$; эта точка обладает по отношению к центру постоянной угловой скоростью $\mu$ в формулу (28.6б). Однако это правило справедливо не только для направления относительно скорости $\mathbf{v}_{\text {отн. }}$ с юга на север, но, как это будет доказано в следующем параграфе, и для любого направления течения, в частности, и для течения с севера на юг. В рассматриваемом случае это непосредственно очевидно: скорость (переносная) движения воды с запада на восток, обусловленная вращением земного шара, зависит от расстояния до оси вращения, а следовательно, от географической широты. При течении с юга на север в северном полушарии вода приносит с собой из южных широт избыток количества движения, направленного с запада на восток; этот избыток и проявляется в виде давления воды в восточном направлении, т.е. на правый берег. Однако то же самое имеет место и для потока, направленного с севера на юг. В этом случае вода приходит из северных широт с недостатком количества движения в направлении с запада на восток. Вращающаяся Земля при этом должна ускорять воду в ее движении с запада на восток; очевидно, что в силу инерции воды это приведет к давлению потока на западный, т. е. опять-таки на правый берег. С помощью совершенно аналогичного рассуждения легко убедиться в том, что в южном полушарии текущая вода оказывает давление на левый берег как при течении с юга на север, так и с севера на юг.

Давление воды на правый берег проявляется (как это доказано географами на ряде примеров в северном полушарии) в более сильном размывании правых берегов рек (закон Бера); кроме того, уровень воды у правого берега рек (в северном полушарии) всегда несколько выше, чем у левого, причем эта разница достигает вполне измеримых величин.

Гораздо более значительными являются действия силы Кориолиса при морских течениях (отклонение вправо Гольфстрима, а также отклонение течений, связанных с приливами и отливами в северном полушарии).

Однако сильнее всего действие силы Кориолиса проявляется в атмосфере. Согласно известному закону Байс-Балло, ветер дует не в направлении падения давления, а значительно отклоняется от этого направления в северном полушарии вправо, в южном полушарии – влево; только на экваторе направление ветра в точности совпадает с направлением градиента давления.

Все эти явления представляют собой прямое следствие закона инерции и, в конечном счете, вызваны тем, что вращающаяся Земля не является, с точки зрения механики, правомерной системой отсчета.

В то время как в настоящем параграфе мы пользовались сферическими координатами, в задаче V. 1 мы воспользуемся для вывода силы Кориолиса цилиндрическими координатами.