Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике В нижеследующих примерах речь идет о критическом толковании второй аксиомы Ньютона. Мы высказали ее в форме уравнения (1.3): «изменение импульса равно силе», и отклонили для общего случая форму (1.3a): «масса $\times$ ускорение $=$ силе». Теперь мы поясним, что надо понимать под изменением импульса. При этом окажется, что даже справедливая при всех условиях форма закона (1.3) при известных обстоятельствах сводится к (1.3a). Рассмотрим пример из обыденной жизни: летом по асфальтированной мостовой движется автомобиль для поливки улиц. Сила тяги мотора как раз достаточна для преодоления трения об асфальт, а также трения о воздух и в осевых подшипниках. Таким образом, внешние силы на автомобиль не действуют. Пусть $m$ будет сумма массы воды, содержащейся в данный момент в резервуаре, и постоянной массы самого автомобиля. Обозначим количество воды, выбрасываемое в единицу времени, через $\mu=-m$. Скорость истечения воды по отношению к автомобилю пусть будет $q$; так как вода выбрасывается назад, то ее скорость по отношению к улице будет $v-q$. откуда следовало бы Таким образом, ускорение автомобиля не зависело бы от скорости истечения $q$. Это парадоксально, ибо отдача, происходящая от выброса воды (сравните пушку), должна сказаться на движении автомобиля. На самом деле изменение импульса, подразумевавшееся в уравнении (1.3), было выражено нами неправильно. Оно состоит не только из члена, учтенного в (4.1), но и из импульса водяных струй, уносящих за единицу времени импульс $\mu(v-q)$. Запишем это подробно: Следовательно, истинное изменение импульса равно так как $\mu=-\dot{m}$, то отсюда после сокращения получим: Таким образом, если толковать это уравнение в смысле (1.3a), то отдача $\mu q$ вытекающей водяной струи действует как ускоряющая сила, подобно тому, как в сегнеровом воднном колесе. Вместо примера с автомобилем для поливки улиц можно было бы привести пример «ракеты для полета в мировое пространство», при помощи которой хотели достигнуть Луны. Пороховые газы ракеты должны двигать ее вперед (см. задачу 1.5). Обобщим полученные результаты в виде двух утверждений, соответствующих уравнениям (4.2) и (4.3) нашего примера. где $\mathbf{v}^{\prime}$ – конвективная скорость. В нашем случае $-\dot{m}=\mu$ и $v^{\prime}=v-q$. Здесь $\mathbf{v}_{\text {отн. }}$ – относительная скорость конвективного импульса по отношению к рассматриваемому телу. В нашем примере было $v_{\text {отн. }}=-q$ и $-\dot{m}=\mu^{1}$. Необходимо остановиться на двух частных случаях: движутся со скоростями $\mathbf{v}$ и $\mathbf{v}^{\prime}$. Массы $m$ и $m^{\prime}$ могут меняться с течением времени, однако сумма их должна оставаться постоянной: Полный импульс такой системы равен: Поэтому если $\mathbf{F}$ – равнодействующая всех внешних сил, действующих на систему, то Подставляя сюда $\mathbf{G}^{\prime}=m^{\prime} \mathbf{v}^{\prime}$ и принимая во внимание, что в силу (а) $\dot{\mathbf{m}}^{\prime}=-\dot{m}$, получим: Если в рассматриваемый момент времени $m^{\prime}=0$, то для этого момента уравнение (б) гласит: что совпадает с формулой (4.4). Но уравнение (в) справедливо и при $m^{\prime} где $m$ – масса этой части каната, a $\mathbf{F}$ – сила, с которой действует на нее другая часть каната. Обозначая соответствующие величины для этой другой части через $\mathrm{m}^{\prime}$ В случае б) потеря энергии по Карно [уравнение (3.28a)] равна нулю; поэтому закон сохранения энергии действителен в обычной форме. В случае а) нужно в каждой отдельной конкретной проблеме находить применимую к нему форму закона сохранения энергии, в зависимости от поставленной задачи. В заключение рассмотрим проблему релятивистского изменения массы. При этом мы будем говорить специально об электроне, хотя формула массы (2.20) справедлива не только для электрона, но и для любой другой массы. Изменение массы является «внутренним свойством» электрона и отнюдь не связано с передачей ему импульса извне. Поэтому, как и в случае a), уравнение движения гласит $\dot{\mathbf{G}}=\mathbf{F}$ или, принимая во внимание (2.20), Рассмотрим сначала прямолинейное движение электрона; пусть, следовательно, $\mathbf{F}$ действует «продольно», т.е. в направлении $\mathbf{v}$. Приведем уравнение (4.6) к форме: «масса $\times$ ускорение $=$ силе», как это (нецелесообразно) делалось прежде (около 1900 г.). Для этого произведем дифференцирование в левой стороне уравнения и получим: Так как $\beta=\frac{v}{c}$, то и $\mathbf{F}^{\prime}$, получим Так как $\mathbf{v}(t)=\mathbf{v}^{\prime}(t)$ и $\mathbf{F}=-\mathbf{F}^{\prime}$, то путем сложения находим уравнение движения всего каната: В этом уравнении масса всего каната ( $\left.m+m^{\prime}\right)$, конечно, постоянна. (Прим. ред.) Следовательно, уравнение (4.6a) приводится к следующему виду: Таким образом, «продольную» массу, определяемую как коэффициент при $\dot{\mathbf{v}}$ в уравнении движения, нужно положить равной Однако, если $\mathbf{F}$ действует в «поперечном» направлении, т.е. нормально к траектории, то скорость изменяется не по величине, а только по направлению. Тогда $\dot{\beta}$ равно 0 , и из (4.6) непосредственно следует: Поэтому была введена отличная от продольной «поперечная» масса Мы, однако, подчеркиваем, что это различие пропадает, если пользоваться законом движения в рациональной форме (4.6). Познакомимся теперь с формой закона сохранения энергии в теории относительности. Для этой цели помножим (4.6) на $\frac{d \mathbf{r}}{d t}=\mathbf{v}=\beta c \frac{\mathbf{v}}{v}$. В правой части получим: В левой части получим: Но это выражение, как легко убедиться, является полной производной по $t$, а именно, оно равно Так как выражение (4.10) равно произведенной работе [уравнение (4.9)], то оно означает скорость изменения кинетической энергии $T$. Таким образом, имеем: Здесь следует положить const равной -1 , так как $T$ по смыслу должно обращаться в нуль при $\beta=0$. Таким образом, в теории относительности кинетическая энергия выражается в виде Принимая во внимание (2.20), можем также написать Разность энергии движущегося и покоящегося электрона (а это и есть кинетическая энергия или «живая сила») равна помноженной на $c^{2}$ разности масс движущегося и покоящегося электронов. Этим мы подтвердили в нашем простейшем случае общий закон инерции энергии, который охватывает всю область определения атомных весов, физику атомного ядра, а в дальнейшем развитии и космологию. Для полноты укажем, что при малом $\beta$ из выражения (4.11) путем разложения его в ряд получается, как и следовало ожидать, элементарное выражение для $T$ :
|
1 |
Оглавление
|