При всех измерениях силы тяжести мы наблюдаем не само притяжение Земли, а равнодействующую притяжения Земли $\mathbf{F}$ и центробежной силы Z. Равным образом, и степень сплюснутости геоида, т. е.

Рис. 49. Свободное падение в условиях вращающегося земного шара. Ось координат: ось $\xi$ направлена по меридиану, ось $\eta$-по параллели, ось $\zeta$ – по нормали к геоиду

средней формы земной поверхности, определяется этой равнодействующей, именно – тем, что поверхность геоида всюду ей перпендикулярна.

Положим
\[
\mathbf{F}+\mathbf{Z}=-m \mathbf{g} .
\]

Здесь ускорение свободного падения $\mathrm{g}$ является вектором, равным по величине $g$, но направленным не по земному радиусу, а по нормали $к$ поверхности геоида.

Принимая во внимание соотношения (30.1) и (28.6) и пренебрегая членом, содержащим $\dot{\omega}$ (ср. выше), получим из уравнения (29.6):
\[
\frac{d \mathbf{v}}{d t}=-\mathbf{g}+2[\mathbf{v} \boldsymbol{\omega}] .
\]

Решим это векторное уравнение в координатной форме, вводя прямоугольную систему координат $\xi, \eta, \zeta$, неподвижно связанную с Землей (рис. 49):
$\left.\begin{array}{l}\text { ось } \xi \text { направлена с севера на юг (вдоль земного меридиана), } \\ \text { ось } \eta \text { направлена с запада на восток (вдоль параллели), } \\ \text { ось } \zeta \text { направлена от точки наблюдения к зениту } \\ \text { (по нормали к поверхности геоида). }\end{array}\right\}$
Тогда компоненты наших векторов примут вид:
\[
\left.\begin{array}{lccc}
\text { вектора } \mathbf{v}: & \frac{d \xi}{d t} ; & \frac{d \eta}{d t}, & \frac{d \zeta}{d t}, \\
\text { вектора } \mathbf{g}: & 0, & 0, & g, \\
\text { вектора } \boldsymbol{\omega}: & -\omega \cos \varphi, & 0, & \omega \sin \varphi,
\end{array}\right\}
\]

где $\varphi$ – географическая широта (ср. рис. 49). Перепишем теперь уравнение (30.2) в координатной форме:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}=2 \omega \sin \varphi \frac{d \eta}{d t} \\
\frac{d^{2} \eta}{d t^{2}}=-2 \omega \sin \varphi \frac{d \xi}{d t}-2 \omega \cos \varphi \frac{d \zeta}{d t} \\
\frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}+g=2 \omega \cos \varphi \frac{d \eta}{d t} .
\end{array}\right\}
\]

Перед тем как перейти к интегрированию, рассмотрим общий характер этих уравнений. Они отличаются тем, что коэффициенты их правых частей образуют антисимметричную матрицу (схему). Если обозначить
\[
\alpha=2 \omega \sin \varphi, \quad \beta=0, \quad \gamma=-2 \omega \cos \varphi,
\]

то эта схема примет следующий антисимметричный по отношению к главной диагонали вид:
$(30.7)$

Этот антисимметричный вид означает, что имеет место сохранение энергии; напротив, если бы матрица (схема) коэффициентов содержала отличные от нуля диагональные члены или – в более общем случае симметричную часть, то имело бы место рассеяние энергии.

В самом деле, умножим уравнения (30.5) соответственно на $\frac{d \xi}{d t}, \frac{d \eta}{d t}$, $\frac{d \zeta}{d t}$ и сложим их; тогда в правой части все члены с $\alpha, \beta$ и $\gamma$ взаимно уничтожаются, и мы получим:
\[
\frac{1}{2} \frac{d}{d t}\left[\left(\frac{d \xi}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \eta}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \zeta}{d t}\right)^{2}\right]+g \frac{d \zeta}{d t}=0 .
\]

Следовательно,
\[
T+V=\text { const. }
\]

Здесь $T$ и $V$ означают кинетическую и потенциальную энергию относительного движения (в предположении, что масса равна 1). Впрочем, этот консервативный характер нашей схемы коэффициентов вытекает без всяких вычислений уже из того, что кориолисова сила $\mathbf{C}$, поскольку она пропорциональна $[\mathbf{v} \boldsymbol{\omega}]$, перпендикулярна к направлению движения, a, следовательно, ее работа равна нулю (подобно тому, как это имеет место для магнитных сил в электродинамике).

Напротив, в случае наличия симметричной части в матрице коэффициентов мы имели бы
\[
\frac{d}{d t}(T+V)<0,
\]

если только знаки коэффициентов удовлетворяют физически необходимому требованию затухания процессов движения. Очевидно, что неравенство (30.9) соответствует не сохранению энергии, а как мы уже утверждали, рассеянию энергии. Примером (впрочем, лишь для одномерного случая) подобного диссипативного характера симметричной матрицы коэффициентов являются рассмотренные в гл. III затухающие колебания [см. уравнения (19.8) и (19.9)].

Следуя лорду Кельвину, будем называть элементы антисимметричной матрицы коэффициентов гироскопическими членами. Эти члены характеризуют внутренние гирационные свойства механической системы (в нашем случае вращение земного шара); последние при рассмотрении проблемы не учитываются явно (игнорируются), а принимаются во внимание при выборе системы координат (в нашем случае $\xi, \eta, \zeta$ ). Такого рода гироскопические члены играют важную роль в общих теоремах об устойчивости движений и состояний равновесия.

Перейдем теперь к интегрированию уравнений (30.5). При этом в качестве начальных условий мы возьмем условия, соответствующие свободному падению с высоты $h$ без начального импульса; таким образом, мы требуем при $t=0$, чтобы имело место:
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi=\eta=0, \quad \zeta=h, \\
\frac{d \xi}{d t}=\frac{d \eta}{d t}=\frac{d \zeta}{d t}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Из первого и третьего уравнений (30.5) получаем:
\[
\frac{d \xi}{d t}=2 \omega \eta \sin \varphi, \quad \frac{d \zeta}{d t}+g t=2 \omega \eta \cos \varphi .
\]

Подстановка во второе уравнение (30.5) дает:
\[
\frac{d^{2} \eta}{d t^{2}}+4 \omega^{2} \eta=C t, \quad C=2 \omega g \cos \varphi .
\]

Интегрирование последнего уравнения выполняется по общему правилу [cр. уравнение (19.4)]: «общее решение неоднородного уравнения равно сумме его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения». Следуя этому правилу, для нашего случая получим:
\[
\eta=\frac{C}{4 \omega^{2}} t+A \sin 2 \omega t+B \cos 2 \omega t .
\]

Из начальных условии (30.10) находим:
\[
B=0, \quad 2 \omega A=-\frac{C}{4 \omega^{2}},
\]

откуда
\[
\eta=\frac{C}{4 \omega^{2}}\left(t-\frac{\sin 2 \omega t}{2 \omega}\right)=\frac{g \cos \varphi}{2 \omega}\left(t-\frac{\sin 2 \omega t}{2 \omega}\right) .
\]

Это означает по смыслу координаты $\eta$ [ср. определение (30.3)] отклонение падающего тела к востоку.

Величина $\xi$ означает отклонение $\kappa$ югу. На основании (30.11) и (30.13) это отклонение можно вычислить из уравнения
\[
\frac{d \xi}{d t}=g \sin \varphi \cos \varphi\left(t-\frac{\sin 2 \omega t}{2 \omega}\right),
\]

интеграция которого, принимая во внимание начальные условия (30.10), дает:
\[
\xi=g \sin \varphi \cos \varphi\left(\frac{t^{2}}{2}-\frac{1-\cos 2 \omega t}{4 \omega^{2}}\right) .
\]

Наконец, для движения по вертикали из второго уравнения (30.11), принимая во внимание соотношения (30.13) и (30.10), получим:
\[
\zeta=h-\frac{g t^{2}}{2}+g \cos ^{2} \varphi\left(\frac{t^{2}}{2}-\frac{1-\cos 2 \omega t}{4 \omega^{2}}\right) .
\]

Величина $\omega t$ очень мала (порядка отношения времени падения к продолжительности суток). Поэтому мы можем разложить выражения $(30.13),(30.14)$ и $(30.15)$ в ряды по степеням $\omega t$, после чего найдем:
\[
\begin{array}{l}
\eta=\frac{g t^{2}}{3} \cos \varphi \cdot \omega t, \\
\xi=\frac{g t^{2}}{6} \sin \varphi \cos \varphi \cdot(\omega t)^{2}, \\
\zeta=h-\frac{g t^{2}}{2}\left[1-\frac{\cos ^{2} \varphi}{3}(\omega t)^{2}\right] .
\end{array}
\]

Величина ( $\omega t$ ), характеризующая влияние вращения Земли на свободное падение тел, входит в выражение отклонения к востоку $\eta$ в первой степени, а в выражения отклонения к югу $\xi$ и отклонения по вертикали $\zeta$ – лишь в квадрате. Отклонение падающих тел к востоку многократно наблюдалось на опыте, и величина его оказалась в хорошем согласии с теорией – при благоприятных условиях (падение в глубокой шахте) оно составляло несколько сантиметров.

Очевидно, что эти отклонения (как наблюдаемые, так и не поддающиеся наблюдению) объясняются тем, что лежащие в основе эксперимента и теории начальные условия (30.10) предполагают состояние покоя относительно Земли и что именно по этой причине они означают наличие у первоначально покоящегося тела определенной скорости в пространстве. Эта скорость равна произведению угловой скорости вращения Земли на расстояние от тела до оси вращения Земли и потому несколько отличается от окружной скорости земной поверхности под падающим телом. Естественным следствием этого и является некоторое отличие траектории падающего тела от вертикали, проходящей через его начальное положение.