В нижеследующих примерах речь идет о критическом толковании второй аксиомы Ньютона. Мы высказали ее в форме уравнения (1.3): «изменение импульса равно силе», и отклонили для общего случая форму (1.3a): «масса $\times$ ускорение $=$ силе».

Теперь мы поясним, что надо понимать под изменением импульса. При этом окажется, что даже справедливая при всех условиях форма закона (1.3) при известных обстоятельствах сводится к (1.3a).

Рассмотрим пример из обыденной жизни: летом по асфальтированной мостовой движется автомобиль для поливки улиц. Сила тяги мотора как раз достаточна для преодоления трения об асфальт, а также трения о воздух и в осевых подшипниках. Таким образом, внешние силы на автомобиль не действуют. Пусть $m$ будет сумма массы воды, содержащейся в данный момент в резервуаре, и постоянной массы самого автомобиля. Обозначим количество воды, выбрасываемое в единицу времени, через $\mu=-m$. Скорость истечения воды по отношению к автомобилю пусть будет $q$; так как вода выбрасывается назад, то ее скорость по отношению к улице будет $v-q$.
Если механически применить формулу (1.3), то она дала бы
\[
\dot{G}=\frac{d}{d t}(m v)=0
\]

откуда следовало бы
\[
m \dot{v}=\mu v .
\]

Таким образом, ускорение автомобиля не зависело бы от скорости истечения $q$. Это парадоксально, ибо отдача, происходящая от выброса воды (сравните пушку), должна сказаться на движении автомобиля.

На самом деле изменение импульса, подразумевавшееся в уравнении (1.3), было выражено нами неправильно. Оно состоит не только из члена, учтенного в (4.1), но и из импульса водяных струй, уносящих за единицу времени импульс $\mu(v-q)$. Запишем это подробно:
\[
G_{t}=m v, \quad G_{t+d t}=(m+d m)(v+d v)+\mu d t(v-q) .
\]

Следовательно, истинное изменение импульса равно
\[
\dot{G}=\frac{d}{d t}(m v)+\mu(v-q)=0,
\]

так как $\mu=-\dot{m}$, то отсюда после сокращения получим:
\[
m \dot{v}=\mu q .
\]

Таким образом, если толковать это уравнение в смысле (1.3a), то отдача $\mu q$ вытекающей водяной струи действует как ускоряющая сила, подобно тому, как в сегнеровом воднном колесе.

Вместо примера с автомобилем для поливки улиц можно было бы привести пример «ракеты для полета в мировое пространство», при помощи которой хотели достигнуть Луны. Пороховые газы ракеты должны двигать ее вперед (см. задачу 1.5).

Обобщим полученные результаты в виде двух утверждений, соответствующих уравнениям (4.2) и (4.3) нашего примера.
1) Можно стать на точку зрения уравнения (1.3), но при этом нужно прибавить к изменению импульса рассматриваемого тела импульс, конвективно отданный или воспринятый им в единицу времени. Этот импульс нужно измерять в той же системе отсчета, что и импульс рассматриваемого тела; правильный знак этого импульса обеспечивается выбором знака $\dot{m}$. Тогда уравнение движения имеет следующий вид:
\[
\frac{d}{d t}(m \mathbf{v})-\dot{m} \mathbf{v}^{\prime}=\mathbf{F} .
\]

где $\mathbf{v}^{\prime}$ — конвективная скорость. В нашем случае $-\dot{m}=\mu$ и $v^{\prime}=v-q$.
2) Можно также стать на точку зрения уравнения (1.3a). В этом случае мы должны дополнительно учесть силу отдачи импульса, отданного или полученного телом в единицу времени, рассматривая эту силу в некотором смысле как внешнюю силу. Таким образом, мы получим уравнение движения в форме, аналогичной уравнению (4.3):
\[
m \dot{\mathbf{v}}=\mathbf{F}+\dot{m} \mathbf{v}_{\text {отн }} .
\]

Здесь $\mathbf{v}_{\text {отн. }}$ — относительная скорость конвективного импульса по отношению к рассматриваемому телу. В нашем примере было $v_{\text {отн. }}=-q$ и $-\dot{m}=\mu^{1}$.
${ }^{1}$ Пусть система состоит из двух тел, массы которых равны $m$ и $m^{\prime}$ и которые

Необходимо остановиться на двух частных случаях:
a) $\mathbf{v}^{\prime}=0$. Отводимые или подводимые элементы массы имеют скорость, равную нулю, и поэтому не уносят с собой импульса. В этом случае уравнение движения имеет ньютонову форму $\dot{\mathbf{G}}=\mathbf{F}$. Пример: водяные капли, цепь (см. задачи 1.6 и 1.7).
б) $\mathbf{v}^{\prime}=\mathbf{v}$, или, что то же самое, $\mathbf{v}_{\text {отн. }}=0$. Уравнение движения, несмотря на переменную массу, имеет форму «масса $\times$ ускорение $=$ = силе». I ример: канат, свешивающийся с горизонтальной подставки ${ }^{1}$ (см. задачу 1.8).

движутся со скоростями $\mathbf{v}$ и $\mathbf{v}^{\prime}$. Массы $m$ и $m^{\prime}$ могут меняться с течением времени, однако сумма их должна оставаться постоянной:
\[
m+m^{\prime}=\text { const. }
\]

Полный импульс такой системы равен:
\[
\mathbf{G}+\mathbf{G}^{\prime}=m \mathbf{v}+m^{\prime} \mathbf{v}^{\prime} .
\]

Поэтому если $\mathbf{F}$ — равнодействующая всех внешних сил, действующих на систему, то
\[
\frac{d \mathbf{G}}{d t}+\frac{d \mathbf{G}^{\prime}}{d t}=\mathbf{F} .
\]

Подставляя сюда $\mathbf{G}^{\prime}=m^{\prime} \mathbf{v}^{\prime}$ и принимая во внимание, что в силу (а) $\dot{\mathbf{m}}^{\prime}=-\dot{m}$, получим:
\[
\frac{d \mathbf{G}}{d t}-\dot{m} \mathbf{v}^{\prime}+m^{\prime} \dot{\mathbf{v}}^{\prime}=\mathbf{F} .
\]

Если в рассматриваемый момент времени $m^{\prime}=0$, то для этого момента уравнение (б) гласит:
\[
\frac{d \mathbf{G}}{d t}-\dot{m} \mathbf{v}^{\prime}=\mathbf{F},
\]

что совпадает с формулой (4.4). Но уравнение (в) справедливо и при $m^{\prime}
eq 0$, если только под $\mathbf{F}$ понимать равнодействующую всех сил, действующих на массу $m$, включая и силы, с которыми действует на нее масса $m^{\prime}$. Действительно, в любой момент времени можно из нашей системы тел выделить подсистему двух тел, масса одного из которых в рассматриваемый момент времени равна нулю. Рассматривая остальную часть системы как «внешние тела» по отношению к выделенной подсистеме, мы и получим уравнение (в). (Прик. ред.)
${ }^{1}$ уравнение движения имеет такую форму для свешивающейся части каната и для части, лежащей на горизонтальной плоскости. Однако при этом необходимо принять во внимание все силы, действующие на рассматриваемую часть каната. Уравнение движения свешивающейся части каната гласит:
\[
m \frac{d \mathbf{v}}{d t}=m g+\mathbf{F},
\]

где $m$ — масса этой части каната, a $\mathbf{F}$ — сила, с которой действует на нее другая часть каната. Обозначая соответствующие величины для этой другой части через $\mathrm{m}^{\prime}$

В случае б) потеря энергии по Карно [уравнение (3.28a)] равна нулю; поэтому закон сохранения энергии действителен в обычной форме. В случае а) нужно в каждой отдельной конкретной проблеме находить применимую к нему форму закона сохранения энергии, в зависимости от поставленной задачи.

В заключение рассмотрим проблему релятивистского изменения массы. При этом мы будем говорить специально об электроне, хотя формула массы (2.20) справедлива не только для электрона, но и для любой другой массы. Изменение массы является «внутренним свойством» электрона и отнюдь не связано с передачей ему импульса извне. Поэтому, как и в случае a), уравнение движения гласит $\dot{\mathbf{G}}=\mathbf{F}$ или, принимая во внимание (2.20),
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{m_{0} \mathrm{v}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\right)=\mathbf{F} .
\]

Рассмотрим сначала прямолинейное движение электрона; пусть, следовательно, $\mathbf{F}$ действует «продольно», т.е. в направлении $\mathbf{v}$.

Приведем уравнение (4.6) к форме: «масса $\times$ ускорение $=$ силе», как это (нецелесообразно) делалось прежде (около 1900 г.). Для этого произведем дифференцирование в левой стороне уравнения и получим:
\[
\frac{m_{0} \dot{v}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}+m_{0} v \frac{d}{d t} \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\left(\dot{v}+\frac{v \beta \dot{\beta}}{1-\beta^{2}}\right) .
\]

Так как $\beta=\frac{v}{c}$, то
\[
\dot{\beta}=\frac{\dot{v}}{c} \quad \text { и поэтому } \quad v \beta \dot{\beta}=\beta^{2} \dot{v} .
\]

и $\mathbf{F}^{\prime}$, получим
\[
m^{\prime} \frac{d \mathbf{v}^{\prime}}{d t}=\mathbf{F}^{\prime} .
\]

Так как $\mathbf{v}(t)=\mathbf{v}^{\prime}(t)$ и $\mathbf{F}=-\mathbf{F}^{\prime}$, то путем сложения находим уравнение движения всего каната:
\[
\left(m+m^{\prime}\right) \frac{d \mathbf{v}}{d t}=m g .
\]

В этом уравнении масса всего каната ( $\left.m+m^{\prime}\right)$, конечно, постоянна. (Прим. ред.)

Следовательно, уравнение (4.6a) приводится к следующему виду:
\[
\frac{m_{0} \dot{v}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\left(1+\frac{\beta^{2}}{1-\beta^{2}}\right)=\frac{m_{0}}{\left(1-\beta^{2}\right)^{3 / 2}} \dot{\mathbf{v}}=\mathbf{F} .
\]

Таким образом, «продольную» массу, определяемую как коэффициент при $\dot{\mathbf{v}}$ в уравнении движения, нужно положить равной
\[
m_{\text {прод. }}=\frac{m_{0}}{\left(1-\beta^{2}\right)^{3 / 2}} .
\]

Однако, если $\mathbf{F}$ действует в «поперечном» направлении, т.е. нормально к траектории, то скорость изменяется не по величине, а только по направлению. Тогда $\dot{\beta}$ равно 0 , и из (4.6) непосредственно следует:
\[
\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} \dot{\mathbf{v}}_{\text {норм. }}=\mathbf{F} .
\]

Поэтому была введена отличная от продольной «поперечная» масса
\[
m_{\text {поп. }}=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]

Мы, однако, подчеркиваем, что это различие пропадает, если пользоваться законом движения в рациональной форме (4.6).

Познакомимся теперь с формой закона сохранения энергии в теории относительности. Для этой цели помножим (4.6) на $\frac{d \mathbf{r}}{d t}=\mathbf{v}=\beta c \frac{\mathbf{v}}{v}$. В правой части получим:
\[
\frac{\mathbf{F} d r}{d t}=\frac{d A}{d t}=\text { произведенной работе. }
\]

В левой части получим:
\[
m_{0} c^{2} \beta \frac{d}{d t}\left(\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\right)=m_{0} c^{2} \beta \dot{\beta}\left(1-\beta^{2}\right)^{-3 / 2} .
\]

Но это выражение, как легко убедиться, является полной производной по $t$, а именно, оно равно
\[
m_{0} c^{2} \frac{d}{d t} \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]

Так как выражение (4.10) равно произведенной работе [уравнение (4.9)], то оно означает скорость изменения кинетической энергии $T$. Таким образом, имеем:
\[
T=m_{0} c^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}+\text { const. }\right) .
\]

Здесь следует положить const равной -1 , так как $T$ по смыслу должно обращаться в нуль при $\beta=0$. Таким образом, в теории относительности кинетическая энергия выражается в виде
\[
T=m_{0} c^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}-1\right) .
\]

Принимая во внимание (2.20), можем также написать
\[
T=c^{2}\left(m-m_{0}\right) .
\]

Разность энергии движущегося и покоящегося электрона (а это и есть кинетическая энергия или «живая сила») равна помноженной на $c^{2}$ разности масс движущегося и покоящегося электронов. Этим мы подтвердили в нашем простейшем случае общий закон инерции энергии, который охватывает всю область определения атомных весов, физику атомного ядра, а в дальнейшем развитии и космологию.

Для полноты укажем, что при малом $\beta$ из выражения (4.11) путем разложения его в ряд получается, как и следовало ожидать, элементарное выражение для $T$ :
\[
\begin{aligned}
T & =m_{0} c^{2}\left(\frac{1}{2} \beta^{2}-\frac{3}{8} \beta^{4}+\ldots\right)= \\
& =\frac{m_{0}}{2} c^{2} \beta^{2}\left(1-\frac{3}{4} \beta^{2}+\ldots\right) \longrightarrow \frac{m_{0}}{2} v^{2} .
\end{aligned}
\]