Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Мы не можем противостоять «искушению» дополнить наше рассмотрение относительного движения доказательством знаменитой теоремы Лагранжа (Парижская академия, 1772 г.): Проблема трех тел допускает строгое решение в элементарных функциях, если принять, что треугольник, образованный тремя небесными телами, постоянно остается подобным самому себе. При этом массы трех тел произвольны. Доказательство, данное Лагранжем, довольно сложно. Его можно упростить, приняв с самого начала, как это делает Лаплас, что условие 1) выполнено. Каратеодори показал ${ }^{1}$, однако, что и без этого допущения возможно элементарное доказательство теоремы Лагранжа. Его отправной точкой является наше векторное уравнение (29.4), переписанное в прямоугольных компонентах. Мы воспроизводим здесь с некоторыми изменениями доказательство Каратеодори. Рассмотрим плоскость $\mathscr{E}$, проходящую через три материальные точки $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ (массы их равны соответственно $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ ), а сле- довательно, и через их общий центр тяжести $O$. Последний мы можем без ограничения общности считать неподвижным. Таким образом, плоскость $\mathscr{E}$ вращается вокруг неподвижной точки $O$; кроме того, мы предполагаем, что плоскость $\mathscr{E}$ вращается вокруг своей нормали, проведенной через точку $O$; результирующую угловую скорость вращения обозначим через $\boldsymbol{\omega}$. Будем рассматривать движение материальных точек в системе отсчета, связанной с плоскостью $\mathscr{E}$, подобно тому, как мы рассматривали движение маятника Фуко в системе отсчета, связанной с Землей. Проведем радиусы-векторы $\mathbf{r}_{i}$ из точки $O$ в точку $P_{i}$; $v_{i} \frac{d \mathbf{v}_{i}}{d t}$ будут скоростями и ускорениями наших материальных точек в системе отсчета $\mathscr{E}$. Тогда из уравнения (29.4), с помощью векторной формулы (24.7), получим следующие дифференциальные уравнения движения: Здесь $\mathbf{F}_{i}$ означает векторную сумму ньютоновских сил притяжения, действующих на материальную точку $m_{i}$. Так, например, Выберем в плоскости $\mathscr{E}$ прямоугольную систему координат $x, y$ с началом в точке $O$; в остальном эта система координат произвольна. Через точку $O$ перпендикулярно к плоскости $\mathscr{E}$ проведем ось $z$. Разложим угловую скорость $\boldsymbol{\omega}$ на слагающие по этим трем осям (как это делается в уравнениях Эйлера): Слагающую $r$ (вращение плоскости $\mathscr{E}$ вокруг собственной нормали) мы определим так, чтобы один из радиусов-векторов $O P_{i}$ имел неизменное направление в плоскости $\mathscr{E}$. Поскольку мы предположили, что треугольник $P_{1} P_{2} P_{3}$ при движении остается подобным самому себе, то и остальные два радиуса-вектора $O P_{i}$ также должны сохранять неизменное направление в плоскости $\mathscr{E}$. Таким образом, мы можем написать: Функция $\lambda(t)$ определяет общее изменение длины векторов $O P_{i}$, а следовательно, и изменение размеров треугольника $P_{1} P_{2} P_{3}$. Обозначая через $\dot{\lambda}$ и $\ddot{\lambda}$ производные от $\lambda$ по времени, получим из уравнения (32.4): В соответствии с этим, $z$-компонента равнодействующей силы $\mathbf{F}_{i}$, выражаемой формулой (32.2), равна нулю; компоненты же этой силы по осям $x$ и $y$ обратно пропорциональны $\lambda^{2}$. Запишем это сокращенно в следующем виде: В соответствии с этим, проектируя обе части дифференциального уравнения (32.1) на перпендикуляр к плоскости $\mathscr{E}$ (т.е. на ось $z$ ), получим: или, группируя коэффициенты при $a_{i}, b_{i}$, Оба выражения в фигурных скобках являются не зависящими от $i$ функциями времени. Обозначим эти функции через $f(t)$ и $g(t)$, тогда должно выполняться равенство Так как, по условию, точки $P_{i}$ образуют треугольник, т.е. не лежат на одной прямой, то три отношения $\frac{b}{a}$ не равны друг другу. Но отсюда следует, что условие (32.6) может быть выполнено только в том случае, если мы положим $f=g=0$. Последнее означает, что Умножая эти уравнения соответственно на $p$ и $q$ и складывая их, найдем: Интегрируя, будем иметь: где $C$ — постоянная интегрирования. Далее, для $x$ — и $y$-компонент дифференциальное уравнение (32.1) дает: или, если сгруппировать коэффициенты при $a_{i}$ и $b_{i}$ : Таким образом, выражения в фигурных скобках каждого из этих уравнений, умноженные на $\lambda^{2}$, должны удовлетворять трем линейным уравнениям с постоянными (не зависящими от $t$ ) коэффициентами. Это возможно только в том случае, если сами эти выражения являются постоянными. Поэтому разность выражений, заключенных в первой и четвертой скобках, равна некоторой постоянной, деленной на $\lambda^{2}$, равно как и разность выражений, заключенных в третьей и второй скобках. Следовательно, имеет место: Объединим эти вещественные равенства в одно комплексное ( $j-$ мнимая единица): Переходя к абсолютным величинам, получим: Сравнение условий (32.11) и (32.8) привело бы нас к соотношению за исключением того случая, когда $C$ и $D$ оба обращаются в нуль. Однако при $\lambda=$ const, согласно условию (32.10), были бы постоянными также $p$ и $q$ и, в силу условий (32.7), $r$ обращалось бы в нуль. С помощью соответственного выбора координатных осей $x, y$ можно было бы даже сделать $q=0$ и получить из первого уравнения (32.9) $L_{i}=0$. Но тогда наши три точки $P_{i}$ должны были бы лежать на одной прямой, что, по условию, не должно иметь места. Следовательно, мы должны положить $C=D=0$, тогда из уравнений (32.8) или (32.11) получим: Тем самым доказана 1-я часть теоремы Лагранжа: плоскость $\mathscr{E}$ вращается вокруг своей нормали с угловой скоростью $\mathbf{r}$; указанная нормаль неподвижна в пространстве. Применяя закон площадей к нашей системе, мы видим, что движение точек $m_{i}$ в плоскости $\mathscr{E}$ не может увеличить «постоянную площадей». Таким образом, эта постоянная непосредственно определяется угловой скоростью вращения $r$ плоскости $\mathscr{E}$, а именно: Обозначим откуда В силу условий (32.12) и (32.12 а, б), уравнения (32.9) упрощаются и принимают вид Из содержащегося в этих уравнениях требования $\frac{L_{1}}{a_{1}}=\frac{M_{1}}{b_{1}}$ вытекает, что момент силы $\mathbf{F}_{1}$ относительно точки $O$ обращается в нуль: и что, таким образом, сила $\mathbf{F}_{1}$ проходит через центр тяжести $O$. То же самое относится и к силам $\mathbf{F}_{2}$ и $\mathbf{F}_{3}$. Этим доказана 2 -я часть теоремы Лагранжа: равнодействующая сил, приложенных к точке $P_{i}$, проходит через центр тяжести масс $m_{i}$. Преобразуем равенство (32.14) с помощью выражения (32.2). Вначале мы получим Однако по определению центра тяжести имеем: Подставив это в уравнение (32.15), найдем: откуда Таким же образом находим: Это означает, что наш треугольник равносторонний, т.е. 3-я часть теоремы Лагранжа также доказана. Мы можем определить и каждое из входящих в уравнение (32.13) отношений $\frac{L_{i}}{a_{i}}, \frac{M_{i}}{b_{i}}$ в отдельности. Обозначим сторону треугольника через $\lambda s$, причем Согласно формулам (32.2) и (32.5), получим: принимая во внимание (32.16), Так как массы $m_{i}$ и координаты $a_{i}, b_{i}$ входят в правую часть формулы совершенно симметрично, то эта правая часть выражает в то же время величины $\frac{L_{i}}{a_{i}}$ и $\frac{M_{i}}{b_{i}}$. Подставляя это значение в формулу (32.13), получим: Это дифференциальное уравнение для $\lambda$ описывает временной ход движения, «растяжения» и «сжатия» нашего равностороннего треугольника, претерпеваемые им с течением времени. Однако временной ход таких «пульсаций» треугольника, равно как и геометрическую форму траекторий трех тел, можно проследить еще проще, если в качестве системы отсчета выбрать не плоскость $\mathscr{E}$, а совпадающую с ней, но неподвижную в пространстве, плоскость $\mathscr{E}$. В этой системе отсчета на материальную точку $m_{i}$ действует только равнодействующая сила $\mathbf{F}_{i}$, направленная к неподвижному центру тяжести, в то время как все прочие входящие в уравнение (32.1) фиктивные силы (кориолисова сила, центробежная сила и т. д.) отпадают. Согласно формулам (32.5) и (32.18), величина этой силы $\mathbf{F}_{i}$ равна Единственной функцией времени в правой части этой формулы является $\lambda^{2}$. С помощью равенства (32.4) выразим $\lambda^{2}$ через $\left|\mathbf{r}_{i}\right|$ : Подставляя это выражение в формулу (32.20) и вводя массу а также полную массу $M=m_{1}+m_{2}+m_{3}$, получаем Таким образом, каждая из наших трех материальных точек движется в пространстве независимо от остальных двух и притом так, как если бы она имела массу $m_{i}{ }^{\prime}$ и притягивалась находящейся в точке $O$ неподвижной массой $M$ по закону Ньютона. Поэтому при своем движении она описывает коническое сечение, в одном из фокусов которого находится точка $O$. Для того чтобы узнать что-либо относительно размеров и взаимного положения этих трех конических сечений, мы должны учесть заданные начальные условия нашего движения. Рассмотрим, например, момент, в который все три материальные точки $m_{i}$ находятся на экстремальных расстояниях от центра $O$, равных Тогда, согласно формуле (32.4), радиальная скорость в системе отсчета $\mathscr{E}$ равна нулю; скорость же в системе отсчета $\mathscr{E}^{\prime}$ (т.е. в пространстве) равна произведению компоненты $r$ угловой скорости на расстояние (32.21). Входящий в выражение (32.21) множитель $\sqrt{a_{i}^{2}+b_{i}^{2}}$ будет при этом коэффициентом подобия не только для начальных скоростей и начальных расстояний от центра тяжести, но также и для величин получающихся конических сечений. Тем самым доказана и 4-я часть теоремы Лагранжа. Три конических сечения взаимно смещены на углы, равные соответственно углам между тремя центральными осями. В частном случае $m_{1}=m_{2}=m_{3}$, когда центр тяжести $O$ является одновременно центром равностороннего треугольника, конические сечения конгруэнтны и смещены друг относительно друга на $120^{\circ}$. Кроме этого движения по коническим сечениям, существует, по Лагранжу, класс движений, которые могут быть представлены в элементарных функциях и при которых три тела находятся на вращающейся прямой. Но на этом мы останавливаться не будем. Укажем еще на то, что от лагранжева случая проблемы трех тел можно перейти к соответствующему частному случаю проблемы $n$ тел. В случае, когда массы всех $n$ тел одинаковы и скорости их подобраны соответствующим образом траектории представляют собой $n$ равновеликих кеплеровых эллипсов, повернутых друг относительно друга на углы $\frac{2 \pi}{n}$; движение по этим эллипсам происходит в одинаковом ритме. Этот род движения вскользь упоминается в теории рентгеновских $L$-спектров, где он обозначается термином «Ellipsenverein» [Physikal. Zeitschr., Bd 19, S. 297 (1918)].
|
1 |
Оглавление
|