Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
При всех измерениях силы тяжести мы наблюдаем не само притяжение Земли, а равнодействующую притяжения Земли $\mathbf{F}$ и центробежной силы Z. Равным образом, и степень сплюснутости геоида, т. е. Рис. 49. Свободное падение в условиях вращающегося земного шара. Ось координат: ось $\xi$ направлена по меридиану, ось $\eta$-по параллели, ось $\zeta$ — по нормали к геоиду средней формы земной поверхности, определяется этой равнодействующей, именно — тем, что поверхность геоида всюду ей перпендикулярна. Положим Здесь ускорение свободного падения $\mathrm{g}$ является вектором, равным по величине $g$, но направленным не по земному радиусу, а по нормали $к$ поверхности геоида. Принимая во внимание соотношения (30.1) и (28.6) и пренебрегая членом, содержащим $\dot{\omega}$ (ср. выше), получим из уравнения (29.6): Решим это векторное уравнение в координатной форме, вводя прямоугольную систему координат $\xi, \eta, \zeta$, неподвижно связанную с Землей (рис. 49): где $\varphi$ — географическая широта (ср. рис. 49). Перепишем теперь уравнение (30.2) в координатной форме: Перед тем как перейти к интегрированию, рассмотрим общий характер этих уравнений. Они отличаются тем, что коэффициенты их правых частей образуют антисимметричную матрицу (схему). Если обозначить то эта схема примет следующий антисимметричный по отношению к главной диагонали вид: Этот антисимметричный вид означает, что имеет место сохранение энергии; напротив, если бы матрица (схема) коэффициентов содержала отличные от нуля диагональные члены или — в более общем случае симметричную часть, то имело бы место рассеяние энергии. В самом деле, умножим уравнения (30.5) соответственно на $\frac{d \xi}{d t}, \frac{d \eta}{d t}$, $\frac{d \zeta}{d t}$ и сложим их; тогда в правой части все члены с $\alpha, \beta$ и $\gamma$ взаимно уничтожаются, и мы получим: Следовательно, Здесь $T$ и $V$ означают кинетическую и потенциальную энергию относительного движения (в предположении, что масса равна 1). Впрочем, этот консервативный характер нашей схемы коэффициентов вытекает без всяких вычислений уже из того, что кориолисова сила $\mathbf{C}$, поскольку она пропорциональна $[\mathbf{v} \boldsymbol{\omega}]$, перпендикулярна к направлению движения, a, следовательно, ее работа равна нулю (подобно тому, как это имеет место для магнитных сил в электродинамике). Напротив, в случае наличия симметричной части в матрице коэффициентов мы имели бы если только знаки коэффициентов удовлетворяют физически необходимому требованию затухания процессов движения. Очевидно, что неравенство (30.9) соответствует не сохранению энергии, а как мы уже утверждали, рассеянию энергии. Примером (впрочем, лишь для одномерного случая) подобного диссипативного характера симметричной матрицы коэффициентов являются рассмотренные в гл. III затухающие колебания [см. уравнения (19.8) и (19.9)]. Следуя лорду Кельвину, будем называть элементы антисимметричной матрицы коэффициентов гироскопическими членами. Эти члены характеризуют внутренние гирационные свойства механической системы (в нашем случае вращение земного шара); последние при рассмотрении проблемы не учитываются явно (игнорируются), а принимаются во внимание при выборе системы координат (в нашем случае $\xi, \eta, \zeta$ ). Такого рода гироскопические члены играют важную роль в общих теоремах об устойчивости движений и состояний равновесия. Перейдем теперь к интегрированию уравнений (30.5). При этом в качестве начальных условий мы возьмем условия, соответствующие свободному падению с высоты $h$ без начального импульса; таким образом, мы требуем при $t=0$, чтобы имело место: Из первого и третьего уравнений (30.5) получаем: Подстановка во второе уравнение (30.5) дает: Интегрирование последнего уравнения выполняется по общему правилу [cр. уравнение (19.4)]: «общее решение неоднородного уравнения равно сумме его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения». Следуя этому правилу, для нашего случая получим: Из начальных условии (30.10) находим: откуда Это означает по смыслу координаты $\eta$ [ср. определение (30.3)] отклонение падающего тела к востоку. Величина $\xi$ означает отклонение $\kappa$ югу. На основании (30.11) и (30.13) это отклонение можно вычислить из уравнения интеграция которого, принимая во внимание начальные условия (30.10), дает: Наконец, для движения по вертикали из второго уравнения (30.11), принимая во внимание соотношения (30.13) и (30.10), получим: Величина $\omega t$ очень мала (порядка отношения времени падения к продолжительности суток). Поэтому мы можем разложить выражения $(30.13),(30.14)$ и $(30.15)$ в ряды по степеням $\omega t$, после чего найдем: Величина ( $\omega t$ ), характеризующая влияние вращения Земли на свободное падение тел, входит в выражение отклонения к востоку $\eta$ в первой степени, а в выражения отклонения к югу $\xi$ и отклонения по вертикали $\zeta$ — лишь в квадрате. Отклонение падающих тел к востоку многократно наблюдалось на опыте, и величина его оказалась в хорошем согласии с теорией — при благоприятных условиях (падение в глубокой шахте) оно составляло несколько сантиметров. Очевидно, что эти отклонения (как наблюдаемые, так и не поддающиеся наблюдению) объясняются тем, что лежащие в основе эксперимента и теории начальные условия (30.10) предполагают состояние покоя относительно Земли и что именно по этой причине они означают наличие у первоначально покоящегося тела определенной скорости в пространстве. Эта скорость равна произведению угловой скорости вращения Земли на расстояние от тела до оси вращения Земли и потому несколько отличается от окружной скорости земной поверхности под падающим телом. Естественным следствием этого и является некоторое отличие траектории падающего тела от вертикали, проходящей через его начальное положение.
|
1 |
Оглавление
|