Мы не можем противостоять «искушению» дополнить наше рассмотрение относительного движения доказательством знаменитой теоремы Лагранжа (Парижская академия, 1772 г.): Проблема трех тел допускает строгое решение в элементарных функциях, если принять, что треугольник, образованный тремя небесными телами, постоянно остается подобным самому себе. При этом массы трех тел произвольны.
В ходе доказательства этой теоремы выяснится, что:
1) плоскость, проходящая через три рассматриваемые материальные точки, неподвижна в пространстве;
2) равнодействующая ньютоновских сил тяготения, приложенных к каждой из этих трех материальных точек, проходит через их общий центр тяжести;
3) образованный тремя телами треугольник является равносторонним;
4) траектории трех тел (материальных точек) представляют собой подобные друг другу конические сечения, для каждого из которых общий центр тяжести трех тел является одним из фокусов.

Доказательство, данное Лагранжем, довольно сложно. Его можно упростить, приняв с самого начала, как это делает Лаплас, что условие 1) выполнено. Каратеодори показал ${ }^{1}$, однако, что и без этого допущения возможно элементарное доказательство теоремы Лагранжа. Его отправной точкой является наше векторное уравнение (29.4), переписанное в прямоугольных компонентах. Мы воспроизводим здесь с некоторыми изменениями доказательство Каратеодори.

Рассмотрим плоскость $\mathscr{E}$, проходящую через три материальные точки $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ (массы их равны соответственно $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ ), а сле-
${ }^{1}$ Bayrische Akademie, 1933, S. 257.

довательно, и через их общий центр тяжести $O$. Последний мы можем без ограничения общности считать неподвижным. Таким образом, плоскость $\mathscr{E}$ вращается вокруг неподвижной точки $O$; кроме того, мы предполагаем, что плоскость $\mathscr{E}$ вращается вокруг своей нормали, проведенной через точку $O$; результирующую угловую скорость вращения обозначим через $\boldsymbol{\omega}$. Будем рассматривать движение материальных точек в системе отсчета, связанной с плоскостью $\mathscr{E}$, подобно тому, как мы рассматривали движение маятника Фуко в системе отсчета, связанной с Землей. Проведем радиусы-векторы $\mathbf{r}_{i}$ из точки $O$ в точку $P_{i}$; $v_{i} \frac{d \mathbf{v}_{i}}{d t}$ будут скоростями и ускорениями наших материальных точек в системе отсчета $\mathscr{E}$. Тогда из уравнения (29.4), с помощью векторной формулы (24.7), получим следующие дифференциальные уравнения движения:
\[
\frac{d \mathbf{v}_{i}}{d t}+2\left[\boldsymbol{\omega} \mathbf{v}_{i}\right]+\boldsymbol{\omega}\left(\mathbf{r}_{i} \boldsymbol{\omega}\right)-\mathbf{r}_{i} \boldsymbol{\omega}^{2}+\left[\boldsymbol{\omega} r_{i}\right]=\frac{\mathbf{F}_{i}}{m_{i}} .
\]

Здесь $\mathbf{F}_{i}$ означает векторную сумму ньютоновских сил притяжения, действующих на материальную точку $m_{i}$. Так, например,
\[
\frac{\mathbf{F}_{1}}{m_{1}}=\frac{G m_{2}}{\left|\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right|^{2}} \frac{\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}}{\left|\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right|}+\frac{G m_{3}}{\left|\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1}\right|^{2}} \frac{\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1}}{\left|\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1}\right|} .
\]

Выберем в плоскости $\mathscr{E}$ прямоугольную систему координат $x, y$ с началом в точке $O$; в остальном эта система координат произвольна.

Через точку $O$ перпендикулярно к плоскости $\mathscr{E}$ проведем ось $z$. Разложим угловую скорость $\boldsymbol{\omega}$ на слагающие по этим трем осям (как это делается в уравнениях Эйлера):
\[
\boldsymbol{\omega}=(p, q, r) .
\]

Слагающую $r$ (вращение плоскости $\mathscr{E}$ вокруг собственной нормали) мы определим так, чтобы один из радиусов-векторов $O P_{i}$ имел неизменное направление в плоскости $\mathscr{E}$. Поскольку мы предположили, что треугольник $P_{1} P_{2} P_{3}$ при движении остается подобным самому себе, то и остальные два радиуса-вектора $O P_{i}$ также должны сохранять неизменное направление в плоскости $\mathscr{E}$. Таким образом, мы можем написать:
\[
\mathbf{r}_{i}=\lambda(t)\left(a_{i}, b_{i}, 0\right) .
\]

Функция $\lambda(t)$ определяет общее изменение длины векторов $O P_{i}$, а следовательно, и изменение размеров треугольника $P_{1} P_{2} P_{3}$. Обозначая через $\dot{\lambda}$ и $\ddot{\lambda}$ производные от $\lambda$ по времени, получим из уравнения (32.4):
\[
\left.\begin{array}{rl}
\mathbf{v}_{i} & =\dot{\lambda}(t)\left(a_{i}, b_{i}, 0\right), \\
\frac{d \mathbf{v}_{i}}{d t} & =\ddot{\lambda}(t)\left(a_{i}, b_{i}, 0\right) .
\end{array}\right\}
\]

В соответствии с этим, $z$-компонента равнодействующей силы $\mathbf{F}_{i}$, выражаемой формулой (32.2), равна нулю; компоненты же этой силы по осям $x$ и $y$ обратно пропорциональны $\lambda^{2}$. Запишем это сокращенно в следующем виде:
\[
\frac{\mathbf{F}_{i}}{m_{i}}=\frac{1}{\lambda^{2}(t)}\left(L_{i}, M_{i}, 0\right) .
\]

В соответствии с этим, проектируя обе части дифференциального уравнения (32.1) на перпендикуляр к плоскости $\mathscr{E}$ (т.е. на ось $z$ ), получим:
\[
2 \dot{\lambda}\left(p b_{i}-q a_{i}\right)+\lambda r\left(a_{i} p+b_{i} q\right)+\lambda\left(\dot{p} b_{i}-\dot{q} a_{i}\right)=0,
\]

или, группируя коэффициенты при $a_{i}, b_{i}$,
\[
\{-2 \dot{\lambda} q+\lambda(r p-\dot{q})\} a_{i}+\{2 \dot{\lambda} p+\lambda(r q+\dot{p})\} b_{i}=0 .
\]

Оба выражения в фигурных скобках являются не зависящими от $i$ функциями времени. Обозначим эти функции через $f(t)$ и $g(t)$, тогда должно выполняться равенство
\[
\frac{f(t)}{g(t)}=-\frac{b_{i}}{a_{i}} .
\]

Так как, по условию, точки $P_{i}$ образуют треугольник, т.е. не лежат на одной прямой, то три отношения $\frac{b}{a}$ не равны друг другу. Но отсюда следует, что условие (32.6) может быть выполнено только в том случае, если мы положим $f=g=0$. Последнее означает, что
\[
\left.\begin{array}{l}
2 \dot{\lambda} p=-\lambda(r q+\dot{p}), \\
2 \dot{\lambda} q=\lambda(r q-\dot{q}) .
\end{array}\right\}
\]

Умножая эти уравнения соответственно на $p$ и $q$ и складывая их, найдем:
\[
\frac{2 \dot{\lambda}}{\lambda}=-\frac{p \dot{p}+q \dot{q}}{p^{2}+q^{2}} .
\]

Интегрируя, будем иметь:
\[
p^{2}+q^{2}=\frac{C}{\lambda^{4}},
\]

где $C$ – постоянная интегрирования. Далее, для $x$ – и $y$-компонент дифференциальное уравнение (32.1) дает:
\[
\begin{array}{l}
\ddot{\lambda} a_{i}-2 r \dot{\lambda} b_{i}+p \lambda\left(a_{i} p+b_{i} q\right)-\lambda a_{i}\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)-\dot{r} \lambda b_{i}=\frac{L_{i}}{\lambda^{2}}, \\
\ddot{\lambda} b_{i}+2 r \dot{\lambda} a_{i}+q \lambda\left(a_{i} p+b_{i} q\right)-\lambda b_{i}\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)+\dot{r} \lambda a_{i}=\frac{M_{i}}{\lambda^{2}}
\end{array}
\]

или, если сгруппировать коэффициенты при $a_{i}$ и $b_{i}$ :
\[
\left.\begin{array}{rl}
\left\{\ddot{\lambda}-\lambda\left(q^{2}+r^{2}\right)\right\} a_{i}-\{2 r \dot{\lambda}+\lambda(-p q+\dot{r})\} b_{i} & =\frac{L_{i}}{\lambda^{2}}, \\
\{2 r \dot{\lambda}+\lambda(p q+\dot{r})\} a_{i}+\left\{\ddot{\lambda}-\lambda\left(p^{2}+r^{2}\right)\right\} b_{i} & =\frac{M_{i}}{\lambda^{2}} .
\end{array}\right\}
\]

Таким образом, выражения в фигурных скобках каждого из этих уравнений, умноженные на $\lambda^{2}$, должны удовлетворять трем линейным уравнениям с постоянными (не зависящими от $t$ ) коэффициентами. Это возможно только в том случае, если сами эти выражения являются постоянными. Поэтому разность выражений, заключенных в первой и четвертой скобках, равна некоторой постоянной, деленной на $\lambda^{2}$, равно как и разность выражений, заключенных в третьей и второй скобках. Следовательно, имеет место:
\[
p^{2}-q^{2}=\frac{A}{\lambda^{3}}, \quad 2 p q=\frac{B}{\lambda^{3}} .
\]

Объединим эти вещественные равенства в одно комплексное ( $j-$ мнимая единица):
\[
(p \pm j q)^{2}=\frac{A \pm j B}{\lambda^{3}} .
\]

Переходя к абсолютным величинам, получим:
\[
p^{2}+q^{2}=\frac{D}{\lambda^{3}}, \quad D=\sqrt{A^{2}+B^{2}} .
\]

Сравнение условий (32.11) и (32.8) привело бы нас к соотношению
\[
\lambda=\frac{C}{D}=\text { const },
\]

за исключением того случая, когда $C$ и $D$ оба обращаются в нуль. Однако при $\lambda=$ const, согласно условию (32.10), были бы постоянными также $p$ и $q$ и, в силу условий (32.7), $r$ обращалось бы в нуль. С помощью соответственного выбора координатных осей $x, y$ можно было бы даже сделать $q=0$ и получить из первого уравнения (32.9) $L_{i}=0$. Но тогда наши три точки $P_{i}$ должны были бы лежать на одной прямой, что, по условию, не должно иметь места.

Следовательно, мы должны положить $C=D=0$, тогда из уравнений (32.8) или (32.11) получим:
\[
p=q=0 .
\]

Тем самым доказана 1-я часть теоремы Лагранжа: плоскость $\mathscr{E}$ вращается вокруг своей нормали с угловой скоростью $\mathbf{r}$; указанная нормаль неподвижна в пространстве.

Применяя закон площадей к нашей системе, мы видим, что движение точек $m_{i}$ в плоскости $\mathscr{E}$ не может увеличить «постоянную площадей». Таким образом, эта постоянная непосредственно определяется угловой скоростью вращения $r$ плоскости $\mathscr{E}$, а именно:
\[
\text { const }=r \sum m_{i}\left|r_{i}\right|^{2}=r \lambda^{2} \sum m_{i}\left(a_{i}^{2}+b_{i}^{2}\right) .
\]

Обозначим
\[
\lambda^{2} r=\gamma,
\]

откуда
\[
2 \dot{\lambda} r+\lambda \dot{r}=0 .
\]

В силу условий (32.12) и (32.12 а, б), уравнения (32.9) упрощаются и принимают вид
\[
\lambda^{2} \ddot{\lambda}-\frac{\gamma^{2}}{\lambda}=\frac{L_{i}}{a_{i}}=\frac{M_{i}}{b_{i}} .
\]

Из содержащегося в этих уравнениях требования $\frac{L_{1}}{a_{1}}=\frac{M_{1}}{b_{1}}$ вытекает, что момент силы $\mathbf{F}_{1}$ относительно точки $O$ обращается в нуль:
\[
\left[\mathbf{r}_{1} \mathbf{F}_{1}\right]=\frac{1}{\lambda^{2}}\left(a_{1} M_{1}-b_{1} L_{1}\right)=0
\]

и что, таким образом, сила $\mathbf{F}_{1}$ проходит через центр тяжести $O$. То же самое относится и к силам $\mathbf{F}_{2}$ и $\mathbf{F}_{3}$. Этим доказана 2 -я часть теоремы Лагранжа: равнодействующая сил, приложенных к точке $P_{i}$, проходит через центр тяжести масс $m_{i}$.

Преобразуем равенство (32.14) с помощью выражения (32.2). Вначале мы получим
\[
\frac{\left|\mathbf{r}_{1} \mathbf{F}_{1}\right|}{m_{1} G}=\frac{m_{2}\left[\mathbf{r}_{1} \mathbf{r}_{2}\right]}{\left|\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right|^{3}}+\frac{m_{3}\left[\mathbf{r}_{1} \mathbf{r}_{3}\right]}{\left|\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1}\right|^{3}}=0 .
\]

Однако по определению центра тяжести имеем:
\[
m_{1} \mathbf{r}_{1}+m_{2} \mathbf{r}_{2}+m_{3} \mathbf{r}_{3}=0,
\]
a, следовательно, также
\[
m_{2}\left[\mathbf{r}_{1} \mathbf{r}_{2}\right]+m_{3}\left[\mathbf{r}_{1} \mathbf{r}_{3}\right]=0 .
\]

Подставив это в уравнение (32.15), найдем:
\[
m_{2}\left[\mathbf{r}_{1} \mathbf{r}_{2}\right]\left(\frac{1}{\left|\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right|^{3}}-\frac{1}{\left|\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1}\right|^{3}}\right)=0,
\]

откуда
\[
\left|\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right|=\left|\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1}\right| .
\]

Таким же образом находим:
\[
\left|\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{2}\right|=\left|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\right| \text { и т.д. }
\]

Это означает, что наш треугольник равносторонний, т.е. 3-я часть теоремы Лагранжа также доказана.

Мы можем определить и каждое из входящих в уравнение (32.13) отношений $\frac{L_{i}}{a_{i}}, \frac{M_{i}}{b_{i}}$ в отдельности. Обозначим сторону треугольника через $\lambda s$, причем
\[
s^{2}=\left(a_{2}-a_{1}\right)^{2}+\left(b_{2}-b_{1}\right)^{2}=\left(a_{3}-a_{2}\right)^{2}+\left(b_{3}-b_{2}\right)^{2}=\ldots
\]

Согласно формулам (32.2) и (32.5), получим:
\[
\frac{L_{1}}{a_{1}}=\frac{G}{s^{3} a_{1}}\left\{m_{2}\left(a_{2}-a_{1}\right)+m_{3}\left(a_{3}-a_{1}\right)\right\} ;
\]

принимая во внимание (32.16),
\[
\frac{L_{1}}{a_{1}}=\frac{G}{s^{3}}\left\{-m_{1}-m_{2}-m_{3}\right\} .
\]

Так как массы $m_{i}$ и координаты $a_{i}, b_{i}$ входят в правую часть формулы совершенно симметрично, то эта правая часть выражает в то же время величины $\frac{L_{i}}{a_{i}}$ и $\frac{M_{i}}{b_{i}}$. Подставляя это значение в формулу (32.13), получим:
\[
\lambda^{2} \ddot{\lambda}-\frac{\gamma^{2}}{\lambda}=-\frac{G}{s^{3}}\left(m_{1}+m_{2}+m_{3}\right) .
\]

Это дифференциальное уравнение для $\lambda$ описывает временной ход движения, «растяжения» и «сжатия» нашего равностороннего треугольника, претерпеваемые им с течением времени.

Однако временной ход таких «пульсаций» треугольника, равно как и геометрическую форму траекторий трех тел, можно проследить еще проще, если в качестве системы отсчета выбрать не плоскость $\mathscr{E}$, а совпадающую с ней, но неподвижную в пространстве, плоскость $\mathscr{E}$. В этой системе отсчета на материальную точку $m_{i}$ действует только равнодействующая сила $\mathbf{F}_{i}$, направленная к неподвижному центру тяжести, в то время как все прочие входящие в уравнение (32.1) фиктивные силы (кориолисова сила, центробежная сила и т. д.) отпадают. Согласно формулам (32.5) и (32.18), величина этой силы $\mathbf{F}_{i}$ равна
\[
\left|\mathbf{F}_{i}\right|=\frac{m_{i}}{\lambda^{2}} \sqrt{L_{i}^{2}+M_{i}^{2}}=-\frac{m_{i} G}{\lambda^{2} s^{2}}\left(m_{1}+m_{2}+m_{3}\right) \frac{\sqrt{a_{i}^{2}+b_{i}^{2}}}{s} .
\]

Единственной функцией времени в правой части этой формулы является $\lambda^{2}$. С помощью равенства (32.4) выразим $\lambda^{2}$ через $\left|\mathbf{r}_{i}\right|$ :
\[
\lambda^{2}=\frac{\left|\mathbf{r}_{i}\right|^{2}}{a_{i}^{2}+b_{i}^{2}} \text {. }
\]

Подставляя это выражение в формулу (32.20) и вводя массу
\[
m_{i}{ }^{\prime}=m_{i} \frac{\left(a_{i}^{2}+b_{i}^{2}\right)^{2 / 3}}{s^{3}},
\]

а также полную массу $M=m_{1}+m_{2}+m_{3}$, получаем
\[
\left|\mathbf{F}_{i}\right|=-\frac{m_{i}{ }^{\prime} M G}{\left|\mathbf{r}_{i}\right|^{2}} .
\]

Таким образом, каждая из наших трех материальных точек движется в пространстве независимо от остальных двух и притом так, как если бы она имела массу $m_{i}{ }^{\prime}$ и притягивалась находящейся в точке $O$ неподвижной массой $M$ по закону Ньютона. Поэтому при своем движении она описывает коническое сечение, в одном из фокусов которого находится точка $O$.

Для того чтобы узнать что-либо относительно размеров и взаимного положения этих трех конических сечений, мы должны учесть заданные начальные условия нашего движения. Рассмотрим, например, момент, в который все три материальные точки $m_{i}$ находятся на экстремальных расстояниях от центра $O$, равных
\[
\lambda_{\text {экстр. }} \sqrt{a_{i}^{2}+b_{i}^{2}} .
\]

Тогда, согласно формуле (32.4), радиальная скорость в системе отсчета $\mathscr{E}$ равна нулю; скорость же в системе отсчета $\mathscr{E}^{\prime}$ (т.е. в пространстве) равна произведению компоненты $r$ угловой скорости на расстояние (32.21). Входящий в выражение (32.21) множитель $\sqrt{a_{i}^{2}+b_{i}^{2}}$ будет при этом коэффициентом подобия не только для начальных скоростей и начальных расстояний от центра тяжести, но также и для величин получающихся конических сечений. Тем самым доказана и 4-я часть теоремы Лагранжа. Три конических сечения взаимно смещены на углы, равные соответственно углам между тремя центральными осями.

В частном случае $m_{1}=m_{2}=m_{3}$, когда центр тяжести $O$ является одновременно центром равностороннего треугольника, конические сечения конгруэнтны и смещены друг относительно друга на $120^{\circ}$.

Кроме этого движения по коническим сечениям, существует, по Лагранжу, класс движений, которые могут быть представлены в элементарных функциях и при которых три тела находятся на вращающейся прямой. Но на этом мы останавливаться не будем.

Укажем еще на то, что от лагранжева случая проблемы трех тел можно перейти к соответствующему частному случаю проблемы $n$ тел. В случае, когда массы всех $n$ тел одинаковы и скорости их подобраны соответствующим образом траектории представляют собой $n$ равновеликих кеплеровых эллипсов, повернутых друг относительно друга на углы $\frac{2 \pi}{n}$; движение по этим эллипсам происходит в одинаковом ритме. Этот род движения вскользь упоминается в теории рентгеновских $L$-спектров, где он обозначается термином «Ellipsenverein» [Physikal. Zeitschr., Bd 19, S. 297 (1918)].